复旦大学数学科学学院 2012~2013学年第二学期期末考试试卷 ■A卷 课程名称:高等数学B(下)课程代码:MATH120004 开课院系 数学科学学院 考试形式 闭卷 姓名: 题目1 7总分 得分 装订线内不要答题 1.(本题满分42分,每小题7分)计算下列各题: ()设,=()1(3x-20,求D(.1),Dmb1.1 +y2+22-3x=0 (2)求空间曲线 在点(1,1,1)处的切线方程。 3y+5z-4=0 第1页(共8页)
( K â á ÿ S Ç æ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EåÆÍÆâÆÆ 2012*2013Æc1Æœœ"££Ú A Ú ë߶°µ p ÍÆB(e) ëßì˵ MATH120004 mëXµ ÍÆâÆÆ £/™µ 4Ú 6 ¶µ Æ “µ ; íµ K 8 1 2 3 4 5 6 7 o© © 1.£ K˜©42 ©ßzK7 ©§OéeàKµ (1)z(x, y) = x y 2 ln(3x − 2y), ¶ ∂z ∂x(1, 1), ∂ 2 z ∂x∂y (1, 1). (2)¶òmÇ x 2 + y 2 + z 2 − 3x = 0 2x − 3y + 5z − 4 = 0 3:(1, 1, 1)?ÉÇêß" 11ê ( 8ê)
(3)求椭圆抛物面z=1+x2+3y2、圆柱面x2+y2=1及平面z=0所围的有界区域 的体积 (4计算二重积分//(1+2+y)2 1+x2+y2 dy,其中区域2={(x,y)x2+y2≤1} 第2页(共8页)
(3)¶˝ ‘°z = 1 + x 2 + 3y 2! Œ°x 2 + y 2 = 19²°z = 0§åk.´ç N»" (4)O黩 Z Z Ω (1 + x + y) 2 1 + x 2 + y 2 dxdy, Ÿ•´çΩ = {(x, y)|x 2 + y 2 ≤ 1}. 12ê ( 8ê)
(5)求和∑(2n) 装订线内不要答题 (6)一个雪球开始融化,假设它将时刻保持球形,且体积的融化率与表面积成正 比,若在最初的一个小时内,其体积缩减为原来的。计算雪球全部融化所需的 第3页(共8页)
( K â á ÿ S Ç æ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)¶⁄ X∞ n=1 1 (2n)!. (6)òổm©KzßbßÚû豕/ßÖN»Kz«ÜL°»§ 'ße3Å–òáûSߟN»†~è5 1 8 "O黕 ‹Kz§I ûm" 13ê ( 8ê)
2.(本题满分8分)求函数f(x,y)=x2+y2-my在区域D:|x+|≤1上的最大 3.(本题满分8分)设f()在R上二阶可导,讨论∑(-1)f(三)的敛散性 第4页(共8页)
2.£ K˜©8 ©§ ¶ºÍf(x, y) = x 2 + y 2 − xy3´çD : |x| + |y| ≤ 1˛Åå ä" 3.£ K˜©8 ©§ f(x)3R˛ åß?ÿ X∞ n=1 (−1)n f( 1 n )Ò—5" 14ê ( 8ê)
4.(本题满分10分)设∫(x)在[1,+∞)上二阶连续可导,f(1)=0,f(1)=1,函 数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足方程zx+y=0.求函数f(x) 装订线内不要答题 第5页(共8页)
( K â á ÿ S Ç æ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.£ K˜©10 ©§ f(x)3[1, +∞)˛ ÎYåßf(1) = 0, f 0 (1) = 1, º Íz = (x 2 + y 2 )f(x 2 + y 2 )˜vêßzxx + zyy = 0. ¶ºÍf(x)" 15ê ( 8ê)
5(本题满分10分)求函数S()=∑一Dnm在n=1处的yor展开式及所 求展开式的收敛域。 第6页(共8页)
5.£ K˜©10 ©§ ¶ºÍS(x) = X∞ n=1 (−1)n−1 n2 n x n 3x = 1?Taylor–m™9§ ¶–m™¬Òç" 16ê ( 8ê)
6.(本题满分10分)证明不等式: 装订线内不要答题 第7页(共8页)
( KâáÿSÇæC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. £ K ˜ ©10 © § y ² ÿ ™ µ π4 (1 − e − 1 ) < Z 1 0 e − x 2 d x 2 < π4 (1 − e − 2 ) 1 7 ê ( 8 ê )
7.(本题满分12分)设f(x)是以2为周期的函数且f(x) 1,x∈0,] 0,x∈(-丌,0) (1)求f(x)的 Fourier展开式,并分别计算和函数在。及7r处的值; (2)求实系数A,A1A10和B1,B2,,B10使下面的积分 达到最小值,其中函数g(x)A010 2 +>(An cos n c+Bn sinn.r 第8页(共8页)
7.£ K˜©12 ©§ f(x)¥±2π豜ºÍÖf(x) = 1, x ∈ [0, π]; 0, x ∈ (−π, 0). (1)¶f(x)Fourier–m™ßø©OOé⁄ºÍ3 7π 2 97π?ä¶ (2)¶¢XÍA0, A1, . . . , A10⁄B1, B2, . . . , B10¶e°»©µ Z π −π f(x) − g(x) 2 + g 2 (x) dx àÅäߟ•ºÍg(x) = A0 2 + X 10 n=1 An cos nx + Bn sin nx . 18ê ( 8ê)