复旦大学 2011~2012学年第二学期期末考试试卷(A卷答案) 课程名称:高等数学(B)课程代码:MATH120004.03 开课院系:数学科学学院考试形式: 闭卷 姓名: 学号: 专业 6 10总分 得分 (10分)求球面x2+y2+22=7和平面x+y+z=0的交线在点(2)处的切 线方程 解: 二,(10分)求级数 (丫的和。 3(2n+1) 解令出-,则()- (-1)。由于 (xS(x)=∑(-1)x2=,-1,所以x(x)= arctan-x √3r 三,(10分)求/(x,y,z)=x4+y2+在曲面xz=1上的极值,并说明是极大值还 是极小值 解:令L=x++y2+=4+(-1),则4x3+=4y3+Ax=4z3+y=0.xz=1, 解之得四个解(11-1-1)(-1-1)(+1-1),以及=-4。可得极值为3。由对 称性只需验证点(1是函数L=x2+y4+4-4(xz-1)的极小值点即可。计算知, 1)=2(.1)=2(11)=12,且 0(1)=22(1)=1)-4所 以这个函数在(,1,1)处的 Hessian矩阵是正定的
1 复旦大学 2011 ～2012 学年第二学期期末考试试卷（A 卷答案） 课程名称：____高等数学（B）__ 课程代码：___ MATH120004.03___ 开课院系：____数学科学学院______ 考试形式： 闭卷 姓 名： 学 号： 专 业： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 分 得 分 一．（10 分）求球面 2 7 2 2 2 x y z 和平面 x y z 0 的交线在点 2,1,1 处的切 线方程。 解： 6 1 5 1 1 2 x y z 。 二．( 10 分) 求级数 1 3 2 1 1 n n n n 的和。 解：令 n n n x n S x 2 1 2 1 1 ，则 1 3 2 1 1 3 1 n n n n S 。由于 1 1 1 1 2 1 2 x xS x x n n n ，所以 1 6 3 3 1 arctan , xS x x x S 。 三．（10 分）求 4 4 4 f x, y,z x y z 在曲面 xyz 1 上的极值，并说明是极大值还 是极小值。 解：令 1 4 4 4 L x y z xyz ，则 4 4 4 0, 1 3 3 3 x yz y xz z xy xyz ， 解之得四个解 (1,1,1),1,1,1,1,1,1,1,1,1 ，以及 4 。可得极值为 3。由对 称性，只需验证点 (1,1,1) 是函数 4 1 4 4 4 L x y z xyz 的极小值点即可。计算知， 1,1,1 1,1,1 1,1,1 12, 2 2 2 2 2 2 z L y L x L 且 1,1,1 1,1,1 1,1,1 4, 2 2 2 z x L y z L x y L 所 以这个函数在 (1,1,1) 处的 Hessian 矩阵是正定的
四.(10分)计算二重积分∫(+xd,这里Dx+5(-x)s√2 解: 五.(10分)求微分方程3y(+x)-x+21+xos{2)=0的一个通解。 解:y=0是显然的解。设y≠0,令u=y3,原方程化为下面的一阶线性方程 x2)-x+2xcos2x√/l+x2=0。 其通解为n=C-xsin2x-osxh+x2,其中C是一个任意常数。原方程的通 解为y3=C-xsin2x-cos2x/1+x2 入(m0分)判断级数立(1)的收敛性,并给出详细理由 解:当 n→+ 时 In =nIn/i-In +Inn= Inn 1(In n +lnn→0 n In 所以 →1,因此,由正项级数的比较判别法,题中级数发散。 七,(0分)将/()=在(x)上展开成 Fourier级数,并求级数∑上与级 数∑的和 解:x2 4>61 coS x x
2 四．（10 分）计算二重积分 D y x dxdy 2 ，这里 2 2 1 : 2 2 D x y x 。 解： 2 1 。 五．(10 分) 求微分方程 3 1 2 1 cos2 0 3 2 4 2 xy xy x x dx dy y x 的一个通解。 解： y 0 是显然的解。设 y 0 ，令 3 u y ，原方程化为下面的一阶线性方程 1 2 cos 2 1 0 2 2 xu x x x dx du x 。 其通解为 2 cos 2 1 2 1 u C xsin 2x x x ，其中 C 是一个任意常数。原方程的通 解为 3 2 cos 2 1 2 1 y C xsin 2x x x 。 六．（10 分）判断级数 n n n n 1 ln 1 的收敛性，并给出详细理由。 解：当 n 时， ln 0 ln ln 2 ln 1 ln ln ln 1 1 ln 1 ln 2 2 n n n o n n n n n n n n n n n n n ， 所以 1 1 ln 1 n n n n ，因此，由正项级数的比较判别法，题中级数发散。 七．（10 分）将 2 f x x 在 (,) 上展开成 Fourier 级数，并求级数 1 2 1 n n n 与级 数 1 4 1 n n 的和。 解： 1 2 2 2 cos 1 4 3 n n nx n x ， x,
八.(10分)计算三重积分⑩√x+y2+=doh,这里F:x2+y2+=2≤= 解:利用球坐标,值为r。 九.(10分)设函数/(x)在(n,x)的某个邻域内有连续的偏导数,证明 f(x,y)在(xy)处一定可微。 解:略 十.(10分)设a,b是实数,试给出二阶常微分方程y+ay+b=0的每个解当 x→+∞时都趋向于零的必要充分条件,并证明之。 解:特征方程为+a+b=0,特征根为-±1a-4b。1)a2-4b>0,则方 程的全部解为y=Ce2 +c 当x→+∞时,若C1≠0显然有 界趋向于无穷。2)a2-4b=0,则方程的全部解为y=Ce2+C2 仅当a>0 时,每个解当x→+时都趋向于零。3)a2-4b0时,每个解当x→+2 时都趋向于零。综上得到所求的必要充分条件为:a2-4b≤0,且a>0
3 4 1 4 90 1 1 n n ， 2 1 2 12 1 1 n n n 。 八．（10 分）计算三重积分 x y z dxdydz V 2 2 2 ，这里 V x y z z 2 2 2 : 。 解：利用球坐标，值为 10 1 。 九．（10 分）设函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 的某个邻域内有连续的偏导数 y f x f , ，证明： f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处一定可微。 解：略。 十．（10 分）设 a,b 是实数，试给出二阶常微分方程 y ay by 0 的每个解当 x 时都趋向于零的必要充分条件，并证明之。 解：特征方程为 0 2 a b ，特征根为 a b a 4 2 1 2 2 。1） 4 0 2 a b ，则方 程的全部解为 a b x a a b x a y C e C e 4 2 1 2 2 4 2 1 2 1 2 2 ，当 x 时，若 C1 0 显然有 界趋向于无穷。2） 4 0 2 a b ，则方程的全部解为 x a x a y C e C xe 2 2 2 1 ，仅当 a 0 时，每个解当 x 时都趋向于零。3） 4 0 2 a b ，则方程的全部解为 y C e b a x C e b a x x a x a 2 2 2 2 2 1 4 2 1 4 sin 2 1 cos ，仅当 a 0 时，每个解当 x 时都趋向于零。综上得到所求的必要充分条件为： 4 0 2 a b ，且 a 0
