复旦大学经济学院 2009~2010学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学B_课程代码:⊥MATH120004,— 开课院系:数学科学学院_考试形式:团卷 姓名: 学号: 专业: 题号 四 总分 得分 (本题共6小题,每小题6分,共36分) 1.设函数f(x,y)=(x+y)”,求f”(x,y) 2.求曲面z=x2-y2在点(2,1,3)处的切平面方程 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 复旦大学经济学院 2009 ~ 2010 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 课程名称： 高等数学 B 课程代码： MATH120004. 开课院系： 数学科学学院 考试形式： 闭卷 姓名： 学号： 专业： 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、(本题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 1. 设函数 x y f x y x y ( , ) ( ) ，求 f ( x, y ) y 。 2. 求曲面 2 2 z x y 在点 ( 2 , 1, 3 ) 处的切平面方程
3.设函数组u(x,y),v(x,y)满足方程组 xu -yv=l 4.求函数二=f(x,y)=x2-x+y2在点M0(2,1)处沿从点M0到点M1(6,4)方 向的方向导数。 已知常数a>0,求幂级数∑1x的收敛域 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 3. 设函数组 u (x, y) , v(x, y) 满足方程组 0 1 2 2 yu xv xu y v ，求 x u 。 4. 求函数 2 2 z f (x, y) x xy y 在点 ( 2,1) M0 处沿从点 M 0 到点 (6,4) M1 方 向的方向导数。 5. 已知常数 a 0 ，求幂级数 1 ln 1 n n n x a 的收敛域
6.求微分方程(x+x)ax=-2y)的通解 (本题共2小题,每小题8分,共16分) 1.设D=(x,y)0≤x1,0≤y≤1},计算∫em2)d的值 2计算三重积分⑩1:d,9=(x,)0≤zs√-x-y 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 6. 求微分方程 y d x d y x y x 2 的通解。 二、（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 1. 设 D ( x, y ) 0 x 1,0 y 1 ，计算 e dxdy D x y max ( , ) 2 2 的值。 2. 计算三重积分 d z 1 1 ， 2 2 ( x, y ) 0 z 1 x y
、(本题共2小题,每小题8分,共16分) 设F(x,y,y)=y2+(y)2-2 cost,已知函数y=y(x)满足方程 aF d(aF =0,求函数y(x)。 2.设向量函数a(x,y)= sin y[xf(x)+xf2(x)]i+ cosy(x)j是二元函数u(x,y) 的梯度,且a(00)=,函数f(x)在[0,+)上具有连续导数,求函数f(x)。 第4页共6页
第 4 页 共 6 页 三、（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 1. 设 F( x, y, y ) y ( y ) 2y cos x 2 2 ， 已 知 函 数 y y(x) 满足方程 0 y F dx d y F ，求函数 y(x)。 2. 设向量函数 a x y y x f x x f x i y f x j ( , ) sin [ ( ) ( )] cos ( ) 2 是二元函数 u(x, y) 的梯度，且 a j (0,0) ，函数 f (x) 在 0 , 上具有连续导数，求函数 f (x)
四、(本题共3小题,每小题8分,共24分) 设D={(x,y)x25y2},1=mxhd,判定级数∑,的敛散性 2.将函数f(x)-x)展开成 Maclaurin级数,指出该幂级数的收敛域,并 1+二+-+…+ 求常数项级数 的和 n+1 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 四、（本题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 1. 设 n x D x y x y 2 ( , ) ， dxdy x x I D n sin ，判定级数 n1 n I 的敛散性。 2. 将函数 x x f x 1 ln(1 ) ( ) 展开成 Maclaurin 级数，指出该幂级数的收敛域，并 求常数项级数 n n n n 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 的和
3.将函数f(x)22(0≤x≤1)展开成周期为2的余弦级数,并求常数项级数 的和。 五、(本题8分)已知x+y=1,证明x2+y2、a2b2 第6页共6页
第 6 页 共 6 页 3. 将函数 (0 1) 2 1 ( ) x x f x 展开成周期为 2 的余弦级数，并求常数项级数 1 2 2 ( 1) ( 2 1) 1 ( 1) n n n n 的和。 五、（本题 8 分）已知 1 b y a x ，证明 2 2 2 2 2 2 a b a b x y