复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学A）《高等数学A（I）》试题（2016.1）（答案）

复旦大学数学科学学院 2015~2016学年第一学期期末考试试卷 《高等数学A(I)》(MATH200)试题答案 (本题满分40分,每小题5分)(1)±16:(2)2 (3)在(-1,e-1-1]上单调减少,在[e-1-1,+∞)上单调增加;f(e-1-1)=-e为 极小值; (4) arcsin+C;(5)e-2/1.1) :(6)收敛;(7852:(8)x-2y+2=0 2.(本题满分10分)3个。 装订线内不要答题 3.(本题满分10分)底面半径和高均为 4.(本题满分10分)(1)f(x)=28x°+cx(c为任意常数);(2)无拐点 (3)不存在。 5.(本题满分10分)A=2,B=1,C=2。 6.(本题满分10分)(1)证;由sinx≥-x(0≤x≤)知sinx≥x(0≤x≤1), 所以 (2)由于 2 1 n+1 (+2y 利用极限的夹逼性可得 lim

复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第一学期期末考试试卷 《高等数学 A（I）》（ ）试题答案 1．（本题满分 40 分，每小题 5 分）（1） 16 ；（2） 2 3 ； （3）在 1 ( 1, e 1]    上单调减少，在 1 e 1 )  [    ， 上单调增加； 1 1 f (e 1) e      为 极小值； （4） 2 1 arcsin 2 2 x C ；（5） 2 2 1 e 1 e         ；（6）收敛；（7）           3 2 1 8 5 2 14 8 3 ；（8） x y z    2 0 。 2．（本题满分 10 分）3 个。 3．（本题满分 10 分）底面半径和高均为 3 π V 。 4．（本题满分 10 分）（1） 6 f x x cx ( ) 28   （ c 为任意常数）；（2）无拐点； （3）不存在。 5．（本题满分 10 分） A  2 ， B  1， 4 5 C  。 6．（本题满分 10 分）（1）证；由 2 sin π x x  （ π 0 2  x ）知 sin π 2 x x  （ 0 1  x ）， 所以     1 1 1 1 1 0 0 0 π 1 2 1 1 sin d 1 d = 1 2 1 1 n n n n x x x x x n n                   。 （2）由于   1 1 1 0 0 2 2 1 π 1 sin d 1 1 d 2 1 1 2 n n n n n x x x n n                   ， 利用极限的夹逼性可得 1 1 0 π lim 1 sin d =2 2 n n n x x                  。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

7.(本题满分10分)(1)L的方向向量可取为 2ci+(1-c2)j-(1+c2)k 因此L的对称式方程为 (2)在以上方程中令z=t,得 2ct+(c2-1) 2c+(c2-1)n 这就是曲面∑与平面z=t的交线的参数方程,其中c为参数 进一步,从上式知 y=At+B, 其中A= 。显然A2+B2=1,于是 A2(1+t2)+B2(1+t2)=1+t2 因此曲面∑与平面z=t的交线的方程又可表为 z=t (3)从(2)可知,过(0,0,z)点且与Oxy平面平行的平面截由曲面∑,平 面z=0和z=1所围立体的截面均为圆,其面积为 A(二)=r(1+z2), 因此该立体的体积为 =)d=(+=)=x

7．（本题满分 10 分）（1） L 的方向向量可取为 2 2 1 1 2 (1 ) (1 ) 1 c c c c c c       i j k i j k ， 因此 L 的对称式方程为 2 2 1 2 1 1 x y c z c c c c         。 （2）在以上方程中令 z t  ，得 2 2 2 2 2 ( 1) , 1 2 ( 1) , 1 , ct c x c c c t y c z t                    这就是曲面  与平面 z t  的交线的参数方程，其中 c 为参数。 进一步，从上式知 , , x A Bt y At B        其中 2 2 1 1 c A c    ， 2 2 1 c B c   。显然 2 2 A B 1 ，于是 2 2 2 2 2 2 2 x y A t B t t        (1 ) (1 ) 1 ， 因此曲面  与平面 z t  的交线的方程又可表为 2 2 2 1 . x y t z t        ， （3） 从（2）可知，过 (0, 0, )z 点且与 Oxy 平面平行的平面截由曲面  ，平 面 z  0 和 z 1 所围立体的截面均为圆，其面积为 2 A z z ( )   π(1 )， 因此该立体的体积为   1 1 2 0 0 4π ( )d π 1 d = 3 V A z z z z     