复旦大学数学科学学院 2014~2015学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(下) 课程代码: MATH120002 1开课院系:数学科学学院 考试形式:团卷 题号 2 3 4 5 6 总分 得分 11.(本题共48分,每小题6分)计算下列各题 (1)设z=(x2+y2)ln(x2+y2),求=n 铷长 2式(2)解方程xy-y=x2。 ()求函数u=x+x+yz在点(1,1,1)处沿方向l=(1-2,2)的方向导数
1 复旦大学数学科学学院 2014～2015 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 1. （本题共 48 分，每小题 6 分）计算下列各题 (1)设 ( )ln( ) 2 2 2 2 z x y x y ，求 xy z 。 (2)解方程 2 xy y x 。 (3)求函数 u xy zx yz 在点(1,1,1)处沿方向 l (1,2,2) 的方向导数。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(4)求函数u=x2+y2+z2在条件x+2y+3z=14(x,y,z≥0)下的极值 (5)计算∫(x+y)d,其中D:x2+y2s2y (6)讨论级数∑2,的收敛性 (7)计算(x+y2)d+ydhx+zdh,其中∑为曲面z=x2+y2(0≤=≤1)的下侧
2 (4)求函数 2 2 2 u x y z 在条件 x 2y 3z 14 (x, y,z 0) 下的极值。 (5)计算 D （x y)dxdy ，其中 D : x y 2y 2 2 。 (6)讨论级数 2 2 1 ln n n n 的收敛性。 (7)计算 (x y )dydz 2yzdzdx zdxdy 2 ，其中 为曲面 (0 1) 2 2 z x y z 的下侧
(8)求幂级数 n,37x”的收敛半径与收敛区间 2.(本题共8分)设f可微,证明曲面Σ:f(三,x,2)=0上任意一点处的切平面过某 个定点。 3.(本题共8分)求(x+3y2),其中r:{+y+=2=a2 (a>0)。 x+y+==0
3 (8)求幂级数 1 3 1 n n n x n 的收敛半径与收敛区间。。 2.（本题共 8 分）设 f 可微，证明曲面 ( , , ) 0 x y z x y z ：f 上任意一点处的切平面过某 个定点。 3.（本题共 8 分）求 (x 3y )ds 2 ，其中 ( 0) 0 : 2 2 2 2 a x y z x y z a
4.(本题共10分)设:x+y2+=2=1(=20),点P(xyeE,m是E在点P处 的切平面,4(xy)为原点到∏的距离,求xy2 5.(本题共10分)设f(x)在(0+∞)上有连续导数,且f(1)=,曲线积分 ∫(f(x)+2x)+g(x)+y2)在右半平面(x>0)与路径无关 (1)求f(x)的表达式;(2)设在右半平面的有向曲线L的起点为(10),终点为(2,3), 试计算上述曲线积分
4 4.（本题共 10 分）设 1 ( 0) 2 2 : 2 2 2 z z x y ，点 P(x, y,z)， 是 在点 P 处 的切平面， d(x, y,z) 为原点到 的距离，求 dS d x y z z ( , , ) 。 5.（本题共 10 分）设 f (x) 在 (0,) 上有连续导数，且 2 1 f (1) ，曲线积分 L ( yf (x) 2x)dx (xf (x) y )dy 2 2 在右半平面 (x 0) 与路径无关。 (1)求 f (x) 的表达式；(2)设在右半平面的有向曲线 L 的起点为 (1,0) ，终点为 (2,3)， 试计算上述曲线积分
6.(本题共8分)设f(x)= 1,x∈[-x,0) 求其 Fourier级数及 Fourier级数的和 x,x∈[0,x) 函数S(x),并计算S(4x)
5 6.（本题共 8 分）设 , [0, ) 1, [ ,0) ( ) x x x f x ,求其 Fourier 级数及 Fourier 级数的和 函数 S(x) ,并计算 S(4 )
7.(本题共8分)设{a}为正数列(an>0n=12…),∑a发散、,记S=∑a, 证明:(1) 发散;(2) 收敛(p>1) 6
6 7.（本题共 8 分）设 { } an 为正数列 (a 0,n 1,2, ) n ， n1 an 发散，记 n k Sn ak 1 ， 证明：（1） n1 n n S a 发散； （2） n1 p n n S a 收敛 ( p 1) 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 ）