复旦大学数学科学学院 2013~2014学年第一学期期末考试试卷 《高等数学A》(上)A卷试题答案 1.(本题满分48分,每小题6分)(1)Smmx)-omx):(2)1 (3)在[e2]上单调增加,在(0,1和[e2,+∞)上单调减少。f(1)=0极小值, f(e2)=极大值:(4)(0.0:(5),sm(2e)+C;(6) 100 (7)可逆,A1-11 220:(8)a≠1且b≠0。 ⌒装订线内不要答题 x∈[0,1) 2.(本题满分8分)F(x)= 2 F(x)在x=1点不可导。 3r∈[l2 3.(本题满分8分)(1)y=4x-3(0,-3)点)y=-2x+6((3,0)点) (2) 9 4.(本题满分8分)a<二1时无实根:a=-1时有一个实根:-1<a<0时有两 个实根:a≥0时有一个实根。 5.(本题满分8分)(1)f(x)=e(x2+2x-2); (2)极大值为∫(-4)=6e-,极小值为f(0)=-2。 6.(本题满分10分)(1)a=-3,b=0,所对应的特征值为-1 (2)不能对角化。 7.(本题满分10分)(1) sIn x 01+cos2x√2 30 1+cos x dx=(y2-1)π (2)取n=x|,则
复旦大学数学科学学院 2013～2014 学年第一学期期末考试试卷 《高等数学 A》（上）A 卷试题答案 1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） 2 sin(ln ) cos(ln ) x x x ；（2） 6 1 ； （3）在 [1, e ] 2 上单调增加，在 (0, 1] 和 [e , ) 2 上单调减少。 f (1) 0 极小值， 2 2 e 4 f (e ) 极大值；（4） (0, 0) ；（5） C x sin(2e ) 2 1 ；（6） 2 1 ； （7）可逆， 3 1 3 1 0 0 2 1 2 1 1 0 0 1 A ；（8） a 1 且 b 0。 2．（本题满分 8 分） , [1, 2]. 3 2 , [0, 1), 3 1 ( ) 2 3 x x x x F x F(x) 在 x 1 点不可导。 3．（本题满分 8 分）（1） y 4x 3 （ (0, 3) 点） y 2x 6 （ (3, 0) 点）； （2） 4 9 。 4．（本题满分 8 分） e 1 a 时无实根； e 1 a 时有一个实根； 0 e 1 a 时有两 个实根； a 0 时有一个实根。 5．（本题满分 8 分）（1） f (x) e ( 2 2) 2 x x x ； （2）极大值为 4 ( 4) 6e f ，极小值为 f (0) 2。 6．（本题满分 10 分）（1） a 3，b 0，ξ 所对应的特征值为1 ； （2）不能对角化。 7．（本题满分 10 分）（1） 2 π 1 cos π 1 0 2 dx x ， ( 2 1)π 1 cos π sin 0 2 2 dx x x ； （2）取 π x n ，则 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
dt dt+ d t 0 1+cos- t (k-l)z 1+cos-t At 1+cos-t 于是 dt (n+1)兀 01+coS 同理 d≤(2-1)n+1)兀。 0 1+cos-t 于是 sIn 1(2-√2)≤°1+ost≤n+1 n 令x→+∞便得结论
n k x k k k x dt t dt t dt t 1 π 2 π ( 1)π 2 0 2 1 cos 1 1 cos 1 1 cos 1 ， 于是 2 ( 1)π 1 cos 1 2 π 0 2 n dt t n x 。 同理 ( 2 1)( 1)π 1 cos sin ( 2 1) π 0 2 2 dt n t t n x 。 于是 (2 2) 1 1 cos 1 1 cos sin (2 2) 1 0 2 0 2 2 n n dt t dt t t n n x x ， 令 x 便得结论