复旦大学数学科学学院 2011~2012学年第二学期期末考试试卷 《高等数学A》(下)试题(答案) (本题满分42分,每小题7分)(1)1x+x-):(2)x:(3) (4) 4za;(5)(1+x)e 1,x∈(-0,+∞);(6)y=xC+lnx 2.(本题满分8分)在点 b C d2+ba'd+b+c2a2+b22取最小值 a2+b2+c 3.(本题满分10分)4=-1,(x,y)=- arctan2+C ⌒装订线内不要答题 4.(本题满分10分)2r(e2-1) 5.(本题满分10分)(1)yn(x) (n=2.3.…) n(n+1) (2)级数∑y(O)hn收敛 6.(本题满分12分)(1)f(x)-2+2∑n0csmx s sin 2np (2) ,sinn=-o( 7.(本题满分8分)证对于Σ上任一点P(x0,y0,),∑1在P点处的切平面∏ 的方程为 2x0x+2yy-R+(R2-x2-y2)=0。 ∏l与∑2的交线为 2x0x+2y0y-R+(R2-x2-y2)=0, 它在Oxy平面的投影曲线为 x-x C-yo R 0
复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第二学期期末考试试卷 《高等数学 A》（下）试题（答案） 1．（本题满分 42 分，每小题 7 分）（1） 2 2 4 2 1 x y xdy ydx x y x y ；（2） 3 ；（3） 6 3 h ； （4） 4 3 4 a ；（5） (1 ) 1 x x e ， x(, ) ；（6） 2 4 ln 2 1 y x C x 。 2．（本题满分 8 分）在点 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , a b c c a b c b a b c a 取最小值 2 2 2 1 a b c 。 3．（本题满分 10 分） 1， C x y u x y 2 ( , ) arctan 。 4．（本题满分 10 分） 2 ( 1) 2 e 。 5．（本题满分 10 分）（1） ( 1) 1 1 1 1 ( ) 1 n n x n x n y x n n n （ n 2, 3, ）。 （2）级数 2 (0)ln n yn n 收敛。 6．（本题满分 12 分）（1） 1 cos 2 sin ( ) ~ n nx n n f x ； （2） 2 sin 2 n 1 n n ， ( ) 2 sin 1 1 2 2 n n n 。 7．（本题满分 8 分）证 对于 1 上任一点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z ，1 在 P0 点处的切平面 0 的方程为 2 2 ( ) 0 2 0 2 0 2 x0 x y0 y Rz R x y 。 0 与 2 的交线为 , 2 2 ( ) 0, 2 2 2 0 2 0 2 0 0 Rz x y x x y y Rz R x y 它在 Oxy 平面的投影曲线为 0. ( ) ( ) , 2 2 0 2 0 z x x y y R （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
记这个投影曲线所围区域为D,则平面∏。与曲面Σ2所围立体的体积为 (2x+210-x8-y2+R)-(x2+y2)h R2-(x-xo)2-(y-yo )? kxdy 作变量代换 x=xo +rcos8, y=yo +rsin 8 则D对应于D1={(;,0)|0≤0≤2,0≤r≤R},于是 Y=R∥(R2-r2)bh1 de(r2-r2)rdr=rk 这说明平面∏与曲面Σ2所围立体的体积与点P(x0,y0,=0)的位置无关
记这个投影曲线所围区域为 D ，则平面 0 与曲面 2 所围立体的体积为 ( ) ( ) . 1 ( ) 1 (2 2 ) 1 2 0 2 0 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0 D D R x x y y dxdy R x y dxdy R x x y y x y R R V 作变量代换 x x0 r cos ， y y0 rsin ， 则 D 对应于 D1 (r,) 0 2, 0 r R ，于是 3 0 2 2 2 0 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) 1 1 d R r rdr R R R r rdrd R V R D 。 这说明平面 0 与曲面 2 所围立体的体积与点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 的位置无关
