复旦大学数学科学学院 2007~2008学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称:二高等数学A(上) 课程代码:-MATH120001 开课院系:-数学科学学院-----考试形式 闭卷 姓名 学号: 专业 题号1 2 6 8总分 1.(本题共四小题,每小题5分,共20分) (1)求函数f(x)=e'sin2x的一阶和二阶导函数; (x)=e"(s2+2C53x) f3=∈2(-3元2x+432z (2)设y=y(x)是由方程x-lny=1所确定的隐函数,求y(0); 0·4(2)-n(=1 9*2g =△ cO (3)求不定积分∫,; cos tanx 鲜、原状公如与,元=tnx+c (4)求广义积分 arctan x 解.原公 are乙1+0 x(+ (z-1+z2)4 + ln 4
2.(本题共四小题,每小题5分,共20分) (1)求矩阵A=21101的秩; A o 0 2 乎-=行线生天 水kA (2)设 ,求X; 11 x=(2)(2)=5((7 2√2 (3)设dcf为正交阵,求a,b,c,d,e,∫,其中f>0; b 中(+(点+a=1,得a=0 力是+点点+CO=0,得b= /+(c=1,得c 由0++。=1,f>,得了=1,如e+1=2得4=e=D (4)求R中向量5=0在基a1=1,a2=0,a3=1下的坐标向量 返=形书哈,导
3.(本题10分)设m(1-a)2 xe4dx,求, x→0(1+ax fa z加(+ax 十ax x→0 4 4 4.(本题10分)在一个底圆半径为R,高为H的正圆锥体中作内接正圆柱,圆柱 的一个底面位于锥体的底面上,求圆柱体的最大体积。 餅,谈国书的形,利b,则 工=-b=(-)H H V()=zYb=元H(Kr2r2 丫∈(, 3) TC H v(n (之Rr-3 R √()=o时r=3R v"(3R)=(2-6 z兀H≤ R的投大值式 尺 R 在()中V(D了极,1武即果像 V()=2兀RH
5.(本题10分)当a,b为何值时,线性方程组 x1+2x3+2x4 x-2x3+(a-3)x=b无解, 2x1+3x,+ax1+x1=-1 有唯一解,有无穷组解,并在有无穷组解时求出它的通解 浮行秀 11 2之 a-3 b十 o I Q-2 -I a+1,方有解 a=l bt-I rank(A b)+yan anka ooo a-1 b+ 1,b=对作行埃得 t g 6.(本题10分)设A是三阶不可逆的实对称阵,特征值为1,2,,a1=-1和 a2=-2分别是A相应于特征值1,2的特征向量,(1)求λ,(2)求相应于特 征值λ的特征向量,(3)求矩阵A。 因A不这故A=,从= 斜 每(2)()=( b 友将行值0数持( 1⊥⊥ 以物童的星得正牌a 云话 A=a 5
7.(本题10分)设向量组{a1,a2,…,an}是R"的基,其中n>1 B=a,+2a2, B2=2a2+3a3,., Bn-1=(n-D)am-1+nan, B,=nan+a (1)求向量组{月,B2…,Bn}的秩 部说器 c=,即的+)+…+m%+=D 因,“%我性无天,故 c+Cn=D A ncn-tnCn=2 detA=* 勹/+(yy =[|+(n 方奇数时,A#6,4==,=0,,…世 比,x冰(只.…只)=乙 九为易数时,=,故们=方帅游时各“世相天 但和…球性无天,此因去 +)十Q…十Cn[%7+n==0 划 c-+(2n2+…十(n2(4n2+C)m+ncn== 中送摧浮C==…=Cn=6,数m” (2)设“是R上的线性变换,=B,在基{a1=1.2,…,n}下的表示阵为A,求 ramk(A*),其中A*是A的伴随阵 解.(4x…)=(”)=%…的) 务数时m水A=,故mk小=t 儿方数时,rk=1,因此2=2的蒸烈 子含n01=1元,市M=0,小0,改 才刘要动方1,从mkt
8.(本题10分)设水平放置着一根长为L,密度为P的均匀细棒, (1)如在其左端的垂线上与棒相距l处有一质量为m的质点,求棒对质点的引力(设引力 常数为k; 研,取坐系如图,无团A}=kP mpd 45= F2= L√士 5=大mP kmpL (2)如在棒左端的垂线上放置另一根密度为ρ的均匀细棒,其两端与水平放置细棒的距离 分别为L和2L,求两棒间的引力 出上-对付于线的 )4 +9 dF= k +2 F2=大 k厂[m12-1(++2 k产A 2+2 大d kp ln 4,2)=F2 注A用题比社中学生将西楼放要下图代 4,a,淫得(时衫我 分,对计算程结可悔处