大学数学 Apr.2013 第29卷第2期 2013年4月 COLLEGE MATHEMATICS 阶线性微分方程组的一种解法 金路,朱大训 (复旦大学数学科学学院,上海200433) [摘要]利用矩阵知识给出了一阶线性微分方程组的一种用公式表达的解法,其优点在于一方面可以 避免繁琐的复矩阵运算以及求复特征向量的运算,另一方面可以简化求解过程 [关键词]一阶线性微分方程组;特征值;特征向量;复矩阵 [中图分类号]0175,1[文献标识码]C[文章编号]16721454(2013)02008605 1引言 阶线性微分方程组的形式为 dy 其相应的齐次线性微分方程组为 dy 其中 (x) 而a(x)(i=1,2 f(x)(i=1,2,…,n)为已知函数 求解一阶线性微分方程组的方法很多,如消元法、待定系数法、常数变易法、算子法、积分变换法等 等.众所周知,这些方法各有利弊对于具体的方程组,如何选择简便易行的方法求解,却是常见问题 利用矩阵方法解非齐次线性微分方程组江=Ay+f时,常用的方法如下:如果A是可对角化的,则 存在A的n个线性无关的特征向量h1,h2,…,h组成的可逆矩阵 T=(h1,h2,…,h。) 使得(记λ1,k2,…,。为相应的特征值) TAT=diag(A 在=Ay+∫两端左乘r,并记ry=x,T=g,便得到 也就是说,z满足线性微分方程组 dt_(T 22=(T 'AD(T y)+T-f=Az+g g,(x) [收稿日期]2011-0401
第2期 金路,等:一阶线性微分方程组的一种解法 由此可解出x=“(C+(x)“d),其中C是任意常数(=12,从而y=r就是原方程 组的通解 但在实际操作时,常常遇到复特征值的情况,从而在求实值函数的解时,复数运算会带来不必要的 麻烦,求特征向量更增加困难而利用待定系数法,运算过程也比较繁琐,因此寻找简便易行的方法,在 教学实践和实际应用中很有必要 2解法的理论基础 引理1齐次线性微分方程组 的通解为 C:cosBr-Ca sinAr 其中C1,C2是任意常数 直接验证便可得这个引理 定理1设实矩阵A=()的复特征值为土识(0,记“=(0) ,V-B(A-al)u, T=(u,v) 则齐次线性微分方程一y的通解为y一其中:是齐次线性微分方出一(=的通解即 aC: cosp.:sinAr 其中C1,C2是任意常数 正32的实+(C的有一对其复值主(0注,与( 相同的特征值,因此满足 det(a-A)=a2-(a+d)A+ad-bc=det 由此得到a+d=2a,ad-bc=a2+B 进一步,求出相应的实向量对(a,v),满足 A(u, v)=(u,v( (A-al)u-pv=0. jB2+(A-a)2u=0, V=B(A-al)u 注意 2-2a+bc+a2+p2 921+(A-a1)2= (a+d-2a) d-2ad-+bcta+B2 d2-2ad -+bc+ad-bc 00 若c=0,则A是实上三角矩阵,因此A的特征值是实数,与假设矛盾,于是可简单取“=0)
大学数学 第29 记 则T必是可逆矩阵此时AT=T 或TAT= 于是,若z是齐次线性微分方程 的通解,则y=Tz满足 定理2设n(n≥3)阶实矩阵A有一对共轭复特征值a土(的≠0)则由线性方程组 [2I+(A-an)2]a=0, 可解出A的分别对应于特征值a+与a-的实特征向量对(a,y),即a-iy和a+i 证若A( p(-ip),则必有A(a+i)=(a-i9)(a+ip),因此 等价地便是 [2+(A-an)2]u= B(A-al)u 由此可解出对应于a+i9与a-i的实特征向量对(a,v) 由这个定理可以知道,对于一般的齐次线性微分方程组2=Ay(n≥3),当其一对共轭复特征值 时,由线性方程组 V=B(A-al)u 可解出A的对应于特征值a+与a-的实特征向量对(a,v).若A可对角化,则用这样的方法可求出 A的n个线性无关的特征向量进而可求出方程=Ay的解 用常规的方法可求出非齐次线性方程组=Ay+的特解,进而可求出其通解 具体实例 例1求线性微分方程组 =-5y1-y2+7e-27, 的通解 先解齐次线性微分方程组 此时A 的特征值为A 小取-)并解出 所以
第2 线性微分方程组 令z=Ty,则 出-(1 1-4/x.于是:=(Cx-Csn Cisinr+Cosr e4,所以齐次线性微分方程组的通 解为 2C sinx+2C 再解非齐次线性微分方程组,由于1不是A的特征值,则设一个特解为{y=a+b 代入原方程 =ce+d 得特解y=/e-93 于是原方程的通解为 例2求线性微分方程组 -75y1-45y2-19y3-4x+10e cosr +8e sint, 74y1+4 的通解 det(A-Al)=-(A-2 此A的特征值为A=2,1±i 由(A-2)x= 0,解得 2|.注意 B2I+( +-75 可得出一个解u=( 4),且 75 于是 4满足AT=T
第29卷 大学数 200 解得 令z=Ty,g=Tf,则 Ze sinz 2-Cecosr-Cesinz+I e'sinr Chel Ce cosr-Cae sin 46JC:e'sinx+Ce’cosx e’cosx Ce+Ce(-2cosr+sinr)+C e(sinr+cosr) 2C,"+C,"(5cosx-4sinr)-Ce(sinr+4cos) Cie"+Ce(-4cosx+6sinr)+C,e(4sinr+6cosr) -r2-2esinr te"cosr 2x+1-+5e sinr-4ecosr r-a-4e sinr+ecos.r 考文献] [1]金路,童裕孙,於崇华,张万国.高等数学[M].3版,北京:高等教育出版社,200 [2]伍卓群、李勇.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2004 [3] Leon S J. Linear algebra with applications[ M.7版.北京.机械工业出版社,2007 A Solution to the Systems of First-order Linear Differential Equations JIN Lu, ZHU Da-xun (School of Mathematical Sciences, Fudan University, Shanghai 200433, China) Abstract: A solution to the systems of first-order linear differential equations is obtained. The key point of this solution is that it can avoid the complicated computation of complex matrix and complex eigenvectors: furthermore, it can simplify the processes of finding the solution Key words: first-order linear differential equations: eigenvalue; eigenvector; complex matrix
