复旦大学：《高等数学》课程练习题（线性代数）_特征值与特征向量练习题

特征值与特征向量练习题 §1特征值与特征向量 1.求下列矩阵的特征值及对应的特征向量: (1)0 (2)|-10 002 2.求n阶矩阵A= ‖的特征值(a≠0)。 74 已知12是矩阵47-1的特征值,求 4.已知3阶矩阵A的三个特征值为1,-2,3 (1)求|A|; (2)求A-和A'的特征值 (3)求A2+2A+I的特征值 5.已知n阶方阵A满足(A+D)=O,求A 6.已知方阵A满足242-3-5I=0,证明2A+I可逆。 7.设4阶方阵A满足|√2r+A=0,A4=21,|Ak0,求A的伴随矩阵A的 个特征值。 8.设矩阵ab0的特征值为1,2,3,求a,b。 42 9.已知矩阵A=a1b有三个线性无关的特征向量,间a与b应满足何种关 系?

特征值与特征向量练习题 §1 特征值与特征向量 1．求下列矩阵的特征值及对应的特征向量： （1）            0 0 2 0 1 2 1 1 3 ； （2）                 1 1 0 1 0 1 0 1 1 。 2．求 n 阶矩阵                1 1 1        a a a a a a A 的特征值（ a  0 ）。 3．已知 12 是矩阵              4 4 4 7 1 7 4 1 a 的特征值，求 a。 4．已知 3 阶矩阵 A 的三个特征值为 1， 2 ，3。 （1）求 | A| ； （2）求 1 A 和 * A 的特征值； （3）求 A  2A I 2 的特征值。 5．已知 n 阶方阵 A 满足 A  I  O k ( ) ，求 | A|。 6．已知方阵 A 满足 2 3 5 0 2 A  A I  ，证明 2A I 可逆。 7．设 4 阶方阵 A 满足 | 2I  A| 0，AA  2I T ，| A| 0 ，求 A 的伴随矩阵 * A 的 一个特征值。 8．设矩阵            4 2 1 0 1 1 0 a b 的特征值为 1，2，3，求 a，b 。 9．已知矩阵            1 0 0 1 0 0 1 A a b 有三个线性无关的特征向量，问 a 与 b 应满足何种关 系？

10.已知=-1是矩阵A=2ba的一个特征向量,求a,b和5对应的特 (2 征值 11.已知=-2是A=-4-1a的特征值,a=c是A的特征值入对 b2-2 应的特征向量,求a,b,c,A0的值。 12.设3阶矩阵A的特征值为-1,0,1,与之对应的特征向量分别为 3.a+2 l,a+1) 若还有a+18|=0,求a与A 13.设A=121|是可逆矩阵,a=(1,b,D是4的伴随矩阵A的特征向量, 且是a对应的特征值,求a,b,4 14.已知3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,求矩 (2A 的特征值 15.设A是n阶矩阵,且每行元素之和均为a。证明 (1)λ=a是A的特征值,(,1,…,1)是对应的特征向量; (2)当A可逆且a≠0时,分别求A和2A-3A的各行元素之和。 16.设A是对合矩阵,即满足A2=I的方阵。证明: (1)A的特征值只能是1或-1; (2)若A的特征值全为1,则A=I。 17.已知4阶矩阵A=(a,)有二重特征值0,且1是A的单重特征值,求A的特 征多项式|A- 18.设A=(an)是n阶方阵。证明:若A的每行元素的绝对值之和小于1,则A的 特征值的模小于1 19.设n阶矩阵A=(an)的特征值为A,2,…,λ,证明

10．已知             2 1 1 ξ 是矩阵            1 3 2 2 1 2 a A b a 的一个特征向量，求 a，b 和 ξ 对应的特 征值。 11．已知   2 是               2 2 4 1 3 1 0 b A a 的特征值，             2 1 a c 是 1 A 的特征值 0 对 应的特征向量，求 a，b ，c，0 的值。 12．设 3 阶矩阵 A 的特征值为1，0，1，与之对应的特征向量分别为 T (a, a 3, a 2) a1    ， T (a 2, 1, a 1) a2     ， T (1, 2a, 1) a3   。 若还有 0 0 3 3 25 0 1 8 5 8     a a a ，求 a 与 A 。 13．设            1 1 a 1 2 1 2 1 1 A 是可逆矩阵， T a  (1, b, 1) 是 A 的伴随矩阵 * A 的特征向量， 且  是 a 对应的特征值，求 a，b ， 。 14．已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，2，求矩阵           * 1 1 ( ) 2 O A A O 的特征值。 15．设 A 是 n 阶矩阵，且每行元素之和均为 a 。证明： （1）   a 是 A 的特征值， T (1, 1,  , 1) 是对应的特征向量； （2）当 A 可逆且 a  0 时，分别求 1 A 和 2A 3A 1   的各行元素之和。 16．设 A 是对合矩阵，即满足 A  I 2 的方阵。证明： （1） A 的特征值只能是 1 或1 ； （2）若 A 的特征值全为 1，则 A  I 。 17．已知 4 阶矩阵 ( ) A  aij 有二重特征值 0，且 1 是 A 的单重特征值，求 A 的特 征多项式 | A I |。 18．设 ( ) A  aij 是 n 阶方阵。证明：若 A 的每行元素的绝对值之和小于 1，则 A 的 特征值的模小于 1。 19．设 n 阶矩阵 ( ) A  aij 的特征值为   n , , , 1 2  ，证明：

> 20.设A是n阶矩阵。证明:若每个非零n维列向量都是A的特征向量,则A是 数量矩阵,即A=Mn(k是数) 21.(1)设A是mxn矩阵,B是nxm矩阵,且m≥n。证明: 石m-AB=|Mn-B4|; (2)设a1(i=1,2,…,n,n≥3)为实数,满足a1+a2+…+an=0,求矩 阵 1a,a+1 a A=/a2a1+1 a2 +1 a2a,+l a,a,+l a,a,+l 的特征值 21.设A=-b0a,证明A+(a2+b2+c)4=0。 0 §2方阵的相似化简 1.判断下列矩阵是否能与对角矩阵相似。若相似,求出可逆矩阵P,使得PAP 为对角矩阵: (1)A=020 (2)A=010。 413 2.设 100 110 101 A1=010 011 A2=010 005 (1)说明A,A2和A3有相同特征值 (2)判别A,A2和A3之间的相似关系 200 100 3.设方阵A=2x2与B=020相似,求x,y。 311 00 4.已知3阶方阵A有特征值1,1,3,与之相对应的特征向量分别为 a1=(2,1,0),a2=(-1,0,1),a3=(0,1,1)y

      n i n j ij ji n i i a a 1 1 1 2  。 20．设 A 是 n 阶矩阵。证明：若每个非零 n 维列向量都是 A 的特征向量，则 A 是 数量矩阵，即 n A  kI （ k 是数）。 21．（1）设 A 是 mn 矩阵， B 是 nm 矩阵，且 m  n 。证明： | I  AB| | I  BA|  n m n  m   ； （2）设 i a （ i 1, 2,  , n，n  3 ）为实数，满足 a1  a2  an  0 ，求矩 阵                         1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a        A 的特征值。 21．设               0 0 0 c a b a b c A ，证明 A  (   )A  O 3 2 2 2 a b c 。 §2 方阵的相似化简 1．判断下列矩阵是否能与对角矩阵相似。若相似，求出可逆矩阵 P ，使得 P AP 1 为对角矩阵： （1）              4 1 3 0 2 0 2 1 1 A ； （2）             0 0 1 0 1 0 1 1 2 A 。 2．设            0 0 5 0 1 0 1 0 0 A1 ，            0 0 5 0 1 1 1 1 0 A2 ，            0 0 5 0 1 0 1 0 1 A2 。 （1） 说明 A1， A2 和 A3 有相同特征值； （2） 判别 A1， A2 和 A3 之间的相似关系。 3．设方阵            3 1 1 2 2 2 0 0 A x 与            0 0 y 0 2 0 1 0 0 B 相似，求 x， y 。 4．已知 3 阶方阵 A 有特征值 1，1，3，与之相对应的特征向量分别为 T (2, 1, 0) a1  ， T ( 1, 0, 1) a2   ， T (0,1,1) a3 

求矩阵A。 5.已知3阶方阵A有特征值1,2,3,与之相对应的特征向量分别为 (1,1,1) (12,4),a23=(1,3,9)。 设b=(1,1,3) (1)将b用a1,a2,a3线性表示 (2)求A"b(n≥1) 6.已知ξ=1是矩阵A=5a3的特征向量。 (1)求a,b及ξ所对应的特征值 (2)问A是否能对角化? 4k+1 7.已知0是矩阵A=-k2k的特征值。 (1)求k的值;(2)问A能否对角化? 8.已知矩阵A=a4b有3个线性无关的特征向量,且元=2是A的二重 特征值。 (1)求a,b的值; (2)求可逆矩阵P使得PAP为对角矩阵。 00 9.设B=010。若矩阵A与B相似,求rank(A-2D)+rak(4-D。 100 已知A=82a相似于对角矩阵A,求常数a,并找出可逆矩阵P,使 得P 100 11.已知A=001,B=0 0,试判断A与B是否相似,若相似 010 0-62 求出可逆矩阵P,使得B=P-AP 12.设A=020,求A0 13.设0<P,q<1,x=0.5,yo=0.5。数列{xn}和{yn}满足 =(1-P)xn+ yuI=px,+(1-q)y 求数列{xn}和{yn}的通项公式

求矩阵 A 。 5．已知 3 阶方阵 A 有特征值 1，2，3，与之相对应的特征向量分别为 T (1, 1, 1) a1  ， T (1, 2, 4) a2  ， T (1, 3, 9) a3  。 设 T b  (1, 1, 3) 。 （1） 将 b 用 1 a ，a2 ， 3 a 线性表示； （2） 求 A b n （ n  1 ）。 6．已知             1 1 1 ξ 是矩阵               1 2 5 3 2 1 2 b A a 的特征向量。 （1）求 a，b 及 ξ 所对应的特征值； （2）问 A 是否能对角化？ 7．已知 0 是矩阵                4 1 2 2 4 1 2 k k k A 的特征值。 （1）求 k 的值；（2）问 A 能否对角化？ 8．已知矩阵               3 3 5 4 1 1 1 A a b 有 3 个线性无关的特征向量，且   2 是 A 的二重 特征值。 （1） 求 a，b 的值； （2） 求可逆矩阵 P 使得 P AP 1 为对角矩阵。 9．设            1 0 0 0 1 0 0 0 1 B 。若矩阵 A 与 B 相似，求 rank (A 2I)  rank (A I) 。 10．已知            0 0 6 8 2 2 2 0 A a 相似于对角矩阵 Λ ，求常数 a ，并找出可逆矩阵 P ，使 得 P AP  Λ 1 。 11．已知            0 1 0 0 0 1 2 0 0 A ，              0 6 2 0 1 0 1 0 0 B ，试判断 A 与 B 是否相似，若相似， 求出可逆矩阵 P ，使得 B P AP 1  。 12．设               2 1 1 0 2 0 1 2 0 A ，求 100 A 。 13．设 0  p, q 1， x0  0.5 ， y0  0.5 。数列 { }n x 和 { }n y 满足            (1 ) , (1 ) , 1 1 n n n n n n y px q y x p x qy n  0,1, 。 求数列 { }n x 和 { }n y 的通项公式

14.设A,B都是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA相似 15.已知n阶方阵A满足A2-5A+6/=O,证明:A可对角化 设A,B,C,D都是n阶矩阵。证明:若A与B相似,C与D相似,则 17.设A,B,C都是n阶矩阵,且A,B各有n个不同特征值。记f(4)=A- 为A的特征多项式。证明:若f(B)可逆,则 相似于对角矩阵,其中O为n阶零矩阵。 18.设A,B都是n阶非零矩阵,且A2+A=O,B2+B=O,AB=O与BA=O 至少有一个成立。证明:(1)λ=-1必是A和B的特征值 (2)若a1,a2分别是A和B对应于-1的特征向量,则a1,a2线性无关

14．设 A ， B 都是 n 阶矩阵，且 A 可逆，证明 AB 与 BA 相似。 15．已知 n 阶方阵 A 满足 A 5A 6I  O 2 ，证明： A 可对角化。 16．设 A ，B ，C ，D 都是 n 阶矩阵。证明：若 A 与 B 相似， C 与 D 相似，则         C A 与         D B 相似。 17．设 A ，B ，C 都是 n 阶矩阵，且 A ，B 各有 n 个不同特征值。记 f () | A I | 为 A 的特征多项式。证明：若 f (B) 可逆，则          O B A C M 相似于对角矩阵，其中 O 为 n 阶零矩阵。 18．设 A ，B 都是 n 阶非零矩阵，且 A  A  O 2 ，B  B  O 2 ，AB  O 与 BA  O 至少有一个成立。证明：（1）   1 必是 A 和 B 的特征值； （2）若 1 a ，a2 分别是 A 和 B 对应于1 的特征向量，则 1 a ，a2 线性无关