“牧童”经济模型 这个模型是制度经济学家非常熟悉的。它说明了,如果一种资源没有适当的 管理,就会导致对这种资源的过渡使用。 假设一个牧场有n个牧民,他们共同拥有一片草地,并且每个牧民都有在草 地上放牧的自由。每年春天,他们都要决定养多少只羊。我们记x为第i个牧民 饲养的羊数,那么x∈[0,+∞)(i=1,2,…,n)。设V表示每只羊的平均价值,显 然我们可以将V看作总羊数 的函数,即v=I(X)。因为一只羊至少需要一定数量的草才不至于饿死,所以 这片草地上所能饲养羊的数目是有限的。设X为这个最大数量,显然,当 x0;而当X≥Xm时,可以认为(X)=0。注意到随着羊 的总数的不断增加,羊的价值就会不断下降,并且总数增加得越快,价值也下降 得越快,因此在这个模型里可以假定 0, 其变化趋势如下图所示。 X 在这个模型里,我们认为每个牧民都会根据自己的意愿选择饲养的数目以最 大化自己的利润。假设购买一只羊羔的价值为c,那么第i个牧民将得到的利润 为 P(x1,x2…xn)=x(X)-xC=xFC∑x)-x,1=12,…n 于是他要取得最大利润,羊的数目必须满足下面的一阶最优化条件 a,s(x)+xy'(X)-c=0,i=1,2…,n。 即每个牧民取得最大利润的羊的数目(最优饲养量)x1(i=12…,n)必是这个 方程组的解,称之为最优解。这个方程说明:最优解满足边际收益等于边际成本 另一方面也说明了,增加一只羊有正负两方面的效应,正的效应是这只羊本身的 价值(X),负的效应是这只羊的增加使在它之前已有的羊的价值减少(因为 xV(X)<0) 从一阶最优化条件还可以看出,第i个牧民饲养的最优饲养量x1是受其他牧 民的饲养数目影响的,这也符合实际情况,因此可以认为这样的x是
“牧童”经济模型 这个模型是制度经济学家非常熟悉的。它说明了，如果一种资源没有适当的 管理，就会导致对这种资源的过渡使用。 假设一个牧场有 n 个牧民，他们共同拥有一片草地，并且每个牧民都有在草 地上放牧的自由。每年春天，他们都要决定养多少只羊。我们记 i x 为第 i 个牧民 饲养的羊数，那么 [0,) i x （ i 1,2, ,n ）。设 V 表示每只羊的平均价值，显 然我们可以将 V 看作总羊数 n i i X x 1 的函数，即 V V(X) 。因为一只羊至少需要一定数量的草才不至于饿死，所以 这片草地上所能饲养羊的数目是有限的。设 X max 为这个最大数量，显然，当 X X max 时， V(X) 0 ；而当 X X max 时，可以认为 V(X) 0 。注意到随着羊 的总数的不断增加，羊的价值就会不断下降，并且总数增加得越快，价值也下降 得越快，因此在这个模型里可以假定 0, 0 2 2 dX d V dX dV 。 其变化趋势如下图所示。 在这个模型里，我们认为每个牧民都会根据自己的意愿选择饲养的数目以最 大化自己的利润。假设购买一只羊羔的价值为 c ，那么第 i 个牧民将得到的利润 为 P x x x x V X x c x V x xi c i n n i i n i i i i ( , , , ) ( ) ( ) , 1,2, , 1 1 2 。 于是他要取得最大利润，羊的数目必须满足下面的一阶最优化条件 （*） V X x V X c i n x P i i i ( ) ( ) 0, 1,2,, 。 即每个牧民取得最大利润的羊的数目（最优饲养量） i x （ i 1,2, ,n ）必是这个 方程组的解，称之为最优解。这个方程说明：最优解满足边际收益等于边际成本。 另一方面也说明了，增加一只羊有正负两方面的效应，正的效应是这只羊本身的 价值 V(X) ，负的效应是这只羊的增加使在它之前已有的羊的价值减少（因为 i x V(X) 0 ）。 从一阶最优化条件还可以看出，第 i 个牧民饲养的最优饲养量 i x 是受其他牧 民的饲养数目影响的，这也符合实际情况，因此可以认为这样的 i x 是 V O X max X
1)的函数,即 x2=x1(x1,…,x-1,x 通常也称它为反应函数。那么在一阶最优化条件中对x,(j≠1)求导得 V(X ax x, y( 1|= 因此 X, 即个人最优饲养量的总和大于整个牧场的最优饲养量。它说明了在没有管理的情 况下公有草地有可能被过度使用。这就是没有管理的公共资源的悲剧( Tragedy of Commons) 公共资源的过度使用常常会导致严重的后果。 “牧童”经济出典于中世纪的英格兰的一段历史。当时是畜牧业鼎盛时期, 到处是茂盛的草场和成群的牛羊,这时当局公布了一条法令:“公共牧地为一般 公众自由使用”。法令公布之后,牧场上的饲养量大增。道理很简单,牧场是公 共地,放牧的收益却归牧民所有。于是牧民为了获得更多的收益,无限制地扩大 其放牧的牛羊数,结果不仅青草被一扫而光,连草根也被啃得一干二净。这样 来,牧场成了荒漠。 “牧童”经济模型仍有其现实意义。海洋鱼类的过度捕捞,森林的乱砍滥伐, 大气污染等问题,都是这个模型的例子
x ( j 1,2, ,n, j i) j 的函数，即 ( , , , , , ) i i 1 i 1 i 1 n x x x x x x ， 通常也称它为反应函数。那么在一阶最优化条件中对 j x （ j i ）求导得 ( ) 1 ( ) ( ) 1 0 j i i j i j i x x x V X x x V X x x V X 。 因此 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) V X x V X V X x V X x x i i j i 。 这说明了第 i 个牧民最优饲养量 i x 是随其它牧民饲养的数目的增加而减少。 解方程组（*）就得到每个牧民的最优饲养量 xi , i 1,2, ,n * 。注意，以上 的计算都是关于 i x 来考虑的，也就是说，这样得到的最优数目 * i x 是在以下情况 下得到的：每个牧民在决定增加饲养量时尽管考虑了对现有羊的价值的负效应， 但他考虑的只是对自己的羊的影响，而不是对所有羊的影响。因此这样得到的个 人最优饲养量的总和 n i i X x 1 * * 并不一定是整个牧场的总体最优饲养量。事实上，整个牧场获取的最大利润是以 下函数 XV(X) Xc 的最大值，它的一阶最优化条件为 V(X) XV(X) c 0。 设 ** X 为使整个牧场获取最大利润所饲养的羊的数目，即整个牧场的最优饲养 量。那么 ( ) ( ) 0 ** ** ** V X X V X c 。 将（*）中的 n 个式子相加，得到 ( ) ( ) 0 * * * V X c n X V X 。 以上两个式子相比较，利用 V(X) 和 V(X) 的单调减少性质就得到 * ** X X ， 即个人最优饲养量的总和大于整个牧场的最优饲养量。它说明了在没有管理的情 况下公有草地有可能被过度使用。这就是没有管理的公共资源的悲剧（Tragedy of Commons）。 公共资源的过度使用常常会导致严重的后果。 “牧童”经济出典于中世纪的英格兰的一段历史。当时是畜牧业鼎盛时期， 到处是茂盛的草场和成群的牛羊，这时当局公布了一条法令：“公共牧地为一般 公众自由使用”。法令公布之后，牧场上的饲养量大增。道理很简单，牧场是公 共地，放牧的收益却归牧民所有。于是牧民为了获得更多的收益，无限制地扩大 其放牧的牛羊数，结果不仅青草被一扫而光，连草根也被啃得一干二净。这样一 来，牧场成了荒漠。 “牧童”经济模型仍有其现实意义。海洋鱼类的过度捕捞，森林的乱砍滥伐， 大气污染等问题，都是这个模型的例子