复旦大学：《高等数学》课程练习题（线性代数）_矩阵与行列式练习题

矩阵与行列式练习题 §1向量与矩阵 1.设A=1 101 (1)计算AB,BA。问AB=BA是否成立? (2)计算(AB),AB。问(AB)=AB是否成立? 363 2.设a,b为3维列向量,且mb=1-2-1,求ab。 1020 3.若(,0,6,x 0100/≈(16.0),求x 0010 设(0)=x2-5x+3,4=(-33),求( 5.设A=a2a2…a d2 a (1)求AD和DA; (2)若D满足d≠d,(1,j=12…n,且1≠j),证明与D相乘可交换的方阵 必是对角矩阵。 6.设A是方阵。若A=A,则称A是对称矩阵。若A1=-A,则称A是反对 称矩阵。 (1)设A,B是对称矩阵,证明:AB+BA是对称矩阵,AB-BA是反对称矩 阵 (2)设A,B是对称矩阵,证明:AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA (3)设A对称矩阵,B是反对称矩阵,证明:AB是反对称矩阵的充要条件是 AB= BA (4)对于任何方阵A,证明:A+A是对称矩阵,A-A是反对称矩阵 (5)证明任何方阵A均可以表成对称矩阵与反对称矩阵之和 7.设A= 求实数a的值,使A00

矩阵与行列式练习题 §1 向量与矩阵 1．设            0 2 1 1 1 0 A ，          1 0 1 1 1 0 B ， （1） 计算 AB ， BA 。问 AB  BA 是否成立？ （2）计算 T (AB) ， T T A B 。问 T T T (AB)  A B 是否成立？ 2．设 a，b 为 3 维列向量，且                2 4 2 1 2 1 3 6 3 T ab ，求 a b T 。 3．若 (1, 6, 1, 0) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 2 0 (1, 0, 6, )                x ，求 x。 4．设 ( ) 5 3 2 f x  x  x  ，            3 3 2 1 A ，求 f (A)。 5．设                n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 A ，                dn d d  2 1 D 。 （1）求 AD 和 DA ； （2）若 D 满足 di  d j （ i, j  1,2,  ,n ，且 i  j ），证明与 D 相乘可交换的方阵 必是对角矩阵。 6．设 A 是方阵。若 A  A T ，则称 A 是对称矩阵。若 A  A T ，则称 A 是反对 称矩阵。 （1）设 A ，B 是对称矩阵，证明： AB  BA 是对称矩阵， AB  BA 是反对称矩 阵； （2）设 A ， B 是对称矩阵，证明： AB 是对称矩阵的充要条件是 AB  BA ； （3）设 A 对称矩阵， B 是反对称矩阵，证明： AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB  BA ； （4）对于任何方阵 A ，证明： T A A 是对称矩阵， T A A 是反对称矩阵； （5）证明任何方阵 A 均可以表成对称矩阵与反对称矩阵之和。 7．设          0 1 1 a A ，求实数 a 的值，使          0 1 1 0 100 A

0100 0010 8.设A= 00a,证明AB= BA 0001 9.设A=111|,求A"(n∈N+) l 10.设A 求A”(n∈N 101 1.1设A=020,求A-2A(n≥2) 12.设A=001,求所有与A相乘可交换的方阵 13.设A,B是n阶方阵,且A=(B+1),证明A2=A的充要条件是B2=Ln。 au al a 14.对于n阶方阵A :,称(4=a1+a2+…+am为A的 迹。证明:(1)对于任何n阶方阵A,B,成立tr(AB)=tr(B4); (2)不存在n阶方阵A,B,满足AB-BA=M(k≠0)。 15证明:若n阶方阵A与B相乘可交换,则A的多项式f(4)与B的多项式g(B) 相乘也可交换 16.设n阶方阵A,B满足A2=-A,B2=-B,且(A+B)2=-A-B,证明: AB=0 2行列式 计算下列行列式 123 0-12 2-x223 0131

8．设                0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A ，                a a b a b c a b c d 0 0 0 0 0 0 B ，证明 AB  BA。 9．设            1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ，求 n A （  n  N ）。 10．设                            1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ，求 n A （  n  N ）。 11．设            1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，求 1 2   n n A A （ n  2 ）。 12．设            0 0 0 0 0 1 0 1 1 A ，求所有与 A 相乘可交换的方阵。 13．设 A ，B 是 n 阶方阵，且 ( ) 2 1 n A  B  I ，证明 A  A 2 的充要条件是 n B  I 2 。 14．对于 n 阶方阵                n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 A ，称  a11  a22  ann tr(A) 为 A 的 迹。证明：（1）对于任何 n 阶方阵 A ， B ，成立 tr(AB)  tr(BA) ； （2）不存在 n 阶方阵 A ， B ，满足 n AB  BA  kI （ k  0 ）。 15．证明：若 n 阶方阵 A 与 B 相乘可交换，则 A 的多项式 f (A) 与 B 的多项式 g(B) 相乘也可交换。 16．设 n 阶方阵 A ， B 满足 A  A 2 ， B  B 2 ，且 A B  A B 2 ( ) ，证明： AB  O。 §2 行列式 1．计算下列行列式： （1） 0 1 3 1 1 0 1 3 0 1 2 1 1 2 1 4  ； （2） 2 2 2 3 1 9 2 3 1 5 1 2 2 3 1 1 2 3 x x   ；

000 00 (3)/a0ab (4)|0-11-aa0 00 b a o y 2.已知312=1,求3x+33y+132+2 3.证明 I sin 2a sin( a+B)sin( a+ sin(B+a) sin 2B sin(B+r=o sin(y +a) sin(y+B) y 4.设A为3阶方阵,且4=8,求A。 5.设A,B是同阶方阵,且A4=I,BB=I,|A|=-|B|,求A+B|。 6.设a=(1,0,-1)2,A=an2,其中a为实数,n为正整数。求|al-A"|。 101 7.已知A=020,若3阶矩阵B满足AB-A-B=l3,求|B|。 8.设n阶实对称矩阵A满足A2+64+81=0,求A+3I。 9.证明 Ix,+a, x2+b*,+b2 x+C,*2+G2*,+C31 x, x2 xI I x2+a, x2+b*2+b2 x3+C *2+C2x2+c31x2x2x 1x+a,x3+bx3+b, x3+G 3+Gx,+G I x, x3 x3 +bx4+b2 x4+Cx4+C,x4+ 10.计算下列行列式(D为n阶行列式) (1) 00 0 o a

（3） 0 0 0 0 a b a b a a a a b a b a ； （4） a a a a a a a a a          0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 。 2．已知 1 1 2 1 3 1 2  x y z ，求 3 6 3 3x  3 3y 1 3z  2 x y z 。 3．证明 0 sin( ) sin( ) sin 2 sin( ) sin 2 sin( ) sin 2 sin( ) sin( )                       。 4．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 8 ，求 2 2 1       A 。 5．设 A ， B 是同阶方阵，且 AA  I T ， BB  I T ，| A |  | B | ，求 | A B |。 6．设 T a  (1, 0, 1) ， T A  aa ，其中 a 为实数， n 为正整数。求 | | n aI  A 。 7．已知             2 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，若 3 阶矩阵 B 满足 3 2 A B  A B  I ，求 | B |。 8．设 n 阶实对称矩阵 A 满足 6 8 0 2 A  A  I  ，求 | A  3I |。 9．证明： 3 4 2 4 4 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 1 2 1 1 2 4 3 2 1 4 3 1 4 2 4 2 4 1 4 2 3 3 2 1 3 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 2 3 2 1 2 3 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 1 1 3 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x a x b x b x c x c x c x a x b x b x c x c x c x a x b x b x c x c x c x a x b x b x c x c x c                          。 10．计算下列行列式（ Dn 为 n 阶行列式）： （1） a a a a Dn 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1          ；

123 345 2 Dn n n 1+a, a2a a11+a2a3 (3)D 00 121 00 000 0 a. t a a2+a10a2 ++0 a ≠0); 0 (6)Dn x 0 0 00a…b (7)D2= 0b0.0 6 0 b00 00a

（ 2 ） 1 2 2 1 1 1 3 2 3 4 5 1 2 2 3 4 1 1 2 3 1        n n n n n n n n n n D n         ； （ 3 ） D n  n nnn a a a a a a a a a a a a a a a a    1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3        ； （ 4 ） D n  0 0 0 1 2 0 0 0 2 1 0 1 2 0 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 0         ； （ 5 ） D n  0 0 0 0 1 2 3 3 1 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 3 1        a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n nnn             （ a 1 a 2  a n  0 ）； （ 6 ） nnnn n x x x x x x x a x x a a x a a a D        1 2 3 1 2 3 3 1 2 23 2 1 12 13 1  ； （ 7 ） b a b a b a a b a b a b D n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2          

11.求方程 =0的根。 31 12.求下面方程的根: 1 X 0 13.证明:n阶行列式 14.证明:若aa2…an≠0,则n阶行列式 an 2 +1+ 15.证明:若snx≠0,则n阶行列式 coSx 2 cosx 1 +1)x 1 2 cOSx 1 2 cos 16.已知n阶矩阵A=(a),记A为an的代数余子式(,j=1,2,…,n)。证明 2 A FalA 17.证明:n+1阶行列式

11．求方程 0 2 3 1 9 2 3 1 5 1 2 2 3 1 1 2 3 2 2    x x 的根。 12．求下面方程的根： 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1      n x x x          。 13．证明： n 阶行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1          n n n n     2 1 ( 1) ( 1) ( 1)      n n n n 。 14．证明：若 a1a2 an  0 ，则 n 阶行列式 n n n n n n a a a a              3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1                        n j j n j j a ja a a 2 1 1 2 1 。 15．证明：若 sin x  0 ，则 n 阶行列式 x x x x 1 2cos 1 2cos 1 1 2cos 1 2cos 1    x n x sin sin( 1)  。 16．已知 n 阶矩阵 ( ) A  aij ，记 Aij 为 ij a 的代数余子式（ i, j  1, 2,  , n ）。证明 2 1,1 1,2 1, 1 21 22 2, 1 11 12 1, 1 | |         n nn n n n n n n a A A A A A A A A A A        。 17．证明： n 1 阶行列式

-b. a -b3 a1b”b a,b2- b2 aa"b,a2b…abb=∏ab-a) ,bmal b 18.证明:n阶行列式 CC 10 19.设D= 求A41+A42+A43 01 211 02 设D 求D中所有元素的代数余子式之和。 00 §3逆阵 1.求下列矩阵的逆阵: 11 520 (1)334 (2) (3) 001 2.求n阶矩阵A= 的逆阵,并求A|中所有元素的代数余子式之和。 3.已知A=022,B=110。若三阶方阵X满足XA=B,求X (1-10 4.已知A=22 C=20。若矩阵X满足AXB=C, 343 31

                          1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 3 3 2 3 2 3 3 1 3 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( ) i j n i j j i n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a b b           。 18．证明： n 阶行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 4 2 3 1 1 3 1 2        n n n n n n n n C C C C C C C C C          。 19．设 2 1 1 0 0 1 1 3 1 2 3 1 1 0 1 0    D  ，求 A41  A42  A43  A44。 20．设 n D        0 0 0 2 2 1 1 1  ，求 Dn 中所有元素的代数余子式之和。 §3 逆 阵 1. 求下列矩阵的逆阵： （1）           2 2 3 3 3 4 1 0 1 ； （2）                     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ； （3）                0 0 1 1 0 0 1 2 2 1 0 0 5 2 0 0 。 2．求 n 阶矩阵                1 1 1 1 1 1     A 的逆阵，并求 | A | 中所有元素的代数余子式之和。 3. 已知              1 1 0 0 2 2 1 1 1 A ，             2 2 1 1 1 0 1 1 1 B 。若三阶方阵 X 满足 XA  B ，求 X 。 4．已知            3 4 3 2 2 1 1 2 3 A ，          5 3 2 1 B ，            3 1 2 0 1 3 C 。若矩阵 X 满足 AXB  C

求X。 5.设n阶方阵A满足A2+A-6Ln=O,证明A,A+Ln和A+4l都可逆,并求 它们的逆阵 6.设A=020,若3阶矩阵B满足B=AB-A2+1,求B 01 7.已知A=-11 3阶矩阵B满足A'B=A-1+2B,求B 1-100 01-10 021 8.设B ,若4阶矩阵A满足 002 000 0002 A(I-CB)C=I,求A。 9.证明:对称矩阵的逆阵还是对称矩阵;反对称矩阵的逆阵还是反对称矩阵, 10.设P是m×n矩阵,且PP可逆。记A=-P(PP)P。证明A是对称 矩阵,且A2=A 11.(1)设A是可逆矩阵,证明:(A-)=(A); (2)设A,B是同阶可逆矩阵,证明:(AB)=B'4 12.设A,B为n阶矩阵,且A2,|B|=-3,求|2AB-1 13.设A的伴随矩阵A 0100,若4阶矩阵B满足 010 0-308 ABA1=BA-1+3,求B 14.设n维向量a=(a,0,…,0,a)(a<0)。记A=n-aa,B=In+-a 若B=A,求a。 15.设a是n维非零列向量,记A=In-aa。证明 (1)A2=A的充分必要条件是aa=1; (2)当aa=1时,A是不可逆矩阵。 16.设A,B,C是n阶矩阵,且A,B可逆,化简矩阵算式 (BC-L)(AB-)+[(BA-)]- 17.设可逆矩阵A的每行元素之和都为a,证明:A的每行元素之和都为a 18.(1)设A是m阶可逆方阵,D是n阶可逆方阵,B是m×n矩阵,C是n×m 矩阵,证明降阶公式:|D‖A- BDCA‖D-CA-B|。 (2)利用等式

求 X 。 5. 设 n 阶方阵 A 满足 A  A 6I n  O 2 ，证明 A ， n A I 和 n A 4I 都可逆，并求 它们的逆阵。 6．设            1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，若 3 阶矩阵 B 满足 B  AB  A  I 2 ，求 B 。 7. 已知               1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ，3 阶矩阵 B 满足 A B A 2B * 1    ，求 B 。 8. 设                   0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 B ，                0 0 0 2 0 0 2 1 0 2 1 3 2 1 3 4 C ， 若 4 阶 矩 阵 A 满 足 A I C B C  I  T T ( ) 1 ，求 A 。 9．证明：对称矩阵的逆阵还是对称矩阵；反对称矩阵的逆阵还是反对称矩阵。 10．设 P 是 mn 矩阵，且 T PP 可逆。记 A I P PP P 1 ( )    T T n 。证明 A 是对称 矩阵，且 A  A 2 。 11．（1）设 A 是可逆矩阵，证明： 1 * * 1 ) ( )   （A  A ； （2）设 A ， B 是同阶可逆矩阵，证明： * * * (AB)  B A 。 12．设 A ， B 为 n 阶矩阵，且 | A | 2，| B | 3 ，求 | 2 | * 1 A B 。 13 ． 设 A 的伴随矩阵                 0 3 0 8 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 * A ， 若 4 阶 矩 阵 B 满 足 ABA BA 3I 1 1     ，求 B 。 14．设 n 维向量 T α  (a, 0,  , 0, a) （ a  0 ）。记 T A  I n  αα ， T n a B I αα 1   。 若 1 B  A ，求 a。 15．设 α 是 n 维非零列向量，记 T A  I n  αα 。证明： （1） A  A 2 的充分必要条件是 α α  1 T ； （2）当 α α  1 T 时， A 是不可逆矩阵。 16．设 A ， B ，C 是 n 阶矩阵，且 A ， B 可逆，化简矩阵算式 1 1 1 ( ) ( ) [( ) ]      T T T n T BC I AB BA 。 17．设可逆矩阵 A 的每行元素之和都为 a ，证明： 1 A 的每行元素之和都为 1 a 。 18．（1）设 A 是 m 阶可逆方阵， D 是 n 阶可逆方阵， B 是 mn 矩阵， C 是 nm 矩阵，证明降阶公式： | || | | || | 1 1 D A BD C A D CA B      。 （2）利用等式

023 A=120 和(1)的结论计算A|。 (3)利用等式 B a2a 11 a,a,+l a,a2+I 和(1)的结论计算|B|。 19.用 Cramer法则解下列线性方程组: 2x1+3x2+1lx3+5x4=6, x1+x2+5x3+2x4=2, 2x1+x2+3x3+4x4=2 x1+x2+3x3+4 20.若线性方程组 X+x+x+ax,= 0, x2+x3+ x1+x2-3x3+x4=0, x1+x2+ax3+bx4=0 有非零解,问a,b应满足什么条件? 21.设a2≠b2,证明线性方程组 bx, =1 ax +b 1, 1, ax,+bxm=l, 1, 1, bx 1, bx, tax=1 有唯一解,并求其解

 n n n n n 1, 2, , 1 1 1 2 1 1 2 3 0 1 2 0 1 0 3 0 2 3                                                              A  ， 和（1）的结论计算 | A |。 （3）利用等式                                                1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1            n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B I I 和（1）的结论计算 | B |。 19．用 Cramer 法则解下列线性方程组：                        3 4 2. 2 3 4 2, 5 2 2, 2 3 11 5 6, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 20．若线性方程组                        0 3 0, 2 0, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x ax bx x x x x x x x x x x x ax 有非零解，问 a，b 应满足什么条件？ 21．设 2 2 a  b ，证明线性方程组                                          1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 n n n n n n n n n n n n bx ax bx ax bx ax bx ax ax bx ax bx ax bx ax bx   有唯一解，并求其解