矩阵与行列式练习题 §1向量与矩阵 1.设A=1 101 (1)计算AB,BA。问AB=BA是否成立? (2)计算(AB),AB。问(AB)=AB是否成立? 363 2.设a,b为3维列向量,且mb=1-2-1,求ab。 1020 3.若(,0,6,x 0100/≈(16.0),求x 0010 设(0)=x2-5x+3,4=(-33),求( 5.设A=a2a2…a d2 a (1)求AD和DA; (2)若D满足d≠d,(1,j=12…n,且1≠j),证明与D相乘可交换的方阵 必是对角矩阵。 6.设A是方阵。若A=A,则称A是对称矩阵。若A1=-A,则称A是反对 称矩阵。 (1)设A,B是对称矩阵,证明:AB+BA是对称矩阵,AB-BA是反对称矩 阵 (2)设A,B是对称矩阵,证明:AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA (3)设A对称矩阵,B是反对称矩阵,证明:AB是反对称矩阵的充要条件是 AB= BA (4)对于任何方阵A,证明:A+A是对称矩阵,A-A是反对称矩阵 (5)证明任何方阵A均可以表成对称矩阵与反对称矩阵之和 7.设A= 求实数a的值,使A00
矩阵与行列式练习题 §1 向量与矩阵 1.设 0 2 1 1 1 0 A , 1 0 1 1 1 0 B , (1) 计算 AB , BA 。问 AB BA 是否成立? (2)计算 T (AB) , T T A B 。问 T T T (AB) A B 是否成立? 2.设 a,b 为 3 维列向量,且 2 4 2 1 2 1 3 6 3 T ab ,求 a b T 。 3.若 (1, 6, 1, 0) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 2 0 (1, 0, 6, ) x ,求 x。 4.设 ( ) 5 3 2 f x x x , 3 3 2 1 A ,求 f (A)。 5.设 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 A , dn d d 2 1 D 。 (1)求 AD 和 DA ; (2)若 D 满足 di d j ( i, j 1,2, ,n ,且 i j ),证明与 D 相乘可交换的方阵 必是对角矩阵。 6.设 A 是方阵。若 A A T ,则称 A 是对称矩阵。若 A A T ,则称 A 是反对 称矩阵。 (1)设 A ,B 是对称矩阵,证明: AB BA 是对称矩阵, AB BA 是反对称矩 阵; (2)设 A , B 是对称矩阵,证明: AB 是对称矩阵的充要条件是 AB BA ; (3)设 A 对称矩阵, B 是反对称矩阵,证明: AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB BA ; (4)对于任何方阵 A ,证明: T A A 是对称矩阵, T A A 是反对称矩阵; (5)证明任何方阵 A 均可以表成对称矩阵与反对称矩阵之和。 7.设 0 1 1 a A ,求实数 a 的值,使 0 1 1 0 100 A
0100 0010 8.设A= 00a,证明AB= BA 0001 9.设A=111|,求A"(n∈N+) l 10.设A 求A”(n∈N 101 1.1设A=020,求A-2A(n≥2) 12.设A=001,求所有与A相乘可交换的方阵 13.设A,B是n阶方阵,且A=(B+1),证明A2=A的充要条件是B2=Ln。 au al a 14.对于n阶方阵A :,称(4=a1+a2+…+am为A的 迹。证明:(1)对于任何n阶方阵A,B,成立tr(AB)=tr(B4); (2)不存在n阶方阵A,B,满足AB-BA=M(k≠0)。 15证明:若n阶方阵A与B相乘可交换,则A的多项式f(4)与B的多项式g(B) 相乘也可交换 16.设n阶方阵A,B满足A2=-A,B2=-B,且(A+B)2=-A-B,证明: AB=0 2行列式 计算下列行列式 123 0-12 2-x223 0131
8.设 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A , a a b a b c a b c d 0 0 0 0 0 0 B ,证明 AB BA。 9.设 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ,求 n A ( n N )。 10.设 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ,求 n A ( n N )。 11.设 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ,求 1 2 n n A A ( n 2 )。 12.设 0 0 0 0 0 1 0 1 1 A ,求所有与 A 相乘可交换的方阵。 13.设 A ,B 是 n 阶方阵,且 ( ) 2 1 n A B I ,证明 A A 2 的充要条件是 n B I 2 。 14.对于 n 阶方阵 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 A ,称 a11 a22 ann tr(A) 为 A 的 迹。证明:(1)对于任何 n 阶方阵 A , B ,成立 tr(AB) tr(BA) ; (2)不存在 n 阶方阵 A , B ,满足 n AB BA kI ( k 0 )。 15.证明:若 n 阶方阵 A 与 B 相乘可交换,则 A 的多项式 f (A) 与 B 的多项式 g(B) 相乘也可交换。 16.设 n 阶方阵 A , B 满足 A A 2 , B B 2 ,且 A B A B 2 ( ) ,证明: AB O。 §2 行列式 1.计算下列行列式: (1) 0 1 3 1 1 0 1 3 0 1 2 1 1 2 1 4 ; (2) 2 2 2 3 1 9 2 3 1 5 1 2 2 3 1 1 2 3 x x ;
000 00 (3)/a0ab (4)|0-11-aa0 00 b a o y 2.已知312=1,求3x+33y+132+2 3.证明 I sin 2a sin( a+B)sin( a+ sin(B+a) sin 2B sin(B+r=o sin(y +a) sin(y+B) y 4.设A为3阶方阵,且4=8,求A。 5.设A,B是同阶方阵,且A4=I,BB=I,|A|=-|B|,求A+B|。 6.设a=(1,0,-1)2,A=an2,其中a为实数,n为正整数。求|al-A"|。 101 7.已知A=020,若3阶矩阵B满足AB-A-B=l3,求|B|。 8.设n阶实对称矩阵A满足A2+64+81=0,求A+3I。 9.证明 Ix,+a, x2+b*,+b2 x+C,*2+G2*,+C31 x, x2 xI I x2+a, x2+b*2+b2 x3+C *2+C2x2+c31x2x2x 1x+a,x3+bx3+b, x3+G 3+Gx,+G I x, x3 x3 +bx4+b2 x4+Cx4+C,x4+ 10.计算下列行列式(D为n阶行列式) (1) 00 0 o a
(3) 0 0 0 0 a b a b a a a a b a b a ; (4) a a a a a a a a a 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 。 2.已知 1 1 2 1 3 1 2 x y z ,求 3 6 3 3x 3 3y 1 3z 2 x y z 。 3.证明 0 sin( ) sin( ) sin 2 sin( ) sin 2 sin( ) sin 2 sin( ) sin( ) 。 4.设 A 为 3 阶方阵,且 | A | 8 ,求 2 2 1 A 。 5.设 A , B 是同阶方阵,且 AA I T , BB I T ,| A | | B | ,求 | A B |。 6.设 T a (1, 0, 1) , T A aa ,其中 a 为实数, n 为正整数。求 | | n aI A 。 7.已知 2 0 1 0 2 0 1 0 1 A ,若 3 阶矩阵 B 满足 3 2 A B A B I ,求 | B |。 8.设 n 阶实对称矩阵 A 满足 6 8 0 2 A A I ,求 | A 3I |。 9.证明: 3 4 2 4 4 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 1 2 1 1 2 4 3 2 1 4 3 1 4 2 4 2 4 1 4 2 3 3 2 1 3 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 2 3 2 1 2 3 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 1 1 3 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x a x b x b x c x c x c x a x b x b x c x c x c x a x b x b x c x c x c x a x b x b x c x c x c 。 10.计算下列行列式( Dn 为 n 阶行列式): (1) a a a a Dn 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ;
123 345 2 Dn n n 1+a, a2a a11+a2a3 (3)D 00 121 00 000 0 a. t a a2+a10a2 ++0 a ≠0); 0 (6)Dn x 0 0 00a…b (7)D2= 0b0.0 6 0 b00 00a
( 2 ) 1 2 2 1 1 1 3 2 3 4 5 1 2 2 3 4 1 1 2 3 1 n n n n n n n n n n D n ; ( 3 ) D n n nnn a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ( 4 ) D n 0 0 0 1 2 0 0 0 2 1 0 1 2 0 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 0 ; ( 5 ) D n 0 0 0 0 1 2 3 3 1 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 3 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n nnn ( a 1 a 2 a n 0 ); ( 6 ) nnnn n x x x x x x x a x x a a x a a a D 1 2 3 1 2 3 3 1 2 23 2 1 12 13 1 ; ( 7 ) b a b a b a a b a b a b D n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
11.求方程 =0的根。 31 12.求下面方程的根: 1 X 0 13.证明:n阶行列式 14.证明:若aa2…an≠0,则n阶行列式 an 2 +1+ 15.证明:若snx≠0,则n阶行列式 coSx 2 cosx 1 +1)x 1 2 cOSx 1 2 cos 16.已知n阶矩阵A=(a),记A为an的代数余子式(,j=1,2,…,n)。证明 2 A FalA 17.证明:n+1阶行列式
11.求方程 0 2 3 1 9 2 3 1 5 1 2 2 3 1 1 2 3 2 2 x x 的根。 12.求下面方程的根: 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n x x x 。 13.证明: n 阶行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) n n n n 。 14.证明:若 a1a2 an 0 ,则 n 阶行列式 n n n n n n a a a a 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 n j j n j j a ja a a 2 1 1 2 1 。 15.证明:若 sin x 0 ,则 n 阶行列式 x x x x 1 2cos 1 2cos 1 1 2cos 1 2cos 1 x n x sin sin( 1) 。 16.已知 n 阶矩阵 ( ) A aij ,记 Aij 为 ij a 的代数余子式( i, j 1, 2, , n )。证明 2 1,1 1,2 1, 1 21 22 2, 1 11 12 1, 1 | | n nn n n n n n n a A A A A A A A A A A 。 17.证明: n 1 阶行列式
-b. a -b3 a1b”b a,b2- b2 aa"b,a2b…abb=∏ab-a) ,bmal b 18.证明:n阶行列式 CC 10 19.设D= 求A41+A42+A43 01 211 02 设D 求D中所有元素的代数余子式之和。 00 §3逆阵 1.求下列矩阵的逆阵: 11 520 (1)334 (2) (3) 001 2.求n阶矩阵A= 的逆阵,并求A|中所有元素的代数余子式之和。 3.已知A=022,B=110。若三阶方阵X满足XA=B,求X (1-10 4.已知A=22 C=20。若矩阵X满足AXB=C, 343 31
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 3 3 2 3 2 3 3 1 3 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( ) i j n i j j i n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a b b 。 18.证明: n 阶行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 4 2 3 1 1 3 1 2 n n n n n n n n C C C C C C C C C 。 19.设 2 1 1 0 0 1 1 3 1 2 3 1 1 0 1 0 D ,求 A41 A42 A43 A44。 20.设 n D 0 0 0 2 2 1 1 1 ,求 Dn 中所有元素的代数余子式之和。 §3 逆 阵 1. 求下列矩阵的逆阵: (1) 2 2 3 3 3 4 1 0 1 ; (2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; (3) 0 0 1 1 0 0 1 2 2 1 0 0 5 2 0 0 。 2.求 n 阶矩阵 1 1 1 1 1 1 A 的逆阵,并求 | A | 中所有元素的代数余子式之和。 3. 已知 1 1 0 0 2 2 1 1 1 A , 2 2 1 1 1 0 1 1 1 B 。若三阶方阵 X 满足 XA B ,求 X 。 4.已知 3 4 3 2 2 1 1 2 3 A , 5 3 2 1 B , 3 1 2 0 1 3 C 。若矩阵 X 满足 AXB C
求X。 5.设n阶方阵A满足A2+A-6Ln=O,证明A,A+Ln和A+4l都可逆,并求 它们的逆阵 6.设A=020,若3阶矩阵B满足B=AB-A2+1,求B 01 7.已知A=-11 3阶矩阵B满足A'B=A-1+2B,求B 1-100 01-10 021 8.设B ,若4阶矩阵A满足 002 000 0002 A(I-CB)C=I,求A。 9.证明:对称矩阵的逆阵还是对称矩阵;反对称矩阵的逆阵还是反对称矩阵, 10.设P是m×n矩阵,且PP可逆。记A=-P(PP)P。证明A是对称 矩阵,且A2=A 11.(1)设A是可逆矩阵,证明:(A-)=(A); (2)设A,B是同阶可逆矩阵,证明:(AB)=B'4 12.设A,B为n阶矩阵,且A2,|B|=-3,求|2AB-1 13.设A的伴随矩阵A 0100,若4阶矩阵B满足 010 0-308 ABA1=BA-1+3,求B 14.设n维向量a=(a,0,…,0,a)(a<0)。记A=n-aa,B=In+-a 若B=A,求a。 15.设a是n维非零列向量,记A=In-aa。证明 (1)A2=A的充分必要条件是aa=1; (2)当aa=1时,A是不可逆矩阵。 16.设A,B,C是n阶矩阵,且A,B可逆,化简矩阵算式 (BC-L)(AB-)+[(BA-)]- 17.设可逆矩阵A的每行元素之和都为a,证明:A的每行元素之和都为a 18.(1)设A是m阶可逆方阵,D是n阶可逆方阵,B是m×n矩阵,C是n×m 矩阵,证明降阶公式:|D‖A- BDCA‖D-CA-B|。 (2)利用等式
求 X 。 5. 设 n 阶方阵 A 满足 A A 6I n O 2 ,证明 A , n A I 和 n A 4I 都可逆,并求 它们的逆阵。 6.设 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ,若 3 阶矩阵 B 满足 B AB A I 2 ,求 B 。 7. 已知 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ,3 阶矩阵 B 满足 A B A 2B * 1 ,求 B 。 8. 设 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 B , 0 0 0 2 0 0 2 1 0 2 1 3 2 1 3 4 C , 若 4 阶 矩 阵 A 满 足 A I C B C I T T ( ) 1 ,求 A 。 9.证明:对称矩阵的逆阵还是对称矩阵;反对称矩阵的逆阵还是反对称矩阵。 10.设 P 是 mn 矩阵,且 T PP 可逆。记 A I P PP P 1 ( ) T T n 。证明 A 是对称 矩阵,且 A A 2 。 11.(1)设 A 是可逆矩阵,证明: 1 * * 1 ) ( ) (A A ; (2)设 A , B 是同阶可逆矩阵,证明: * * * (AB) B A 。 12.设 A , B 为 n 阶矩阵,且 | A | 2,| B | 3 ,求 | 2 | * 1 A B 。 13 . 设 A 的伴随矩阵 0 3 0 8 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 * A , 若 4 阶 矩 阵 B 满 足 ABA BA 3I 1 1 ,求 B 。 14.设 n 维向量 T α (a, 0, , 0, a) ( a 0 )。记 T A I n αα , T n a B I αα 1 。 若 1 B A ,求 a。 15.设 α 是 n 维非零列向量,记 T A I n αα 。证明: (1) A A 2 的充分必要条件是 α α 1 T ; (2)当 α α 1 T 时, A 是不可逆矩阵。 16.设 A , B ,C 是 n 阶矩阵,且 A , B 可逆,化简矩阵算式 1 1 1 ( ) ( ) [( ) ] T T T n T BC I AB BA 。 17.设可逆矩阵 A 的每行元素之和都为 a ,证明: 1 A 的每行元素之和都为 1 a 。 18.(1)设 A 是 m 阶可逆方阵, D 是 n 阶可逆方阵, B 是 mn 矩阵, C 是 nm 矩阵,证明降阶公式: | || | | || | 1 1 D A BD C A D CA B 。 (2)利用等式
023 A=120 和(1)的结论计算A|。 (3)利用等式 B a2a 11 a,a,+l a,a2+I 和(1)的结论计算|B|。 19.用 Cramer法则解下列线性方程组: 2x1+3x2+1lx3+5x4=6, x1+x2+5x3+2x4=2, 2x1+x2+3x3+4x4=2 x1+x2+3x3+4 20.若线性方程组 X+x+x+ax,= 0, x2+x3+ x1+x2-3x3+x4=0, x1+x2+ax3+bx4=0 有非零解,问a,b应满足什么条件? 21.设a2≠b2,证明线性方程组 bx, =1 ax +b 1, 1, ax,+bxm=l, 1, 1, bx 1, bx, tax=1 有唯一解,并求其解
n n n n n 1, 2, , 1 1 1 2 1 1 2 3 0 1 2 0 1 0 3 0 2 3 A , 和(1)的结论计算 | A |。 (3)利用等式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B I I 和(1)的结论计算 | B |。 19.用 Cramer 法则解下列线性方程组: 3 4 2. 2 3 4 2, 5 2 2, 2 3 11 5 6, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 20.若线性方程组 0 3 0, 2 0, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x ax bx x x x x x x x x x x x ax 有非零解,问 a,b 应满足什么条件? 21.设 2 2 a b ,证明线性方程组 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 n n n n n n n n n n n n bx ax bx ax bx ax bx ax ax bx ax bx ax bx ax bx 有唯一解,并求其解