等周问题 在平面上周长相等的所有简单闭曲线中,怎样的曲线所围图形的面积最大?这 就是著名的“等周问题”。早在古希腊时期,人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。 但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下 定理平面上具有定长的所有简单闭曲线中,圆周所围的面积最大。换言之,若 L是平面上简单闭曲线C的长度,A是曲线C所围图形的面积,则 A 4 且等号成立时,C必须是圆周 注就是周长为L的圆所围的面积 我们现在仅限于对平面上光滑的简单闭曲线讨论问题。以下的证明是 Hurwitz 在1902年给出的。 为了证明以上结论,需要以下结论,有兴趣的同学可以将证明补上 引理( Wirtinger)设函数∫的导数∫'在[-x,丌]上连续,且f(-z)=∫(x), f(x)dx=0,则 且等号成立当且仅当f(x)= acos+ bsin x(a,b为常数) 定理的证明 设曲线C以弧长为参数的方程为 x=x(s), y=y(s), SE[O,L] 且参数s从0变到L时,点(x(s),y(s)沿逆时针方向画出曲线C。因为C是闭曲线, 所以x(0)=x(L),y(0)=y(L)。作变量代换s=1+,可将该曲线的方程改写为 x=9(1),y=v(1),t∈[-丌,], 且成立q(-r)=(),v(-x)=v(x) 不妨假设[9(0=0。若[o(m=k≠0,则闭曲线C: =x-=g(1 y 2 是C的一个平移,其所围图形的面积与C所围图形的面积相同,于是考虑C即可 由于s=L t+二,所以 ds L ,再由弧长的微分公式得
等周问题 在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这 就是著名的“等周问题”。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。 但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下： 定理 平面上具有定长的所有简单闭曲线中，圆周所围的面积最大。换言之，若 L 是平面上简单闭曲线 C 的长度， A 是曲线 C 所围图形的面积，则 4 2 L A ， 且等号成立时， C 必须是圆周。 注 4 2 L 就是周长为 L 的圆所围的面积。 我们现在仅限于对平面上光滑的简单闭曲线讨论问题。以下的证明是 Hurwitz 在 1902 年给出的。 为了证明以上结论，需要以下结论，有兴趣的同学可以将证明补上。 引理（Wirtinger）设函数 f 的导数 f 在 [,] 上连续, 且 f () f () ， ( ) 0 f x dx ，则 f (x)dx f (x)dx 2 2 ， 且等号成立当且仅当 f (x) acos x bsin x （ a, b 为常数）。 定理的证明 设曲线 C 以弧长为参数的方程为 x x(s) ， y y(s) ， s [0,L]， 且参数 s 从 0 变到 L 时，点 (x(s), y(s)) 沿逆时针方向画出曲线 C 。因为 C 是闭曲线， 所以 x(0) x(L)，y(0) y(L) 。作变量代换 2 2 L t L s ，可将该曲线的方程改写为 x (t)， y (t)，t [, ]， 且成立 () ()，() () 。 不妨假设 ( ) 0 t dt 。若 ( ) 0 t dt k ，则闭曲线 C ~ ： 2 ~ k x x = 2 ( ) k t ， ( ) ~ y y t （ t [, ] ） 是 C 的一个平移，其所围图形的面积与 C 所围图形的面积相同，于是考虑 C ~ 即可。 由于 2 2 L t L s ，所以 2 L dt ds ，再由弧长的微分公式得
4r(d)=(n)+v2(t),t∈[-z,]。 对上式在[-x,上取定积分得 2丌 ∫o+v2ol}h 其次,C所围图形的面积A可用曲线积分表示为 A=xdy= p(y'(tydi 因此 2丌 2A=∫po)+o)-20y(o小 ∫p:()-2(o+pv(-=od 由于C是分段光滑曲线,所以0满足引理的条件,因此C(-g(o)4n≥0, 又显然[v'()-o()】d20,所以 且等号成立当且仅当 ∫[2()-g(o)=0,∫v(0)-)m=0, 等价地,就是 q(1)=acot+ bsin t,v'(t)=(1),t∈[-丌,丌], 这时C的参数方程为 x=o(r)=acost+bsin t y=y(=asin t-bcost+c 即C是一个圆周
( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 t t dt L ds ， t [, ]。 对上式在 [, ] 上取定积分得 t t dt L ( ) ( ) 2 2 2 2 。 其次， C 所围图形的面积 A 可用曲线积分表示为 A xdy t t dt C ( ) ( ) ， 因此 ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 t t dt t t dt A t t t t dt L 由于 C 是分段光滑曲线，所以 (t) 满足引理的条件，因此 ( ) ( ) 0 2 2 t t dt ， 又显然 ( ) ( ) 0 2 t t dt ，所以 4 2 L A ， 且等号成立当且仅当 ( ) ( ) 0 2 2 t t dt ， ( ) ( ) 0 2 t t dt ， 等价地，就是 (t) acost bsin t，(t) (t) ， t [, ]， 这时 C 的参数方程为 ( ) sin cos , ( ) cos sin , y t a t b t c x t a t b t t [, ]， 即 C 是一个圆周