明确目标,改进方法,提高效率,学好数学基础课 童裕孙 数学基础课是高等学校许多专业的学生必修的课程。学生在体验 了初入高等学府的激动、兴奋和新奇等感受之后,很快发现高校的学 习和中小学有很大差别。这一点特别表现于数学基础课。一些原本在 中学里数学成绩不错的学生,一进大学,面对接踵而来的一系列概念、 命题和方法,仿佛不知所措,无所适从。于是纷纷向数学老师或辅导 员请教,如何才能取得数学高分?如何才能不至于“被关”?学习时 也一味追求各种题型的解法,忽视了对基本概念的理解和掌握。然而 效果依然不如人意。那么,我们应当如何来看待大学的数学基础课程? 又该通过怎样的途径学好这些课程呢? 首先,同学们应当明确大学数学学习的目标。数学是本科学生进 入科学领域的门户,也是学习后继课程并进入专业前沿的基础。长期 以来,在人们认识世界和改造世界的过程中,数学作为一种科学的语 言和有力的工具,一直发挥着举足轻重的作用。如果说十八世纪前如 恩格斯所说:“数学在化学中的应用是线性方程组,在生物中的应用 为零”,那么现在的情况已经大为改观。从大坝内部的应力分布到 脏中血液的流动状态,从石油勘探到飞行器设计,其定性或定量的分 析都要用到十分深刻的数学工具。“工程数学”、“生物数学”、“经济 数学”、“管理数学”等等冠以不同名称的数学课程一个个开设出来。 任何事物的属性都有量和形两个方面,既然数学研究的是数和形,它
明确目标，改进方法，提高效率，学好数学基础课 童裕孙 数学基础课是高等学校许多专业的学生必修的课程。学生在体验 了初入高等学府的激动、兴奋和新奇等感受之后，很快发现高校的学 习和中小学有很大差别。这一点特别表现于数学基础课。一些原本在 中学里数学成绩不错的学生，一进大学，面对接踵而来的一系列概念、 命题和方法，仿佛不知所措，无所适从。于是纷纷向数学老师或辅导 员请教，如何才能取得数学高分？如何才能不至于“被关”？学习时 也一味追求各种题型的解法，忽视了对基本概念的理解和掌握。然而 效果依然不如人意。那么，我们应当如何来看待大学的数学基础课程？ 又该通过怎样的途径学好这些课程呢？ 首先，同学们应当明确大学数学学习的目标。数学是本科学生进 入科学领域的门户，也是学习后继课程并进入专业前沿的基础。长期 以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，数学作为一种科学的语 言和有力的工具，一直发挥着举足轻重的作用。如果说十八世纪前如 恩格斯所说：“数学在化学中的应用是线性方程组，在生物中的应用 为零”，那么现在的情况已经大为改观。从大坝内部的应力分布到心 脏中血液的流动状态，从石油勘探到飞行器设计，其定性或定量的分 析都要用到十分深刻的数学工具。“工程数学”、“生物数学”、“经济 数学”、“管理数学”等等冠以不同名称的数学课程一个个开设出来。 任何事物的属性都有量和形两个方面，既然数学研究的是数和形，它
必然成为各种科学技术不可或缺的工具。事实上,毎门学科在其萌芽 阶段,其概念和方法往往多是质的定性的描述,少有定量的刻划。普 遍认为对一门学科基本概念和方法的数学表述和运用的水平,才是衡 量其成熟程度的重要标志。正如马克思所说的,一切科学只有成功地 运用数学时,才算达到了真正完善的地步 但是,数学学习的目标是否仅仅在于获得一大堆定义、定理和计 算公式,掌握各种具体的数学方法和数学技巧么?答案显然是否定的。 数学教学有着知识传授和能力培养的双重意义。这是因为学生的科学 素质不仅包含其整体的知识结构,而且取决于他为全面发展而必须具 备的各种能力。数学基础课程不仅能帮助学生掌握有用的数学工具 而且也是培养学生理性思维的重要载体。这种理性思维的训练,包括 演绎、归纳、分析和类比等能力的培养,对于学生全面的素质的提高, 创新意识的启迪都是至关重要的,而且也是其他课程难以替代的。我 国明代科学家徐光启对数学教育的作用早有精辟的见解,他在与意大 利传教士 Matteo ricci合译《几何原本》时就写到:“此书为益,能 令学理者祛其浮气,待其精心,学事者资其定法,发其巧思,故举世 无一人不当学。”有许多当代深有造诣的科学家、事业有成的企业家 在谈及大学教育对他们成长的影响时,无不强调基础教育的作用,其 中不少人会特別提到数学严格的逻辑思维,严密的推理方法使他们终 身受益匪浅,成为他们在各自的岗位上取得成功的重要因素。 如果以理想化的标准来衡量的话,数学课程还应当是同学们接受 美感熏陶的一种途径。数学为之努力的目标:将杂乱整理为有序,将
必然成为各种科学技术不可或缺的工具。事实上，每门学科在其萌芽 阶段，其概念和方法往往多是质的定性的描述，少有定量的刻划。普 遍认为对一门学科基本概念和方法的数学表述和运用的水平，才是衡 量其成熟程度的重要标志。正如马克思所说的，一切科学只有成功地 运用数学时，才算达到了真正完善的地步。 但是，数学学习的目标是否仅仅在于获得一大堆定义、定理和计 算公式，掌握各种具体的数学方法和数学技巧么？答案显然是否定的。 数学教学有着知识传授和能力培养的双重意义。这是因为学生的科学 素质不仅包含其整体的知识结构，而且取决于他为全面发展而必须具 备的各种能力。数学基础课程不仅能帮助学生掌握有用的数学工具， 而且也是培养学生理性思维的重要载体。这种理性思维的训练，包括 演绎、归纳、分析和类比等能力的培养，对于学生全面的素质的提高， 创新意识的启迪都是至关重要的，而且也是其他课程难以替代的。我 国明代科学家徐光启对数学教育的作用早有精辟的见解，他在与意大 利传教士 Matteo Ricci 合译《几何原本》时就写到：“此书为益，能 令学理者祛其浮气，待其精心，学事者资其定法，发其巧思，故举世 无一人不当学。”有许多当代深有造诣的科学家、事业有成的企业家 在谈及大学教育对他们成长的影响时，无不强调基础教育的作用，其 中不少人会特别提到数学严格的逻辑思维，严密的推理方法使他们终 身受益匪浅，成为他们在各自的岗位上取得成功的重要因素。 如果以理想化的标准来衡量的话，数学课程还应当是同学们接受 美感熏陶的一种途径。数学为之努力的目标：将杂乱整理为有序，将
经验升华为规律,寻求各种物质运动简洁而统一的数学表述,这些都 体现了数学的美,对人们的精神世界的陶冶起着潜移默化的作用。同 学们在学习过程中应当自觉地发掘并体会这种数学的美,从而提高自 己整体的审美素质 其次,谈到具体的数学学习方法,让我们先看一下几位数学大师 是怎样说的。 第一位是美国数学界的前辈,也是数学教育家P. Halmos。他的 多部数学著作几十年来一直作为经典教材被广泛采用。其中有一本名 著为巛 Hilbert空间问题集》,实际上是 Hilbert空间上线性算子理论的 入门教科书。这本书前言的第一句话就是“ The best way to lear Mathematics is to do mathematics,”即学数学的最佳途径就是做数学。 这本书分三部分。第一部分是 Problem,共提出200个问题,包括背 景,相关概念,由此可导出的结论,以及结论的推广和应用。第二部 分是Hint,给出简洁的解题启示,第三部分才是 Solution,列出完整 的解题过程。作者希望通过这一结构,主要是利用该书的前两部分, 引导读者自行建立起 Hilbert空间的谱理论。多年前我校数学系在本 科教学中采用过这本教材,取得了很好的教学效果 第二位是日本数学界的前辈学者小平邦彦。他是1954年菲尔兹奖 的获得者。他写过一篇研修数学体会的文章,标题是“数学中没有捷 径”。这篇文章给人留下最深的印象是,他认为为了理解定理,必须 弄懂证明,一时不明白,抄在笔记上反复揣摩,所谓读书百遍,其义 自见。循着定理证明的步骤走一遍,不是为了确认证明的正确性,而
经验升华为规律，寻求各种物质运动简洁而统一的数学表述，这些都 体现了数学的美，对人们的精神世界的陶冶起着潜移默化的作用。同 学们在学习过程中应当自觉地发掘并体会这种数学的美，从而提高自 己整体的审美素质。 其次，谈到具体的数学学习方法，让我们先看一下几位数学大师 是怎样说的。 第一位是美国数学界的前辈，也是数学教育家 P. Halmos。他的 多部数学著作几十年来一直作为经典教材被广泛采用。其中有一本名 著为《Hilbert 空间问题集》，实际上是 Hilbert 空间上线性算子理论的 入门教科书。这本书前言的第一句话就是“The best way to learn Mathematics is to do Mathematics，”即学数学的最佳途径就是做数学。 这本书分三部分。第一部分是 Problem，共提出 200 个问题，包括背 景，相关概念，由此可导出的结论，以及结论的推广和应用。第二部 分是 Hint，给出简洁的解题启示，第三部分才是 Solution，列出完整 的解题过程。作者希望通过这一结构，主要是利用该书的前两部分， 引导读者自行建立起 Hilbert 空间的谱理论。多年前我校数学系在本 科教学中采用过这本教材，取得了很好的教学效果。 第二位是日本数学界的前辈学者小平邦彦。他是 1954 年菲尔兹奖 的获得者。他写过一篇研修数学体会的文章，标题是“数学中没有捷 径”。这篇文章给人留下最深的印象是，他认为为了理解定理，必须 弄懂证明，一时不明白，抄在笔记上反复揣摩，所谓读书百遍，其义 自见。循着定理证明的步骤走一遍，不是为了确认证明的正确性，而
是为了弄懂定理所叙述的数学现象的本质。在反复思考的过程中,脑 子里自然会产生了些什么,明白了些什么。实际上数学科学中有一些 精华也是只能意会而难以言传的,只能靠自己的思考才能体会得到 而一旦明白了定理,为了加深理解,还可尝试从多个角度来分析定理 叙述的数学现象和机理,并尝试将定理应用于各类问题,包括解各种 习题。至于在应用过程中,也许会逐渐淡忘了定理的证明,但是对定 理的理解不会改变,也不会影响对应用这个定理的信心,甚至仍然可 以把定理的作用发挥到极致,这与没有做过定理证明的感觉完全不同 第三位是我国的数学前辈华罗庚先生。他在介绍读数学著作的经 验时有一勺名言:读数学书应完成“从薄到厚,从厚到薄”这两个过 程。数学的概念是抽象的,数学的语言是精确的,数学的方法是严密 的,它们的表现形式十分简洁,这也是一般人感到读数学著作远比读 文学作品费时费力的缘故。精彩的小说往往令人爱不释手,读下去欲 罢不能,几天功夫就可看完一本大部头的作品。数学书则不一样,往 往一个命题的证明,第一步可能用一个定理,第二步可能作一个变换, 第三步又可能采用一个技巧结合一个定理,几步连续的逻辑推理导出 了最后的结论。对刚入门的学生而言,每一步都得捉摸一番。例如平 面几何中,关于三角形全等就三个定理,但同学们都是在做了大量习 题后才有点感觉的。大学数学基础课程的内容更多,每节课讲授的薄 薄几页教材中都包含着极为丰富的欻学内涵。这就需要同学们课后花 费大量的时间体会概念、分析证明,并演算例题和习题。通过思考, 从前到后,由上至下,把局部与整体相联系,在多个角度的分析中
是为了弄懂定理所叙述的数学现象的本质。在反复思考的过程中，脑 子里自然会产生了些什么，明白了些什么。实际上数学科学中有一些 精华也是只能意会而难以言传的，只能靠自己的思考才能体会得到。 而一旦明白了定理，为了加深理解，还可尝试从多个角度来分析定理 叙述的数学现象和机理，并尝试将定理应用于各类问题，包括解各种 习题。至于在应用过程中，也许会逐渐淡忘了定理的证明，但是对定 理的理解不会改变，也不会影响对应用这个定理的信心，甚至仍然可 以把定理的作用发挥到极致，这与没有做过定理证明的感觉完全不同。 第三位是我国的数学前辈华罗庚先生。他在介绍读数学著作的经 验时有一句名言：读数学书应完成“从薄到厚，从厚到薄”这两个过 程。数学的概念是抽象的，数学的语言是精确的，数学的方法是严密 的，它们的表现形式十分简洁，这也是一般人感到读数学著作远比读 文学作品费时费力的缘故。精彩的小说往往令人爱不释手，读下去欲 罢不能，几天功夫就可看完一本大部头的作品。数学书则不一样，往 往一个命题的证明，第一步可能用一个定理，第二步可能作一个变换， 第三步又可能采用一个技巧结合一个定理，几步连续的逻辑推理导出 了最后的结论。对刚入门的学生而言，每一步都得捉摸一番。例如平 面几何中，关于三角形全等就三个定理，但同学们都是在做了大量习 题后才有点感觉的。大学数学基础课程的内容更多，每节课讲授的薄 薄几页教材中都包含着极为丰富的数学内涵。这就需要同学们课后花 费大量的时间体会概念、分析证明，并演算例题和习题。通过思考， 从前到后，由上至下，把局部与整体相联系，在多个角度的分析中
将一个个概念和命题组合成一个生动而丰满的数学体。这就是“从薄 到厚”的过程。但是,话还得说回来,如果毎个概念和命题都衍生出 大堆东西,人脑的库容量再大也安置不下,即使硬塞进去,也是- 团乱麻,难以应用。这就需要从丰富的材料中提炼出最重要最本质的 精髓,也就需要一个“从厚到薄”的过程。常常有同学埋怨高等数学 中要掌握的内容太多。实际上,内容多少是一种感觉,这种感觉与理 解深浅直接相关。越是学得深入,就会感到关键点越少。扎扎实实地 学下去,学到后面,再回头看看前面的内容,往往会感到特别简单 能够顺利地完成认识过程“从薄到厚,从厚到薄”两个飞跃的同学, 肯定会学有成效的 最后,再想讲几点关于学习数学过程中应当注意的意见和建议。 这些议论看似老生常谈,但的确是十分重要的 第一,学习数学必须循序渐进,步步为营。数学是一门逻辑性特 强的学科,每一个概念,每一个命题都是建立在前面的概念和知识的 基础上,各部分联系的纽带极为严密,而且十分精巧。犹如复合函数 求导法被称之为 Chain rule,缺一环而整链断裂。在学习一门数学 课程的过程中,自始至终不能有半点松懈,每一节课都不能随便拉下。 有的同学认为翘一、两次课没有问题,谁知连翘了几次再回到教室, 如同进入了一个陌生的世界,竟然会完全听不明白。一个环节的硬伤 往往会影响整个学期的收效。数学课程的整体性极强,每个内容都置 身于前后内容的紧密联系之中。学习数学当然要从大处着眼,但也必 须从小处着手。如果不是一步一个脚印,不但走不远,而且肯定要跌
将一个个概念和命题组合成一个生动而丰满的数学体。这就是“从薄 到厚”的过程。但是，话还得说回来，如果每个概念和命题都衍生出 一大堆东西，人脑的库容量再大也安臵不下，即使硬塞进去，也是一 团乱麻，难以应用。这就需要从丰富的材料中提炼出最重要最本质的 精髓，也就需要一个“从厚到薄”的过程。常常有同学埋怨高等数学 中要掌握的内容太多。实际上，内容多少是一种感觉，这种感觉与理 解深浅直接相关。越是学得深入，就会感到关键点越少。扎扎实实地 学下去，学到后面，再回头看看前面的内容，往往会感到特别简单。 能够顺利地完成认识过程“从薄到厚，从厚到薄”两个飞跃的同学， 肯定会学有成效的。 最后，再想讲几点关于学习数学过程中应当注意的意见和建议。 这些议论看似老生常谈，但的确是十分重要的。 第一，学习数学必须循序渐进，步步为营。数学是一门逻辑性特 强的学科，每一个概念，每一个命题都是建立在前面的概念和知识的 基础上，各部分联系的纽带极为严密，而且十分精巧。犹如复合函数 求导法被称之为 Chain rule，缺一环而整链断裂。在学习一门数学 课程的过程中，自始至终不能有半点松懈，每一节课都不能随便拉下。 有的同学认为翘一、两次课没有问题，谁知连翘了几次再回到教室， 如同进入了一个陌生的世界，竟然会完全听不明白。一个环节的硬伤 往往会影响整个学期的收效。数学课程的整体性极强，每个内容都臵 身于前后内容的紧密联系之中。学习数学当然要从大处着眼，但也必 须从小处着手。如果不是一步一个脚印，不但走不远，而且肯定要跌
跤。 第二,学好数学必须勤于思考,不轻易放弃独立思考的机会。数 学知识的形式是抽象的,并非图解式,也并不直观,停留于形式上不 可能掌握其本质。只有勤于思考,从具体实例的对比中,从前后左右 的联系中,才能使并不直观的东西鲜活起来。再抽象的概念,思考得 多了,就会感到具体化,这就是一种认识升华后产生的新感觉。学好 数学需要这种感觉,而这种感觉只有在反复思考中才会出现。例如自 然数,原本是个抽象的形式符号,但是用得多了,人们早就忘了它的 抽象性。任何一个数学问题,只有想透了,想彻底了,才能找到解决 方案。这里要特別强调一下独立解题的问题。独立解题不但是检验学 生掌握基本概念和基本定理的有效手段,更是帮助冋学深入理解数学 知识,接受数学训练的重要过程。只会依样画葫芦地解某些类型的题 目,难以达到大学数学教学要求的目标。如果轻易放弃了通过独立解 题锻炼自己能力的机会,实在是一种难以弥补的损失 第三,学好数学需要手脑并用。数学是一门思维的科学,相应于 物理、化学和生物的实验,在学习数学时需要动手推导和演算。看数 学书时需要边看边算。人难免有惰性,单纯看书,不明白或不甚明白 的地方,一个马虎就从眼皮底下滑了过去。动手写一些就不一样。不 明白的东西即使抄起来,也会感到别别扭扭,叫人不得不思索一番 这样也许就会弄明白其中的一番奧妙,留下一些深刻的印象。解数学 题时不但要思考,更需要动手。有的同学在解题时有一点思路,似乎 又没有把握,迟迟疑疑不敢下手,如此,问题始终解决不了。这时
跤。 第二，学好数学必须勤于思考，不轻易放弃独立思考的机会。数 学知识的形式是抽象的，并非图解式，也并不直观，停留于形式上不 可能掌握其本质。只有勤于思考，从具体实例的对比中，从前后左右 的联系中，才能使并不直观的东西鲜活起来。再抽象的概念，思考得 多了，就会感到具体化，这就是一种认识升华后产生的新感觉。学好 数学需要这种感觉，而这种感觉只有在反复思考中才会出现。例如自 然数，原本是个抽象的形式符号，但是用得多了，人们早就忘了它的 抽象性。任何一个数学问题，只有想透了，想彻底了，才能找到解决 方案。这里要特别强调一下独立解题的问题。独立解题不但是检验学 生掌握基本概念和基本定理的有效手段，更是帮助同学深入理解数学 知识，接受数学训练的重要过程。只会依样画葫芦地解某些类型的题 目，难以达到大学数学教学要求的目标。如果轻易放弃了通过独立解 题锻炼自己能力的机会，实在是一种难以弥补的损失。 第三，学好数学需要手脑并用。数学是一门思维的科学，相应于 物理、化学和生物的实验，在学习数学时需要动手推导和演算。看数 学书时需要边看边算。人难免有惰性，单纯看书，不明白或不甚明白 的地方，一个马虎就从眼皮底下滑了过去。动手写一些就不一样。不 明白的东西即使抄起来，也会感到别别扭扭，叫人不得不思索一番。 这样也许就会弄明白其中的一番奥妙，留下一些深刻的印象。解数学 题时不但要思考，更需要动手。有的同学在解题时有一点思路，似乎 又没有把握，迟迟疑疑不敢下手，如此，问题始终解决不了。这时
具体写一下,把每一个环节都算清楚,也许就走通了一条成功的解题 道路。即使走不通,也可以明确问题所在,及早另谋出路。要相信路 是人走岀来的。千万不要相信有先知先觉的解题思路,正确的解题途 径一般是碰了几次壁后才找到的。没有教训也就没有经验,算得多了, 积累了经验和体会,碰壁的次数也会越来越少,动手演算也会越来越 麻利。 第四,学习要有韧性,要有坚持到底的决心。许多事情的成功出 现在再坚持一下的努力之中。经常有同学反映解题难,难题多。实际 上每门数学课的习题一般应当是可以用近期教学的内容解决的,也不 需要使用过于冷僻的技巧。问题是要舍得花时间,肯下功夫。在思考 的过程中也许会发现对所学内容的欠缺之处,这时针对性地作些补充, 同时也就对原本薄弱的知识点加深了印象。如果有些题目一时找不到 解题途径,可以把问题放在脑子里存一下,过些时候再想,想多了, 想透了,解答自然会出来。实际上,同学们学好数学的自信心,也正 是在通过坚持和努力,克服了一个个困难,解出了一道道看似不易的 数学题的过程中建立起来的 愿同学们明确目标,改进方法,提高效率,在数学学习中找到乐 趣,取得成功
具体写一下，把每一个环节都算清楚，也许就走通了一条成功的解题 道路。即使走不通，也可以明确问题所在，及早另谋出路。要相信路 是人走出来的。千万不要相信有先知先觉的解题思路，正确的解题途 径一般是碰了几次壁后才找到的。没有教训也就没有经验，算得多了， 积累了经验和体会，碰壁的次数也会越来越少，动手演算也会越来越 麻利。 第四，学习要有韧性，要有坚持到底的决心。许多事情的成功出 现在再坚持一下的努力之中。经常有同学反映解题难，难题多。实际 上每门数学课的习题一般应当是可以用近期教学的内容解决的，也不 需要使用过于冷僻的技巧。问题是要舍得花时间，肯下功夫。在思考 的过程中也许会发现对所学内容的欠缺之处，这时针对性地作些补充， 同时也就对原本薄弱的知识点加深了印象。如果有些题目一时找不到 解题途径，可以把问题放在脑子里存一下，过些时候再想，想多了， 想透了，解答自然会出来。实际上，同学们学好数学的自信心，也正 是在通过坚持和努力，克服了一个个困难，解出了一道道看似不易的 数学题的过程中建立起来的。 愿同学们明确目标，改进方法，提高效率，在数学学习中找到乐 趣，取得成功