微分方程数值解课件 陈文斌 May26,2003
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Cha ap ter 1 Variational methods 边值问题的解经常为某个范函F(u)的最大值(或最小值)。考虑一根拉紧的 弦,受到横向的力,且两端点固定,变形u(x)满足 dx2 f(x),0 (0)=()=0 弦的势能为W 其中右端第一部分为形变产生的能,第二部分为外力作的功。u的最终 位置应使得势能最小。可以证明对于所有分片连续可微函数v(x),且满 足v(0)=v(1)=0的函数中,微分方程的解u满足 (v)≥W(a) 考虑更小的一个函数空间En,E是独立的函数n1(x),t2(x),…,vn(x)张成 的空间,也就是E中的每个函数都可以表示成 Civil
Chapter 1 Variational Methods >¯K)²~,¼F(u)(½)"Ä.; u§Éîå§ üà:½§C/u(x)÷v − d 2u dx2 = f(x), 0 < x < l u(0) = u(l) = 0 u³UW: W(u) = 1 2 Z 1 0 du dx2 − Z 1 0 f(x)u(x)dx Ù¥mà1Ü©/C)U§1Ü© åõ"uª A¦³U"±y²éu¤k©¡ëY¼êv(x)§ ÷ vv(0) = v(1) = 0¼ê¥§©§)u÷v W(v) ≥ W(u) ļêmEn§En´Õá¼êv1(x), v2(x), . . . , vn(x)ܤ m§Ò´En¥z¼êѱL«¤ Xn i=1 civi(x) 1
对任何给定的{c},我们有 ct)≥W(a) i=1 我们选择c,使得左边最小化: O(∑=1cv) 我们得到 ∑a/ntd ∫(x)vk(x)dx,k=1,,n 求解出c,我们得到一个逼近解。对应逼近解的势能是 Civi 例如假设f(x)=sin(x)。我们用一项=C1n1(x),这里t1(x)=x(1-x)(满 足边界条件 Jo a(l-)sin rdc 12 因此 ==2x(1-x),W()= 注意到此时精确解和最小势能为 u==sina, w(u 我们可以看到近是u的一个近似。 11一个子空间最好的逼近 设M是 Hilbert空间H的一个有限维闭子空间。对于H中的任意一个元素f, 我们称M中的元素g最接近∫是指‖g-川最小。这样的g是唯一的,我们记 2
é?Û½{ci},·k W Xn i=1 civi ! ≥ W(u) ·ÀJci§¦>zµ ∂W ( Pn i=1 civi) ∂ck = 0, k = 1, . . . , n · Xn i=1 ci Z 1 0 v 0 k v 0 idx = Z 1 0 f(x)vk(x)dx, k = 1, . . . , n ¦)Ñci§·%C)u¯"éA%C)³U´ W(¯u) = w Xn i=1 civi ! ~Xbf(x) = sin(πx)"·^u¯ = c1v1(x),ùpv1(x) = x(1 − x)(÷ v>.^)" c1 = R 1 0 x(1 − x) sin πxdx R 1 0 (1 − 2x) 2dx = 12 π 3 Ïd u¯ = 12 π 3 x(1 − x), W(¯u) = −24 π 6 5¿d°()Ú³U u = 1 π 2 sin πx, W(u) = − 1 4π 2 ·±wu¯´uCq" 1.1 fmÐ%C M´HilbertmHk4fm"éuH¥?¿f§ ·¡M¥gCf´kg − fk"ùg´§·P 2
为Pf,这里P是到M上的投影算子。如果M中有正交基y1,…,9n,那么 容易知道 Pf k 如果一组基1,v2,n不是正交的,我们也可以写P∫为 为了计算系数,我们注意到f-p∫与M正交,也与1,,tn正交。因此系 数ak可以唯一被决定 >=。显然 矩阵是对称的,而且由于{v}是线性无关的,矩阵是非奇异的。它的逆也 是对称的。因此 ∫,v 这里(c)是(b3)的逆矩阵。因此我们有 Pf G;= ·P是非负的,对f∈H,成立≥0 3
P f§ùpP´MþÝKf"XJM¥kÄϕ1, . . . , ϕn§@o N´ P f = Xn k=1 ϕk XJ|Äv1, v2, . . . , vnØ´§·±P f P f = Xn k=1 akvk OX꧷5¿f − pfM§v1, . . . , vn"ÏdX êak±û½ Xn k=1 ak =, j = 1, . . . , n ¦)'u{ak}§§·Ú\Ý (bij )§ùpbij ="w, Ý ´é¡§ du{vi}´5Ã'§Ý ´ÛÉ"§_ ´é¡"Ïd ak = Xn j=1 cjk ùp(cij )´(bij )_Ý "Ïd·k P f = Xn i,j=1 cij vj ÝKfPk Ä 5µ • P´é¡§éf, g ∈ H,¤á= • P´K§éf ∈ H§¤á≥ 0 • P 2 = P • éf ∈ M,P f = f 3
1.2 Maximum Theorem 设算子A的定义域DA在H(H是复 Hilbert空间)中稠密。算子A在DA上是对 称正定的, =,a,∈DA 0,≠0∈D 考虑方程 f, ∈ 这里∫是H中的一个元素。 heorem.1方程最多只有一个解。 Theorem2(Mazimum Theorem)i (v)=+- 那么如果 Au= f 有一个解,那么u是D4中唯一一个最大化F的元素。相反地,如果存 在DA中的元素最大化F,那么它是方程的解。 考虑算子A=-亚,定义域DA为满足边界条件u()=(1)=0的连续两次 可微函数。容易证明在D4上A是对称正定的,且 F(v)=-2W(v) Theorem 3(Schwinger- Levine Principle) i R(u) ,≠0 那么R()和F()有同样最大值
1.2 Maximum Theorem fA½ÂDA3H(H´EHilbertm)¥È"fA3DAþ´é ¡½§ =, ∀u, v ∈ DA > 0, ∀u 6= 0 ∈ DA ħ Au = f, u ∈ DA ùpf´H¥" Theorem. 1 §õk)" Theorem. 2 (Maximum Theorem) F(v) = + − @oXJ Au = f k)§@ou´DA¥zF"/§XJ 3DA¥zF§@o§´§)" ÄfA = − d 2 dx2§½ÂDA÷v>.^u(0) = u(1) = 0ëYüg ¼ê"N´y²3DAþA´é¡½§ F(v) = −2W(v) " Theorem. 3 (Schwinger-Levine Principle) R(v) = | | 2 , v 6= 0 @oR(v)ÚF(v)kÓ" 4
1.3 Ritz-Rayleigh Method 我们把自己限制在DA的一个有限维子集En上求F的最大值 max F(u)+-=+- =+- 在En上的算子PnA是对称正定的,当A是对称正定的时候。上述的最大泛 函对应n维的方程: P Au=Pnf,un∈En 同样我们可以证明:在所有E中的函数,方程的唯一解最大化F() F(un)=max(+-) ∈En 最大化泛函的过程精确等价于求解方程 Pn Aun= Pnf 但是这个方程也可以看成方程 Au=f 到空间En上的投影。即使A是非正定的,或非线性的,也可以这样做。 在这个意义上我们称 P Au=Pnf为 Galerkin方程 这个向量方程可以转化成代数方程。设v1,,tn.为En的基,那么 解un可以写成 5
1.3 Ritz-Rayleigh Method ·rgC3DAkf8Enþ¦F: max v∈En F(v) ≤ max v∈DA F(v) = F(u); ·8I´°(/O>§α = F(u)e."ÓEn ¼ê´u%C"·PPnEnþÝKf"XJv ∈ En§|^Pné¡5§·k F(v) = + − = + − = + − 3EnþfPnA´é¡½§A´é¡½ÿ"þã ¼éAn§µ PnAun = Pnf, un ∈ En Ó·±y²µ3¤kEn¥¼ê§§)zF(v): F(un) = max v∈En ( + − ) z¼L§°( du¦)§ PnAun = Pnf. ´ù§±w¤§ Au = f mEnþÝK"=¦A´½§½5§±ù" 3ù¿Âþ·¡PnAun = PnfGalerkin§" ùþ§±=z¤ê§"v1, . . . , vnEnħ@o )un±¤ un = Xn k=1 akvk 5
在算子方程两边关于v取内积 f, 或 == Pn Aun, un >= Aun,un> un, Aun >= un, Pn Aun >= un, f 若逼近解满足 == 我们称为满足互易原理。观察到精确解总满足互易原理。而Ritz- rayleigh逼 近也满足互易原理。因此 我们总有 ≥F(un)= Remark.4如果我们选择的基是关于A正交的,也就是 AUk, U, > dK 那么 ∑
3f§ü>'uvjSȧ = ½ Xn k=1 ak =, j = 1, . . . , n lù§±¦)ÑXêak"ù§·¡Ritz-Rayleigh½Galerkin §"XJ·¦¼4§Ir)\¼"´5¿ === === e%C)u˜÷v ˜ = ˜ =˜ ·¡÷vp´n"* °()o÷vp´n" Ritz-Rayleigh% C÷vp´n"Ïd F(un) = + − = ·ok α ≥ F(un) = Remark. 4 XJ·ÀJÄ´'uA§Ò´ = δkj @o aj =, un = Xn j=1 vj ùV«X°()±¤ u = X∞ j=1 vj . 6
同时 ≥F( ∑ 当{v}是完备时, I2 这里主要的困难是如何构造关于A的正交基。 1.4 Complementary Variational Principles 由最大值原理,我们知道 F(u)≥F(v),t∈D 用最大值原理我们可以得到a的一个下界。为了得到a的上界,我们需要 个最小值原理。我们以 Poisson方程为例 V2u=f(x),x∈9;la=0 我们希望估计 a= Vu. Vud Vul2d r=/f(ar)u(r)dr 注意到,如果 V(-a)·Vadx=0 那么我们有 vul2dx≤/iv2dr 容易知道,如果V2u=V2au,也就是一V2=f,我们有上述正交条件 因此我们有 a≤/vuad,对所有满足
Ó α ≥ F(un) == Xn j=1 | | 2 {vj}´§ α = X∞ j=1 | | 2 ùpÌ(J´XÛE'uAÄ" 1.4 Complementary Variational Principles dn§· α = F(u) ≥ F(v), v ∈ DA ^n·±αe." α þ.§·I n"·±Poisson§~fµ −∇2u = f(x), x ∈ Ω; u|∂Ω=0 ·F"O α = Z Ω ∇u · ∇udx = Z Ω |∇u| 2 dx = Z Ω f(x)u(x)dx 5¿§XJ Z Ω ∇(v − u) · ∇udx = 0 @o·k α = Z Ω |∇u| 2 dx ≤ Z Ω |∇v| 2 dx N´§XJ∇2 v = ∇2u§Ò´−∇2 v = f§·kþã^" Ïd·k α ≤ Z Ω |∇v| 2 dx, é¤kv÷v − ∇2 v = f 7
而当υ=u时,上述不等式为等式,所以 a= min Vul2dx f
v = u§þãØ ª ª§¤± α = min −∇2v=f Z Ω |∇v| 2 dx 8
Chapter 2 Calculus of variations 2.1 Euler-Lagrange Equations 考虑求函数f(x)的极值,一个必要条件是Vf(x0)=0。如果Vf(xo0)≠0, 用 Taylor公式, f(o+ay)=f(ao)+avf(ao).y+O(a) 这里y可以表示一个方向,a∈R表示某个方向前进的大小,而ay表示偏 离xo的一个小扰动。可以看到,如果Ⅴf(xo)≠0,我们可以找到一个方 向y使得,Vf(x0)·y≠0,比如y就取Vf(xo)的单位方向,那么如果α<0, 则f(xo+ay)<f(xo)。而如果f(x)=0,而它两阶导数的Hese矩阵对称 正定,则为极小点。 如果F(x,y,x)是关于三个变量x,y,z的函数,我们希望找一个函数y(x)使 得 J(y)=/F(, y(a), 取得极值。我们考虑在分片连续空间PC0,1上可能的y(x),并且y(0)= v,y(1)=犰。我们把满足这种边界条件且分片光滑的函数的全体称为允许 函数集。可以看到J是关于函数y(x)的函数,我们称为泛函。假设(x)最 9
Chapter 2 Calculus of Variations 2.1 Euler-Lagrange Equations Ħ¼êf(x)4§7^´∇f(x0) = 0"XJ∇f(x0) 6= 0§ ^Taylorúª§ f(x0 + αy) = f(x0) + α∇f(x0) · y + O(α 2 ) ùpy±L«§α ∈ RL«,c?§ αyL« lx06Ä"±w§XJ∇f(x0) 6= 0§·±é y¦§∇f(x0)·y 6= 0§'XyÒ∇f(x0)ü §@oXJα .^ ©¡1w¼ê N¡#N ¼ê8"±wJ´'u¼êy(x)¼ê§·¡¼"by0(x) 9