复旦大学：《微分方程数值解》课程教学资源（课堂讲义）椭圆型方程有限元方法

椭圆型方程有限元方法 微分方程数值解 陈文斌 (wbchen@fudan.edu.cn) 复旦大学数学系 2004年

椭圆型方程有限元方法 陈文斌 （wbchen@fudan.edu.cn) 复旦大学数学系 2004年 －微分方程数值解

PDE模型 Laplacian算子: 020 0202a △ 2 xX Poisson方程( elliptic) 边值问题 △L= laplacian算子的特征值问题:△+n=f Heat equation(parabolic) 0L△L at 初边值问题 Wave equation(hyperbolic)

PDE 模型 2 2 2 2 x y       Laplacian 算子： Poisson方程（elliptic）： u  f Laplacian 算子的特征值问题: u  u  f Heat equation(parabolic): u t u     Wave equation(hyperbolic): u t u     2 2 初边值问题 边值问题 2 2 2 2 2 2 x y z         

PDE解和数值解 Poisson方程 △ 分部积分 变分问题 alu, v)=f(v Rtz- Galerkin过程 离散变分问题a(lb2v)=f(vn) 有限维基上表示 线性代数问题 Au= F 快速算法 方程求逆 u=aF h-version有限元方法是一种特殊的Ritz- Galerkin 方法,它的基函数选取分片多项式空间

PDE解和数值解 Poisson方程 －u  f 变分问题 a(u, v)  f (v) 离散变分问题 ( , ) ( ) h h h a u v  f v Ritz-Galerkin过程 分部积分 线性代数问题 Au  F  有限维基上表示 方程求逆 u  A \ F  快速算法 h-version 有限元方法是一种特殊的Ritz-Galerkin 方法，它的基函数选取分片多项式空间

两点边值问题有限元方法 (Pp=)+P=f,x∈ (0)=(1)=0 变分问题:在H0()空间中找一个函数u使满足 a(,v)=f(v),vv∈H0() du dy a()=P truv dx dx dx f(v)=fix

两点边值问题有限元方法 ru f x I dx du p dx d － ( )   ,  u(0)  u(1)  0 ( , ) ( ), ( ) 1 0 a u v  f v v  H I 变分问题: 在 ( ) 空间中找一个函数u,使满足 1 0 H I          1 0 ( , ) ruv dx dx dv dx du a u v p   1 0 f (v) fvdx

两点边值问题有限元方法 0.25 剖分单元K|K=[x2Ax,] 剖分步长hh=maxh 0.05 区域剖分 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x 0 两点边值问题有限元方法 区域剖分 i x i  i  i1 h x x i h  max h 剖分单元K [ , ] i i 1 i K x x   剖分步长h

两点边值问题有限元方法 0.25 函数和它的插值 02 0.15 l≤Ch 0.1 函数 dx 分 函数u 已知 0.05 有限元解◆→插值函数 0.1 0.2 0.3 04 0.5 0.6 0.7 0.9 当h->0时,插值函数收敛到函数u

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x 0 两点边值问题有限元方法 函数和它的插值 当h->0时，插值函数收敛到函数u 2 2 2 dx d u u I u Ch  h  有限元解 插值函数 函数u 已知 函数u满 足变分 问题

两点边值问题有限元方法 变分问题:在H0()空间中找一个函数a,使满足 a(,v)=f(v),vv∈H0( Ritz-Galerkin过程:在有限维子空间v1CH0(1 找一个函数n使满足离散变分问题 alun, vn)=f(vh), vh EVh VcH(D)←Vn={vn|v∈C(1 Courant有限元: k∈P(K,连续分片线性多 v(O)=v)=0}项式函数空间

两点边值问题有限元方法 ( , ) ( ), ( ) 1 0 a u v  f v v  H I 变分问题: 在 ( ) 空间中找一个函数u,使满足 1 0 H I h h h h Vh a(u , v )  f (v ), v  Ritz-Galerkin过程：在有限维子空间 ( ) 1 0 V H I h  找一个函数uh ,使满足离散变分问题 ( ) 1 0 V H I h  (0) (1) 0} | ( ), { | ( ), 1      v v v P K V v v C I h K h h h Courant有限元： 连续分片线性多 项式函数空间

两点边值问题有限元方法 连续分片线性多项式函数空间 x∈x h ,(x) x∈x」,x 0 otherwise 对于两端点的基函 数,作适当修正 X-x x∈|xn,X on+(x) n+1 otherwise 0.2 0.4 0.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 两点边值问题有限元方法 连续分片线性多项式函数空间                0 otherwise [ , ] , [ , ] ( ) 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i x x x h x x x x x h x x  x i1 x i x i1 x 对于两端点的基函 数，作适当修正            0, otherwise , [ , ] ( ) 1 1 1 n n n n n x x x h x x  x

两点边值问题有限元方法 连续分片线性多项式函数空间 1.5 l91(x 3)=∑、(x) 0 般要求,求解空 间满足边界条件, x-x对第一类边界条件, i+1 0 0.2 0.4 0.7 0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 两点边值问题有限元方法 连续分片线性多项式函数空间 i i i i i h i h x x u h x x u x u        1 1 1 ( ) i1 x i x i1 x u ( x) i i ( ) 1 1 u x i   i      1 0 ( ) ( ) n i h i i u x u  x 一般要求，求解空 间满足边界条件， 对第一类边界条件， u0 = un+1=0

两点边值问题有限元方法 离散变分问题:在 Vh C span{9(x)}1中找一个函数hn (2vn)=f(vh),Vvn∈Vh 找一个向量{},4(x)=∑u9,(x) ∑a(q,9)1=f(q),j au= F A=((0p2n) 注意到矩阵A是三 对角的 F=fo dx

两点边值问题有限元方法 h h h h Vh a(u , v )  f (v ), v  离散变分问题：在 n h i i V span x 1 { ( )}    中找一个函数uh   n i h i i u x u x 1 找一个向量{u ( )  ( ) i }, a u f j j n n i i j i ( , ) ( ), 1,2,..., 1        Au  F   ( , ) A  a  j i F f dx   j 1 0  注意到矩阵A是三 对角的