Weierstrass第一逼近定理与第二逼近定理 Karl Weierstrass(1815-1897)是19世纪德国数学家,他在数 学的许多领域都作出了重要的工作,其中不少成果是在他做中学教师 时取得的。由于他对数学科学的重大贡献,他后来被聘为柏林大学教 授和法国巴黎科学院院士。 Weierstrass是数学分析基础的主要奠基者之一,是把严格的数学 论证引进分析学的一位大师。 Weierstrass利用单调有界的有理数数列 来定义无理数,从而在严格的逻辑基础上建立了实数理论;他提出的 关于极限定义的ε-δ语言,被数学界公认为是关于极限概念的最准确 的描述,并被一直使用至今。 连续函数的多项式逼近: Bernstein多项式 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理,直接的证 明方法就是用函数的 Bernstein多项式去逼近函数。通常的教材中的 证明比较难于理解,我们选择前苏联数学家 Korovkin在1953年给出 证明方法,解决了教学中的这一难点。 Weierstrass第一逼近定理设f(x)是闭区间[a,b上的连续函 数,则存在多项式序列{Pn(x)}在[a,b]上一致收敛于∫(x)。也就是对 任意给定的ε>0,存在多项式P(x),使得 P(x)-f(x)<E 对一切x∈[a,b成立。 证不失一般性,设[a,b]为[0,1 设X是[0,1上连续函数f()全体构成的集合,Y是多项式全体构 成的集合,定义映射 B:X→Y 0)B,=5/)c:a-) 得到{Bn(f,x)},Bn(,x)表示f∈X在映射Bn作用下的像,它是以x为 变量的n次多项式,称为f的n次 Bernstein多项式 关于映射Bn,有下述基本性质与基本关系式: (1)线性性:对于任意f,g∈X及a,B∈R,成立 Bn(a∫+βg,x)=aBn(,x)+BBn(g,x); (2)单调性:若f()≥g()(t∈{a,b]),则 Bn(,x)≥Bn(g,x)(x∈{a,b]);
Weierstrass 第一逼近定理与第二逼近定理 Karl Weierstrass （1815—1897）是 19 世纪德国数学家，他在数 学的许多领域都作出了重要的工作，其中不少成果是在他做中学教师 时取得的。由于他对数学科学的重大贡献，他后来被聘为柏林大学教 授和法国巴黎科学院院士。 Weierstrass 是数学分析基础的主要奠基者之一，是把严格的数学 论证引进分析学的一位大师。Weierstrass 利用单调有界的有理数数列 来定义无理数，从而在严格的逻辑基础上建立了实数理论；他提出的 关于极限定义的ε −δ 语言，被数学界公认为是关于极限概念的最准确 的描述，并被一直使用至今。 连续函数的多项式逼近：Bernstein 多项式 连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证 明方法就是用函数的 Bernstein 多项式去逼近函数。通常的教材中的 证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出 证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass 第一逼近定理 设 是闭区间[a, b]上的连续函 数，则存在多项式序列{ 在[a, b] 上一致收敛于 。也就是对 任意给定的 xf )( n xP )( } xf )( ε > 0，存在多项式 xP )( ，使得 xfxP )()( <− ε 对一切 x∈[a, b]成立。 证 不失一般性，设[a, b]为[0, 1]。 设 X 是[0, 1]上连续函数 全体构成的集合，Y 是多项式全体构 成的集合，定义映射 tf )( Bn : X → Y tf )( 6 kk kn n n k n xxC n k fxfB − = ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ),( = ∑ )1( 0 ， 得到{ } n xfB ),( ， n xfB ),( 表示 ∈ Xf 在映射 作用下的像，它是以 Bn x为 变量的n次多项式，称为 f 的 次n Bernstein 多项式。 关于映射Bn，有下述基本性质与基本关系式： (1)线性性：对于任意 , ∈ Xgf 及α, β ∈ R ，成立 xgBxfBxgfB ),(),(),( n α + β = α n + β n ； (2)单调性：若 （ ≥ tgtf )()( t ∈[a, b]），则 xgBxfB ),(),( n ≥ n （ x∈[a, b]）； 1
(3)Bn(1,x)=∑Cnx2(1 Cnx(-x)k 4 函数(t-s)2在Bn映射下的像(视s为常数): B(-s)2,x)=B(2,x)-2sBn(t,x)+s2B(1x) 2sx+ +(x-S 由于f在[0,1上连续,所以有界,即存在M>0,对于一切t∈[0,1], 成立 ()≤M 根据 Cantor定理,f在[0,1]上一致连续,于是对任意给定的ε>0,存 在δ>0,对一切t,s∈[0,1] 当t-sN时
(3) ),1( 1)1( ； 0 = =− − = ∑ kk kn n n k n xxCxB xxxC n k xtB kk kn n n k n = =− − = ),( ∑ )1( 0 ； = =− − = ∑ kk kn n n k n xxC n k xtB ),( )1( 0 2 2 2 n xx x 2 2 − + 。 函数 在2 − st )( Bn 映射下的像（视s为常数）： 2 2 2 2 2 2 2 (( ) , ) ( , ) 2 ( , ) (1, ) 2 ( n nn 2 ) . B n t s x B t x sB t x s B x xx xx x sxs xs n n −= − + − − = + − += +− 由于 f 在[0, 1]上连续，所以有界，即存在 ，对于一切 [0, 1]， 成立 M > 0 t ∈ )( ≤ Mtf ； 根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的ε > 0，存 在δ > 0，对一切 ,st ∈[0, 1]： 当 st Nn , 2
力人n(1-yn-k f(x)0 存在三角多项式T(x),使得 7(x)-f(x)0,存在余弦三 角多项式T(x),使得 T(x)-(x)0,存在多项式P(y),使得 P()-g(arccos y)<E 对一切y∈[-1成立,即 P(cosx)-g(x<E 对一切x∈[0,成立。由三角恒等式 coS x=-(1+cos 2x), cosx=-(3cos x +cos 3x), cos x=-(3+4 cos 2x+cos 4x), cosx=a2m-l2C2n cos 2(n-k)x+=C2 COS<n+ C,A, cOS(2n-2k+1)x 可知P(cosx)=T(x)是余弦三角多项式
⎟ 0， 存在三角多项式T x( )，使得 Tx fx () () − 0，存在余弦三 角多项式T x( )，使得 Tx gx () () − 0，存在多项式P y( )，使得 Py g y ( ) (arccos ) − < ε 对一切 成立，即 y∈ −[ 1,1] P x gx (cos ) ( ) − < ε 对一切 x∈[0, ] π 成立。由三角恒等式 2 1 cos (1 cos 2 ) 2 x = + x ， 3 1 cos (3cos cos3 ) 4 x = +x x ， 4 1 cos (3 4cos 2 cos 4 ) 8 x =+ +x x ， ""， 1 2 2 1 2 2 1 1 1 cos cos 2( ) 2 2 n n k n n n k x C n kx − − = ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ n + C ， 2 1 2 2 1 0 1 cos cos(2 2 1) 2 n n k n n k x C nk + + = = − ∑ + x 。 可知P x Tx (cos ) ( ) = 是余弦三角多项式。 3
推论设g(x)是以2z为周期的连续偶函数,则 Weierstrass第二 逼近定理成立,且三角多项式是余弦三角多项式 Weierstrass第二逼近定理的证明 设f(x)是以2x为周期的连续函数,令 P(x)=f(x)+f(x), y(x=f(x-f(x)]sin x, 则o(x)与v(x)都是以2z为周期的连续偶函数,由上面的推论,可知对 任意给定的E>0,存在余弦三角多项式r1(x)与T2(x),使得 lp(x)-7(x)k,|v(x)-72(x)k E 对一切x∈(-∞,+∞)成立 记T3(x)=T1(x)sin2x+T2(x)sinx,于是由 Io(x)sin2x-T(x)sin2 xk=, y(x)sin x-T,(x)sinxk 得到 2f(x)sin x-l,(x)ka 对一切x∈(-,+∞)成立。由于上式对/(-)也成立,于是也有 121、分 ) I-T(Oka 令x=t-x,得到 2∫(x)cos2x-T(x+)kE 2 对一切x∈(-∞,)成立。 记r(x)=T;(x)+7(x+x,结合(*)与(*),得到 If(x)-T(x)ka 对一切x∈(-∞,o)成立
推论 设 g x( )是以2π 为周期的连续偶函数，则 Weierstrass 第二 逼近定理成立，且三角多项式是余弦三角多项式。 Weierstrass 第二逼近定理的证明 设 xf )( 是以2π 为周期的连续函数，令 ϕ += −xfxfx )()()( ，ψ = − − sin)]()([)( xxfxfx ， 则ϕ x)( 与ψ x)( 都是以2π 为周期的连续偶函数，由上面的推论，可知对 任意给定的ε > 0，存在余弦三角多项式 1 xT )( 与 ，使得 2 xT )( 2 |)()(| 1 ε ϕ xTx <− ， 2 |)()(| 2 ε ψ xTx <− 对一切 成立。 x∈ −∞ +∞ ( , ) 记 3 = 1 2 + 2 sin)(sin)()( xxTxxTxT ，于是由 2 |sin)(sin)(| 2 1 2 ε ϕ − xxTxx < ， 2 |sin)(sin)(| 2 ε ψ − xxTxx < ， 得到 |)(sin)(2| <− ε 3 2 xTxxf （*） 对一切 x∈ −∞ +∞ ( , )成立。由于上式对 ) 2 ( π tf − 也成立 ，于是也有 ε π |)(sin) <−− 2 (2| 4 2 tTttf 。 令 2 π tx −= ，得到 ε π |) <+− 2 (cos)(2| 4 2 xTxxf （**） 对一切 x −∞∈ ∞),( 成立。 记 )] 2 ()([ 2 1 )( 5 3 4 π xTxTxT ++= ，结合（*）与（**），得到 − |)()(| < ε 5 xTxf 对一切 x −∞∈ ∞),( 成立。 4