习题15.1 1.求下列极限: (1)lim (2) lim 2.设∫(x,y)当y固定时,关于x在{ab]上连续,且当y→y0-时,它关于y单 调增加地趋于连续函数叭(x),证明 lim f(x, y)dr=p(r)dr 3.利用交换积分顺序的方法计算下列积分 (1) dx(b>a>0); Inx (2)|2ln 1+ asin dx (1>a>0) asinx sinx 4.求下列函数的导数 (1)(y)= dx y- cos ry (2)(y)= dx (3)F(=dx sin( 5.设(y)=(x+y)(x,其中为可微函数,求rU) 6.设F(y)=(x1y=xd(a1) In(1-2a cos x+a dx (ak1); (3)2 In(a2sin'x+b2 cos2 x)dx 9.证明:第二类椭圆积分
习 题 15.1 1． 求下列极限： （1） ∫ + → + + α α α 1 0 2 2 0 1 lim x dx ； （2） ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + →∞ 1 0 1 1 lim n n n x dx 。 2． 设 f (x, y) 当 y 固定时，关于 x在[a,b]上连续，且当 y → y0 − 时，它关于 单 调增加地趋于连续函数 y φ(x) ，证明 ∫ = ∫ → − b a b a y y lim f (x, y)dx (x)dx 0 φ 。 3． 利用交换积分顺序的方法计算下列积分： （1） ( 0) ln 1 sin ln 1 0 > > − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ dx b a x x x x b a ； （2） (1 0) 1 sin sin 1 sin ln 2 0 > > − + ∫ a x dx a x a x π 。 4． 求下列函数的导数： （1） = ∫ − ； 2 2 ( ) y y x y I y e dx （2） ∫ = 2 cos ( ) y y dx x xy I y ； （3） ∫ ∫ 。 + − = + − x t x t t F(t) dx sin(x y t )dy 2 2 2 0 2 5． 设 = ∫ + ，其中 为可微函数，求 y I y x y f x dx 0 ( ) ( ) ( ) f I′′( y)。 6． 设 F( y) f (x) | y x | dx (a b) ，其中 为可微函数，求 。 b a = − ∫ a x dx a π ； （2） ln(1 2 cos ) (| | 1) ； 0 2 − + < ∫ α α α π x dx （3）∫ + 2 0 2 2 2 2 ln( sin cos ) π a x b x dx 。 9．证明：第二类椭圆积分 1
e(k (00。研究函数 xf(x) x +y 的连续性 习题1 证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛: cos,dx,y≥a>0; (2) SIn 2x (1) eax,0≤a≤ao; x+a (3) xsin x4 cos aadx,a≤a≤b。 2.说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛: (1) xsIn aa dx,00上连续,反常积分/(当=a与L=b时都收敛,证明 ∫。13/()h关于在ab上一致收敛。 4.讨论下列含参变量反常积分的一致收敛性: (1) +n coSx dx,在y≥y0>0 (2)」ck,在()a0;(I)p>0 (4)「 e- sin xdx,在(I)a≥ao>0;(I)a>0 5.证明函数F(ax)=「"xa在(0+∞)上连续。 6.确定函数F(y)=「x,的连续范围。 7.设∫。(x)存在。证明(x)的 Laplace变换F()=。e(x)在0+∞)
( ) 1 sin (0 1) 2 0 2 2 = − 0。研究函数 ∫ + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x I y 的连续性。 习 题 15.2 1． 证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛： （1）∫ +∞ 0 +2 2 cos dx x y xy ， y ≥ a > 0； （2）∫ +∞ − 0 + sin 2 e dx x x αx α ，0 ≤ α ≤ α 0 ； （3） ∫ ， +∞ 0 4 x sin x cosαxdx a ≤α ≤ b 。 2．说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛： （1）∫ +∞ 0 + 2 (1 ) sin dx x x x α α ，0 0上连续，反常积分∫ 当 +∞ 0 t f (t)dt λ λ = a与λ = b 时都收敛，证明 ∫ +∞ 0 t f (t)dt λ 关于λ 在[a,b]上一致收敛。 4．讨论下列含参变量反常积分的一致收敛性： （1）∫ +∞ 0 cos dx x xy ，在 y ≥ y0 > 0； （2）∫ ，在（I） +∞ −∞ − − e dx x 2 ( α ) a 0 p > 0 （4）∫ ，在（I） +∞ − 0 e sin xdx αx α ≥ α 0 > 0；（II）α > 0； 5．证明函数 ∫ +∞ = 1 cos ( ) dx x x F α α 在(0,+∞)上连续。 6．确定函数 ∫ − − = π 0 π 2 ( ) sin ( ) dx x x x F y y y 的连续范围。 7．设∫ 存在。证明 的 Laplace 变换 在[ +∞ 0 f (x)dx f (x) ∫ +∞ − = 0 F(s) e f (x)dx sx 0, + ∞) 2
上连续 8.证明函数()= cosx-dx在(-,+∞)上可微 1+(x+1)2 9.利用 ebhy,计算 +oo e dx(b>a>0)。 10.利用 sin bx-sin ax = cos xyd,计算∫ o e-p Sin bx-sin dx b>a>0)。 11.利用 (a>0),计算l= (n为正整数)。 计算g(a) 13.设f(x)在[O,+∞)上连续,且limf(x)=0,证明 +a f(ax)-f(bx) ax=f(0)ln-(a,b>0)。 1.(1)利用“e=x推出1()=“e”7b=xe2(c>0) (2)利用积分号下求导的方法引出=-2L,以此推出与(1)同样的结果, 并计算 b>0)。 利用∫ d t 计算J os Bx dx(a>0)。 习题15.3 1.计算下列积分: (2) √3-cosx (3) (n>0); (4) 1+nd(n>m>0); (6)「 sin x cos2xdx (1+x) (7)‖xme-dx( :(8)∫x(1-x)yk(pn>0) 证明∫。c-d (n为正整数),并推出lm「edh 3.证明r(s)在s>0上可导,且r(s)= 进一步证明 > 4.证明limr(s)=+∞
上连续。 8．证明函数 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) cos ( ) dx x t x I t 在(−∞,+∞) 上可微。 9．利用 ∫ − − − = − b a xy ax bx e dy x e e ，计算∫ +∞ − − − 0 dx x e e ax bx （b > a > 0）。 10．利用 ∫ = − b a xydy x bx ax cos sin sin ，计算 ∫ +∞ − − 0 sin sin dx x bx ax e px （ ， ）。 p > 0 b > a > 0 11．利用∫ +∞ = 0 + 2 a x 2 a dx π （a > 0 ），计算 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) n n a x dx I （n为正整数）。 12．计算 ∫ +∞ − = 1 2 2 1 arctan ( ) dx x x x g α α 。 13．设 f (x) 在[0,+∞)上连续，且 lim ( ) = 0 →+∞ f x x ，证明 a b dx f x f ax f bx (0)ln ( ) ( ) 0 = − ∫ +∞ （a,b > 0 ）。 14．（1）利用 0 2 2 π = ∫ +∞ − e dy y 推出 y c c y L c e dy e 2 0 2 ( ) 2 2 2 − +∞ − − = = ∫ π （c > 0）； （2）利用积分号下求导的方法引出 L dc dL = −2 ，以此推出与（1）同样的结果， 并计算∫ +∞ − − 0 2 2 e dy y b ay （a > 0, b > 0 ）。 15．利用 2 2 0 ( 2 2 ) 1 x e dt t x + = ∫ +∞ − + α α ，计算 ∫ +∞ + = 0 2 2 cos dx x x J α β （α > 0）。 习 题 15.3 1． 计算下列积分： （1） ∫ − 1 0 2 x x dx； （2）∫ − π 0 3 cos x dx ； （3） ∫ − 1 0 1n n x dx （n > 0）； （4） ∫ +∞ − 0 + 1 1 dx x x n m （n > m > 0）； （5） dx x x ∫ +∞ 0 + 2 4 (1 ) ； （6）∫ 2 0 2 1 7 sin cos π x xdx ； （7） ∫ （ ）； （8） （ ）。 +∞ − 0 x e dx n m x m, n > 0 ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x ) dx p n q p, q, n > 0 2． 证明 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ ∫ +∞ − n n e dx n x 1 1 0 （n为正整数），并推出lim 1。 0 = ∫ +∞ − →∞ e dx n x n 3． 证 明 在 上可导，且 。进一步证明 （ ）。 Γ(s) s > 0 ∫ +∞ − − Γ′ = 0 1 (s) x e ln xdx s x ( ) ∫ +∞ − − Γ = 0 ( ) 1 (s) x e ln x dx n s x n n ≥ 1 4． 证明 Γ = +∞ →+∞ lim (s) s 。 3
5.计算[nr(x)hx 6.设Ω={(x,y,x)|x2+y2+z2≤l}。确定正数p,使得反常重积分 dxdvdz 收敛。并在收敛时,计算/的值 7.设9={x,y,)x≥0,y20,二≥0}。确定正数a,By,使得反常重积分 dady 收敛。并在收敛时,计算Ⅰ的值 8.计算 1=xml( -x-y)p-drdy 其中D是由三条直线x=0,y=0及x+y=1所围成的闭区域,m,n,p均为 大于0的正数 证明「 tanxdx 10.证明 11+k (0<a<2.0<k<1)。 0s@ k oS SIn--7 11.设0≤h<1,正整数n≥3。证明 J-r)de ti
5． 计算∫ Γ 。 1 0 ln (x)dx 6．设Ω = {(x, y,z) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1}。确定正数 p ，使得反常重积分 ( ) ∫∫∫ Ω − − − = p x y z dxdydz I 2 2 2 1 收敛。并在收敛时，计算 I 的值。 7．设Ω = {(x, y,z) | x ≥ 0, y ≥ 0,z ≥ 0}。确定正数α, β ,γ ，使得反常重积分 ∫∫∫ Ω + + + = α β γ x y z dxdydz I 1 收敛。并在收敛时，计算 I 的值。 8．计算 ∫∫ − − − = − − D m n p I x y x y dxdy 1 1 1 (1 ) ， 其中 D是由三条直线 x = 0， y = 0 及 x + y = 1所围成的闭区域， 均为 大于 0 的正数。 m, n, p 9．证明 2 2cos tan 2 0 απ π π α = ∫ xdx （|α |< 1）。 10．证明 π α π ϕ ϕ ϕ ϕ α π α 2 sin 1 1 1 1 1 cos 1 cos sin 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ − k k k k d （0 < α < 2, 0 < k < 1）。 11．设0 ≤ h < 1，正整数n ≥ 3。证明 ( ) ( ) t dt h n n h n 2 2 1 0 2 3 2 2 (1 ) Γ Γ − ≥ − − ∫ π 。 4
第十五章 第1节 1.(1)x;(2)ln 1+e 2.提示:用反证法证明limf(x,y)=(x)关于x∈[a,b是一致的,即vE>0, 36>0,vy∈(y0-6,y0),x∈ab1:f(x,y)-(x)dx:(2)3cosy'-2 y2 y (3)F(=-210o dxr cos(x+y2-1)dy +25 sin 2xcos2xtdr +22si(t4-t2+y2)d。 5.I"(y)=3f(y)+2yf(y) 6.F"(y)= 2f(y),x∈(a,b (a,b) 8.(1)ln 2:(2)0;(3)zml(|+|bl a+ya 2 显然I(y)在y≠0的点是连续的,因为(0)=0,而limf(y)=f(0), im1(y)=-xf(0),其中f(0)≠0,所以1(y)在y=0点不连续 提示:vs>0,取n>0,使得当00,取>0,使得当04yk6时, k号,于是1a-hk,分别令y→0+与 y→0-,由lm∫0 yf(0) dx=f(o), lim yf(o)dx f(0)和E的任意
第十五章 第 1 节 1．（1） 4 π ；（2） e e 1+ 2 ln 。 2．提示：用反证法证明 lim ( , ) ( ) 0 f x y x y y = φ → − 关于 x ∈[a,b]是一致的，即∀ε > 0， ∃δ > 0， ( , ) 0 0 ∀y ∈ y − δ y ，∀x ∈[a,b]： f (x, y) −φ(x) 0，取η > 0 ，使得当0 0 ，取δ > 0 ，使得当0 <| y |< δ 时， 2 | ( ) | 1 2 2 ε η < + ∫ dx x y yf x ，于是 ∫ + 1 0 2 2 ( ) | dx x y yf x ε η < + − ∫ | (0) 0 2 2 dx x y yf 。分别令 与 ，由 y → 0 + y → 0 − (0) 2 (0) lim 0 2 2 0 dx f x y yf y η π = + ∫ → + ， (0) 2 (0) lim 0 2 2 0 dx f x y yf y η π = − + ∫ → − 和ε 的任意 1
性,即可得到im(y)=zro与lm1(=2()。 y>0- 第2节 1.(3)提示:由分部积分法 Ir+oo cos aX xsin x cos aaxdx d cos x cos axx cosx 1r+∞ a sin ax cos x dx Ic +oo cos a cos x d x 当A→+∞时,上述三式关于a在[a,b]上一致趋于0 2.(1)提示:取an=- n 3n丌 xsin a ax≥ (1 3n (2)提示:作变量代换x=,则∫sina=「sinh,取 sin tdt≥ 3.提示:r()dh=t=r"r(o)+ttpr(ot 4.(1)一致收敛 (2)(i)一致收敛;(i)非一致收敛 (3)(i)一致收敛;(i)非一致收敛 (4)(i)一致收敛;(i)非一致收敛。 5.提示:证明积分关于a在(0,+∞)内闭一致收敛。 6.(0,2).提示:证明积分关于y在(0,2)内闭一致收敛 7.提示:证明积分ef(x)d关于s在[+∞)上一致收敛。 8.提示:证明积分 COS x dx关于t在(-∞,+∞)内闭一致收敛。 10. arctan b arctan
性，即可得到 (0) 2 lim ( ) 0 I y f y π = → + 与 (0) 2 lim ( ) 0 I y f y π = − → − 。 第 2 节 1．（3）提示：由分部积分法 , cos cos 2 sin cos 1 4 1 4 cos cos cos cos 4 1 sin cos 3 4 2 4 2 4 4 2 4 ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ = − − − = − A A A A A dx x x x dx x x x x x x d x x x x x xdx α α α α α α 当 A → +∞ 时，上述三式关于α 在[a,b]上一致趋于 0。 2．（1）提示：取 n n 1 α = ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ + ∫ 2 2 2 4 3 4 2 ) 4 3 16 1 ( 2 (1 ) sin π π α α π π n n dx x x x n n n n 。 （2）提示：作变量代换 t x 1 = ，则∫ ∫ +∞ − = 1 2 1 0 sin 1 1 sin 1 tdt t dx x x α α ，取 n n 1 α = 2 − ， n n n n tdt t n 1 4 3 2 4 2 2 4 3 4 2 2 sin 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ ≥ + + − π π π π π π π α 。 3．提示：∫ 。 +∞ = 0 t f (t)dt λ ∫ + 1 − 0 t [t f (t)]dt λ a a ∫ +∞ − 0 t [t f (t)]dt λ b b 4． （1）一致收敛； （2）（i）一致收敛；（ii）非一致收敛； （3）（i）一致收敛；（ii）非一致收敛； （4）（i）一致收敛；（ii）非一致收敛。 5．提示：证明积分关于α 在(0,+∞)内闭一致收敛。 6．(0,2) . 提示：证明积分关于 y 在(0,2) 内闭一致收敛。 7．提示：证明积分∫ 关于 在 +∞ − 0 e f (x)dx sx s [0,+∞)上一致收敛。 8．提示：证明积分 dx x t x t ∫ +∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + 0 ' 2 1 ( ) cos 关于t 在(−∞,+∞) 内闭一致收敛。 9． a b ln 。 10． p a p b arctan − arctan 。 2
1.(2n-1)ax 2(2n)! 提 ∫ra)bok-Jfa b 1'/(X ax=[f(51)-f(2)n 其中ξ1在a!"与b'之间,点2在a!"与bA"之间,这是利用了积分中值定理。令 A→>0,A"→+∞即得结论。 14.(1)提示:令=1,则c了d= d,于是 (1+-)dh 再令1-C=x,得到 (2) 第3节 nsin nsin ;(6) 115$(7) ;(8) P 2. lim edx= limr1+ 4.提示:易知r(1)=(2),所以存在x∈(,2),使得r'(x)=0。由习题3的方
11． π 2 2 1 2(2 )!! (2 1)!! + − − n a n n 。 12． [ ] 2 sgn | | 1 1 2 α α α π ⋅ + − + 。 13. 提示： [ ( ) ( )]ln , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 a b dx f f x f x dx x f x dx x f bx dx x f ax dx x f ax f bx bA aA bA aA A A A A A A = − = ξ − ξ = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ 其中ξ 1在 aA′ 与bA′之间，ξ 2 在 aA′′与bA′′ 之间，这是利用了积分中值定理。令 A′ → 0， A′′ → +∞即得结论。 14．（1）提示：令 t y c = ，则∫ = +∞ − − 0 2 2 2 e dy y c y ∫ +∞ − − 0 2 2 2 2 dt t c e t c t ，于是 ∫ = +∞ − − 0 2 2 2 e dy y c y ∫ +∞ − − + 0 2 (1 ) 2 1 2 2 2 dt t c e t c t ∫ +∞ − − − = − 0 ( ) 2 ( ) 2 2 t c e d t e t c t c ， 再令 x t c t − = ，得到 ∫ = +∞ − − 0 2 2 2 e dy y c y ∫ +∞ −∞ − − e dx e x c 2 2 2 。 （2） ab e a 2 2 1 π − 。 15． | | 2 α β α π − e 。 第 3 节 1．（1） 8 π ；（2） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 , 4 1 2 2 1 B ；（3） n n π π sin ；（4） n m n π π sin ； （5） 2 2 π ；（6） 1155 256 ；（7） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ n m n 1 1 ；（8） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ q n p B n , 1 。 2． (1) 1 1 lim lim 1 0 ⎟ = Γ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ + →∞ +∞ − →∞ ∫ n e dx n x n n 。 4．提示：易知Γ(1) = Γ(2) ，所以存在 (1,2) x0 ∈ ，使得Γ′(x0 ) = 0。由习题 3 的方 3
法得到r(s)=x2ehn2xh>0,于是在(x,+∞)上r(s)>0,因此r(s)在 (x0,+∞)上单调增加。再由I(n+1)=n→+∞即得结论。 5.ln2z。提示:利用「hnr(1-x)x=Jhn(x)及余元公式。 6.p<l时收敛,此时r=2a31-p aB,<1时积分收敛,此时/=1 r()r()I(-)r(1 aBr a B u=rsin cos 提示:令{y=6与v= rsin o sin 8,得到 二= B QBr sin 0 cosa a0 2sin p cos d d r 1+r 对其中积分12一b,令产=1 T(mr(nr(p) (m+n+p) 提示:将积分化为=(p-1)my1-2ddhd,其中9是由平面x=0,y=0, x=u u=rsin p cos0 z=0与x+y+2=1所围的区域。再令{y=n2与{= rsin o sin e,得到 1=8(p-DJ2sin2m-0 cos&de Jasin mt2n-lp cos2P-'pdo 5r2mt2mn2p-dr 9.提示切m=sm08h=(+1二a+ 2 2
法得到Γ′′( ) = ∫0 1 ln 2 > 0 ，于是在 +∞ − − s x e xdx s x ( , ) x0 +∞ 上Γ′(s) > 0，因此 在 上单调增加。再由 Γ(s) ( , ) x0 +∞ Γ(n +1) = n!→ +∞ 即得结论。 5．ln 2π 。提示：利用∫ Γ − = ∫ Γ 及余元公式。 1 0 1 0 ln (1 x)dx ln (x)dx 6． p < 1时收敛，此时 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ I = B ,1− p 2 3 2π 。 7．当 1 1 1 1 + + < α β γ 时积分收敛，此时 ) 1 1 1 ) (1 1 ) ( 1 ) ( 1 ( 1 αβγ α β γ α β γ I = Γ Γ Γ Γ − − − 。 提示：令 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = γ β α 2 2 2 z w y v x u 与 ，得到 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z r v r u r ∫ − − = 2 0 1 2 1 2 sin cos 8 π β α θ θ θ αβγ I d ∫ + − − 2 0 1 2 1 2 2 sin cos π α β γ ϕ ϕdϕ ∫ +∞ + + − + 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ ， 对其中积分∫ +∞ + + − + 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ ，令r 2 = t 。 8． ( ) ( ) ( ) ( ) m n p m n p I Γ + + Γ Γ Γ = . 提示：将积分化为 ∫∫∫ ，其中 Ω − − − I = p − x y z dxdydz m 1 n 1 p 2 ( 1) Ω 是由平面 ， ， 与 x = 0 y = 0 z = 0 x + y + z = 1所围的区域。再令 与 ，得到 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 2 2 2 z w y v x u ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z r v r u r ∫ − − = − 2 0 2 1 2 1 8( 1) sin cos π I p θ θdθ n m ∫ + − − 2 0 2 2 1 2 3 sin cos π ϕ ϕdϕ m n p ∫ 1 + + − 0 2 2 2 3 r dr m n p 。 9．提示： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = = − ∫ ∫ 2 1 , 2 1 2 1 tan 2 sin cos 0 2 0 α α α π α π α xdx x xdx B 2 2cos 2 1 2 1 απ α α π ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = Γ 。 4
提示:作变量代换t=tan9,则 1+COS +kcos p 0(1+k)+(1-k)t -k 再作变量代换-t=tanO,将它变为 1+k 「百 2 tanabe 2|1+k 1+k(V1-k 1+k(V1-ksn“cosl=aBO 1+k(V1-k)(2 再利用余元公式即得结论。 11.提示:作变量代换t=hu,得 ∫-)2d=h-hn2)2m≥1(1-n)=d 再作变量代换l=sinθ,右式变为 cos-200hrll n-lh(2 h
10．提示：作变量代换 2 tan ϕ t = ，则 ∫ ∫ +∞ − − + + − = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 2 1 0 1 (1 ) (1 ) 2 1 cos 1 cos sin k k t t dt k d α π α ϕ ϕ ϕ ϕ ， 再作变量代换 tanθ 1 1 = + − t k k ，将它变为 . 2 1 1 2 1 1 1 2 , 1 1 2 1 1 1 sin cos 1 1 1 2 tan 1 1 1 2 2 0 1 1 2 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟Γ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ∫ ∫ − − − α α α α θ θ θ θ θ α α π α α α π α α k k k B k k k d k k k d k k k 再利用余元公式即得结论。 11．提示：作变量代换 t = hu ，得 ∫ ∫ ∫ − − − − = − ≥ − 1 0 2 3 2 1 0 2 3 2 2 0 2 3 2 (1 t ) dt h (1 h u ) dt h (1 u ) dt n n h n ， 再作变量代换u = sinθ ，右式变为 h n n n n n h Bh h d n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ − 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 , 2 1 2 cos 2 0 2 π θ θ π 。 5