习题8. 1.物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+q的点电荷产生 的电场对距离r处的单位正电荷的电场力为F=kq(k为常 数),求距电场中心x处的电位。 图 2.证明:若厂f(x)k和厂g(x)hx收敛,k和k为常数,则 [kf(x)+kg(x)]女也收敛,且 kf(x)+k2g(x)=k厂f(x)+k厂g(x) 3.计算下列无穷区间的反常积分(发散也是一种计算结果) sins d (4)0(x2+a2)(x2+b2) (a>0,b>0) 5)xedr(a∈R) dx(P∈R); Inp (7) dx dh (x2+1)3 (ex+e-x) dx d 4.计算下列无界函数的反常积分(发散也是一种计算结果) x (3)dx () 2-x)1- I 1J(s) dx 5.求极限m 6.计算下列反常积分:
习 题 8.1 ∞ x q 图 8.1.4 ⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量 + q的点电荷产生 的电场对距离r 处的单位正电荷的电场力为 F k q r = 2 （ k 为常 数），求距电场中心 x 处的电位。 ⒉ 证明：若 和 收敛， 为常数，则 ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx k k 1和 2 [ ] ∫ +∞ + a k f (x) k g(x) dx 1 2 也收敛，且 ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ + = + a a a [k f (x) k g(x)]dx k f (x)dx k g(x)dx 1 2 1 2 。 ⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx ; ⑵ e cos − +∞ ∫ 3 0 2 x xdx ; ⑶ 1 1 2 x x dx + + −∞ +∞ ∫ ; ⑷ 1 0 2 2 2 2 ( ) x a (x b ) dx + + +∞ ∫ (a > 0,b > 0) ; ⑸ ∫ +∞ ∈ 0 e ( ) 2 x dx a R ax ; ⑹ ( ) ln 1 2 ∈ R ∫ +∞ dx p x x p ; ⑺ 1 1 2 3 2 ( ) / x dx + −∞ +∞ ∫ ; ⑻ 1 0 2 (e e ) x x dx + − +∞ ∫ ; ⑼ 1 1 0 4 x dx + +∞ ∫ ； ⑽ ln x x dx 1 0 2 + +∞ ∫ 。 ⒋ 计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ x x dx 1 0 2 1 − ∫ ; ⑵ 1 1 1 2 x x dx − ∫ ln e ; ⑶ x x dx − ∫ 1 1 2 ; ⑷ 1 2 1 0 1 ( ) − − ∫ x x dx ; ⑸ 1 1 1 3 2 1 x x sin dx −∫ ; ⑹ ∫ 2 0 tan 1 π dx x ; ⒌ 求极限lim ! n n n →∞ n 。 ⒍ 计算下列反常积分： 1
(1)「 In cos xdx (2) SxInsinxdx。 (3)cot xdx t arcsinx In x (5) 7.求下列反常积分的 Cauchy主值 )(cp) dx (2)(cpV) dx (3)(cpN)2xhx女x。 8.说明一个无界函数反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 9.(1)以厂。f(x)d为例,叙述并证明反常积分的线性性,保序性和区间可加性 (2)举例说明,对于反常积分不再成立乘积可积性 0.证明当a>0时,只要下式两边的反常积分有意义,就有 d x= In dx 1.设。f(x)d女收敛,且limf(x)=A。证明A=0 12.设f(x)在[a+2)上可导,且。f(x)与。f(x都收敛,证明imf(x)=0 计算实习题 在教师的指导下,试编制一个通用的 Gauss-Legendre求积公式程序,在电子计算机上实 际计算下列反常积分值,并与精确值比较: In(1-x) (精确值一): x 2 In x In(1-x)k,(精确值2--) (3)「 n cos xdx (精确值--ln2) (精确值一); )jsin(x2)x,(精确值{) 2V2
(1) ln cos xdx 0 2 π ∫ ; (2) x x ln sin 0 π ∫ dx 。 (3) ∫ 2 0 cot π x xdx ; (4) arcsin x x dx 0 1 ∫ ; (5) ln x x dx 1 0 2 1 − ∫ 。 ⒎ 求下列反常积分的 Cauchy 主值： ⑴ (cpv) 1 1 2 + + −∞ +∞ ∫ x x dx ; ⑵ (cpv) 1 2 1 4 x dx − ∫ ; ⑶ (cpv) ln / 1 1 2 2 x x ∫ dx 。 ⒏ 说明一个无界函数反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 ⒐ ⑴ 以 为例，叙述并证明反常积分的线性性，保序性和区间可加性； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。 10. 证明当a > 0 时，只要下式两边的反常积分有意义，就有 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 0 1 ln dx x x a a x a f 。 11．设 ∫ 收敛，且 +∞ a f (x)dx f x A x = →+∞ lim ( ) 。证明 A = 0。 12．设 f (x) 在[a,+∞) 上可导，且 ∫ 与 都收敛，证明 。 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ ′ a f (x)dx lim ( ) = 0 →+∞ f x x 计 算 实 习 题 在教师的指导下，试编制一个通用的 Gauss-Legendre 求积公式程序，在电子计算机上实 际计算下列反常积分值，并与精确值比较： ⑴ ln(1 ) 0 1 − ∫ x x dx ， （精确值 − π2 6 ）； ⑵ 0 ln x ln(1 x) ，（精确值 1 ∫ − dx 2 6 2 − π ）； ⑶ ln cos xdx 0 2 π ∫ ， （精确值 − π 2 ln 2）； ⑷ ∫ +∞ 0 tan dx x x ， （精确值 π 2 ）； ⑸ 0 sin(x 2 )dx ， （精确值 +∞ ∫ 1 2 2 π ）。 2
习题8.2 1.(1)证明比较判别法(定理8.2.2) (2)举例说明,当比较判别法的极限形式中=0或+∞时 (x)和厂fx)t 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 2.证明 Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。 3.讨论下列非负函数反常积分的敛散性: arctan x -2x +Inx+1 dx(p,q∈R) +x sin x 4.证明:对非负函数f(x),(cpv)∫f(x)x收敛与」二fx)hk收敛是等价的。 5.讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散,下同): In Inx ∫2a(p∈R sin x arc tanx dx(p∈R+) o sin(x Pu(x sin xdx(pn(x)和qn(x)分别是m和n次多项式 q,(x) qn(x)在x∈[a,+∞)范围无零点。) 6.设f(x)在{a,b只有一个奇点x=b,证明定理8.2.3和定理8.2.5 7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性: x2(1-3 cos-rsina. dx (5)IInxlpdx (1-x) 讨论下列反常积分的敛散性 (1) d(p,q∈R);(2) In (x-1)2(x
习 题 8.2 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l = 0 或 + ∞ 时，∫ 和 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ⒉ 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln ; ⑵ ∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x ; ⑶ 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | ; ⑷ x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ （ ）. + p,q ∈ R ⒋ 证明：对非负函数 f (x)，(cpv) f x( )dx 收敛与 收敛是等价的。 −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）： ⑴ ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ ; ⑵ sin x x dx 1 p +∞ ∫ （ ）; + p ∈ R ⑶ ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p （ ）; + p ∈ R ⑷ sin(x )dx 2 0 +∞ ∫ ; ⑸ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) （ p x 和q 分别是 和 次多项式， m ( ) x n ( ) m n q x n ( )在 x ∈[a,+∞) 范围无零点。） ⒍ 设 f x( )在[ , a b]只有一个奇点 x = b ，证明定理 8.2.3′ 和定理 8.2. 5′ 。 ⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 0 3 2 1 x x dx ( ) − ∫ ; ⑵ ln x x dx 0 2 1 −1 ∫ ; ⑶ 1 0 2 2 2 cos x sin x dx π ∫ ; ⑷ 1 0 2 − ∫ cos x x dx p π ; ⑸ |ln x | dx p 0 1 ∫ ; ⑹ x x d p q − − ∫ − 1 1 0 1 ( ) 1 x ; ⑺ ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q . ⒏ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln ( ); + p,q ∈ R ⑵ 1 1 2 0 3 2 x x x dx ( ) − − ( ) +∞ ∫ ; 3
n(1+x) arc tan x (7) d x 9.讨论下列反常积分的敛散性 (1) (2)[+ox9sInx dx(p≥0); 1+x coSX sinx sin zxdx COs dx (p>0) 10.证明反常积分 xsin x sin xdx收敛。 1.设f(x)单调,且当x→0+时f(x)→+,证明:∫f(x)dt收敛的必要条件是 12.设。f(x)d收敛,且x(x)在a+2)上单调减少,证明: lim x(In x(x)=0 13.设∫(x)单调下降,且limf(x)=0,证明:若∫(x)在[0,+∞)上连续,则反常积分 。f(x)sin2x收敛 14.设∫。f(x)绝对收敛,且lmf(x)=0,证明∫"f(x收敛 15.若∫。f2(x)d收敛,则称f(x)在[a+∞)上平方可积(类似可定义无界函数在[a,b 上平方可积的概念) (1)对两种反常积分分别探讨∫(x)平方可积与∫(x)的反常积分收敛之间的关系; (2)对无穷区间的反常积分,举例说明,平方可积与绝对收敛互不包含 (3)对无界函数的反常积分,证明:平方可积必定绝对收敛,但逆命题不成立 16.证明反常积分 sinxdx xp+sin x
⑶ ln(1 ) 0 +∞ + ∫ x x dx p ; ⑷ ∫ +∞ 0 arc tan dx x x p ; ⑸ ∫ / 2 0 π tan dx x x p ; ⑹ x d p x − − +∞ ∫ 1 0 e x ; ⑺ 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ ; ⑻ ∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q . ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x dx p− +∞ + ∫ 1 0 2 1 ; ⑵ x x x dx q p sin 1 1 + +∞ ∫ ( p ≥ 0 ); ⑶ ∫ +∞ 0 sin e cos dx x x p x ; ⑷ ∫ +∞ 0 sin e sin 2 dx x x p x ; (5) ∫ 1 0 2 1 cos 1 dx x x p ； (6) ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 sin dx x x x p ( p > 0 ). 10．证明反常积分 ∫ 收敛。 +∞ 0 4 x sin x sin xdx 11．设 f (x)单调，且当 x → 0 + 时 f x( ) → +∞ ，证明： 收敛的必要条件是 。 f x( )dx 0 1 ∫ lim ( ) x xf x → + = 0 0 12．设 ∫ 收敛，且 在 +∞ a f (x)dx xf (x) [a,+∞) 上单调减少，证明: lim (ln ) ( ) = 0 。 →+∞ x x f x x 13．设 f x( )单调下降，且 lim ( ) x f x →+∞ = 0，证明：若 f ′(x) 在[ , 0 +∞) 上连续，则反常积分 ′ 收敛。 +∞ ∫ f x( )sin x dx 2 0 14. 设 ∫ 绝对收敛，且 +∞ a f (x)dx lim ( ) x f x →+∞ = 0，证明 f x dx 收敛。 a 2 ( ) +∞ ∫ 15． 若 f x dx 收敛，则称 在[ , a 2 ( ) +∞ ∫ f x( ) a +∞)上平方可积（类似可定义无界函数在[ , 上平方可积的概念）。 a b] ⑴ 对两种反常积分分别探讨 f x( )平方可积与 f (x)的反常积分收敛之间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含； ⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。 16. 证明反常积分 sin sin x x x dx p + +∞ ∫1 4
当p≤时发散,当1时绝对收敛
当 p ≤ 1 2 时发散，当 1 2 1时绝对收敛。 5
第八章 第1节 (1) (2) (3) (4) 2ab(a+b) (5)a20时积分发散:a1时积分收敛于—,(n2)P1 (7)2.(8)1.(9)r;提示参考第六章第3节习题1(10 (10)0:提示,如x=f,x+,x,再对右端任一积分作 变量代换x 4.(1)1.(2)z.(3)8(4)z.(5)积分发散 (6);提示作变量代换vamx=1 5. lim In i1÷1k( INdx=-1,所以 n→nk=1n 6.(1)-zln2;提示:令x=x-1,再利用例81l (2)-xh2;提示:令x=z-1,由 xInin xdx=Jhsm- t In sin tdr, 得到「 xIn sin xd Insin xdx=r[2Insin xdx (3)xn2;提示:「 x cot xdx=[2 xd In sin x,再用分部积分法 (4)xlm2,提示:令1= arcsinx,∫bxa= Cotdr
第八章 第 1 节 1. x kq . 3．（1） 29 5 . （2） 13 3 . （3） 3 2π . （4） 2ab(a + b) π . （5）a ≥ 0时积分发散；a 1时积分收敛于 1 (ln 2) 1 1 − + − p p . （7）2 . （8） 4 1 . （9） 2 2 π ; 提示: 参考第六章第 3 节习题 1(10). （10）0 ; 提示: = + ∫ +∞ dx x x 0 2 1 ln + + ∫ dx x 1 x 0 2 1 ln dx x x ∫ +∞ + 1 2 1 ln , 再对右端任一积分作 变量代换 t x 1 = . 4. （1）1. （2） 2 π . （3） 3 8 . （4） 2 π . （5）积分发散. （6） 2 π ; 提示: 作变量代换 tan x = t . 5. = →∞ n n n n ! lim ln ∑ = = →∞ n k n n k n 1 ln 1 lim ∫ = − 1 0 ln xdx 1, 所以 n e n n n ! 1 lim = →∞ . 6. (1) ln 2 2 π − ; 提示: 令 x = − t 2 π , 再利用例 8.1.11. (2) ln 2 2 2 π − ; 提示: 令 x = π − t , 由 , 得到 ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ − π π0 lnsin tdt ∫ π 0 t lnsin tdt ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ π π 0 ln sin 2 xdx = ∫ 2 0 ln sin π π xdx . (3) ln 2 2 π ; 提示: ∫ 2 0 cot π x xdx = ∫ 2 0 ln sin π xd x , 再用分部积分法. (4) ln 2 2 π ; 提示: 令t = arcsin x , ∫ = 1 0 arcsin dx x x ∫ 2 0 cot π t tdt . 1
5)-xmn2;提示:门x一h=「 In xd arcsinx,再用分部积分法 7.(1)丌.(2)ln2.(3)0 0.提示:积分 x a)lnx-Ina xiainx-ina dx x aInx-Ina 对上面两积分中任意一个作变量代换x 12.提示:由∫。f(x)t的收敛性,可知lmf(x)存在,再利用第11题 x→+0 第2节 3.(1)收敛;(2)收敛;(3)发散;(提示: 1+xlsin x 1+x (4)当p-qx1时积分收敛,其余情况下积分发散 5.(1)条件收敛;(2)当01时积分绝对收敛; (3)当01时积分绝对收敛; (4)条件收敛:(提示:令1=,积分化为025) (5)当n=m+1时积分条件收敛,当n>m+1时积分绝对收敛,当n-1时收敛,当p≤-1时发散; (6)当p>0,q>0时收敛,其余情况下发散 (7)当p>0,q>-1时收敛,其余情况下发散 8.(1)收敛;(2)收敛;(3)当1<p<2时收敛,其余情况下发散 (4)当1<p<2时收敛,其余情况下发散
(5) ln 2 2 π − ; 提示: ∫ = − 1 0 2 1 ln dx x x ∫ 1 0 ln xd arcsin x ,再用分部积分法. 7． (1) π . (2) ln 2 . (3) 0 . 10. 提示：积分 dx x x a x a a x f ln ln 0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + dx x x a x a a x f a ln ln 0 dx x x a x a a x f a ln − ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ ， 对上面两积分中任意一个作变量代换 t a x 2 = . 12. 提示: 由 的收敛性, 可知 存在, 再利用第 11 题. ∫ +∞ a f '(x)dx lim f (x) x→+∞ 第 2 节 3．（1）收敛；（2）收敛；（3）发散；（提示： x x + x ≥ + 1 1 1 sin 1 ） （4）当 p − q > 1时积分收敛，其余情况下积分发散. 5．（1）条件收敛；（2）当0 1时积分绝对收敛； （3）当0 1时积分绝对收敛； （4）条件收敛；（提示：令t = x 2，积分化为∫ +∞ 0 2 sin dt t t ） （5）当n = m +1时积分条件收敛，当n > m +1时积分绝对收敛，当 时 积分发散. n −1时收敛，当 p ≤ −1时发散； （6）当 p > 0, q > 0 时收敛，其余情况下发散； （7）当 p > 0, q > −1时收敛，其余情况下发散. 8．（1）收敛；（2）收敛；（3）当1 < p < 2时收敛，其余情况下发散； （4）当1 < p < 2时收敛，其余情况下发散； 2
(5)当p0时收敛,当p≤0时发散 (7)当min(p,q)1时收敛,其余情况下发散 (8)当p>1或p=1,q>1时收敛,其余情况下发散 9.(1)当01时积分绝对收敛,当00且x充分大时,—x与 P cos x都是单调减少的 10.提示:利用 Cauchy收敛原理,对任意A">A>A,由分部积分法, A "sinx xsin x sin xdx= oS x sIn cosx n.x/1cosxcossdr-] cos x sin x dx
（5）当 2 3 p 0时收敛，当 p ≤ 0 时发散； （7）当min( p, q) 1时收敛，其余情况下发散； （8）当 p > 1 或 p = 1, q > 1 时收敛，其余情况下发散. 9．（1）当0 1时积分绝对收敛，当0 0且 x充分大时， p x x 1 sin 与 p x x 1 cos 都是单调减少的. 10．提示：利用 Cauchy 收敛原理，对任意 A"> A'> A，由分部积分法， ∫ = " ' 4 sin sin A A x x xdx − ∫ " ' 4 2 (cos ) 4 A sin A d x x x " ' 2 4 4 sin cos A A x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + ∫ − " ' 2 4 4 A cos cos A dx x x x ∫ " ' 3 4 2 A cos sin A dx x x x ， 3
显然,当A→+∞时,上式趋于零 12.提示:利用 Cauchy收敛原理,当x→>0+时,0≤f(x)≤∫xf(dt→0 13.提示:首先容易知道∫(x)≥0;然后利用 Cauchy收敛原理,当x→+∞时 有0sx(mx/x)s:(),==(t→0 14.提示:利用分部积分法, 「"f(x)sin2xdr=∫sin2xd(x)=-f(x)sin2xdt 6.提 sIn xP(x+sinx
显然，当 A → +∞ 时，上式趋于零. 12．提示：利用 Cauchy 收敛原理，当 x → 0 + 时， ≤ ≤ ∫ → x x f x f t dt x 2 ( ) ( ) 0 2 0 . 13．提示：首先容易知道 f (x) ≥ 0；然后利用 Cauchy 收敛原理，当 x → +∞ 时， 有 ≤ ≤ ∫ ⋅ = x x dt t x x f x tf t 1 (ln ) ( ) ( ) 2 1 0 ∫ → x x f (t)dt 0 . 14．提示：利用分部积分法， ∫ +∞ = 0 2 f '(x)sin xdx ∫ +∞ 0 2 sin xdf (x) ∫ +∞ = − 0 f (x)sin 2xdx . 16．提示： ( sin ) sin sin sin sin 2 x x x x x x x x x p p p p + = − + . 4