习题14.3 Green公式、 Gauss公式和 Stokes公式 1.利用 Green公式计算下列积分 (1)j(x+y)d-(x2+y),其中L是以41,B(32),C(25)为顶 点的三角形的边界,逆时针方向 2)∫x2x2y,其中L是圆周x2+y2=a2,逆时针方向 (3) x cos x+ 2xysin x-y e)k+( x.x-2ye2k,其中L是星形 线x3+y3=a3(a>0),逆时针方向; (4)∫e- cos y)dx-U-siny小,其中L是曲线y=sinx上从(0 到(,0)的一段; (5)j(2-y-(+sn2y,其中L是圆周x2+y2=2x的上半部 分,方向从点00)到点(2,0); (6)∫psin-x+y]+(2cosy-a,其中ab是正常数,L为 从点A(2a0)沿曲线y=√2ax-x2到点O0,0)的一段 (7)「,其中L是以点(0为中心,R为半径的圆周 4x2 (R>1),逆时针方向 (8)「(x-D)在+(x+),其中L为单位圆周x2+y2=1,逆时 针方向 9)「 elSin y-ycos y )dx+(x cos y+ysin y)dy ,其中L是包围原点 的简单光滑闭曲线,逆时针方向。 解(1)∫(x+y) y2)=(-x-2yh dx b.(2x+ y) (2x+y) (2)xydr-x'ydy =[J(2xy-2xy )drdy=- sin@ cos e de ordr =0 (3)(r'ycos x+2xy sinx-y2e kx+(x2sinx-2 ye ly
习 题 14.3 Green 公式、Gauss 公式和 Stokes 公式 1． 利用 Green 公式计算下列积分： （1） ∫ + − + ，其中 是以 L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 L A(11, ), B(3,2), C(2,5) 为顶 点的三角形的边界，逆时针方向； （2） ∫ − ，其中L 是圆周 ，逆时针方向； L xy dx x ydy 2 2 x y a 2 2 + = 2 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 ，其中L 是星形 线 ( 0) 3 2 3 2 3 2 x + y = a a > ，逆时针方向； （4） [ ] ( ) ( ) ∫ − − − L e y dx y y dy x 1 cos sin ，其中L 是曲线 y = sin x上从( , 到 0 0) ( , π 0)的一段； （5） ，其中 是圆周 的上半部 分，方向从点 到点 ； ( ) ( ) ∫ − − + L x y dx x y dy 2 2 sin L x y 2 2 + = 2x ( , 0 0) (2,0) （6） [ ] ( ) ∫ − + + − L e y b x y dx e y ax dy x x sin ( ) cos ，其中 是正常数，L 为 从点 沿曲线 a,b A(2a,0) 2 y = 2ax − x 到点O(0,0)的一段； （7） ∫ + − L 2 2 4x y xdy ydx ，其中 L 是以点 (1,0) 为中心， R 为半径的圆周 （R > 1），逆时针方向； （8） ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy ， 其中 为单位圆周 ，逆时 针方向； L 1 2 2 x + y = （9） [ ] ∫ + − + + L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x y e x y y y dx x y y y dy x ，其中 是包围原点 的简单光滑闭曲线，逆时针方向。 L 解（1）∫ + − + L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 ∫∫ = − − D ( 4x 2y)dxdy 3 140 2 (2 ) 2 (2 ) 11 3 ( 1) 2 1 3 2 4 3 ( 1) 2 1 2 1 = − + − + = − ∫ ∫ ∫ ∫ − + − + x x x x dx x y dy dx x y dy 。 （2）∫ − L xy dx x ydy 2 2 2 3 0 0 ( 2 2 ) 4 sin cos 0 a D xy xy dxdy d r dr π = − − = − θ θ θ = ∫∫ ∫ ∫ 。 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 1
l Oddy=0 (4)设L1:y=0,x:0→丌,则 ∫e- cos y)dx-(y- -sin y)小]=eydb=e L+LI 所以 [1-cos y)dx-(-sin y )dyl Je [0-cos yldr-(-sin y)dy ]+e (5)设L1:y=0,x:0→2,则 =∫ L+LI 所以 -k-(+b=2-)k 8 -lx+sin- yky=x dx=3o (6)设L1:y=0,x:0→2a,则 sin y-b(x+y COS =』(b-adh=na2 L+I 所以 sin y-b(x+y)kx+(e cos y-axkdy ∫psny-bx+y)]红+(2cosy-akh 2a(b-a)+bxd=(2+2)n3b-2 (7)设P(x,y) 取路径L1:4x2+y2=1,逆时针方向,由 Green公式, xdy-ydx xdy-ydx 令y_1 cos,y=sint,得到 2 4x2+y2 ∫(2eost+2smi=z x-y. o(x,y) (8)设P(xy)=x2+4y x+4y
= ∫∫ = 。 D 0dxdy 0 （4）设L1 : y = 0, x :0 → π ，则 [ ] ( ) ( ) 5 1 1 cos sin sin 0 0 − − − − = = = ∫ ∫∫ ∫ ∫ − + π π e e y dx y y dy e ydxdy e dx ydy x x D x x L L1 ， 所以 [ ] ( ) ( ) ∫ − − − L e y dx y y dy x 1 cos sin [ ] ( ) ( ) ∫ = − − − 1 1 cos sin L e y dx y y dy x = − + 5 1 π e 5 −1 π e 。 （5）设L1 : y = 0, x :0 → 2，则 ( ) ( sin ) (1 1) 0 2 2 − − + = − = ∫ ∫∫ − + D x y dx x y dy dxdy L L1 ， 所以 ( ) ( ) ∫ − − + L x y dx x y dy 2 2 sin ( ) ( ) 3 8 sin 2 0 2 2 2 1 = − − + = = ∫ ∫ x y dx x y dy x dx L 。 （6）设L1 : y = 0, x :0 → 2a，则 [ ] ( ) ( ) 2 sin ( ) cos ( ) 2 e y b x y dx e y ax dy b a dxdy a b a D x x − + + − = − = − ∫ ∫∫ + π L L1 ， 所以 [ ] ( ) ∫ − + + − L e y b x y dx e y ax dy x x sin ( ) cos 2 ( ) 2 a b a π = − [ ] ( ) ∫ − − + + − 1 sin ( ) cos L e y b x y dx e y ax dy x x = − + = ∫ a a b a b xdx 2 0 2 ( ) 2 π 2 3 2 ) 2 (2 a b a π π + − 。 （7）设 2 2 2 2 4 , ( , ) 4 ( , ) x y x Q x y x y y P x y + = + = − ，则 x Q x y y x y P ∂ ∂ = + − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 (4 ) 4 ， 取路径L1 : 4x y 2 2 + =1，逆时针方向，由 Green 公式， 2 2 4 xdy ydx x y − = + ∫ L 1 2 2 4 xdy ydx x y − + ∫ L 。 令 1 cos , sin 2 x = t y = t ，得到 2 2 4 xdy ydx x y − = + ∫ L 1 2 2 4 xdy ydx x y − + ∫ L 2 2 2 0 1 1 ( cos sin ) 2 2 t t dt π = + = π ∫ 。 （8）设 2 2 2 2 4 4 , ( , ) 4 ( , ) x y x y Q x y x y x y P x y + + = + − = ，则 2
oP 4y--8 y 取路径L1;x2+4y2=1,逆时针方向,由 Green公式, (x-y)dx+(x+4y)dy r(x-y)dx+(x+4y)dy 令x=cos,y=sint,得到 (x=y)+(x+4)=(x=y)在+(x+4)=21m=z。 (9)设P(x,y) e(xsin y-ycos y) o(x,y) e(xcos y+ ysin y) 则 aP [O )x+y2-x2 (x2+y2)2 取路径L;x2+y2=r2,即x= rcos t,y= rain,t:0→2z,由 Green公式, e [(rsin y-ycos y)dx+(rcos y+ ysin y)dy] X e"[(xsin y-ycos y)dx+(cos y+ ysin y)dy] 于是 a[(rsin y-ycos y)dx+(xcos y+ysin y)dy cos(rsin t)dt, 令r→0,即得到 I=2丌 2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积: (1)星形线x=acos3t,y=asin3t; (2)抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴; (3)旋轮线的一段:{x=a(=mD1r02x与x轴。 y=a(-cost) 3a 解(1)S=J-yx=-」J 3 sin'tcos tdt=-na (2)令y=x,则x= 1+y2)0+少3,1:0→+。于是 x=2a2 dt (1+D) (3)S (2-tsint-2cosn)dt= 3Ta' 3.先证明曲线积分与路径无关,再计算积分值:
x Q x y y xy x y P ∂ ∂ = + − − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 ( 4 ) 4 8 ， 取路径L1 : 4 x y 2 + 2 =1，逆时针方向，由 Green 公式， 2 2 ( ) ( 4 ) 4 x y dx x y dy x y − + + = + ∫ L 1 2 2 ( ) ( 4 ) 4 x y dx x y dy x y − + + + ∫ L 。 令 1 cos , sin 2 x = t y = t ，得到 ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy π π = = + − + + = ∫ ∫ 2 0 2 2 2 1 4 ( ) ( 4 ) 1 dt x y x y dx x y dy L 。 （9）设 2 2 2 2 ( cos sin ) , ( , ) ( sin cos ) ( , ) x y e x y y y Q x y x y e x y y y P x y x x + + = + − = ，则 x Q x y x y x y x y x y x y y y P ∂ ∂ = + + + − + + − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) [( ) ]cos ( 2 ) sin ， 取路径Lr ：x 2 + y 2 = r 2，即 x = r cost, y = rsin t, t : 0 → 2π , 由 Green 公式， [ ] 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x e x y y y dx x y y y dy x y − + + + ∫ L [ ] 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) r x e x y y y dx x y y y dy x y − + + = + ∫ L 。 于是 [ ] ∫ + − + + = r x y e x y y y dx x y y y dy I x L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) ∫ = 2π 0 cos e cos(rsin t)dt r t ， 令r → 0，即得到 I = 2π 。 2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1）星形线 x a = cos 3 3 t, y = a sin t ； （2）抛物线( ) x + = y 2 ax ( ) a > 0 与 x轴； （3）旋轮线的一段： t ⎩ ⎨ ⎧ = − = − (1 cos ), ( sin ), y a t x a t t ∈[ , 0 2π]与 x轴。 解（1） 2 2 2 2 0 1 3 sin cos 2 2 L a S xdy ydx t tdt π 3 2 8 = − = = π a ∫ ∫ 。 （2）令 y = tx，则 2 2 (1 ) , (1 ) t at y t a x + = + = ，t : 0 → +∞ 。于是 2 2 5 0 1 2 (1 ) 6 L t S ydx a dt t +∞ = − = = + ∫ ∫ a 。 （3） 2 2 2 0 1 (2 sin 2cos ) 3 2 2 L a S xdy ydx t t t dt a π = − = − − = π ∫ ∫ 。 3. 先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值： （1） ( , ) ( )( ； ( , ) x y − dx − dy ∫ 0 0 1 1 ) 3
(2)∫m(x)x+(y),其中o(x,0y)为连续函数 (3)10x+y2 (6,8)xax t ya 沿不通过原点的路径。 解(1)设P(x,y)=x-y,Q(x,y)=-(x-y), 则=-1=2,所以曲线积分与路径无关 取积分路径为L:y=x,x:0→1,于是 (x-y(dx-dy)=0 (2)设P(x,y)=9(x),Q(x,y)=p(y), 伞参兮=0=,所以曲线积分与路径无关。 则 aP 积分路径为L:折线ABC,其中A(2,1),B(11,C(12),于是 C3)+)+0yb=门90-9) (3)设P(x,y)= x=2,所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L:折线ABC,其中A(10,B(60),C(68),于是 (6.8)xdxt yay=[dx+ 4.证明(2 x cosy+y2cosx)+(2 sinx-x2siny)在整个xy平面上是某个 函数的全微分,并找出这样一个原函数。 证设P(x,y)=2 xcos]+y2cosx,Q(x,y)=2 sinx-x2siny,因为 -2xsin y+2ycos x ao ay 所以(2 xcos y+y2cosx)d+(2 sinx-x2siny)在整个xy平面上是某个函 数的全微分 设这个函数为(x,y),则 u(x,y)= o,o)(2x cos y+y* cos x)dx+(2ysin x-x sin y)dy+C 「。2x+2ynx-x2siny)h=xosy+y2sinx+C。 5证明+在除去y的负半轴及原点的裂缝x平面上是某个函数 的全微分,并找出这样一个原函数。 证设P(x,y)=-x,Q(x,y)=-2,因为
（2） ( , ) ϕ( ) φ( ) ，其中 ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 ϕ( ) x , φ( y) 为连续函数； （3） xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) ，沿不通过原点的路径。 解（1）设P(x, y) = x − y, Q(x, y) = −(x − y)， 则 x Q y P ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 1 ，所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L: y = x, x :0 →1，于是 ( )( ) 0 (1,1) (0,0) − − = ∫ x y dx dy （2）设P(x, y) = ϕ(x), Q(x, y) = φ( y)， 则 x Q y P ∂ ∂ = = ∂ ∂ 0 ，所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L : 折线 ABC ，其中 A(2,1), B(1,1),C(1,2)，于是 ϕ φ ( ) ( ) ( , ) ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 = + = ∫ ∫ 2 1 1 2 ϕ(x)dx φ( y)dy ∫ − 2 1 [φ(t) ϕ(t)]dt。 （3）设 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y y Q x y x y x P x y + = + = ， 则 x Q x y xy y P ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ 2 3 2 2 ( ) ，所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L : 折线 ABC ，其中 A(1,0), B(6,0),C(6,8)，于是 xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) 9 36 8 0 2 6 1 = + = + ∫ ∫ y ydy dx 。 4．证明( c 2x os y + + y 2 cos x)dx (2y sin x − x 2 sin y)dy在整个 xy平面上是某个 函数的全微分，并找出这样一个原函数。 证 设P(x, y) 2x cos y y cos x, Q(x, y) 2y sin x x sin y ，因为 2 2 = + = − x Q x y y x y P ∂ ∂ = − + = ∂ ∂ 2 sin 2 cos ， 所以( c 2x os y + + y 2 cos x)dx (2y sin x − x 2 sin y)dy在整个 xy平面上是某个函 数的全微分。 设这个函数为u(x, y)，则 u(x, y) ( , ) 2 2 (0,0) (2 cos cos ) (2 sin sin ) x y = + x y y x dx + y x − x y dy C ∫ + 2 2 2 0 0 2 (2 sin sin ) cos sin x y = + xdx y x − x y dy = x y + y x C ∫ ∫ + 。 5．证明 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y的负半轴及原点的裂缝 xy平面上是某个函数 的全微分，并找出这样一个原函数。 证 设 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y y Q x y x y x P x y + = + = ，因为 4
aP (x2+y2)2 所以 在除去y的负半轴及原点的裂缝xy平面上是某个函数的 全微分 设这个函数为u(x,y),则 (x,y) (x, y)xdx ydy o)x2+ =In(x +y)+C 2 6.设Q(xy)在x平面上具有连续偏导数,曲线积分j2xd+(xy)与 路径无关,并且对任意t恒有 2xydx +o(x, y)dy 2xydx+o(x, y)dy 求Q(x,y) 解因为曲线积分2x+xy)与路径无关,所以=2x,两边 关于x积分,即得到Q(x,y)=x2+(y),其中φ待定。 由条件2h+Qxy)=2+Qxy)b,可得 (t2+o(y)y=(1+o(y)d 两边对t求导,得到21=1+9(1),即9(y)=2y-1,所以 Q(x,y)=x2+2y-1。 7.确定常数λ,使得右半平面x>0上的向量函数r(x,y)=2x(x4+y2)i x2(x4+y2)2j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求v(x,y) 解由题意,型2(x+)]=-x(x2+y),即 ax x(x4+y2)2+4Axy2(x2+y2)41=-2x(x4+y2)2-4ax3(x4+y2) 化简后,求得A=-1。这时 (1, y)2xydx-x'dy u(x +C=-x +C=- arctan+C。 8.设一力场为F=(3x2y+8xy2)i+(x3+8x2y+12ye”),证明质点在此场 内移动时,场力所作的功与路径无关。 证设P(x,y)=3x2y+8x2,Q(x,y)=x3+8x2y+12ye”,因为 aP =3x2+16 ox 所以质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关 9.利用 Gauss公式计算下列曲面积分: (1)xd+y2+dhd,E为立方体0≤x,y=sa的表面,方
x Q x y xy y P ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ 2 2 2 ( ) 2 ， 所以 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y的负半轴及原点的裂缝 xy平面上是某个函数的 全微分。 设这个函数为u(x, y)，则 u(x, y) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 (0,1) 0 1 1 ln( ) 1 2 x y xdx ydy x xdx y ydy x y C x y x x y + = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ + 。 6．设Q(x, y)在 xy平面上具有连续偏导数，曲线积分 与 路径无关，并且对任意 恒有 ∫ + L 2xydx Q(x, y)dy t ∫ ∫ + = + (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy ， 求Q(x, y)。 解 因为曲线积分∫ + 与路径无关，所以 L 2xydx Q(x, y)dy x x Q = 2 ∂ ∂ ，两边 关于 x积分，即得到Q(x, y) = x 2 +ϕ( y)，其中ϕ 待定。 由条件∫ + = ∫ + ，可得 (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy ∫ + = ∫ + ， t t y dy y dy 0 1 0 2 ( ϕ( )) (1 ϕ( )) 两边对t求导，得到2t = 1+ϕ(t)，即ϕ( y) = 2y −1，所以 ( , ) 2 1 2 Q x y = x + y − 。 7．确定常数λ ，使得右半平面 上的向量函数 为某二元函数 的梯度，并求 。 x > 0 r i λ ( , ) 2 ( ) 4 2 x y = xy x + y j λ ( ) 2 4 2 − x x + y u(x, y) u(x, y) 解 由题意， x x x y y xy x y ∂ ∂ − + = ∂ ∂[2 ( + ) ] [ ( ) ] 4 2 λ 2 4 2 λ ，即 4 2 2 4 2 1 4 2 5 4 2 1 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) − − + + + = − + − + λ λ λ λ x x y λxy x y x x y λx x y ， 化简后，求得 λ = −1。这时 u(x, y) 2 2 ( , ) 4 2 4 2 2 (1,0) 0 2 arctan x y xydx x dy y x dy y C C x y x y x − = + = − + = − + + ∫ ∫ +C 。 8．设一力场为 ，证明质点在此场 内移动时，场力所作的功与路径无关。 F (3 8 )i ( 8 12 ) j 2 2 3 2 y = x y + xy + x + x y + ye 证 设 ，因为 y P(x, y) 3x y 8xy , Q(x, y) x 8x y 12ye 2 2 3 2 = + = + + x Q x xy y P ∂ ∂ = + = ∂ ∂ 3 16 2 ， 所以质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。 9．利用 Gauss 公式计算下列曲面积分： （1） x dydz y dzdx z dxdy ，Σ为立方体0 2 2 2 ∫∫ + + Σ ≤ x, , y z ≤ a 的表面，方 5
向取外侧 小(x-y+)hd+(y-+x)dx+(-x+y)hd,其中∑为闭曲 面|x-y+2|+|y-x+x|+|z-x+y|=1,方向取外侧 (3)j(x2cosa+y2coB+:2cosy),其中∑为锥面=2=x2+y2介于 平面z=0与z=h(h>0)之间的部分,方向取下侧; (4)∫xdh+yth+ahd,其中∑为上半球面=√R2-x2-y2, 方向取上侧 (5)∫21-x)bh+8xhx-4=xdh,其中∑是由xy平面上的曲线 x=e(0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转面,曲面的法向量与x 轴的正向的夹角为钝角; (6)∫(2x+)h+doh,其中Σ是曲面==x2+y2(0≤=≤1),曲 面的法向量与z轴的正向的夹角为锐角; (7)cdk+(a+2)c(a>0),其中Σ是下半球面 a2-x2-y2,方向取上侧 (8)[2+1d+zd,其中Σ是 (i)椭球面x2+2y2+3x2=1,方向取外侧 (ⅱi)抛物面 (z≥0),方向取上侧。 516 解(1)设Ω是Σ所围的空间区域,则 ∫xhd=+ydr ∫2x+y+)dd=6d==3 (2)设是∑所围的空间区域,作变换:{=y-=z+x,则 t y a0.22=4,且变换将变为={(nx)++,记Q"是 在第一象限的部分,则 (x-y+==+(y-2+x)dcd+(2-x+y)dxdy 3dxdyd==dudvdw=6 duded=1 4
向取外侧； （2） ，其中Σ为闭曲 面 ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + (z − x + y)dxdy ∫∫ Σ | x − y + z |+| y − z + x |+| z − x + y |= 1，方向取外侧； （3） ，其中Σ为锥面 介于 平面 ( ) x y z 2 2 2 cosα β + + cos cosγ ∫∫ Σ dS 2 z x y 2 2 = + z = 0与z h = (h > 0)之间的部分，方向取下侧； （4） ∫∫ xdydz + + ydzdx zdxdy ，其中Σ为上半球面 Σ z R = − x − y 2 2 2 ， 方向取上侧； （5） ∫∫ 2 1( ) −+− x 2 dydz 8xydzdx 4zxdxdy ，其中Σ是由 Σ xy平面上的曲线 x e = ≤ y (0 y ≤ a) 绕 x轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与 轴的正向的夹角为钝角； x （6） ，其中Σ是曲面 （ ），曲 面的法向量与 轴的正向的夹角为锐角； ∫∫ Σ (2x + z)dydz + zdxdy 2 2 z = x + y 0 ≤ z ≤ 1 z （7） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 1/ 2 2 ( ) ( ) x y z axdydz a z dxdy （ a > 0 ）， 其 中 Σ 是下半球面 2 2 2 z = − a − x − y ，方向取上侧； （8） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 3 / 2 (x y z ) xdydz ydzdx zdxdy ，其中Σ是 （i）椭球面 x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1，方向取外侧； （ii）抛物面 + − − = 16 ( 2) 5 1 2 z x ( 0) 9 ( 1) 2 ≥ − z y ，方向取上侧。 解（1）设Ω是Σ所围的空间区域，则 x dydz y dzdx z dxdy 2 2 2 ∫∫ + + Σ = 2(x y z)dxdydz 6 0 dx 0 dy 0 zdz 3a 4 。 a a a + + = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω （2）设Ω是Σ所围的空间区域，作变换ϕ : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − + = − + w z x y v y z x u x y z ，则 ( , , ) 4 ( , , ) u v w x y z ∂ = ∂ ，且变换ϕ 将Ω变为Ω' ( = { u v, ,w) u + v + w ≤1}，记Ω′′是Ω′ 在第一象限的部分，则 ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + ( ) z − x + y dxdy ∫∫ Σ = 6 1 4 3 3 = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω′ Ω′′ dxdydz dudvdw dudvdw 。 6
(3)补充x1:z=h(x2+y2≤h2),方向取上侧,设Ω是x+Σ1所围的空间 区域,因为9的对称性,有∫ drdy:= [Sydxdyds=0。由 Gauss公式 S(2 a+y2cosB+= cos rks=[2(x+y+=)dxdyd= 2 JJidxdyd-==2J eJo rdrp, cd==2h" 于是 x cosa+y coS B+ Sh'-(cos a+cos B+= yks h2-「nh2azdy m4。 2 (4)补充Σ1:z=0(x2+y2≤R2),方向取下侧,设9是x+X所围的空 间区域,由 Gauss公式, xdyd=+ ydcdx+=dxdy=13dxdyd-= 2R 于是 xdyd:+yd=dx+idxdy=2R'-xdyds+ydzdx+drdy=2R (5)由题意,可得Σ:x (y2+z2≤a2),方向取后侧。补充 ∑1:x=e"(y2+z2≤a2),方向取前侧,设Ω是Σ+Σ所围的空间区域,由 Gauss公式 J2(1-x )dyd=+8xydidx-4=xdrdy=odxdyd:=0 于是 ∫21-x2)dd+8xytd-4=tb=21-e)=2m(e2-1)。 (6)补充Σ1:z=1(x2+y2≤1),方向取下侧,设Ω是Σ+1所围的空间 区域,由 Gauss公式 j(x+2)+h=h=3m=-3x, 于是 ∫(2x+)+db=-2x-jh=-2 (7)由题意 axdyd=+a+=)dxdy 1 (x2+y2+z2)2 axxdydz+(a+2 drdo 补充1:z=0(x2+y2≤a2),方向取下侧,设g是x+所围的空间
（3）补充Σ1 : z = h(x 2 + y 2 ≤ h2 )，方向取上侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空间 区域，因为Ω的对称性，有∫∫∫ = ∫∫∫ = 0。由 Gauss 公式， Ω Ω xdxdydz ydxdydz ( ) ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω x cos + y cos + z cos dS = 2(x + y + z)dxdydz 1 2 2 2 α β γ 4 0 2 0 2 2 zdxdydz 2 d rdr zdz h h r h π θ π = = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω ， 于是 ( x y z ) 2 2 2 cosα β + + cos cosγ ∫∫ Σ dS ( ) ∫∫ Σ = − + + 1 cos cos cos 2 4 2 2 2 h x α y β z γ dS π 4 2 4 2 1 2 1 h h dxdy πh π = − = − ∫∫ Σ 。 （4）补充Σ1 : z = 0(x 2 + y 2 ≤ R2 )，方向取下侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空 间区域，由 Gauss 公式， 3 2 3， 1 xdydz + ydzdx + zdxdy = dxdydz = πR ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω 于是 3 3 2 2 1 xdydz + ydzdx + zdxdy = πR − xdydz + ydzdx + zdxdy = πR ∫∫ ∫∫ Σ Σ 。 （5）由题意，可得 : ( ) 2 2 2 2 2 x e y z a y z Σ = + ≤ + ，方向取后侧。补充 : ( ) 2 2 2 1 x e y z a a Σ = + ≤ ，方向取前侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空间区域，由 Gauss 公式， 2(1 ) 8 4 0 0 ， 1 2 − + − = = ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω x dydz xydzdx zxdxdy dxdydz 于是 2(1 ) 8 4 2(1 ) 2 ( 1) 2 2 2 2 1 − + − = − − = − ∫∫ ∫∫ Σ Σ a a x dydz xydzdx zxdxdy e dydz πa e 。 （6）补充Σ1 : z = 1(x 2 + y 2 ≤ 1)，方向取下侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空间 区域，由 Gauss 公式， ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω (2x + z)dydz + zdxdy = − 3dxdydz 1 θ π π 2 3 3 1 1 0 2 0 2 = − = − ∫ ∫ ∫r d rdr dz ， 于是 ∫∫ Σ (2x + z)dydz + zdxdy 2 1 2 3 1 π = − π − = − ∫∫ Σ dxdy 。 （7）由题意， ∫∫ ∫∫ Σ Σ = + + + + + + axdydz a z dxdy x y z a axdydz a z dxdy 2 2 2 2 1/ 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 。 补充Σ1 : z = 0(x 2 + y 2 ≤ a 2 )，方向取下侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空间 7
区域,由 Gauss公式, faxdyd=+(a+=dxdy=-[aa+2=)drdyd= 于是 Jaxdyd=+(a+=)dxdy Maddy 从而 axdvdz+ (8)(i)记r=√x2+y2+:2,设原积分为∫Phh+Qhd+Rhd,则 P 3y- aR 设∑={(xy=)x2+y2+x2=2},方向为外侧,设9是x+(-)所围的空 间区域,由 Gauss公式, Paydz odzdx+ Rdxdy +=2+) dady=0。 ax ay 由于cosa=x,cosB= 2, cosr=三 xdyd= ydEdx addy rr xdydz ydzdx +=dxdy =ll cosadyd=+cos Bdedx+cos ydxdy sJ(cosa+cos B+cos n)ds=I Esin p cose 注对上面的积分,也可取Σ的参数表示为{y= Esin sin 8, 其中(9,0)∈D={0≤g≤x,0 则 xdydz+ ydEdx =dxdy rr xdydz+ ydEdx =dxdy ∫ sindone=4z
区域，由 Gauss 公式， ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω axdydz + (a + z) dxdy = − (3a + 2z)dxdydz 1 2 4 0 4 2 2 2 3 2 a 2 z(a z )dz a a = − π − π − = − π ∫− ， 于是 2 4 2 4 2 1 2 3 ( ) 1 axdydz + a + z dxdy = − πa − a dxdy = − πa ∫∫ ∫∫ Σ Σ ， 从而 3 2 2 2 1/ 2 2 2 1 ( ) ( ) a x y z axdydz a z dxdy = − π + + + + ∫∫ Σ 。 （8）（i）记 2 2 2 r = x + y + z ，设原积分为 ∫∫ ，则 Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 5 2 2 3 r r x x P − = ∂ ∂ ， 5 2 2 3 r r y y Q − = ∂ ∂ ， 5 2 2 3 r r z z R − = ∂ ∂ 。 设 ' {( , , ) } 2 2 2 2 Σ = x y z x + y + z = ε ，方向为外侧，设Ω是Σ + −( Σ')所围的空 间区域，由 Gauss 公式， ( ) Pdydz Qdzdx Rdxdy Σ+ −Σ′ + + ∫∫ ( ) = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫∫∫ Ω dxdydz z R y Q x P 。 由于 r z r y r x cosα = ,cos β = ,cosγ = ， ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ Σ + + ' 3 r xdydz ydzdx zdxdy 2 1 cosα β dydz cos dzdx cosγ dxdy ε Σ′ = + + ∫∫ 2 2 2 2 2 1 1 (cos α cos β γ cos )dS dS 4 ε ε Σ Σ ′ ′ = + + = ∫∫ ∫∫ = π 。 注 对上面的积分，也可取Σ '的参数表示为 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ε ϕ ε ϕ θ ε ϕ θ cos sin sin sin cos z y x 其中(ϕ,θ ) ∈ D'= {0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π}，则 ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ Σ + + ' 3 r xdydz ydzdx zdxdy ' sin 4 D = = ϕd d ϕ θ π ∫∫ 。 8
(i)设∑={( x 1,z=0}-{(x,y,=)x2+y 方向为下侧,=(xy22+y2+=2=62,20,方向为下侧。则由Gaus 公式 dydz +ydcdx addy 由此得到 d=+ydedx+ eddy xdvdz+ vdzdx+=dxd cosa d+cos Bdcdx+cos ydxdy 2(cosa+cos B+cos r )ds=ds 注对上面的积分,也可取x"的参数表示为{y= Esin sin 8, 其中(0,0)∈D"=10≤0≤2,0≤0≤2m},则 xa dx+=dxdu xdydz+ ydzdx+ =dxdy sin dodo= 2T 10.利用 Gauss公式证明阿基米德原理:将物体全部浸没在液体中 时,物体所受的浮力等于与物体同体积的液体的重量,而方向 是垂直向上的 证以液面为x平面,垂直向上的轴为=轴,在物体表面上点(x,y,=) 处任取一微元,其面积为dS,设n为物体表面上点(x,y,z)处的单位 (外)法向量,p为液体密度。则这小块面积所受的压力大小为 cds 它在三个方向的分力分别为 s(n, y)ds, 于是由 Gauss公式, 0,F,=!∫
（ii）设 1, 0} 9 ( 1) 16 ( 2) ' {( , , ) 2 2 ≤ = − + − Σ = z x y x y z {( , , ) , 0} 2 2 2 − x y z x + y < ε z = ， 方向为下侧，" {( , , ) , 0} 2 2 2 2 Σ = x y z x + y + z = ε z ≥ ，方向为下侧。则由 Gauss 公式 0 ' " ∫∫ 3 Σ+Σ +Σ = + + r xdydz ydzdx zdxdy ， 由此得到 ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ −Σ + + " 3 r xdydz ydzdx zdxdy 2 1 cosα β dydz cos dzdx cosγ dxdy ε −Σ′′ = + + ∫∫ 2 2 2 2 2 1 1 (cos α cos β γ cos )dS dS 2 ε ε −Σ′′ −Σ′′ = + + = ∫∫ ∫∫ = π 。 注 对上面的积分，也可取Σ"的参数表示为 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ε ϕ ε ϕ θ ε ϕ θ cos sin sin sin cos z y x 其中( , ) " {0 ,0 2 } 2 D π ϕ θ ϕ ∈ = ≤ ≤ ≤θ ≤ π ，则 ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy 3 " xdydz ydzdx zdxdy r −Σ + + ∫∫ " sin 2 D = = ϕd d ϕ θ π ∫∫ 。 10． 利用 Gauss 公式证明阿基米德原理：将物体全部浸没在液体中 时，物体所受的浮力等于与物体同体积的液体的重量，而方向 是垂直向上的。 证 以液面为 xy平面，垂直向上的轴为 z 轴，在物体表面上点(x, y,z) 处任取一微元，其面积为dS ，设n为物体表面上点(x, y,z) 处的单位 （外）法向量， ρ 为液体密度。则这小块面积所受的压力大小为 dF = ρ zdS ， 它在三个方向的分力分别为 dFx = ρz cos(n, x)dS, dFy = ρz cos(n, y)dS, dFz = ρz cos(n,z)dS ， 于是由 Gauss 公式， = cos( , ) = 0, = cos( , ) = 0 ∫∫ ∫∫ Σ Σ Fx ρ z n x dS Fy ρ z n y dS ， 9
F:=p=cos(, -)dS=plldxdyd:=pV 这就是所要证明的。 11.设某种流体的速度场为v=yi+x+xyk,求单位时间内流体 (1)流过圆柱:x2+y2≤a2,0≤z≤h的侧面(方向取外侧)的流 量 (2)流过该圆柱的全表面(方向取外侧)的流量 解(1)设Σ1:z=0(x2+y2≤a2),方向取下侧,Σ2:z=h(x2+y2≤a2), 方向取上侧,D是Σ1,Σ2在xy平面上的投影区域。由于 由 Gauss公式, ∫ws=jdh=0, ∑+1+22 所以流量 (2)由(1)可知,流过该圆柱的全表面的流量「nws=0 12.利用 Stokes公式计算下列曲线积分 (1)Jk+动+x,其中L是球面x2+y2+:2=a2与平面x+y+=0 的交线(它是圆周),从x轴的正向看去,此圆周的方向是逆 时针方向; (2)∫3d+5xd-2ykh,其中L是圆柱面x2+y2=1与平面==y+3的 交线(它是椭圆),从z轴的正向看去,是逆时针方向; (3)(y-)+(=x)+(x=y),其中L为圆柱面x2+y2=a2和平 面a+方=1(a>0b>0的交线(它是椭圆),从x轴的正向看去, 是逆时针方向 (4)(y2-2)+(2-x)+(x2-y2k,其中L是用平面x+y+=2 截立方体0≤x,y,z≤1的表面所得的截痕,从x轴的正向看去 是逆时针方向; (5)jx-y)+(y2-x)+(=2-x)k,其中L是沿着螺线 x=aoso,y=asin,z=hg从点A(a.0)至点Ba.b)的路径
Fz = ρ ∫∫z z dS = ρ ∫∫∫dxdydz = ρV ， Σ Ω cos(n, ) 这就是所要证明的。 11．设某种流体的速度场为v = yzi + xzj + xyk ，求单位时间内流体 （1）流过圆柱： 的侧面（方向取外侧）的流 量； xya z 2 2 2 + ≤ , 0 ≤ ≤ h ) ) （2）流过该圆柱的全表面（方向取外侧）的流量。 解（1）设Σ = 1 : 0 z x( 2 2 + y ≤ a 2 ，方向取下侧，Σ = 2 : ( z h x 2 2 + y ≤ a 2 ， 方向取上侧，D是Σ1,Σ2在 xy平面上的投影区域。由于 0 1 = − = ∫∫ ∫∫ Σ D vdS xydxdy ， 0， 2 = = ∫∫ ∫∫ Σ D vdS xydxdy 由 Gauss 公式， 0 0 1 2 ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ +Σ Ω vdS = dxdydz = ， 所以流量 = 0 ∫∫ Σ vdS 。 （2）由（1）可知，流过该圆柱的全表面的流量∫∫ = 0 。 Σ vdS 12．利用 Stokes 公式计算下列曲线积分： （1）∫ + + ，其中 是球面 与平面 L ydx zdy xdz L x y z a 2 2 2 + + = 2 x + +y z = 0 的交线（它是圆周），从 x 轴的正向看去，此圆周的方向是逆 时针方向； （2）∫ ，其中 是圆柱面 与平面 的 交线（它是椭圆），从 轴的正向看去，是逆时针方向； + − L 3zdx 5xdy 2ydz L x y 2 2 + = 1 z y = + 3 z （3）∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz，其中L 为圆柱面 x y a 和平 2 2 + = 2 面 x a z h + = 1 0 ( , a h > > 0)的交线（它是椭圆），从 x轴的正向看去， 是逆时针方向； （4）∫ − + − + − ，其中L 是用平面 L ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 x y + + z = 3 2 截立方体0 ≤ x, , y z ≤ 1的表面所得的截痕，从 x 轴的正向看去， 是逆时针方向； （5）∫ − + − + − ，其中 是沿着螺线 L (x yz)dx ( y xz)dy (z xy)dz 2 2 2 L x = a cosϕ ， ϕ π ϕ 2 sin , h y = a z = 从点 A a( ,0 0, ) 至点 B a( ,0,h)的路径； 10
