习题10.3幂级数 1.求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 (2)21+1+…+-x-1)”; In(n n+ n=2 n (8) (n)2 (2n)! ∑ (2n)! (2n+1) 解(1)设∑3+2)x”=∑anx”,m=3,所以收敛半径为R=1。 当x=时,∑anx=∑1+(-2y门,级数发散。 当x=-时,∑anx"=∑-(-12+(2)],级数收敛。 n=l n 所以收敛区域为D 33 (2)设∑(+2+…+x-y=a1(-1),mp=1,所以收敛半 径为R=1 当x=2时,(y(++,级数发散 当x=0时,∑a(x-1y=∑(-1+1+…+1),通项不趋于零,级 数也发散。 所以收敛区域为D=(0.2)
习 题 10. 3 幂级数 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 ⑴ ∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ; ⑵ n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ; ⑶ ∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ； ⑸ n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ; ⑹ 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ; ⑺ n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ； ⑻ n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ; ⑼ n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! 。 解（1）设∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ∑ ∞ = = n 1 n n a x ，lim = 3 →∞ n n n a ，所以收敛半径为 3 1 R = 。 当 3 1 x = 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = + − 1 ) ] 3 2 [1 ( 1 n n n ，级数发散。 当 3 1 x = − 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = − + 1 ) ] 3 2 [( 1) ( 1 n n n n ，级数收敛。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − 3 1 , 3 1 D 。 （2）设 n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ∑ ∞ = = − 1 ( 1) n n n a x ， lim = 1 →∞ n n n a ，所以收敛半 径为R = 1。 当 x = 2时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + 1 1 2 1 1 n n " ，级数发散。 当 x = 0时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + + + 1 1 2 1 ( 1) 1 n n n " ，通项不趋于零，级 数也发散。 所以收敛区域为D = (0,2)。 52
(3)设∑-1)=∑anx”,imyn=im =,所以收敛 半径为R=√2。 当x=±√时,∑anx ,级数收敛 所以收敛区域为D=√2。 (4)设∑(-Dy0+(x+1y=∑a2(x+1,m=1,所以收敛半 径为R=1。 当x=0时,∑n(x+1y”=2(-1ym+是 Leibniz级数,所以收敛 当x=-2时,∑an(x+1y=∑如m+,级数发散 所以收敛区域为D=(-20] 5)设(2) =∑an(x-1)”,1imam+=lm/-31 nl.2" n+1)2 所以收敛半径为R=+∞,收敛区域为D=(-∞,+∞)。 (6)设 =∑anx",lim n-70vlQn lim m/In2 n 所以收敛半径为 R=1。 当x=±1时,显然∑anx”收敛,所以收敛区域为D=[1 (7)设∑n”=∑anx",mn=lm(+1.m|=1,所以收敛半 n=l n (n+1)n 径为R=e 当x=±e时,∑anx"=∑"(±e)",应用 Stirling公式 (n→>∞)
（3）设∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = →∞ n n n lim a 2 1 2 ( 1) lim 2 = ⋅ − →∞ n n n n n ，所以收敛 半径为R = 2 。 当 x = ± 2 时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = − = 1 ( 1) n n n ，级数收敛。 所以收敛区域为D = [− 2, 2]。 （4）设∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ∑ ∞ = = + 1 ( 1) n n n a x ， lim = 1 →∞ n n n a ，所以收敛半 径为R = 1 。 当 x = 0时，∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n a x ∑ ∞ = + + = − 1 1 ln( 1) ( 1) n n n n 是 Leibniz 级数，所以收敛。 当 x = −2时， ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n a x ∑ ∞ = + + = 1 1 ln( 1) n n n ，级数发散。 所以收敛区域为D = (− 2,0]。 （5）设 n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ∑ ∞ = = − 1 ( 1) n n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 0 3 !2 ( 1)!2 3 lim 1 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ + ⋅ + + →∞ n n n n n n n ， 所以收敛半径为R = +∞ , 收敛区域为D = (− ∞,+∞)。 （6）设 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = →∞ n n n lim a 1 ln lim 2 2 = →∞ n n n n n ，所以收敛半径为 R = 1。 当 x = ±1时，显然 ∑ 收敛，所以收敛区域为 ∞ n=1 n n a x D = [−1,1]。 （7）设 n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim n e n n n n n n 1 ( 1) ! ( 1)! lim 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + + →∞ ，所以收敛半 径为R = e。 当 x = ± e时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = = ± 1 ( ) ! n n n e n n ，应用 Stirling 公式 n!～ n n n e− + 2 1 2π (n → ∞)， 53
可知级数的通项"(±e)不趋于零,因而发散。 所以收敛区域为D=(-e,e) (8)设m)子 y)x=∑anx",m=lm/【(n+l)2(2n) 所以收 n=1 n-an|→2(n+l)!(m) 敛半径为R=4。 当x=±4时,∑anx"=∑(±4)”,应用Sing公式 1(2n)! n~√2丌n"e-"(n→∞), 可知级数的通项(±4)不趋于零,因而发散 所以收敛区域为D=(-44) (9)设(2n) x"=>ax n+1 lin/(2n+2)!(2n+ 所 (2n+3)!(2n)! 以收敛半径为R=1。 当x=-1时,∑anx"=∑(-12川是 Leibniz级数,所以收敛 当x=1时,∑ax=(2),令bn=2 limn(,"-1) (2n+1)!! 由Rabe判别法可知级数发散。 所以收敛区域为D=[-1 2.设a>b>0,求下列幂级数的收敛域 a"+b (3)ax+bx2+a2x3+b2x4+…+a"x2n-1+b"x2n+…。 解(1)lim a,所以收敛半径为 yoo nn a 当x2时5((,y),级数收敛
可知级数的通项 n n e n n ( ) ! ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − e,e 。 （8）设 n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 4 1 ( !) (2 )! [2( 1)]! [( 1)!] lim 2 2 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + →∞ n n n n n ，所以收 敛半径为R = 4 。 当 x = ± 4时， ∑ ∞ n=1 n n a x n n n n ( 4) (2 )! ( !) 1 2 = ∑ ± ∞ = ，应用 Stirling 公式 n!～ n n n e− + 2 1 2π (n → ∞)， 可知级数的通项 n n n ( 4) (2 )! ( !) 2 ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − 4,4 。 （9）设 n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 1 (2 )!! (2 1)!! (2 3)!! (2 2)!! lim =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + + →∞ n n n n n ，所 以收敛半径为R = 1。 当 x = −1时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = − 1 (2 1)!! (2 )!! ( 1) n n n n 是 Leibniz 级数，所以收敛。 当 x = 1时，∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = 1 (2 1)!! (2 )!! n n n ，令 (2 1)!! (2 )!! + = n n bn ， − = + →∞ lim ( 1) n 1 n n b b n 2 1 ， 由 Raabe 判别法可知级数发散。 所以收敛区域为D = [−1,1)。 2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。 ⑴ n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ; ⑵ ∑ ∞ n=1 +n n n a b x ; ⑶ a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 + … + an x 2n - 1 + bn x 2n +…。 解（1） a n b n a n n n n = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ 2 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = − 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = 1 2 ( 1) ( 1) n n n n n n a b n ，级数收敛。 54
,级数发散 n n-a 所以收敛区域为D= aa (2)lim 所以收敛半径为R 月→0 x=±a ∑_x的通项不趋于零,级数发散,所以收敛区 +b 域为D=(-a,a) (3)设ax+bx2+a2x3+b2x4+…+a"x2n1+b"x2"+…=∑cnx",则 ma/Ic, lim nva" 所以收敛半径为R 当x=±产,Σcnx"的通项不趋于零,级数发散,所以收敛区域 为D= 3.设∑ax”与∑bx”的收敛半径分别为R1和R2,讨论下列幂级数的 收敛半径 anx (2)∑(an+bn)x” ab x 解(1)设∑anx2的收敛半径为R。 当√R时,∑anx发散,所以 R=√R1 (2)设∑(an+bn)x”的收敛半径为R
当 a x 1 = 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 1 2 1 n n n n a b n ，级数发散。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − a a D 1 , 1 。 （2） a b a n n n n 1 1 lim = →∞ + ，所以收敛半径为R = a。 当 x = ±a时，∑ ∞ n=1 +n n n a b x 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区 域为D = (−a, a)。 （3）设a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 +…+ an x 2n - 1 + bn x 2n +… ∑ ，则 ∞ = = n 1 n n c x = →∞ n n n lim c a a n n n = − →∞ 2 1 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = ± ， 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区域 为 ∑ ∞ n=1 n n c x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − a a D 1 , 1 。 3. 设 ∑ 与 的收敛半径分别为R ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x 1和R2, 讨论下列幂级数的 收敛半径： (1) ∑ ; (2) ∑ ; ∞ =0 2 n n n a x ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x (3) ∑ 。 ∞ n=0 n n n a b x 解 （1）设∑ 的收敛半径为 ∞ =0 2 n n n a x R 。 当 R1 x 时，∑ 发散，所以 ∞ =0 2 n n n a x R = R1 。 （2）设∑ 的收敛半径为 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x R 。 55
当xmin(R,R2),R≠R2时,∑(an+bn)x"发散 但当R=R2时,∑(an+b)x"的收敛半径有可能增加,例如 ∑ax=∑x",收敛半径为1,∑bx=2(-1p2收敛半径也为 n=0 n=0(2n 但∑(an+bn)x"的收敛半径为2。 所以R≥min(R,R2)。 (3)设∑abx”的收敛半径为R。 由 lim/a, b s lim llan lim /bn,可知R≥RR2 上式等号可能不成立,例如 收敛半径为 ∑anx"=∑x2,收敛半径也为1,但∑abnx”的收敛半径为R=+ 4.应用逐项求导或逐项求积分等性质,求下列幂级数的和函数,并 指出它们的定义域 =62n+1 n(n+1) (5)∑m(m+1) (6)1+ (2n)! ∑ 解(1)级数∑nx"的收敛半径为R=1,当x=±1时,级数发散,所以 定义域为D=(-1) 设S(x)=∑m”,f()=5(=∑nx,利用逐项求积分,得到
当 x ( ) 1 2 min R , R ，R1 ≠ R2 时，∑ 发散。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 但当 时， 的收敛半径有可能增加，例如 ，收敛半径为1， R1 = R2 ∑ ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = n 0 n x ∑ ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 2 1 n n n x 收敛半径也为1， 但∑ 的收敛半径为 。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 2 所以R ≥ min( ) R1,R2 。 （3）设∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R 。 由 ≤ →∞ n n n n lim a b n n n a →∞ lim n n n b →∞ ⋅ lim ，可知R ≥ R1R2 。 上式等号可能不成立，例如 ∑ ，收敛半径为1， ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = 0 2 n n x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + = 0 2 1 n n x ，收敛半径也为1，但∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R = +∞ 。 4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并 指出它们的定义域。 ⑴ ∑ ∞ n=1 n nx ； ⑵ ∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x ； ⑶ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x ； ⑷ ∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x ； ⑸ ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n n x ； ⑹ ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x ； ⑺ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 。 解 （1）级数∑ 的收敛半径为 ∞ n=1 n nx R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所以 定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = = 1 ( ) n n S x nx ∑ ∞ = − = = 1 1 ( ) ( ) n n nx x S x f x ，利用逐项求积分，得到 56
(x)k=mk=∑x”=12 所以 S(x)= 2)级数∑的收敛半径为R=1,当x=1时,级数发散,所以 定义域为D=(-1)。 设S(x)=x2n ,f(x)=xS(x)=∑ 利用逐项求导,得到 =02n+1 h=02n+1 f(x)=∑x2n= 所以 S(x)= (3)级数∑(-1)nx”的收敛半径为R=1,当x=±1时,级数发散, 所以定义域为D=(-1,1) 设S(x)=∑(1)4n2x",fx)=S(x)=∑-1)4n2x,利用逐项求积 分与上面习题(1),得到 0(x)=x-0xh=(ym”=a+x 所以 S(x)、d X x(1-x) d(1+x)2)(1+x) (4)级数∑一x的收敛半径为R=1,当x=坦时,级数收敛,所以 n=1h(+
∫ = x f x dx 0 ( ) ∑∫ ∞ = − 1 1 0 n x n nx dx x x x n n − = ∑ = ∞ =1 1 ， 所以 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = x x dx d S x x 1 ( ) 2 (1 x) x − = 。 （2）级数∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x 的收敛半径为 R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所以 定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ∞ = + = 0 2 2 1 ( ) n n n x S x ， f (x) = xS(x) = ∑ ∞ = + 0 + 2 1 n 2 1 n n x ，利用逐项求导，得到 2 0 2 1 1 '( ) x f x x n n − = ∑ = ∞ = ， 所以 ∫ − = x x dx x S x 0 2 1 1 ( ) x x x − + = 1 1 ln 2 1 。 （3）级数∑ 的收敛半径为 ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x R = 1，当 x = ±1时，级数发散， 所以定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = − = − 1 1 2 ( ) ( 1) n n n S x n x ∑ ∞ = − − = = − 1 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) n n n n x x S x f x ，利用逐项求积 分与上面习题（1），得到 ∫ = x f x dx 0 ( ) ∑∫ ∞ = − − − 1 2 1 0 1 ( 1) n x n n n x dx ∑ ∞ = − = − 1 1 ( 1) n n n nx 2 (1 x) x + = ， 所以 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 (1 ) ( ) x x dx d S x x 3 (1 ) (1 ) x x x + − = 。 （4）级数∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x 的收敛半径为R = 1，当 x = ±1时，级数收敛，所以 57
定义域为D=[-1l 设S(x)=∑ f(x)=xS(x) ,利用逐项求导,得到 En(n+l) n=In(n+l) (x)=∑x=1 于是厂(x=J1x=-m-x),所以 f(x)dx=1-(1--)ln(1-x),x∈[-1,1), 而S(1) ∑_=1。注意S也可利用S(x)在1上的连续性,由极 n(n 1) 限S(1)=limS(x)=1得到 (5)级数∑m(n+1)x”的收敛半径为R=1,当x=1时,级数发散,所 以定义域为D=(-1)。 设S(x)=∑mn+1x2,f(x)=S(x=∑mm+1)x,利用逐项求积分 与上面习题(1),得到 ∫of(x)t=∑∫om(n+1x"ax=∑(m+1) 所以 2 S(x)=d(1-x) (6)级数1+∑的收敛半径为R=+,所以定义域为D=(-m+∞)。 设S(x) ,则S(x)= 由S(x)+S(x)=e H(2n)! S(x)-S"(x)= 即可得到
定义域为D = [−1,1]。 设 ∑ ∞ = + = 1 ( 1) ( ) n n n n x S x ， f (x) = xS(x) = ∑ ∞ = + 1 + 1 n ( 1) n n n x ，利用逐项求导，得到 x f x x n n − = ∑ = ∞ = − 1 1 "( ) 1 1 ， 于是 f '(x) = ln(1 ) 10 x x x dx = − − − ∫ ，所以 S(x) = ∫ = x f x dx x 0 '( ) 1 )ln(1 ) 1 1 (1 x x − − − ， x∈[ 1− ,1) ， 而 1 1 (1) 1 ( 1) n S n n ∞ = = = + ∑ 。注意S(1)也可利用S x( ) 在[ 1− ,1]上的连续性，由极 限 得到。 1 (1) lim ( ) 1 x S S x → − = = （5）级数∑ 的收敛半径为 ∞ = + 1 ( 1) n n n n x R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所 以定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = = + 1 ( ) ( 1) n n S x n n x ∑ ∞ = − = = + 1 1 ( 1) ( ) ( ) n n n n x x S x f x ，利用逐项求积分 与上面习题（1），得到 ∫ = x f x dx 0 ( ) ∑∫ ∞ = − + 1 1 0 ( 1) n x n n n x dx ∑ ∞ = = + 1 ( 1) n n n x 1 (1 ) 1 2 − − = x ， 所以 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 (1 ) 1 ( ) 2 dx x d S x x 3 (1 ) 2 x x − = 。 （6）级数 ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x 的收敛半径为R = +∞ ，所以定义域为 。 设 D = (−∞,+∞) ∑ ∞ = = + 1 2 (2 )! ( ) 1 n n n x S x ，则 ∑ ∞ = − − = 1 2 1 (2 1)! '( ) n n n x S x ，由S(x) + S'(x) = e x与 x S x S x e− ( ) − '( ) = ，即可得到 58
S(x)==(e (7)级数∑”+x“的收敛半径为R=+∞,所以定义域为D=(∞,+x) 设0”nx,则)k=m0=C-D,所以 S(x)=r(e2-1)=(1+x)l2-1 注本题也可直接利用例题10.36,得到 S(x)=fn+I D)! h=n 5.设/(x)=2ax,则不论∑x在x=r是否收敛,只要∑+1 在x=r收敛,就成立 ∫nf(x)dx=∑ 并由此证明 d. In 证由于∑“,x在x=r收敛,可知∑“,x的收敛半径至少为r, n=0M+1 所以∑anx的收敛半径也至少为r。当x∈Dr),利用逐项积分,得 到 /(x=∑a,x1。 n=0n+1 由于∑“收敛,可知∑,x在@连续,令x→r-,得到 n=0n+1 n+1 对∫(x)=n利用上述结果,就得到
( ) 2 1 ( ) x x S x e e− = + 。 （7）级数∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 的收敛半径为R = +∞ ，所以定义域为 。 设 D = (−∞,+∞) ∑ ∞ = + = 1 ! 1 ( ) n n x n n S x ，则∫ = x S x dx 0 ( ) ( 1) 1 ! 1 ∑ = − ∞ = + x n n x e n x ，所以 ( ) = [ ] ( −1) = x x e dx d S x (1+ ) −1 x x e 。 注 本题也可直接利用例题 10.3.6，得到 ∑ ∞ = + = 1 ! 1 ( ) n n x n n S x + − = ∑ ∞ = − 1 1 n ( 1)! n n x x ∑ ∞ = = 1 ! 1 n n x n (1+ ) −1 x x e 。 5. 设 f (x) = ∑ , 则不论 在 x = r 是否收敛，只要 ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 在 x = r 收敛，就成立 ∫ r f x x 0 ( ) d = ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n r n a ， 并由此证明： ∫ ⋅ − 1 0 d 1 1 ln x x x =∑ ∞ =1 2 1 n n 。 证 由于∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 在 x = r 收敛，可知∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 的收敛半径至少为r ， 所以∑ 的收敛半径也至少为 ∞ n=0 n n a x r 。当 x ∈[0,r)， 利用逐项积分，得 到 ∫ ∑ ∞ = + + = x n n n x n a f x dx 0 0 1 1 ( ) 。 由于 1 0 1 + ∞ = ∑ + n n n r n a 收敛, 可知 1 0 1 + ∞ = ∑ + n n n x n a 在 [0,r] 连续, 令 x → r − ，得到 ∫ ∑ ∞ = + + = r n n n r n a f x dx 0 0 1 1 ( ) 。 对 x x f x − = 1 1 ln 1 ( ) 利用上述结果，就得到 59
1-1 ∑dx=∑ dx n=l n 6.证明 >x满足方程y 4) y (2)y=∑满足方程xy+y'-y=0 n=0(n!) 证(1)连续4次逐项求导,得到 n=(4n-4)! n=0(4n)= (2)应用逐项求导,可得 (n-l)!n! n=2(n-2)!n! 于是 y=1+ =1+ n=2( n=2(n n=0(n 7.应用幂级数性质求下列级数的和 1)”1 Sn(n+2) 4 (5)∑(-1 ∑∑∑ 3”(2n+1) (7∑(-y2 解(1)设(x)=∑(-1)"nx",令g(x)=()=∑(-)mr,利用逐项 求积分可得 g(x) 于是f(x) (1+x)2 (1+x) 所以 ∑(-1) n-1 n
∫ ⋅ = − 1 0 1 1 ln x dx x ∫ ∑ = ∞ = − 1 0 1 1 n n dx n x ∑∫ ∑ ∞ = ∞ = − = 1 1 0 1 2 1 1 n n n n dx n x 。 6. 证明： (1) y = ∑ ∞ =0 4 (4 )! n n n x 满足方程 y (4) = y ; (2) y = ∑ ∞ =0 2 n ( !) n n x 满足方程 x y′′ + y ' - y = 0。 证 （1）连续 4 次逐项求导，得到 = (4) y ∑ ∞ = − 1 − 4 4 n (4 4)! n n x y n x n n = ∑ = ∞ =0 4 (4 )! 。 （2）应用逐项求导，可得 ∑ ∞ = − − = 1 1 ( 1)! ! ' n n n n x y ， ∑ ∞ = − − = 2 2 ( 2)! ! " n n n n x y ， 于是 xy"+ y'= 1+ ∑ ∞ = − 2 − 1 n ( 1)! ! n n n nx ∑ ∞ = − − = + 2 2 1 [( 1)!] 1 n n n x y n x n n = ∑ = ∞ =0 2 ( !) 。 7. 应用幂级数性质求下列级数的和 ⑴ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n ; ⑵ ∑ ∞ = ⋅ 1 2 1 n n n ; ⑶ ∑ ∞ = + + 1 1 4 ( 2) n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = + 0 2 2 ( 1) n n n ; ⑸ ∑ ∞ = + − 0 3 (2 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − − 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 0 1 ! 2 ( 1) n n n n 。 解 （1）设 ∑ ，令 ∞ = − = − 1 1 ( ) ( 1) n n n f x nx ∑ ∞ = − − = = − 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) n n n nx x f x g x ，利用逐项 求积分可得 2 (1 ) 1 ( ) x g x + = ，于是 2 (1 ) ( ) x x f x + = ， 所以 9 2 ) 2 1 ( 2 ( 1) 1 1 ∑ − = = ∞ = − f n n n n 。 60
(2)设f(x)=∑-x",利用逐项求导可得 f(x)=h、l 所以 ) =n (3)首先由逐项求积分可得∑nx1 。设f(x)=∑m(n+2) 再利用逐项求积分,得到 ∫of(x)t=∑ 于是 x 所以 4-27 (4)设f(x)=∑(n+1)2x”,利用逐项求积分可得 ∫/(x)=∑(+1)x+1=∑m”=-x 于是 +x f(x) 所以 f(∞=12
（2）设 ∑ ∞ = = 1 1 ( ) n n x n f x ，利用逐项求导可得 x f x − = 1 1 ( ) ln ， 所以 ∑ ∞ =1 ⋅ 2 1 n n n = ) = 2 1 f ( ln 2。 （3）首先由逐项求积分可得 2 1 1 (1 ) 1 x nx n n − ∑ = ∞ = − 。设 ， 再利用逐项求积分，得到 ∑ ∞ = + = + 1 1 ( ) ( 2) n n f x n n x ∫ = x f x dx 0 ( ) 2 3 1 2 (1 x) x nx n n − ∑ = ∞ = + ， 于是 3 2 (1 ) (3 ) ( ) x x x f x − − = ， 所以 = = + ∑ ∞ = + ) 4 1 ( 4 ( 2) 1 1 f n n n n 27 11 。 （4）设 ∑ ，利用逐项求积分可得 ∞ = = + 0 2 ( ) ( 1) n n f x n x ∫ = x f x dx 0 ( ) ∑ + = ∞ = + 0 1 ( 1) n n n x 2 1 (1 x) x nx n n − ∑ = ∞ = ， 于是 3 (1 ) 1 ( ) x x f x − + = ， 所以 ∑ ∞ = + 0 2 2 ( 1) n n n ) 12 2 1 = f ( = 。 61