习题5.5应用举例 1.求下列函数的极值点,并确定它们的单调区间 (1)y=2x3-3x2-12x+1 (2)y=x+sin x y (4)y=x"ex(n∈N+) (6)y x y y=3x (8)y=x-ln(1+x) y=cosx+ sinx (0)y=arc tanx-x (Dy=2er+e (x-1 1+3x (14) 解(1)因为y(x)=6x2-6x-12=6(x+1x-2)有两个零点-1,2,根据一阶 导数的符号,可知函数在(-,-1和2,+∞)单调增加,在[-1,2]单调减少 所以x=-1是极大值点,x=2是极小值点 (2)因为y(x)=1+cosx≥0,函数在(-∞,+∞)严格单调增加,无极值点。 (3)y(x)==(2+lnx)有零点e2,根据一阶导数的符号可知函数在 (0,e2]单调减少,在[e2,+∞)单调增加,所以x=e2是极小值点 4)y(x)=(n-x)xe有零点0和n, 当n是偶数时,函数在(-∞,0和m,+∞)单调减少,在[0.单调增加, 所以x=0是极小值点,x=n是极大值点; 当n是奇数时,函数在(-∞,单调增加,在n,+∞)单调减少,所以 x=n是极大值点 136
习 题 5.5 应用举例 ⒈ 求下列函数的极值点，并确定它们的单调区间： ⑴ y x = 2 3 − x − + 12x 3 2 1; ⑵ y x = + sin x ; ⑶ y x = ln x ; ⑷ y x n x = − e （ ）; + n∈ N ⑸ 3 2 2 ( 1) − + = x x y ; ⑹ y x x = − + 1 1 2 ; ⑺ y x x = 3 + 4 ; ⑻ y x = − ln(1 + x) ; ⑼ y x = cos + sin 3 3 x ; ⑽ y = arc tan x − x ; ⑾ y x x = + − 2 e e ; ⑿ y x = − 2 1 − 3 2 ( ) ; ⒀ y x x = + + 1 3 4 5 2 ; ⒁ y = x x 1 . 解（1）因为 y x'( ) = − 6x 2 6x −12 = 6(x +1)(x − 2)有两个零点−1, 2 ，根据一阶 导数的符号，可知函数在(−∞,−1]和[2,+∞) 单调增加，在[−1,2]单调减少， 所以 x = −1是极大值点， x = 2是极小值点。 （2）因为 y x'( ) =1+ cos x ≥ 0，函数在(−∞,+∞) 严格单调增加，无极值点。 （3） 1 '( ) (2 ln ) 2 y x x x = + 有零点 2 e− ，根据一阶导数的符号可知函数在 (0,e−2 ]单调减少，在[ , e−2 +∞)单调增加，所以 2 x e− = 是极小值点。 （4） 有零点 和 ， 1 '( ) ( ) n y x n x x e − − = − x 0 n 当n是偶数时，函数在(−∞,0]和[n,+∞)单调减少，在 单调增加， 所以 是极小值点， [0, n] x = 0 x = n 是极大值点； 当n是奇数时，函数在(−∞, n]单调增加，在[n,+∞)单调减少，所以 x = n 是极大值点。 136
(5)y和y具有相同的单调性,“()=(x+x=有零点x=-15, x=-1是不可导点。根据一阶导数的符号,可知函数在(-∞-1]和[5,+∞) 单调增加,在[-1,2)和(2,5]单调减少,所以x=-1是极大值点,x=5是 极小值点 (6)y(x) +x)2有零点x=1√,根据一阶导数的符号,可知 函数在(-O,1-√2]和[+√2,+∞)单调增加,在1-√2,1+√2]单调减少,所 以x=-√是极大值点,x=1+是极小值点 (7)y(x)=34有零点x=,根据一阶导数的符号,可知函数在 (-x-2和[2+∞)单调增加,在[-2,0)和(02J单调减少,所以 x=-左是极大值点,x=云是极小值点。 (8)y(x)=1-1+x1+ 有零点x=0,函数在x=-1不可导,根据一阶 导数的符号,可知函数在[0,+∞)单调增加,在(-1,0单调减少,所以x=0 是极小值点。 (9)y()3 sin x cos x(sin x-3)有零点x=kπ,kx+4’根据一阶导数 的符号,可知函数在2Mkx+,2kx+x],[2kx+x2kx+3z和 k ,2kx+2丌]单调增加,在[2kz ,[2kz+2,2k丌+m]和 2x4.2kx+2单调减少,所以x=2kx,2+2,(2k+1)丌+,k∈Z是 极大值点,x=2kx+2,2km+,(2k+1)x+z,k∈Z是极小值点。 (10)y(x) ≤0,函数在(-∞,+∞)严格单调减少,所以 137
（5） y 和 y 3具有相同的单调性， 3 2 ( ) ( 1)( 5) ( 2) d y x x dx x + − = − 有零点 ， 是不可导点。根据一阶导数的符号，可知函数在 和 单调增加，在 x = −1，5 x = −1 (−∞,−1] [5,+∞) [−1,2) 和(2,5]单调减少，所以 x = −1是极大值点， 是 极小值点。 x = 5 （6） 2 2 2 2 1 '( ) (1 ) x x y x x − − = + 有零点 x = ±1 2 ，根据一阶导数的符号，可知 函数在(−∞,1− 2]和[1+ 2,+∞)单调增加，在[1− 2,1+ 2]单调减少，所 以 x = −1 2 是极大值点， x = +1 2 是极小值点。 （7） 2 4 y x'( ) 3 x = − 有零点 2 3 x = ± ，根据一阶导数的符号，可知函数在 ] 3 2 (−∞,− 和 , ) 3 2 [ +∞ 单调增加，在 ,0) 3 2 [− 和 ] 3 2 (0, 单调减少，所以 2 3 x = − 是极大值点， 2 3 x = 是极小值点。 （8） 1 '( ) 1 1 1 x y x x x = − = + + 有零点 x = 0，函数在 x = −1不可导，根据一阶 导数的符号，可知函数在[0,+∞)单调增加，在(−1,0]单调减少，所以 是极小值点。 x = 0 （9） y x'( ) = − 3sin x cos x(sin x cos x) 有零点 , 2 4 k x k π π = π + ，根据一阶导数 的符号，可知函数在 ] 2 ,2 4 [2 π π π kπ + k + ， ] 4 5 [2 ,2 π kπ + π kπ + 和 ,2 2 ] 2 3 [2 π π π kπ + k + 单调增加，在 ] 4 [2 ,2 π kπ kπ + ， ,2 ] 2 [2 π π π kπ + k + 和 ] 2 3 ,2 4 5 [2 π π π kπ + k + 单调减少，所以 2 , 2 , (2 1) 2 4 x k k k π π = π π + + π + ， 是 极大值点， k ∈ Z 2 , 2 , (2 1) 4 2 x k k k π π = + π π +π + π + ，k ∈ Z是极小值点。 （10） 2 2 1 '( ) 1 0 1 1 x y x x x = − = − ≤ + + 2 ，函数在(−∞,+∞) 严格单调减少，所以 137
没有极值点 (11)y(x)=2c-e=(2a2-1)c有零点x=-1m2,根据一阶导数的符 号,可知函数在[-ln2,+∞)单调增加,在(-∞-lm2]单调减少,所以 ln2是极小值点 (12) (x-1),x=1是不可导点,根据一阶导数的符号,可 知函数在(-∞1单调增加,在[,+∞)单调减少,所以x=1是极大值点。 (13)y(x) 有零点 = 根据一阶导数的符号,可知函数 在(-∞12单调增加,在[2+∞)单调减少,所以x=12是极大值点 (14)y(x)=x21-1nx有零点x=,根据一阶导数的符号,可知函数 在(0,e]单调增加,在[e,+∞)单调减少,所以x=e是极大值点 2.求下列曲线的拐点,并确定函数的保凸区间: y +x y=re y (6)y= (7)y=x-ln(1+x); (8) y= arc tan x-x 9)y=(x+1) +x y y=x 解(1)y(x)=-3x2+6x,y(x)=-6x+6,二阶导数有零点x=1,根据二 阶导数的符号,可知点(1,2)是曲线的拐点 函数的保凸区间:(-∞,下凸,[+∞)上凸。 138
没有极值点。 （11）y x'( ) = − 2ex x e− − = (2e 2x −1)e x 有零点 ln 2 2 1 x = − ，根据一阶导数的符 号，可知函数在 ln 2, ) 2 1 [− +∞ 单调增加，在 ln 2] 2 1 (−∞,− 单调减少，所以 ln 2 2 1 x = − 是极小值点。 （12） 1 3 2 '( ) ( 1) 3 y x x − = − − ， x = 1是不可导点，根据一阶导数的符号，可 知函数在(−∞,1]单调增加，在[1,+∞)单调减少，所以 x = 1是极大值点。 （13） 3 2 2 12 5 '( ) (4 5 ) x y x x − = + 有零点 5 12 x = ，根据一阶导数的符号，可知函数 在 ] 5 12 (−∞, 单调增加，在 , ) 5 12 [ +∞ 单调减少，所以 5 12 x = 是极大值点。 （14） 1 2 1 ln '( ) x x y x x x − = 有零点 x = e ，根据一阶导数的符号，可知函数 在(0, e]单调增加, 在[e,+∞)单调减少，所以 x = e是极大值点。 ⒉ 求下列曲线的拐点，并确定函数的保凸区间： ⑴ y x = − + x 3 2 3 ; ⑵ y x = + sin x ; ⑶ y x = +1 2 ; ⑷ y x x = − e ; ⑸ 3 2 2 ( 1) − + = x x y ; ⑹ 2 1 1 x x y + − = ; ⑺ y x = − ln(1 + x) ; ⑻ y = arc tan x − x ; ⑼ y x x = + ( ) 1 + e 4 ; ⑽ y x = ln(1+ ) 2 ; ⑾ x y arc tan = e ; ⑿ y x = + x −1 . 解 （1） 2 y x'( ) = − + 3x 6x, y ''(x) = −6x + 6，二阶导数有零点 ，根据二 阶导数的符号，可知点 是曲线的拐点； x =1 (1,2) 函数的保凸区间：(−∞,1]下凸, [1,+∞)上凸。 138
(2) y'(x)=1+cosx,y"(x)=-sin x, 二阶导数有零点x=k丌,k∈Z,根据 阶导数的符号,可知点(kx,k丌),k∈Z是曲线的拐点; 函数的保凸区间:[2kx,2k+n]上凸,[2kx-,2kz]下凸。 (3)y(x)= y"(x)= 所以曲线 1+x2(√1+x2)3(Vl+x2) 没有拐点 函数的保凸区间:(-∞,+∞)下凸 (4)y(x)=(1-x)e2,y(x)=(x-2)e,二阶导数有零点x=2,根据二阶 导数的符号,可知点(2,)是曲线的拐点; 函数的保凸区间:(-∞,2]上凸,[2,+∞)下凸。 (5)y( 3(x+1)3(x-2)3,y"(x)= 2(x2-10x-2),二阶导数有零 9(x+1)3(x-2)3 点x=±3,根据二阶导数的符号,可知点5±30(±√)是曲线 的拐点 函数的保凸区间:(-∞,5-33和(2,5+33]下凸,[5-33,2)和 5+3√3,+∞)上凸。 (6)y(x) (2+12,yVx)==2(x+1Xx2-4x+D),二阶导数有零点 x=-1.2±√3,根据二阶导数的符号,可知点(-1.2±√3,1干√3)是 曲线的拐点; 函数的保凸区间:(-∞,-1和2-√3,2+√3下凸,[2+√3,+∞)和 上凸
（2）y x '( ) = +1 cos x, y ''(x) = −sin x，二阶导数有零点 x = k k π , ∈ Z ，根据二 阶导数的符号，可知点( , k k π π ), k ∈ Z 是曲线的拐点； 函数的保凸区间：[2kπ ,2kπ + π ]上凸, [2kπ − π ,2kπ ]下凸。 （3） 2 2 2 2 3 2 3 1 '( ) , ''( ) 0 1 1 ( 1 ) ( 1 x x y x y x x x x x = = − = + + + + 1 ) > ，所以曲线 没有拐点； 函数的保凸区间：(−∞,+∞) 下凸。 （4） y x'( ) = − (1 x)e−x , y ''(x) = (x − 2)e−x ，二阶导数有零点 x = 2，根据二阶 导数的符号，可知点 2 2 (2, ) e 是曲线的拐点； 函数的保凸区间：(−∞,2]上凸, [2,+∞) 下凸。 （5） 1 4 3 3 ( 5) '( ) ( 1) ( 2) 3 x y x x x − − − = + − ， 2 4 3 3 2( 10 2) ''( ) 9( 1) ( 2) x x y x x x 7 − − − = + − ，二阶导数有零 点 x = ±5 3 3 ，根据二阶导数的符号，可知点 3 6 5 3 3, (1 3) 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ± ± ⎝ ⎠ 是曲线 的拐点； 函数的保凸区间： (−∞,5 − 3 3] 和 (2,5 + 3 3] 下凸, [5 − 3 3,2) 和 [5 + 3 3,+∞)上凸。 （6） 2 2 2 2 2 3 2 1 2( 1)( 4 1) '( ) , ''( ) ( 1) ( 1) x x x x x y x y x x x − − − + − = = + + + ，二阶导数有零点 x = −1, 2 ± 3 ，根据二阶导数的符号，可知点 1 ( 1,1), 2 3, (1 3) 4 ⎛ ⎞ − ± ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∓ 是 曲线的拐点； 函数的保凸区间： (−∞,−1] 和 [2 − 3,2 + 3] 下凸, [2 + 3,+∞) 和 [−1,2 − 3]上凸。 139
(7)y(x)=1 y"(x)= >0,曲线没有拐点 +x 函数的保凸区间:(-1,+∞)下凸 (8)y(x) 1,y"(x)= 阶导数有零点x=0,根据二阶 导数的符号,可知点(0,0)是曲线的拐点; 函数的保凸区间:(-∞,0下凸,[0,+∞)上凸。 (9)y"x)=12(x+1)2+e2>0,曲线没有拐点; 函数的保凸区间:(-∞,+∞)下凸。 2 2-2x2 (10)y(x) (x) ,二阶导数有零点x=±1,根据二阶 1+x (1+x2)2 导数的符号,可知点(土1,n2)是曲线的拐点 函数的保凸区间:(-∞,-1和[,+∞)上凸,[-1下凸。 (11)y(x)=e 1+x2,"x)=em1-2x (1+r)2,二阶导数有零点x2 根据二阶导数的符号,可知点,已是曲线的拐点 函数的保凸区间:(=21下凸,+)上凸 (12)y(x)=1+ 2√xy(x)=-1 0,曲线没有拐点 4(x-1) 函数的保凸区间:[+∞)上凸。 3.设∫(x)在x。处二阶可导,证明:f(x)在x处取到极大值(极小值) 的必要条件是f(x)=0且f(x)≤0(f"(x)≥0)。 证先设f(x)在x0处取到极大值,则由于f(x)在x处可导,所以 f(x)=0。若f"(x)>0,则由
（7） 2 1 1 '( ) 1 , ''( ) 0 1 (1 ) y x y x x x = − = > + + ，曲线没有拐点； 函数的保凸区间：(−1,+∞)下凸。 （8） 2 1 '( ) 1, ''( ) 1 ( 2 2 2 1 ) x y x y x x x = − = − + + ，二阶导数有零点 x = 0，根据二阶 导数的符号，可知点(0,0)是曲线的拐点； 函数的保凸区间：(−∞,0]下凸, [0,+∞)上凸。 （9） y x ''( ) = + 12(x 1) 2 + ex > 0，曲线没有拐点； 函数的保凸区间：(−∞,+∞) 下凸。 （10） 2 2 2 2 '( ) , ''( ) 1 (1 2 2 2 ) x x y x y x x x − = = + + ，二阶导数有零点 x = ±1，根据二阶 导数的符号，可知点( 1± ,ln 2)是曲线的拐点； 函数的保凸区间：(−∞,−1]和[1,+∞)上凸, [−1,1]下凸。 （11） arctan arctan 2 1 '( ) , ''( ) 1 ( x x 2 2 1 2 1 ) x y x e y x e x x − = = + + ，二阶导数有零点 1 2 x = ， 根据二阶导数的符号，可知点 1 arctan 2 1 , 2 e ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 是曲线的拐点； 函数的保凸区间： ] 2 1 (−∞, 下凸, , ) 2 1 [ +∞ 上凸。 （12） 3 2 1 1 '( ) 1 , ''( ) 0 2 1 4( 1) y x y x x x = + = − 0，则由 140
(x)=x)+(xXx-x元)+/5(x-x)+(x-x) =f(x)+"(x) x-x)2+o(x-x0)2) 可知当x≠x充分接近x时,有f()-/(x) (x-x)2>0,与f(x)在x处取到极大 值矛盾,所以∫"(x)≤0。 ∫(x)在x处取到极小值的情况可同样证明。 4.设f(x)=(x-a)o(x),q(x)在x=a连续且q(a)≠0,讨论f(x)在x=a 处的极值情况。 解首先有∫(a)=0。 当n为偶数时(x-a)y≥0,当(a)>0时,f(x)=(x-a)(x)在x=a 附近非负,所以x=a为函数f(x)的极小值点;而当o(a)0,则x=a为函数f(x)的极小值点;若 f(a)<0,则x=a为函数f(x)的极大值点 当n为奇数时,x=a不是函数f(x)的极值点
0 2 2 0 0 0 0 0 "( ) ( ) ( ) '( )( ) ( ) (( ) ) 2 f x f x = + f x f x x − x + x − x + o x − x 0 2 2 0 0 "( ) ( ) ( ) (( ) ) 2 f x = + f x x − x + o x − x0 ， 可知当 0 x ≠ x 充分接近 x0 时，有 0 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x f x x x − > − ，与 在 处取到极大 值矛盾，所以 f x( ) x0 f ′′(x0 ) ≤ 0。 f x( )在 x0 处取到极小值的情况可同样证明。 ⒋ 设 f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( ),ϕ(x)在 x = a 连续且ϕ( ) a ≠ 0，讨论 f x( )在 x = a 处的极值情况。 解 首先有 f a( ) = 0 。 当 n 为偶数时( ) x a − n ≥ 0，当ϕ( ) a > 0 时， f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( )在 x = a 附近非负，所以 x = a 为函数 f x( )的极小值点；而当ϕ( ) a 0 ，则 x = a 为函数 f x( )的极小值点；若 ( ) ( ) 0 n f a < ，则 x = a 为函数 f x( )的极大值点。 当 n 为奇数时， x = a 不是函数 f x( )的极值点。 141
如何选择参数h>0,使得 在x=±G(o>0为给定的常数)处有拐点? 解yGe 2h2(1-2h2x2) 可知曲线在 处 2h 有拐点,所以取h 即可 7.求y=x在拐点处的切线方程 解y3)=a2375,y23),可树(万引是曲线的拐点,由于 1+x2)3 √3 ,得到在拐点处曲线的切线方程为 13√3 (x千=) √3 即:3√3x-8y-1=0和 8.作出下列函数的图象(渐近线方程可利用上一节习题8的结果) y=√6x2-8x+ (4) 1+ (7y=x+ arc cot x, (8)y=V(x-2)x+1)2; 解(1) 2 (1+x)2
6．如何选择参数h > 0 ，使得 y h e h x = − π 2 2 在 x = ±σ （σ > 0为给定的常数）处有拐点？ 解 2 2 2 2 3 3 2 2 2 (1 2 '( ) , ''( ) h x h x h h x h x y x e y x e π π − − − − − = = 2 ) ，可知曲线在 1 2 x h = ± 处 有拐点，所以取 1 2 h σ = 即可。 7．求 1 2 2 + = x x y 在拐点处的切线方程。 解 2 2 2 2 3 2 2(1 '( ) , ''( ) (1 ) (1 ) x 3x ) y x y x x x − = = + + ，可知 1 1 , 3 4 ⎛ ±⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是曲线的拐点，由于 1 3 ' 3 8 y ⎛ ⎞ ± = ± ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ，得到在拐点处曲线的切线方程为 1 3 3 1 ( ) 4 8 3 y x − = ± ∓ ， 即：3 3x − 8y −1 = 0和3 3x + 8y − 5 = 0。 8．作出下列函数的图象（渐近线方程可利用上一节习题 8 的结果）： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; ⑺ y = x + arc cot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 . 解 ⑴ y x x = + 2 1 ， 2 3 ( 2) 2 ' , '' (1 ) (1 ) x x y y x x + = = + + 。 142
(-∞,-2) (-2,-1) (-1,0) +∞ y 无定义-0+ 无定义+ 极大值 极小值 无定义 0 渐近线为y=x-1和x=-1。 (2)因为y为奇函数,只要考虑x≥0的情况 x(x2-3) + x +x (1+x2) x 0 (0,1) (1, (√3,+∞) 0 0 极大值 拐点 √3
x ( , −∞ −2) −2 ( 2− ,−1) −1 ( 1− ,0) 0 (0,+∞) y ' + 0 － 无定义 － 0 + y '' － － － 无定义 + + + y 极大值 -4 无定义 极小值 0 渐近线为 y x = −1和 x = −1。 (2) 因为 y 为奇函数,只要考虑x ≥ 0的情况。 y x x = + 2 1 2 ， 2 2 2 2 2 3 2(1 ) 4 ( 3) ' , '' (1 ) (1 ) x x x y y x x − − = = + + 。 x 0 (0,1) 1 (1, 3) 3 ( 3,+∞) y ' + + 0 － － － y '' － － －1 － 0 + y 0 极大值 1 拐点 3 ( 3, ) 2 143
渐近线是y=0 3)y=v6x2-8x+3 6x-4 2 2-8x+3 + 0 y 极小值 / 渐近线为y=x-26和 2√6 3
渐近线是 y = 0。 (3) 6 8 3 2 y = x − x + ， 2 2 6 4 2 ' , '' 6 8 3 (6 8 3) x y y x x x x 3 − = = − + − + 。 x 2 ( , ) 3 −∞ 2 3 2 ( , ) 3 +∞ y ' － 0 + y '' + + + y 极小值 1 3 渐近线为 2 6 6 3 y x = − 2 6 6 3 和 y x = − + 。 144
(4)y=(2+x)e 5x+2 x|(-∞,-1)|-1|(-1 (-2,0)0(0,2)2(0.,+∞) 0 无定义无定义无 +|+ 极 极 大 拐点 y |定、 值 2) 值 义 渐近线为y=x+3和x=0 (5)由于y为偶函数,只要考虑x>0情况
(4) y x = + (2 ) e x 1 ， 2 1 1 2 4 2 5 ' e , '' x x x x x y y x x − − + = = 2 e ) 。 x ( , −∞ −1 −1 2 ( 1, ) 5 − − 2 5 − 2 ( ,0 5 − ) 0 (0, 2) 2 (0,+∞) y ' + 0 － － － 无 定 义 － 0 + y '' － － － 0 + 无 定 义 ＋ + + y 极 大 值 1 e− 拐点 5 2 2 8 ( , 5 5 e − − ) 无 定 义 极 小 值 1 4 4e 渐近线为 y x = + 3和 x = 0。 （5）由于 y 为偶函数，只要考虑 x>0 情况。 145