教案 重积分变量代换公式的证明 1.教学内容 我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式,然后将一般的变量代换视为向量 值函数,将它分解为两个本原变换的复合,从而给出了重积分变量代换公式一个 容易理解而简单的证明。 2.指导思想 重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点,如何化解这一难 点,使学生理解并掌握这一重要内容,是本教案的目的。我们通过将一般的变量 代换分解为两个本原变换的复合的方法,然后对本原变换的情况进行证明,使得 证明简单而容易理解。同时,也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的 方法。 3.教学安排 1.我们先叙述定积分的变量代换公式(即换元法),然后利用类比法看一下 二重积分变量代换公式应该是怎样的 定积分:设f(x)在区间[a,b上连续,变换x=9(1)是一一对应,有连续导数, x=(1):[a,月(或[B,a])→[a,b]((x)=a,q(β)=b),则 f()dx=5f(()o'(dr 二重积分:设∫(x,y)在有界闭区域D连续,变换T x(u, v) D→T(D) y=y(,) 是一一对应,有连续偏导数,则类比定积分的变量代换公式,重积分的变量代换 公式似乎应该是 ∫(x)b(xm)2(xhhn, T(D) 其中xy是向量值函数T的导数。但是注意在定积分情况下,如果o()B,即右端积分的上限小于下限,交换积分上下限后,q()就换成-g() 而在重积分情况下,(xy)也有可能小于0,但由于积分区域D没有方向(或符 a(,v) 号)概念,因此对(x,y)要加上绝对值符号,即 a(,v)
教案 重积分变量代换公式的证明 1. 教学内容 我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式，然后将一般的变量代换视为向量 值函数，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个 容易理解而简单的证明。 2. 指导思想 重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点，如何化解这一难 点，使学生理解并掌握这一重要内容，是本教案的目的。我们通过将一般的变量 代换分解为两个本原变换的复合的方法，然后对本原变换的情况进行证明，使得 证明简单而容易理解。同时，也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的 方法。 3. 教学安排 1．我们先叙述定积分的变量代换公式（即换元法），然后利用类比法看一下 二重积分变量代换公式应该是怎样的： 定积分：设 xf )( 在区间 上连续，变换 ba ],[ = ϕ tx )( 是一一对应，有连续导数， = ϕ tx :)( α β ],[ （或 β α],[ ） （ → ba ],[ ϕ( ) α = a ，ϕ( ) β = b ），则 f x dx a b ( ) ∫ = f t td ( ( )) ) ϕ ϕ α β ′( ∫ t 二重积分：设 在有界闭区域D 连续，变换 是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换 公式似乎应该是 )(: ),( ),( : T D vuyy vuxx T → ⎩ ⎨ ⎧ = = yxf ),( D ∫∫ ∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( )),(),,((),( )( ， ),( ),( vu yx ∂ ∂ 其中 是向量值函数T 的导数。但是注意在定积分情况下，如果ϕ t β ，即右端积分的上限小于下限，交换积分上下限后，ϕ t)(' 就换成−ϕ t)(' ； 而在重积分情况下， ,( ,( u x ∂ ∂ ) ) v y 也有可能小于 0，但由于积分区域D 没有方向（或符 号）概念，因此对 ),( ),( vu yx ∂ ∂ 要加上绝对值符号，即 1
R,1 f(r, y)dxdy=lf(r(u,v),y(u, v)) dudy a(,v) 2.二重积分变量代换公式 设U为v平面上的开集,V是x平面上开集,映射 7.x=x(l,v),y=y(,v) 是U到ⅴ的一个一一对应。进一步假设x=x(u,v),y=y(u,)具有连续偏导数, 且有xy)≠0,则由连续性可知(xy) a(,) a(a)在fU上不变号。对于U中任意具有分段 光滑边界的有界闭区域D,记它的像为E=T(D)cV,则E=T(D)也是具有分段 光滑边界的有界闭区域。换言之,区域D与E=T(D)都具有零边界。在这样的假 设下,我们有如下的二重积分的变量代换公式 定理1(二重积分变量代换公式)映射T和区域D如上假设。如果二元函数 f(x,y)在T(D)上连续,则 IA(x,ydx dy=J/(r(u, v), y u p-r y)dude o(u, 4证明定理1,我们将区域D用水平线与垂直线分割成许多小矩形,由于区 具有零边界,当分割充分细的时候,与区域D边界相交的小矩形的面积之和 可以任意小,因此我们只需要考虑包含在区域D内的小矩形R 3.定义形如 Tr: x=x(u,v)=u, y=y(u, v) 或 r,:x=x(u,),y=y(u,)= 的映射称为本原映射。 引理1设T为本原映射,则对于每个小矩形R,等式 u, v) 成立,这里(,为R上某一点。 证仅对本原映射T证明,对T的证明是类似的。 设在U上J>0。由于这时成立 0 a(x,y) oy O (l,v) 所以在每个小矩形R=e,月×g,h上,对于固定的u,y(u,v)是v的单调增加函数, 因此R被一一对应地映到 T(R)={(x,y)e≤x≤J,y(x,g)≤y≤y(x,h}
∫∫∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( ),( )),(),,(( )( 。 2．二重积分变量代换公式 设U 为 平面上的开集， 是 uv V xy 平面上开集，映射 T: ( , ), ( , ) x = x u v y = y u v 是 到 的一个一一对应。 U V 进一步假设 x = x( , ), ( , ) u v y = y u v 具有连续偏导数， 且有 ),( ),( vu yx ∂ ∂ ),( ),( vu yx ∂ ∂ ≠ 0，则由连续性可知 在 上不变号。对于 中任意具有分段 光滑边界的有界闭区域 ，记它的像为 U U D = T DE )( ⊂ V ，则 = T DE )( 也是具有分段 光滑边界的有界闭区域。换言之，区域 与D = T DE )( 都具有零边界。在这样的假 设下，我们有如下的二重积分的变量代换公式。 定理 1(二重积分变量代换公式) 映射T 和区域D如上假设。如果二元函数 yxf ),( 在 上连续，则 T D)( ∫∫ ∫∫ ∂ ∂ = D D vu vu yx vuyvuxfyxyxf T dd ),( ),( )),(),,((dd),( )( 。 为证明定理 1，我们将区域D用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区 域 具有零边界，当分割充分细的时候，与区域 边界相交的小矩形的面积之和 可以任意小，因此我们只需要考虑包含在区域 内的小矩形 D D D R 。 3．定义 形如 Tx : = = = vuyyuvuxx ),(,),( 或 : = = ),(,),( = vvuyyvuxx Ty 的映射称为本原映射。 引理 1 设T 为本原映射，则对于每个小矩形 R ，等式 mR vu yx RmT vu ) ~, ~( ),( ),( )( ∂ ∂ = 成立，这里 为 (~,~ u v ) R 上某一点。 证 仅对本原映射 证明，对 的证明是类似的。 Tx Ty 设在 上U J > 0 。由于这时成立 0 01 ),( ),( > ∂ == = v y v y u y vu yx J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， 所以在每个小矩形 R=[e, f]×[g, h]上，对于固定的 是 的单调增加函数， 因此 vuyu ),(, v R 被一一对应地映到 = ≤ ≤ ≤ ≤ hxyygxyfxeyxRT )},(),(,|),{()( 。 2
图13.3 所以T(R)的面积为 dy=dx dy=I Ly(x, h)-y(x, g)]dx=((ui, h)-y(u, g))(f-e 其中e≤a≤∫。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得 7(R)=x(,yh-8)f-e)=x(,p)mR= a(x,y) n d(u, v) 其中g<<h。 如果T的 Jacobi行列式为负的,以上讨论中关于y的不等式反向,重复以上 证明可同样得到 mT(R)_ax, n)/ mR d(u, v) 证毕 下面证明变量代换公式对于本原映射成立 引理2设T为本原映射,二元函数∫(x,y)在T(D)上连续,则 「(xy时up h 证 考虑上述对区域D的分割,设D,D2…,D,是包含在区域D内的所有小矩 形,由引理1,在D上成立 (D) x,y) D u,v)I 这里(G2,)为D中某一点。设x=x(1,),=y(1,),则从上式得 ∑f(,,m(D)=(x,)1,)(x,y)mD 设所有小矩形的对角线长度的最大值为p,令p趋于0,由二重积分的定义,即 f(x, y)dxdy=ll f(x(u,v),y(u, v) a(x, duds 证毕
v h g O e f u y hxy ),( gxy ),( O e f x 图 13.3.9 所以T( ) R 的面积为 ),))(, ~(), ~ )( (()],(),([ ),( ),( )( RmT efguyhuydxgxyhxydydxdxdy f e hxy gxy f e RT == = − −= − ∫∫∫∫∫ 其中 。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得 eu f ≤ ≤ ~ mR vu vu yx mRvu v y efghvu v y RmT ) ~, ~( ),( ),( ) ~, ~())()( ~, ~()( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ =−− ∂ ∂ = ， 其中 。 gvh < < ~ 如果T 的 Jacobi 行列式为负的，以上讨论中关于 y 的不等式反向，重复以上 证明可同样得到 mR vu yx RmT vu ) ~, ~( ),( ),( )( ∂ ∂ = 。 证毕 下面证明变量代换公式对于本原映射成立。 引理 2 设T 为本原映射，二元函数 在 上连续 yxf ),( T D)( ，则 ∫∫∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( ),( )),(),,(( )( 。 证 考虑上述对区域 的分割，设 是包含在区域 内的所有小矩 形，由引理 1，在 上成立 DDD M ,,, D 21 L D Di i vu i m vu yx mT ii D D ) ~, ~( ),( ),( )( ∂ ∂ = ， 这里 为 中某一点。设 (~ ,~ u v ) i i ~ (~ ,~ ) , ~ (~ ,~ x xu v y yu v ) Di i ii i i = = i ，则从上式得 ∑ ∑ ∂ ∂ = i i vu iiii i ii i mD vu yx vuyvuxfDmTyxf ii ) ~, ~( ),( ),( )) ~, ~(), ~, ~(()() ~, ~ ( ， 设所有小矩形的对角线长度的最大值为 ρ ，令 ρ 趋于 0，由二重积分的定义，即 得 ∫∫∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( ),( )),(),,(( )( 。 证毕 3
为了完全证明定理1,还需要以下的结果: 引理3设T满足定理1的假设,则对于任意点Q=(u0,v)∈U,T在点Q 附近可以表示成2个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。 证设x0=x(u0,v0),y=y(u,v0),P=(x0,y0) 由于 d(x a(u,)(,")≠0,行列式中必有元素不为零。不妨设(,n)≠0, 于是,本原映射 5=x(u,y) 的aobi行列式5)(n,x)=0x(n1)≠0,由隐函数存在定理(或逆映射定 (u,v) 理,局部地可得逆映射(=8(5m)且5)在不(4)的一个邻域具有连续 7 偏导数。注意这时成立g(x(,),v)= 作 y=y(g(5,m7),) y=y(g(5,),)=y(g(x(u,v),v),v)=y(u,v) 即T2oT=T 证毕 4.二重积分变量代换公式的证明 根据引理3,对于每点Q=(l,v)∈D存在它的一个邻域U(Q),在这个邻域 中,T可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于(QQ∈D覆盖了D, 由 Heine- Borel定理,存在有限多个邻域 U6/(1),U6/(Q2),…,U6。(Qs) 6 它们覆盖了D。设δ,=min 取划分充分细,使得所有的小矩形的对角线长度都小于8,那么当小矩形D 与U。/(Q)相交时,D必包含在某个U。(Q中(1≤j≤S)。于是在每个D,(i= 1,2,…,M)上成立T=T2°n(为简便起见去掉了标记,注意对不同的D,可 能有不同T和),这里T和T2是本原映射。设 T1 ∫5=5(u. x(5,7) 7=n7(,v), 和T2 y=y(5 那么 a(x,y)a(x,y)a(2,7) a(u,v) a(5, n au, v) 由引理2得
为了完全证明定理 1，还需要以下的结果： 引理 3 设T 满足定理 1 的假设，则对于任意点 = vuQ 000 ),( ∈ U ，T 在点 附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。 Q0 证 设 ),(),,(),,( 0 000 00000 = = = yxPvuyyvuxx 。 0),( ),( ),( 00 ≠ ∂ ∂ vu vu yx 0),( 00 ≠ ∂ ∂ vu u x 由于 ，行列式中必有元素不为零。不妨设 ， 于是，本原映射 ⎩ ⎨ ⎧ = = v vux T η ξ ),,( : 1 0),( 00 ≠ ∂ ∂ vu u x = ∂ ∂ ),( ),( ),( 00 vu vu ξ η 的 Jacobi 行列式 ，由隐函数存在定理（或逆映射定 理），局部地可得逆映射 且 ⎩ ⎨ ⎧ = = , ),,( η ηξ v gu g(, ) ξ η 在 的一个邻域具有连续 偏导数。注意这时成立 Tu v 100 (,) )),,(( = uvvuxg 。 作 ⎩ ⎨ ⎧ = = ),),,(( , : 2 ηηξ ξ gyy x T 则有 ),()),),,((()),,(( 。 ),,( gyy vuyvvvuxgy vuxx = = = == ηηξ ξ 即 。 o 12 = TTT 证毕 4．二重积分变量代换公式的证明： 根据引理 3，对于每点 = vuQ ),( ∈ D存在它的一个邻域U ，在这个邻域 中， δ ( ) Q { |)( QQU ∈ D} 2 T 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于 δ 覆盖了 ， 由 Heine-Borel 定理，存在有限多个邻域 D U QU Q U Q S δδ δ S 1 2 1 2 2 2 2 ( ) , ( ), , ( ) L ， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 2 ,, 2 , 2 min 21 * δδ δ S 它们覆盖了 。设 D δ L 。 取划分充分细，使得所有的小矩形的对角线长度都小于δ * ，那么当小矩形Di 与 )( 2 j j δ QU 相交时， 必包含在某个 中 Di QU )(j δ ≤ ≤ Sj )1( 。于是在每个 （ Di i = ）上成立 （为简便起见去掉了标记i ，注意对不同的 ，可 能有不同 和 ），这里 和 是本原映射。设 M Di L,,2,1 TTT = 2 o 1 T1 T2 T1 T2 ⎩ ⎨ ⎧ = = ),,( ),,( : 1 vu vu T ηη ξξ 和 ⎩ ⎨ ⎧ = = ).,( ),,( : 2 ηξ ηξ yy xx T 那么 ),( ),( ),( ),( ),( ),( vu yx vu yx ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ξ η ηξ 。 由引理 2 得 4
f(x,y)d=f(x(5,m),y(,) (D) T (5,m) dud (5,m)|ax,v (x0 a(r,y) d(u, v) 因此 f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy ∑』x(x)y =f(x(x,),y(a,) a(x, duds 证毕 5.n重积分的变量代换公式 对于n重积分的变量代换,我们不加证明给出公式: 设U为R”(n>2)上的开集,映射 y1=y1(x1,…,xn),…,yn=yn(x1…,xn) 将U一一对应地映到VcR"上。进一步假设 y1=y1(x1…,xn)…yn=yn(x1,…,x)都具有连续偏导数,而且这个映射的 Jacobi行列式不等于零 设g为U中具有分片光滑边界的有界闭区域,则有与二维情形类似的结论: 定理2映射T和区域Ω如上假设。如果f(y1,y2…yn)是T(g)上的连续函 数,那么变量代换公式 f(n…yn)地…=∫/(y(x)…,y,(x) y 成立,其中x=(x1,…,xn)。 4.注意点 1.重积分变量代换的概念,是数学分析课程中一个比较困难的内容。我们先通 过类比方法,写出重积分变量代换的公式,使得学生先有一个对重积分变量代换 的概念,然后再来证明,学生也就容易理解。同时通过类比,使学生容易记住这 重要的公式。 将一般的变量代换视为向量值函数,将它分解为两个本原变换的复合,也就 是将复杂的函数分解成简单函数的复合,将问题化为对简单函数的证明,这是数 学上常用的一种方法,通过学习,希望同学掌握这一方法 3.在证明中,我们只考虑了包含在区域D内的小矩形,这是因为区域D具有零 边界。通过学习,要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念
∫∫ ∫∫ ∂ ∂ = )( )( 1 ),( ),( ),( )),(),,(( i T i T dd yx dxdyyxf yxf D D ηξ ηξ ηξηξ ∫∫ 。 ∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = i i dudv vu yx vuyvuxf dudv vu yx vuvuyvuvuxf D D ),( ),( )),(),,(( ),( ),( ),( ),( ))),(),,(()),,(),,((( ηξ ηξ ηξηξ 因此 . ),( ),( ),(),,(( ),( ),( ),(),,(( ),( ),( 1 )( 1 )( ∑∫∫ ∫∫ ∫∫ ∑ ∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = = D D D D dudv vu yx vuyvuxfdudv vu yx vuyvuxf dxdyyxf dxdyyxf M i i M i i T T 证毕 5． 重积分的变量代换公式 n 对于 重积分的变量代换，我们不加证明给出公式： n 设U 为 n R （ ）上的开集，映射 n > 2 ),,(,),,,(: 111 n nn 1 n = LL = L xxyyxxyyT 将 一一对应地映到 上。进一步假设 都具有连续偏导数，而且这个映射的 Jacobi 行列式不等于零。 U n ⊂ RV y yx x y yx x 1 11 = = n nn 1 ( , , ), , ( , , ) LL L n 设 Ω 为 中具有分片光滑边界的有界闭区域，则有与二维情形类似的结论： U 定理 2 映射T 和区域 Ω 如上假设。如果 21 L yyyf n ),,,( 是T (Ω)上的连续函 数，那么变量代换公式 ∫ ∫ Ω Ω = n n n n T n n dxdx xx yy yyfdydyyyf L L L L L L 1 1 1 1 )( 1 1 ),,( ),,( ),,( ))(,),(( ∂ ∂ xx 成立，其中 x = 1 L xx n ),,( 。 4．注意点 1．重积分变量代换的概念，是数学分析课程中一个比较困难的内容。我们先通 过类比方法，写出重积分变量代换的公式，使得学生先有一个对重积分变量代换 的概念，然后再来证明，学生也就容易理解。同时通过类比，使学生容易记住这 一重要的公式。 2．将一般的变量代换视为向量值函数，将它分解为两个本原变换的复合，也就 是将复杂的函数分解成简单函数的复合，将问题化为对简单函数的证明，这是数 学上常用的一种方法，通过学习，希望同学掌握这一方法。 3．在证明中，我们只考虑了包含在区域 内的小矩形，这是因为区域 具有零 边界。通过学习，要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念。 D D 5