第十二讲函数 8121r函数的定义 定义r函数的最常用定义是 T(2)=/e-tt2-ldt, Rez>0 这个积分称为第二类 Euler积分,其中的积分变量t应该理解为argt=0 积分在右半平面代表一个解析函数 因为这是一个反常积分,它既是一个瑕积分(在t=0端),又是一个无穷积分,所以要把它拆 成两部分来分别讨论 tt2-ldt t 先看第二部分.显然,当t≥1时,被积函数e-t2-1是t的连续函数,并且作为z的函数,在 全平面解析.由定理4.2可知,要证明它代表一个解析函数,就只需证明积分一致收敛.因为 所以对于任意正整数N 故对于z平面上任一闭区域(此区域内的任意一点,均有Re2x0),积分/t-N-dt就收敛,故/e--1d在z 面的任一闭区域中一致收敛,因此在全平面解析 要证明第一部分的积分在右半平面解析,关键也是证明它的一致收敛性.因为 c= Re
Wu Chong-shi ✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 1 ✞ ✟✠✡☛ Γ ☞ ✌ §12.1 Γ ✍✎✏✑✒ ✓✔ Γ ✕✖✗✘✙✚✛✜✢ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1dt, Re z > 0. ✣✤✥✦✧★✩✪✫ Euler ✥✦✬✭ ✮✗ ✥✦✯✰ t ✱✲✳✴★ arg t = 0 ✵ F ✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄✵ ❅★✣✢❆✤❇✙ ✥✦✬❈❉✢❆✤❊✥✦ (❋ t = 0 ●) ✬❍ ✢❆✤■❏✥✦✬❑▲▼◆❈❖ P◗❘✦❙✦❚❯❱✵ Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = Z 1 0 e −t t z−1 dt + Z ∞ 1 e −t t z−1 dt. ❲❳✩✪❘✦✵ ❨❩✬❬ t ≥ 1 ❭ ✬❪✥✕✖ e −t t z−1 ✢ t ✗❫❴✕✖✬❵❛❜★ z ✗✕✖✬ ❋ ❝❞❡✴❢✵❣✛✳ 4.2 ❤✐✬▼❥ ❦❈❧♠❆ ✤ ✴❢✕✖✬♥♦♣❥ ❦✥✦❆qrs✵❅★ e t = X∞ n=0 t n n! , ❑▲t✉✈✇①②✖ N ✬ e t > t N N! , e −t x0) ✬✥✦ Z ∞ 1 t x0−N−1dt ♥ rs✬③ Z ∞ 1 e −t t z−1dt ❋ z ❞ ❡ ✗ ✈ ❆⑤⑥⑦ ✮ ❆qrs✬❅ ⑧❋❝❞❡✴❢✵ ▼❥ ❦✩ ❆ ❘✦✗ ✥✦❋➃➄❞❡✴❢✬➅➆➇✢ ❥ ❦❈ ✗❆qrs➈✵❅★ e −t t z−1 = e−t t x−1 , x = Re z
§121r函数的定义 因此,对于z平面上右半平面的任一区域,有Rez=x≥6>0 而/t°-at收敛,故积分/e-t2-at在z平面上右半平面的任一闭区域中一致收敛,因此在右 半平面解析 把两部分合起来,就得到 T(2 tt2-ldt 在z的右半平面解析.口 ★积分路径的修改 上面的积分定义中,积分路径并不需要限定在实轴上,而可修改为 Rez>0 积分路径L是t平面上从t=0出发的半射线,argt=a为常数,同a|0.注意积分的第二部分是在全平面解析的 因此,为了延拓到z的全平面,只要用适当的方法将积分第一部分延拓到全平面即可 比较直接的方法是将指数函数作 Taylor展开 这个结果是在Rez>0的条件下得到的.但等式左端在右半平面解析,而右端的级数显然在全平 面上(z≠0,-1,-2,…)一致收敛,因而在全平面解析(z≠0,-1,-2,…).这说明,等式右端的级 数表达式就是左端积分表达式在全平面上的解析延拓 (-)
Wu Chong-shi §12.1 Γ ☎✆➉➊➋ ✝ 2 ✞ ❅ ⑧ ✬t✉ z ❞❡④➃➄❞❡✗ ✈ ❆⑥⑦✬❷ Re z = x ≥ δ > 0 ✬ e −t t z−1 ≤ t δ−1 , ➌ Z 1 0 t δ−1 dt rs✬③✥✦ Z 1 0 e −t t z−1 dt ❋ z ❞❡④➃➄❞❡✗ ✈ ❆⑤⑥⑦ ✮ ❆qrs✬❅ ⑧❋➃ ➄ ❞❡✴❢✵ ◆◗❘✦➍➎❙✬♥➂➏ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1 dt ❋ z ✗➃➄❞❡✴❢✵ F ✶✷➐➑➒➓➔ • ④❡✗ ✥✦✛✜ ✮✬✥✦→➣❵↔♣▼↕✛❋➙➛④✬➌ ❤➜➝★ Γ (z) = Z L e −t t z−1dt, Re z > 0, ✥✦→➣ L ✢ t ❞❡④➞ t = 0 ➟➠✗➄➡➢✬ arg t = α ★ ✙✖✬ |α| 0 ✵ ÒÓÔÕ➱ Ö×ØÕÙÚÛÜ ➷ÝÞ➱✬ ßà✬á âãäå z ➱ÛÜ ➷✬❰æÐÏ ç➱èéêÔÕ ÖëØÕãäåÛÜ ➷ìí✵ îïðñ✗➽ò✢óô✖✕✖❜ Taylor õö Z 1 0 e −t t z−1dt = X∞ n=0 (−) n n! Z 1 0 t n+z−1dt = X∞ n=0 (−) n n! 1 n + z . ✣✤➭÷✢❋ Re z > 0 ✗øùú➂➏✗✵ûü➾ý●❋➃➄❞❡✴❢✬➌ ➃●✗þ✖❨❩❋ ❝❞ ❡④ (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ❆qrs✬❅➌ ❋ ❝❞❡✴❢ (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ✵ ✣ÿ ❦✬ ü➾➃●✗þ ✖ ♠ ➾ ♥ ✢ý●✥✦♠ ➾❋❝❞❡④✗✴❢✁✂✵ Γ (z) = Z ∞ 1 e −t t z−1dt + X∞ n=0 (−) n n! 1 n + z .
8122r函数的基本性质 性质1r(1)=1 直接在r函数的定义中代入z=1即可得到这个结果 性质2r(z+1)=zr(z) 证根据r函数的定义 T(2+1)=ett=dt t+e-t2t2-ldt =2/e-t2-dt=zr(2)口 对于这个结果可以从两个角度来理解 一是尽管在证明过程中用到了条件Rez>0.但由于r(2+1)和r(2)都在全平面解 析(z=0,-1,-2,…除外),因此,根据解析延拓原理,可以断定,这个递推关亲在 全平面均成立 另一方面,也可以直接通过递推关糸来完成『函数的解析延拓.这时,可将递推关糸 改写成 T(z) 上式左端的函数在半平面Rez>0上解析,右端的函数在半平面Rez>-1上解析 两者在公共区域Rez>0上相等;由此可见,I(z+1)/z就是右端的r(z)在区域 ez>-1上的解析延拓,而且,如果把延拓后得到的结果仍记为I(z),这就是说, 可以把 r(x)=-r(2+1),z≠0 看成是r(z)在区域Rez>1上的定义,而z=0点是r函数的一阶极点,resr(0)=1 ·重复上述步骤,还可以将函数延拓到区域Rez>-2 r(2) 2(2+1) r(2+2),2≠0,-1 2=-1也是函数的一阶极点,resr(-1)=-1 如此继续,就可以将『函数解析延拓到全平面,而z=0,-1,一2,…都是『函数的一 阶极点 resr(-n)=(=1)2
Wu Chong-shi ✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 3 ✞ §12.2 Γ ✍✎✏✄☎✆✝ ✞✟ 1 Γ (1) = 1 ✵ ðñ❋ Γ ✕✖✗✛✜ ✮❧✠ z = 1 ➶❤➂➏✣✤➭÷✵ ✞✟ 2 Γ (z + 1) = zΓ (z) ✵ ✡ ☛☞ Γ ✕✖✗✛✜ Γ (z + 1) = Z ∞ 0 e −t t zdt = −e −t t z ∞ 0 + Z ∞ 0 e −t ztz−1 dt = z Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = zΓ (z). ✌Ñ✍✎✏✑í ✒✓✔✎ ✕✖✗✘Ý ✵ • ëÙ✙ ✚Ú✛ ✜✢✣ ✤Ðå â✥✦ Re z > 0 ✵✧ ★Ñ Γ (z + 1) ✩ zΓ (z) ✪ ÚÛÜ ➷Ý Þ (z = 0, −1, −2, · · · ✫✬) ✬ßà✬✭✮ÝÞãä✯✘✬í ✒✰❒✬✍✎✱✲ ✳✴Ú ÛÜ ➷✵✶✷✵ • ✸ ëè ➷✬✹í ✒✺✻✼✢✱✲ ✳✴✗ ✽✶ Γ ✃❐➱ÝÞãä✵✍✾✬íê✱✲ ✳✴ ✿ ❀✶ Γ (z) = 1 z Γ (z + 1). ➴❁❂❃➱ ✃❐Ú❄Ü ➷ Re z > 0 ➴ÝÞ✬❅❃➱ ✃❐Ú❄Ü ➷ Re z > −1 ➴ÝÞ❆ ✔❇Ú❈❉ ❊❋ Re z > 0 ➴●❍❆★àí■✬ Γ (z + 1) /z ❏ Ù❅❃➱ Γ (z) Ú ❊❋ Re z > −1 ➴➱ÝÞãä✵❑▲✬▼✑◆ãä❖På➱✏✑◗❘á Γ (z) ✬✍ ❏ Ù❙✬ í ✒◆ Γ (z) = 1 z Γ (z + 1), z 6= 0 ❚✶Ù Γ (z) Ú ❊❋ Re z > 1 ➴➱❒❮✬ ❑ z = 0 ❯ Ù Γ ✃❐➱ë❱❲❯ ✬ res Γ (0) = 1 ✵ • ❳❨➴❩ ❬❭✬❪í ✒ê Γ ✃❐ãäå ❊❋ Re z > −2 ✬ Γ (z) = 1 z(z + 1)Γ (z + 2), z 6= 0, −1. z = −1 ✹Ù Γ ✃❐➱ë❱❲❯ ✬ res Γ (−1) = −1 ✵ • ▼à❫❴✬ ❏í ✒ê Γ ✃❐ÝÞãäåÛÜ ➷✬ ❑ z = 0, −1, −2, · · · ✪ Ù Γ ✃❐➱ë ❱❲❯ ✬ res Γ (−n) = (−1)n n! .
§122r函数的基本性质 4 推论1对于正整数n 正是因为这个原因,函数又称为阶乘函数 性质3互余宗量定理 这个公式的证明见后面的第124节 推论2r(1/2)=√元 只要在上面的性质3中代入z=1/2,并且注意 r(1/2)>0(因为被积函数值恒为正)即可得到此结果 推论3r函数在全平面无零点 因为/sin丌2≠0,所以r(2)r(1-2)≠0.这 样,如果在z=20点有r(20)=0,则必有r(1-20) ∞,这只能发生在1-20=-n(亦即20=n+1) n=0,1,2,…时.但此时r(20)=r(n+1)=n!,与所 设矛盾.因此r函数在全平面无零点.口 图123中给出了r(x)(x为实数)的图形.它从实数 范围直观地表现出这个推论以及函数的奇点分布 图123自变量取实数时的r函数值 性质4倍乘公式 r(2) 2-1/2r(a)r(z+ 这个公式的证明也见12.4节 性质5T函数的渐近展开,即 Stirling公式:当|2→∞,|arga<丌时,有 1×122288225184023248832024× 1 1 1 lnr(2)~(2-)mz-2+7ln(2x)+ 在物理中更常用的结果是 In n! Nn In
Wu Chong-shi §12.2 Γ ☎✆➉❵❛❜❝ ✝ 4 ✞ ❞❡ 1 t✉①②✖ n ✬ Γ (n) = (n − 1)!. ① ✢ ❅★✣✤❢❅✬ Γ ✕✖❍✧★❣❤✕✖✵ ✞✟ 3 ✐❥❦✰ ✛✳ Γ (z) Γ (1 − z) = π sin πz . ✣✤❧ ➾✗❥ ❦❸➼❡ ✗ ✩ 12.4 ♠✵ ❞❡ 2 Γ (1/2) = √ π ✵ ♦▼ ❋ ④❡✗➈♥ 3 ✮❧✠ z = 1/2 ✬❵❛♦✇ Γ (1/2) >0 (❅★❪✥✕✖♣q★① ) ➶❤➂➏⑧➭÷✵ ❞❡ 3 Γ ✕✖❋❝❞❡■r ⑩✵ ✡ ❅★ π/sin πz 6= 0 ✬❑▲ Γ (z) Γ (1 − z) 6= 0 ✵ ✣ ❻✬➧ ÷ ❋ z = z0 ⑩ ❷ Γ (z0) = 0 ✬st❷ Γ (1 − z0) = ∞ ✵ ✣♦➫➠✉❋ 1 − z0 = −n (✈➶ z0 = n + 1) ✬ n = 0, 1, 2, · · · ❭✵û⑧❭ Γ (z0) = Γ (n + 1) = n! ✬✇❑ ①②③✵ ❅ ⑧ Γ ✕✖❋❝❞❡■r ⑩✵ ❹ 12.3 ✮④ ➟⑤ Γ(x)(x ★ ➙✖) ✗❹⑥✵ ❈➞ ➙✖ ⑦ ➥ð⑧⑨♠⑩ ➟ ✣✤❶❱▲❷ Γ ✕✖✗❸⑩ ✦❹ ✵ ❺ 12.3 ❺ ❻❼❽❾❿➀➁ Γ ➂ ❿➃ ✞✟ 4 ➄ ❤❧➾ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ z + 1 2 . ✣✤❧ ➾✗❥ ❦➇ ❸ 12.4 ♠✵ ✞✟ 5 Γ ✕✖✗➅➆õö✬ ➶ Stirling ❧ ➾➳❬ |z| → ∞ ✬ | arg z| < π ❭ ✬❷ Γ (z) ∼ z z−1/2 e −z √ 2π n 1 + 1 12z + 1 288z 2 − 139 51840z 3 − 571 2488320z 4 + · · ·o , ln Γ (z) ∼ z − 1 2 ln z − z + 1 2 ln(2π) + 1 12z − 1 360z 3 + 1 1260z 5 − 1 1680z 7 + · · · . ❋➇✳ ✮➈ ✙✚✗➭÷✢ ln n! ∼ n ln n − n.
8123ψ函数 中函数是r函数的对数微商 dIn r ψ(x) r(2) 根据r函数的性质,可以得出ψ(x)的下列性质: 都是ψ(z)的一阶极点,留数均为-1;除了这些点以外,ψ()在全平面 解析 2.(2+1)=中(2)+ 中(2+n)=(2)+1+ 2+n-1n=2,3 3.ψ(1-2)=ψ(2)+ cot 72 4.W()-(-2)=-1-reor 5.(2)=时()+中(2+)+h2 6.u(2)~lnz larg al 7.Iim[(2+n)-ln]=0 ψ函数的特殊值有 ψ(1)= 中(1) 2In 2 7-2ln2+2 -3m2)(2)=+2-32 ln3.∥中 其中=-中(1)是数学中的一个基本常数,称为 Euler常数 7=0.57721566490153286060651209008240 它的定义是 ★利用ψ函数,可以方便地求出通项为有理式的无穷级数 p(n)
Wu Chong-shi ✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 5 ✞ §12.3 ψ ✍ ✎ ψ ✕✖✢ Γ ✕✖✗t ✖➉➊ ψ(z) = dln Γ (z) dz = Γ 0 (z) Γ (z) . ☛☞ Γ ✕✖✗➈♥ ✬ ❤ ▲ ➂➟ ψ(z) ✗ú➋➈♥➳ 1. z = 0, −1, −2, · · · ➌✢ ψ(z) ✗❆❣➍⑩ ✬ ➨✖❶★ −1 ❆➎⑤ ✣➏ ⑩ ▲➐✬ ψ(z) ❋ ❝❞❡ ✴❢✵ 2. ψ(z + 1) = ψ(z) + 1 z . ψ(z + n) = ψ(z) + 1 z + 1 z + 1 + · · · + 1 z + n − 1 , n = 2, 3, · · · . 3. ψ(1 − z) = ψ(z) + π cot πz. 4. ψ(z) − ψ(−z) = − 1 z − π cot πz. 5. ψ(2z) = 1 2 ψ(z) + 1 2 ψ z + 1 2 + ln 2. 6. ψ(z) ∼ ln z − 1 2z − 1 12z 2 + 1 120z 4 − 1 252z 6 + · · · , z → ∞, | arg z| < π. 7. limn→∞ ψ(z + n) − ln n = 0. ψ ✕✖✗➑➒♣❷ ψ(1) = −γ, ψ 0 (1) = π 2 6 , ψ 1 2 = −γ − 2 ln 2, ψ 0 1 2 = π 2 2 , ψ − 1 2 = −γ − 2 ln 2 + 2, ψ 0 − 1 2 = π 2 2 + 4, ψ 1 4 = −γ − π 2 − 3 ln 2, ψ 3 4 = −γ + π 2 − 3 ln 2, ψ 1 3 = −γ − π 2 √ 3 − 3 2 ln 3, ψ 2 3 = −γ + π 2 √ 3 − 3 2 ln 3. ➓ ✤ γ = −ψ(1) Ù ❐ ➔ ✤➱ë✎→➣↔❐ ✬↕á Euler ↔ ❐ γ = 0.5772 1566 4901 5328 6060 6512 0900 8240 · · · . ➙➱❒❮Ù γ = limn→∞ "Xn k=1 1 k − ln n # . F ➛✚ ψ ✕✖✬ ❤ ▲ ➽➜ ⑨➝➟➞➟★❷✳➾✗■❏þ✖ X∞ n=0 un = X∞ n=0 p(n) d(n)
§123 中函数 第6页 之和,其中p(n)和d(n)都是n的多项式,为了保证级数收敛,p(n)的次数至少要比d(n)的次数 低2,即 如果d(n)是n的m次多项式,并且全部零点都是一阶零点 n)=(n+a1)(n+a2) 即un只有一阶极点,则可部分分式为 d(n) 利用中函数的递推关系,即可求得 un=)ak[(ak+N)-中(ak) ∑ak(ak+N)-hnN-pa 其中利用了∑ak=0.取极限N→∞,即得 k=1 n= lin lim>ak (ak + N)-InN-akp(ok k=1 akp(on) 例12.1求无穷级数3m+13m+23m+之和 解因为 (3n+1)(3n+2)(3n+3)6m+1/33n+2/36n+1 所以,根据上面给出的求和公式,有 (3n+1)(3n+2)(3n+3) 3/+v( 代入ψ函数的特殊值,即得 3= 例12求无穷级数1一之和,其中a>0
Wu Chong-shi §12.3 ψ ☎ ✆ ✝ 6 ✞ ➠➡✬✭ ✮ p(n) ➡ d(n) ➌✢ n ✗➢➟➾✵★ ⑤➤❥ þ✖rs✬ p(n) ✗➥✖➦➧▼ î d(n) ✗➥✖ ➨ 2 ✬ ➶ limn→∞ un = limn→∞ n · un = 0. ➧ ÷ d(n) ✢ n ✗ m ➥➢➟➾ ✬❵❛❝❘r ⑩➌✢❆❣r⑩ ✬ d(n) = (n + α1)(n + α2)· · ·(n + αm), ➶ un ♦❷❆ ❣➍⑩ ✬s ❤ ❘✦✦➾ ★ un = p(n) d(n) = Xm k=1 ak n + αk . ➛✚ ψ ✕✖✗➩ ❶➅➫✬ ➶❤➝ ➂ X N n=0 un = Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ψ(αk)] = Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N − ψ(αk)] , ✭ ✮➛✚⑤ Pm k=1 ak = 0 ✵ ➤➍↕ N → ∞ ✬ ➶➂ X∞ n=0 un = lim N→∞ Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N − ψ(αk)] = lim N→∞ Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N] − Xm k=1 akψ(αk) = − Xm k=1 akψ(αk). ➭ 12.1 ➝■❏þ✖ P∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) ➠➡✵ ❁ ❅★ 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 1 6 1 n + 1/3 − 1 3 1 n + 2/3 + 1 6 1 n + 1 , ❑▲✬☛☞④❡④ ➟✗➝➡❧ ➾ ✬❷ X∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = − 1 6 ψ 1 3 − 2ψ 2 3 + ψ(1) . ❧✠ ψ ✕✖✗➑➒♣✬ ➶➂ X∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 1 4 π √ 3 − ln 3 . ➭ 12.2 ➝■❏þ✖ P∞ n=0 1 n2 + a 2 ➠➡✬✭ ✮ a > 0 ✵
解因为 所以 m+a2=-2n(a)-(-i 利用上面列出的中函数的性质4 ap(ia)-p(-ia)=-io-rcotinta =i a+ r coth ra 就可以求得 ★如果un还有二阶极点,例如 d(n)=(n+a1)n+a2)…(n+am)(n+B1)2(n+2)2…(n+1)2 敛 d(n) keel n+ak (n+A) 相应地,级数收敛的条件是 ∑a+∑hk=0 根据ψ函数的递推关系,即得 1k(a)-bxk中( n=0 k=1 例123求无穷级数>0(7+1)2(27+①下和 解因为 (n+1)2(2n+1)2n+1(+1 n+1/2(n+1/2)2 所以 ∑m+p2+=-10)-+(3)+( 8In2
Wu Chong-shi ✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 7 ✞ ❁ ❅★ 1 n2 + a 2 = i 2a 1 n + ia − 1 n − ia , ❑▲ X∞ n=0 1 n2 + a 2 = − i 2a [ψ(ia) − ψ(−ia)] . ➛✚ ④❡➋➟✗ ψ ✕✖✗➈♥ 4 ✬ ψ(ia) − ψ(−ia) = − 1 ia − π cot iπa = i 1 a + π coth πa , ♥ ❤ ▲➝ ➂ X∞ n=0 1 n2 + a 2 = 1 2a 2 1 + πa coth πa . F ➧ ÷ un ➯ ❷✪❣➍⑩ ✬➲ ➧ ✬ d(n) = (n + α1)(n + α2)· · ·(n + αm)(n + β1) 2 (n + β2) 2 · · ·(n + βl) 2 , s un = p(n) d(n) = Xm k=1 ak n + αk + X l k=1 b1k n + βk + b2k (n + βk) 2 . ➳ ✱ ⑨✬ þ✖rs✗øù✢ Xm k=1 ak + X l k=1 b1k = 0. ☛☞ ψ ✕✖✗➩ ❶➅➫✬ ➶➂ X∞ n=0 un = − Xm k=1 akψ(αk) − X l k=1 b1kψ(βk) − b2kψ 0 (βk) . ➭ 12.3 ➝■❏þ✖ P∞ n=0 1 (n + 1)2(2n + 1)2 ➠➡✵ ❁ ❅★ 1 (n + 1)2(2n + 1)2 = 4 n + 1 + 1 (n + 1)2 − 4 n + 1/2 − 1 (n + 1/2)2 , ❑▲ X∞ n=0 1 (n + 1)2(2n + 1)2 = − 4ψ(1) − ψ 0 (1) + 4ψ 1 2 + ψ 0 1 2 = 2π 2 3 − 8 ln 2.
§12.4 第8页 8124B函数 B函数是由第一类 Euler积分定义的: (P,q) 1 令t=sin20,还可以得到B函数的另一个表达式 B(p, q) m2p-10 c0s2q-10 de 在B函数的定义中作变换s=1-t,就可以得到 B 即B(P,q)对于p和q是对称的 B(p, =B(, p) B函数可以用r函数表示出来 B(p, q) T(Pr(a) q) 证在Rep>0,Req>0的条件下,显然有 e-ttP-Idt T(a 于是 r(p)r(q)=4 θ,得 r(p)r(q)=4 e-p(rsin 0)2p-(rcos 0)2q-Irdrde 2(p+q)-Idr/ sin2p-lBcos2q-1ade q)B(P,q).口 利用这个关糸式,可把B函数解析延拓到p和q的全平面 从这个关糸式,也可以清楚地看出B(p,q)对于p和q是对称的
Wu Chong-shi §12.4 B ☎ ✆ ✝ 8 ✞ §12.4 B ✍ ✎ B ✕✖✢ ❣✩ ❆ ✫ Euler ✥✦✛✜✗➳ B(p, q) = Z 1 0 t p−1 (1 − t) q−1dt, Re p > 0, Re q > 0. ➵ t = sin2 θ ✬ ➯❤ ▲ ➂➏ B ✕✖✗➸❆ ✤♠ ➾ B(p, q) = 2 Z π/2 0 sin2p−1 θ cos2q−1 θ dθ. ❋ B ✕✖✗✛✜ ✮❜✯➺ s = 1 − t ✬♥❤ ▲ ➂➏ B(p, q) = Z 1 0 t p−1 (1 − t) q−1 dt = Z 0 1 (1 − s) p−1 s q−1 (−ds) = Z 1 0 s q−1 (1 − s) p−1 ds, ➶ B (p, q) t✉ p ➡ q ✢ t✧ ✗➳ B (p, q) = B (q, p). B ✕✖❤▲ ✚ Γ ✕✖♠➻ ➟ ❙✬ B(p, q) = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) . ✡ ❋ Re p > 0 ✬ Re q > 0 ✗øùú✬❨❩❷ Γ (p) = Z ∞ 0 e −t t p−1dt = 2 Z ∞ 0 e −x 2 x 2p−1dx, Γ (q) = 2 Z ∞ 0 e −y 2 y 2q−1dy. ✉ ✢ Γ (p) Γ (q) = 4 Z ∞ 0 Z ∞ 0 e −(x 2+y 2 )x 2p−1 y 2q−1dxdy. ➵ x = r sin θ ✬ y = r cos θ ✬ ➂ Γ (p) Γ (q) = 4 Z ∞ 0 Z π/2 0 e −r 2 (r sin θ) 2p−1 (r cos θ) 2q−1 rdrdθ = 4 Z ∞ 0 e −r 2 r 2(p+q)−1 dr Z π/2 0 sin2p−1 θcos2q−1 θdθ = Γ (p + q) B(p, q). ➼Ð✍✎ ✳✴❁✬í◆ B ✃❐ÝÞãäå p ✩ q ➱ÛÜ ➷ ✵ ✓✍✎ ✳✴❁✬✹í ✒➽ ➾➚❚ ➪ B (p, q) ✌Ñ p ✩ q Ù✌↕➱ ✵
现在根据B函数和r函数的关系式 B(p, q) T(p)r(a) T(p+q) 补证r函数的两个性质,即互余宗量定理 r(2)r(1-2) 和倍乘公式 r(2)=2-4x1217 先证明互余宗量定理,在(★)式中令p=2,q=1-z r(z)r(1-z) r(1) r(2)r(1-z) 另一方面 B(z,1-2) t)di 令x=t/(1-t),上式即可化为 B(z,1-z) 这个积分在第76节中已经计算过,这样就证得 (z)r(1-2)=B(2,1-2) 这个证明当然是在00 的计算得到.令x2=t,则得 B r(2)r(1/2 (z+1/2) 若作变换1+x=2t,1-x=2(1-t),则有另一种形式的结果 (1-x2) t2-1(1-t)2-1dt=22-B(2,2)=22 1I(2)r(x) r(22) 于是 r(+123-1(2)I(2)即倍乘公式r(2)=2-x/r(a)r(21) r(z)r(1/2) r(2z) 这里的证明仍然是在Rez>0的条件下进行的.但是,正如前面多次论证过的,这个结果在 全平面都成立.口
Wu Chong-shi ✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 9 ✞ ⑩ ❋ ☛☞ B ✕✖➡ Γ ✕✖✗➅➫ ➾ B(p, q) = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) . (F) ➶❥ Γ ✕✖✗◗✤➈♥ ✬ ➶✐❥❦✰ ✛✳ Γ (z) Γ (1 − z) = π sin πz ➡ ➄ ❤❧➾ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ z + 1 2 . ❲❥ ❦✐❥❦✰ ✛✳✬ ❋ (F) ➾ ✮➵ p = z, q = 1 − z ✬ B(z, 1 − z) = Γ (z) Γ (1 − z) Γ (1) = Γ (z) Γ (1 − z). ➸❆➽❡✬ B(z, 1 − z) = Z 1 0 t z−1 (1 − t) −zdt. ➵ x = t/(1 − t) ✬④➾➶❤➹ ★ B(z, 1 − z) = Z ∞ 0 x z−1 1 + x dx. ✣✤✥✦❋ ✩ 7.6 ♠ ✮➘➴➷➬➮✬✣❻♥❥ ➂ Γ (z) Γ (1 − z) = B(z, 1 − z) = π sin πz . ✣✤❥ ❦❬❩ ✢❋ 0 0 ✗ ➷➬➂➏✵➵ x 2 = t ✬s ➂ Z 1 −1 (1 − x 2 ) z−1 dx = 2 Z 1 0 (1 − x 2 ) z−1 dx = Z 1 0 (1 − t) z−1 t −1/2 dt = B z, 1 2 = Γ (z) Γ (1/2) Γ (z + 1/2) . ❐❜✯➺ 1 + x = 2t ✬ 1 − x = 2(1 − t) ✬s❷ ➸❆❒⑥➾✗➭÷➳ Z 1 −1 (1 − x 2 ) z−1dx = 22z−1 Z 1 0 t z−1 (1 − t) z−1dt = 22z−1B(z, z) = 22z−1 Γ (z) Γ (z) Γ (2z) . ✉ ✢ Γ (z) Γ (1/2) Γ (z + 1/2) = 22z−1Γ (z) Γ (z) Γ (2z) ➶➄ ❤❧➾ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ z + 1 2 . ✣❮ ✗ ❥ ❦❰❩ ✢❋ Re z > 0 ✗øùú➯Ï✗✵û✢✬① ➧Ð ❡ ➢➥❱❥➮ ✗ ✬✣✤➭÷❋ ❝❞❡➌ P➱ ✵
r函数的普遍表达 第10页 125r函数的普遍表达式 r函数的定义(第二类欧拉积分) r(2)=/e-t2-1d,Rez>0. 只适用于右半平面.为了弥补这一缺陷,本节不加证明地介绍T函数的另外几种表达式,方式包 括围道积分表示和无穷乘积表示,它们都在全平面成立(某些点可能例外)。有关证明见参考书目 12,第3章 1.T函数的围道积分表示 r(2) 其中的积分围道为:从上半平面挨近正实轴无穷远处出发,左行绕原点正向一周,再右行到下半 平面挨近正实轴无穷远处(见图12.4).此式在全z平面成立,但2=整数除外 图12. r函数的另一个围道积分表示是 (0+) T(2)=2ni etdt, large<π 积分围道从下半平面挨近负实轴无穷远处出发,右行绕原点正向一周,再左行到上半平面挨近负 实轴无穷远处(见图125),此式在全平面成立,包括z=整数 2.r函数的欧拉无穷乘积表示 T(a) n 此式对任何z均成立,但极点2=负整数除外 3.T函数的外尔斯特拉斯无穷乘积表示 r(2) Ⅱ[(+) n=1 其中 y=lim -lnn=0.5772156649 就是欧拉常数(123节.这个无穷乘积给出了任何2的r(2),同时指明了T(2)的奇点为一阶极 点z=0,-1,-2,…而无零点
Wu Chong-shi ∗ §12.5 Γ ☎✆➉ÑÒÓÔÕ ✝ 10 ✞ ∗§12.5 Γ ✍✎✏Ö×ØÙÚ Γ ✕✖✗✛✜ (✩✪✫ÛÜ✥✦) Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1dt, Re z > 0. ♦Ý ✚ ✉ ➃➄❞❡✵ ★ ⑤Þ➶✣ ❆ßà✬á ♠ ↔â❥ ❦⑨ãä Γ ✕✖✗➸ ➐å❒ ♠ ➾ ✬ ➽➾æ ç ➥➦✥✦♠➻➡■❏❤✥♠➻✬❈è ➌❋ ❝❞❡P➱ (é ➏ ⑩❤➫➲➐ ) ✵ ❷➅❥ ❦❸êëì í [12] ✬✩ 3 î✵ 1. Γ ❃❄➒ïð✶✷✾ñ Γ (z) = − 1 2i sin πz Z (0+) ∞ e −t (−t) z−1dt, |arg(−t)| < π, ✭ ✮ ✗ ✥✦ ➥➦★ ➳ ➞④➄ ❞❡ò ➆ ① ➙➛■❏➪ó ➟➠✬ ýÏô❢ ⑩ ① õ ❆ö ✬✃ ➃Ï➏ú➄ ❞❡ò ➆ ① ➙➛■❏➪ó (❸❹ 12.4) ✵⑧➾❋❝ z ❞❡P➱✬ û z = ② ✖ ➎➐ ✵ ❺ 12.4 ❺ 12.5 Γ ✕✖✗➸❆ ✤ ➥➦✥✦♠➻ ✢ Γ (z) = 1 2π i Z (0+) −∞ e t t −zdt, |arg t| < π, ✥✦ ➥➦➞ ú➄❞❡ò ➆÷➙➛■❏➪ó ➟➠✬ ➃Ïô❢ ⑩ ① õ ❆ö ✬✃ ýÏ➏ ④ ➄ ❞❡ò ➆÷ ➙➛■❏➪ó (❸❹ 12.5) ✵⑧➾❋❝ z ❞❡P➱✬ æ ç z = ② ✖✵ 2. Γ ❃❄➒øùúûü✶✾ñ Γ (z) = 1 z Y∞ n=1 1 + z n −1 1 + 1 n z , ⑧➾t✈ý z ❶P➱✬ û ➍ ⑩ z = ÷ ② ✖ ➎➐ ✵ 3. Γ ❃❄➒þÿ✁ùúûü✶✾ñ 1 Γ (z) = ze γz Y∞ n=1 h1 + z n e −z/ni , ✭ ✮ γ = limn→∞ "Xn k=1 1 k − ln n # = 0.5772156649 · · · ♥ ✢ ÛÜ✙✖ (12.3 ♠) ✵ ✣✤■❏❤✥④ ➟⑤ ✈ý z ✗ Γ (z) ✬✂ ❭ô ❦ ⑤ Γ (z) ✗❸⑩ ★ ❆ ❣➍ ⑩ z = 0, −1, −2, · · · ➌■r ⑩✵
