第三十二章变分法初步(续) §321泛函的条件极值 先回忆一下多元函数的极值问题 ·设有二元函数f(x,y),它取极值的必要条件是 DLar+daly 因为dx,dy任意,所以二元函数f(x,y)取极值的必要条件又可以写成 f af ·还有另一类二元函数的极值问题,二元函数的条件极值问题,即在约束条件 g(a, y) 下求f(x,y)的极值.这时,在原则上,可以由约東条件解出y=h(x),然后消去f(x,y)中 的y.这样,上述条件极值问题就转化为一元函数f(x,h(x)的普通极值问题,它取极值的 必要条件就是 af af +=h(x)=0 ·对于这个结果还有另一种理解.因为上面并不需要真正知道y=h(x)的表达式,而只需要知 道 dy h(r 这样,甚至不必(在大多数情形下也不可能)求出y=h(x),就可以直接对约束条件微分 dr+ ody=0. 从而求出 dy ag/ar dr ag/ay 于是即可将上述二元函数取极值的必要条件写成 af af ag/ax dr dy ag/ay 上面的讨论,当然很容易推广到更多个自变量的多元函数的情形.但是,随着自变 量数目的增多,公式也就越来越麻烦
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 1 ☞ ✌✍✎✏✑ ✒✓✔✕✖ (✗) §32.1 ✘✙✚✛✜✢✣ ✤ ✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✰✱✲ • ✳✴✵✪✫✬ f(x, y) ✶✷✸✮✯✭✹✺✻✼✽ df = ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy = 0. ✾✿ dx, dy ❀❁✶❂❃✵✪✫✬ f(x, y) ✸ ✮✯✭✹✺✻✼❄❅❃❆❇ ∂f ∂x = 0, ∂f ∂y = 0. • ❈✴❉✧❊✵ ✪✫✬✭✮✯✰✱✶✵✪✫✬✭✻✼✮✯✰✱✶❋●❍■✻✼ g(x, y) = C ★❏ f(x, y) ✭✮✯✲❑▲✶●▼◆❖✶❅ ❃ P❍■✻✼◗❘ y = h(x) ✶❙❚❯❱ f(x, y) ❲ ✭ y ✲❑❳✶❖❨✻✼✮✯✰✱❩❬❭✿✧✪✫✬ f(x, h(x)) ✭❪❫✮✯✰✱✶✷✸✮✯✭ ✹✺✻✼❩✽ ∂f ∂x + ∂f ∂y h 0 (x) = 0. • ❴❵❑❛❜❝❈✴❉✧❞❡◗✲✾✿❖❢❣❤✐✺❥❦❧♠ y = h(x) ✭♥♦♣✶ qr✐ ✺❧ ♠ dy dx ≡ h 0 (x). ❑❳✶st❤✹ (●✉✩✬✈✇★①❤ ❅②) ❏❘ y = h(x) ✶ ❩❅❃③④❴❍■✻✼⑤⑥ ∂g ∂xdx + ∂g ∂y dy = 0, ⑦q❏❘ dy dx = − ∂g/∂x ∂g/∂y , ❵ ✽ ❋ ❅⑧❖❨✵✪✫✬✸ ✮✯✭✹✺✻✼❆❇ ∂f ∂x − ∂f ∂y ∂g/∂x ∂g/∂y = 0. ⑨ ⑩❶❷❸✶❹❺❻❼ ❽❾ ❿➀➁ ➂➃ ➄ ➅➆❶ ➂➇➈➉❶➊➋✲➌➍✶ ➎➏ ➄ ➅ ➆ ➉ ➐❶➑ ➂✶➒➓➔→➣↔➣↕➙✲
·在实用中,更常用 Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题 例如,对于上面的在约束条件 下求函数f(x,y)的极值问题,就可以引进 Lagrange乘子A,而定义一个新的二元函数 h(a, y)=f(a, y)-Ag(a, y) 仍将x和y看成是两个独立变量,这样,这个二元函数取极值的必要条件就是(容易看出,消去 λ,这就能化为上面给出的必要条件) 由此可以求出 (),y=y(从) 代回到约束条件中,定出 Lagrange乘子Aλ的数值,就可以求出可能的极值点(x,y) 如果是更多个自变量的多元函数,也可以同样地处理,如果涉及多个约来条件,也就只 需引入多个 Lagrange乘子即可 现在回到泛函的条件极值问题 如果要求泛函 F(,y, y)dx 在边界条件 y(ro) y(r1)=b 以及约束条件 J≡/G(x,y,y)dx=C 下的极值,则可定义 仍将8看成是独立的,则泛函J在边界条件下取极值的必要条件就是 )F==0 由此微分方程、边界条件以及约東条件,必要时经过甄别,就可以求出 Lagrange乘子的值A=、 极值函数y=y(x,A0),以及相应的泛函J例的条件极值 例321求泛函 ①为了以后的方便,这里的 Lagrange乘子前面多了一个负号
Wu Chong-shi §32.1 ➛➜➝➞➟➠➡ ☛ 2 ☞ • ●➢➤ ❲✶➥➦➤ Lagrange ➧➨➩ ➫➭❡✩✪✫✬✭✻✼✮✯✰✱✲ ➯➲✶❴❵❖❢✭ ●❍■✻✼ g(x, y) = C ★❏✫✬ f(x, y) ✭✮✯✰✱✶ ❩❅❃➳➵ Lagrange ➸➺ λ ✶ q➻➼✧❛➽✭✵ ✪✫✬ ➾ h(x, y) = f(x, y) − λg(x, y). ➚⑧ x ➪ y ➶❇✽➹❛➘➴➷➬✶ ❑❳✶ ❑❛✵ ✪✫✬✸ ✮✯✭✹✺✻✼❩✽ (➮➱➶❘ ✶❯❱ λ ✶ ❑❩②❭✿ ❖❢✃❘✭✹✺✻✼) ∂(f − λg) ∂x = 0, ∂(f − λg) ∂y = 0. P❐❅ ❃ ❏❘ x = x(λ), y = y(λ), ❒ ✥❮❍■✻✼ ❲✶➻❘ Lagrange ➸➺ λ ✭✬✯✶ ❩❅❃ ❏❘❅②✭✮✯❰ (x, y) ✲ ÏÐ➍➁ ➂➃ ➄ ➅➆❶ ➂➇➈➉✶➔Ñ ÒÓÔÕÖ×✲ÏÐ ØÙ ➂➃ ÚÛÜÝ✶➔→ Þ ß àá ➂➃ Lagrange âã äÑ✲ å ● ✥❮æ✫✭✻✼✮✯✰✱✲ ➲❝✺❏æ✫ J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y0 ) dx ●çè✻✼ y(x0) = a, y(x1) = b ❃é❍■✻✼ J1[y] ≡ Z x1 x0 G(x, y, y0 ) dx = C ★✭✮✯✶◆❅➻➼ J0[y] = J[y] − λJ1[y], ➚⑧ δy ➶❇✽➘➴✭✶◆æ✫ J0[y] ●çè✻✼★✸ ✮✯✭✹✺✻✼❩✽ ∂ ∂y − d dx ∂ ∂y0 (F − λG) = 0. P❐ ⑤⑥êëìçè✻✼❃é❍■✻✼✶ ✹✺▲íîïð✶ ❩❅❃ ❏❘ Lagrange ➸➺✭✯ λ = λ0 ì ✮✯✫✬ y = y(x, λ0) ✶❃éñò✭æ✫ J0[y] ✭✻✼✮✯✲ ó 32.1 ❏æ✫ I[y] = Z 1 0 x y02 dx ➾ ôõö÷øùúûüýø Lagrange þÿ✁✂õ✄☎✆✝✞
法初步(续) 第3页 在边界条件 y()有界,y(1)=0 和约束条件 y2dx=1 下的极值曲线 解采用上面描述的 Lagrange乘子法,可以得到必要条件 a d a b-)(xy2-Axy2)=0 d/ dy +ary=0 此方程及齐次的边界条件即构成一个本征值问题,它的本征值 A2=2,p1是零阶贝塞耳函数J(x)的第i个正零点,i=1,2,3 正好就是 Lagrange乘子,而极值函数就是相应的本征函数 (x)=CJ0(2x) 常量C可以由约束条件定出.因为 rJo(pia) ca 2i(p)=1 所以 这样,就求出了极值函数 J1(P) 由于 Lagrange乘子的引进,在 Euler- Lagrange方程出现了待定参量,和齐次边界条件组合在 一起,就构成本征值问题.而作为本征值问题,它的解,本征值和本征函数,有无穷多个.这里有 两个问题需要讨论 ★第一个问题,这无穷多个本征函数都是极值函数 这可以从下面的变分计算看出.由边界条件以及由此推得的 有界 =0 可以求出Iy的一级变分 61131=2/ xy(6y)'dr 进而可以求出I的二级变分
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 3 ☞ ●çè✻✼ y(0) ✴è, y(1) = 0 ➪❍■✻✼ Z 1 0 x y2 dx = 1 ★✭✮✯ ✟✠✲ ✡ ☛ ➤❖❢☞❨ ✭ Lagrange ➸➺✌✶ ❅ ❃✍ ❮✹✺✻✼ ∂ ∂y − d dx ∂ ∂y0 x y02 − λ x y2 = 0, ❋ d dx x dy dx + λ x y = 0. (#) ❐ êëé✎✏✭ çè✻✼❋✑❇ ✧❛✒✓✯✰✱✶✷✭✒✓✯ λi = µ 2 i , µi ✽✔✕✖✗✘✫✬ J0(x) ✭✙ i ❛❦✔❰ ✶i = 1, 2, 3, · · · ❦✚❩✽ Lagrange ➸➺✶q✮✯✫✬❩✽ñò✭✒✓✫✬ yi(x) = C J0 (µix). ➦ ➬ C ❅ ❃ P❍■✻✼➻❘✲✾✿ C 2 Z 1 0 x J 2 0 (µix) dx = C 2 2 J 2 1 (µi) = 1, ❂❃ C = √ 2 J1(µi) . ❑❳✶ ❩❏❘✛✮✯✫✬ yi(x) = √ 2 J1(µi) J0(µix). P❵ Lagrange ➸➺✭ ➳➵✶● Euler–Lagrange êë❘å✛✜➻✢➬ ✶➪✎✏çè✻✼✣✤● ✧✥ ✶ ❩ ✑❇ ✒✓✯✰✱✲q✦✿✒✓✯✰✱✶✷ ✭◗✶ ✒✓✯ ➪ ✒✓✫✬✶✴✧★✩❛✲❑✩ ✴ ➹❛✰✱✐ ✺✪✫✲ F ✙✧❛✰✱✶ ❑ ✧★✩❛✒✓✫✬✬✽✮✯✫✬✲ ❑❅❃ ⑦★❢ ✭➷⑥✭✮➶ ❘✲Pçè✻✼❃é P❐✯✍✭ δy x=0 ✴è, δy x=1 = 0. ❅ ❃ ❏❘ I[y] ✭✧✰➷⑥ δI[y] = 2 Z 1 0 x y0 (δy) 0 dx, ➵ q❅ ❃ ❏❘ I[y] ✭ ✵ ✰➷⑥ δ 2 I[y] = 2 Z 1 0 x δy 0 2 dx > 0
§321泛函的条件极 因为泛函Ⅰ的二级变分恒取正值,所以这些极值函数均使泛函取极小 ★第二个问题是,这无穷个本征值正好也就是泛函的极值.这是因为,将方程(#)乘以极 值函数y(x),再积分,就有 根据约束条件,就能得到 最后,还要提到,这一类泛函的条件极值问題的原型,可以追溯到“闭合曲线周长一定而 面积取极大”的原始几何问题.因此,泛函的条件极值问题,常称为等周问题( (Isoperimetric problem
Wu Chong-shi §32.1 ➛➜➝➞➟➠➡ ☛ 4 ☞ ✾✿æ✫ I[y] ✭ ✵ ✰➷⑥✱ ✸ ❦✯✶❂❃❑✲✮✯✫✬✳✴æ✫✸ ✮✵✲ F ✙ ✵ ❛✰✱✽✶ ❑ ✧★❛✒✓✯❦✚①❩✽æ✫✭✮✯✲❑✽✾✿✶ ⑧êë (#) ➸❃✮ ✯✫✬ y(x) ✶✶✷⑥ ✶ ❩ ✴ λ Z 1 0 x y2 dx = − Z 1 0 y x y0 0 dx = −y · x y0 1 0 + Z 1 0 x y02 dx = Z 1 0 x y02 dx, ✸✹❍■✻✼✶ ❩②✍ ❮ λ = Z 1 0 x y02 dx. ✺✻✶✼✽✾➀✶✿❀ ❁❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅❆❶❇❈✶Ñ Ò❉❊➀ ❋ ●❍ ■❏❑▲❀▼◆ ⑩❖P❃◗❘❶❇❙❚❯ ❅ ❆✲❱❲ ✶❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅❆ ✶ ❳❨❩❬❑ ❅ ❆ (Isoperimetric problem) ✲
3322微分方程于问题和本面值问题的变分形需 所2由 函以值的必是条件的正分形式( Euler- Lagrange方程)是样正分方程或偏正分方 而和变量函数的定解条件结约起来,就构成样正分方程或偏正分方程的定解题 对于函的条件以值题,其必是条件中待定参量( Lagrange乘子),而和齐次边 界条件结起来,就构成正分方程本征值 为一节将研究而的反题:如何将正分方程的定解题或本征值。题转化就函的以 值或条件以值_题,或者说,如何将正分方程的定解题或本征值题用变分语言表 述 例32.2写出常微分方程边值问题 d d+)=(),和0<x5a y(ao)=yo, y(a1)=y1 的泛要形式,即找出相应的泛函,它在边界条件(2)下取极值的必要条件即为(#) 既然泛函极值必要条件的微分形式就是方程(#),那么,这个方程一定来自 {[+0=0 现在的问题就是要把上式左端化成某一它分的变分,这对于该它分被它函数的第二、三项是很容 易实现的 q(a)y(a)8y(a) q(a)y(a)d f()by()dx=8/f(r)y(a)dr 已知函数q(a)和∫(x)是与叭(x)的变分无关的,因此,在变分计算中,而们都是样量 对于被它函数中的第一项,可以分"它分 dy sy(a)dr=p(z)dr (dy d( y) dr dr 25/ma)(z 其中用到了8(x)=8()=0.把上面的结果合起来,就得到 {[ (a)=+q(a)y(a)-f(r)5 8y(r)dr 2p(z)(dz)-g(zy()+f(a)y(
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 5 ☞ §32.2 ❭❪❫❴❵❛❜❝❞❡❢✣❜❝✚❣❪❤✐ ❂ ➈ P ❃❄❶❥✽ ÜÝ❶❦❧➋ ➓ (Euler–Lagrange ♠♥) ➍❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥✶ qr➅➆➈➉❶▼sÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆① ②③❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶④❥✽ ÜÝ ⑤⑥⑦⑧▼⑨➆ (Lagrange âã) ✶ qr⑩❶❷ ❸ ÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❦❧♠♥❹❺❄ ❅ ❆✲ ✿❀ ❻❼❽ ❾q❶❿ ❅ ❆➀Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➁➂❩❂ ➈❶ ❃ ❄♦ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶♦➃➄✶Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➅➅❧➆➇➈ ➉✲ ó 32.2 ❆ ❘ ➦ ⑤⑥êëç ✯✰✱ d dx p(x) dy dx + q(x)y(x) = f(x), x0 < x < x1, (#) y(x0) = y0, y(x1) = y1 (z) ✭æ✫✇♣✶❋➊ ❘ ñò✭æ✫✶✷●çè✻✼ (z) ★ ✸ ✮✯✭✹✺✻✼❋ ✿ (#) ✲ ✡ ➋ ❙ æ✫✮✯✹✺✻✼✭⑤⑥✇♣❩✽êë (#) ✶➌➍✶ ❑❛êë✧➻ ➫ ➎ Z x1 x0 d dx p(x) dy dx + q(x)y(x) − f(x) δy(x) dx = 0. å ● ✭✰✱❩✽✺➏ ❖ ♣➐➑❭ ❇➒ ✧ ✷ ⑥✭➷⑥✶ ❑ ❴❵➓✷⑥➔ ✷ ✫✬✭✙ ✵ ì→➣✽↔ ➮ ➱➢å✭ ✶ Z x1 x0 q(x)y(x)δy(x)dx = 1 2 δ Z x1 x0 q(x)y 2 (x)dx, Z x1 x0 f(x)δy(x)dx =δ Z x1 x0 f(x)y(x)dx. ↕➙ ➈➉ q(x) r f(x) ➍➛ y(x) ❶➅❧➜ ➝❶ ✶ ❱❲ ✶ ➞➅❧➟➠ ⑤✶ q➡➢➍❳➆✲ ❴❵➔ ✷ ✫✬ ❲ ✭✙✧➣ ✶ ❅ ❃ ⑥➤ ✷ ⑥ ✶ Z x1 x0 d dx p(x) dy dx δy(x) dx = p(x) dy dx δy(x) x1 x0 − Z x1 x0 p(x) dy dx d(δy) dx dx = − Z x1 x0 p(x) dy dx δ dy dx dx = − 1 2 δ Z x1 x0 p(x) dy dx 2 dx, ➥ ❲➤❮✛ δy(x) x0 = δy(x) x1 = 0 ✲➏ ❖❢✭❜❝➦✤✥➫✶❩ ✍ ❮ Z x1 x0 d dx p(x) dy dx + q(x)y(x) − f(x) δy(x) dx = −δ Z x1 x0 ( 1 2 " p(x) dy dx 2 − q(x)y 2 (x) # + f(x)y(x) ) dx
分方程定解问题和本征值问题的变分形式 第6页 这就说明,方程(#)一定就是泛函 Jy= p(a) q(x)y2()+f()y(a)dr 取极值的必要条件 例323写出偏微分方程定解问题 (r)+k2(r)=-p(r) (r)x=f(∑) 的变分形式 解可以完全仿照例32.2的做法,考虑积分 /[vu+k2u+ p(r)Su dr, 对于被积函数中的后两项,有 klud P(r)8 p(r)u 对于被积函数中的第一项,则需要应用Gren第一公式以及边界条件8u()x=0 lusU dr=/su Vuds-1/vu. v(6u)dr 因此,原方程就转化为 这说明,原来的定解问题就等价于在边界条件 (r)x=f(∑) 下求泛函 的极值问题 例324写出偏微分方程的本征值问题 2n(r)+Ma()=0,r∈v
Wu Chong-shi §32.2 ➧ ✝➨➩➫➭➯➲➳➵➸➡ ➯➲➝ ✆✝➺➻ ☛ 6 ☞ = 0. ❑❩➼ ➽✶ êë (#) ✧➻❩✽æ✫ J[y] = Z x1 x0 ( 1 2 " p(x) dy dx 2 − q(x)y 2 (x) # + f(x)y(x) ) dx ✸ ✮✯✭✹✺✻✼✲ ó 32.3 ❆ ❘➾⑤⑥êë➻◗✰✱ ∇ 2u(r) + k 2u(r) = −ρ(r), r ∈ V, u(r) Σ = f(Σ) ✭➷⑥✇♣✲ ✡ ❅ ❃➚➪➶➹➯ 32.2 ✭➘ ✌✶➴➷✷⑥ Z ZZ V ∇2u + k 2u + ρ(r) δu dr, ❴❵➔ ✷ ✫✬ ❲ ✭ ❚ ➹➣ ✶✴ ZZ Z V k 2uδudr = 1 2 δ ZZ Z V k 2u 2dr, ZZZ V ρ(r)δudr = δ ZZZ V ρ(r)u dr. ❴❵➔ ✷ ✫✬ ❲ ✭✙✧➣ ✶◆✐✺ ò➤ Green ✙✧➬♣ ❃éçè✻✼ δu(r) Σ = 0 ✶ Z ZZ V ∇2u δu dr = ZZ Σ δu ∇u · dΣ − ZZ Z V ∇u · ∇ δu dr = − 1 2 δ ZZZ V ∇u 2 dr. ✾ ❐✶▼êë❩❬❭✿ δ ZZZ V 1 2 ∇u 2 − k 2u 2 − ρu dr = 0. ❑➼ ➽✶▼➫✭➻◗✰✱❩➮➱❵●çè✻✼ u(r) Σ = f(Σ) ★❏æ✫ ZZZ V 1 2 ∇u 2 − k 2u 2 − ρu dr ✭✮✯✰✱✲ ó 32.4 ❆ ❘➾⑤⑥êë✭✒✓✯✰✱ ∇2u(r) + λu(r) = 0, r ∈ V
u(r)s=0 的变分形式 解首先,可以将本问题看成是例32.3的特殊情形.因此,此本征值问题就等价于泛函 J同=//(-po) 在齐次边界条件 (rl=0 下的极值问题.更进一步,把本征值λ看成是 Lagrange乘子,那么,这个泛函极值问题又等价于 [Vu(r)]dr 在上述齐次边界条件和约束条件(本征函数的归一化条件) Jilu u(r)dr 下的条件极值问题 不难理解,这些本征函数正好就是泛函的极值函数,而本征值正好是泛函的极值.由于泛函 Jd的二级变分 82=2//(u)2ar 恒为正,所以,泛函的极值是极小值.这些极小值中的最小者,当然就是本征值问题的最小本征 值
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 7 ☞ u(r) Σ = 0 ✭➷⑥✇♣✲ ✡ ✃✤ ✶ ❅ ❃ ⑧✒✰✱➶❇✽➯ 32.3 ✭❐❒✈✇✲✾ ❐✶❐✒✓✯✰✱❩➮➱❵ æ✫ J[u] = ZZ Z V n ∇u(r) 2 − λ u(r) 2 o dr ●✎✏çè✻✼ u(r) Σ = 0 ★✭✮✯✰✱✲➥➵ ✧❮ ✶ ➏✒✓✯ λ ➶❇✽ Lagrange ➸➺✶➌➍✶ ❑❛æ✫✮✯✰✱❄➮➱❵ æ✫ J[u] = ZZ Z V ∇u(r) 2 dr ●❖❨✎✏çè✻✼➪❍■✻✼ (✒✓✫✬✭❰✧❭✻✼) J1[u] ≡ Z ZZ V u(r) 2 dr = 1 ★✭✻✼✮✯✰✱✲ ❤Ï ❡◗✶ ❑✲✒✓✫✬❦✚❩✽æ✫✭✮✯✫✬✶ q✒✓✯❦✚✽æ✫✭✮✯✲P❵æ✫ J[u] ✭ ✵ ✰➷⑥ δ 2J[u] = 2 ZZ Z V ∇ δu(r) 2 dr ✱✿❦ ✶❂❃✶æ✫✭✮✯✽✮✵✯✲❑✲✮✵✯ ❲ ✭Ð✵Ñ✶Ò❙ ❩✽✒✓✯✰✱✭Ð✵✒✓ ✯✲
323R方法 第8页 8323 Rayleigh-Ritz方法 ·变分法在物理学中的应用,可以分为两个主要的方面 种应用是作为基本物理规律的表述语言 可以用 Hamilton原理或其他类似的语言描述力学系统(质点、质点组…)的运动 可以用 Fermat原理描述光线在介质中的传播,包括在界面上的反射和折射, 也可以用变分的语言描述电磁场乃至微观粒子的运动,等等 在物理学的这些分支中,支配物质运动的各种特定形式的基本规律,无一例外地都可以表述 为各自的泛函极值问题 变分法的这种应用,具有重要的理论意义.它可以使我们更统一地了解物质世界的运动,可 以使我们更方便地从已知的物理领域向新的领域扩展 ·变分法的第二种应用则是体现出它的实用价值:它为求解具体的物理问题提供了一种新的灵 活手段 尽管我们平时仍然是习惯于使用微分方程去描写这些物理问题,但毕竞只有少数的问题才能 精确求解,在多数的实际问题中往往只能得到近似解.在变分法的基础上,就建立了很实用 的近似解法 假设有一个一般的本征值问题 LX= XpX a1X(a)+1X'(a)=0 a2X(b)+B2X(b)=0 求解的步骤总是先写出(含有待定参数的)常微分方程的通解,然后代入边界条件,定出本征值和 本征函数.有两种可能:一种可能是常微分方程很容易求解;另一种可能是还需要用常微分方程 级数解法,才能求出常微分方程的解.一般说来,除了少数已经熟悉的函数外,很难指望能得到 本征值的准确表达式.即使像 X"(x)+λX(x)=0 这样最简单的方程,有熟知的两个线性无关解 sinAR和cos√x,在一般的第三类边界条件下, 也无法写出本征值的显明表达式.那么,对于一般的本征值问题,这里的困难就可想而知了.变 分法就为我们提供了求解本征值的近似方法 ·用 Rayleigh-Ritz方法近似求解本征值问题的基本思路是:
Wu Chong-shi §32.3 Rayleigh–Ritz ➨✞ ☛ 8 ☞ §32.3 Rayleigh–Ritz ❫Ó • ➷⑥✌●Ô ❡Õ ❲ ✭ ò➤✶❅ ❃ ⑥✿➹❛Ö✺✭ê❢ ✲ • ✧❞ò➤✽✦✿×✒ Ô ❡ØÙ✭♥❨ÚÛ✲ – ❅ ❃➤ Hamilton ▼ ❡Ü➥Ý❊Þ✭ ÚÛ☞❨ß Õàá (â ❰ìâ ❰✣ · · · · · ·) ✭ãä✶ – ❅ ❃➤ Fermat ▼ ❡ ☞❨å ✠ ●æâ ❲ ✭çè✶éê●è❢❖✭ëì➪í ì ✶ – ①❅❃➤➷⑥✭ÚÛ☞❨ îïðñt ⑤òó➺ ✭ãä✶ ➮➮✲ ●Ô ❡Õ✭❑✲⑥ô ❲✶ôõÔâãä✭ö❞❐➻✇♣✭×✒ØÙ✶✧ ✧➯÷ø✬❅ ❃ ♥ ❨ ✿ö ➎ ✭æ✫✮✯✰✱✲ ➷⑥✌ ✭❑❞ò➤✶ù ✴ú ✺✭❡✫ ❁ ➼✲ ✷ ❅ ❃ ✴ûü➥ á✧ø✛◗ Ôâýè ✭ãä✶ ❅ ❃ ✴ûü➥ êþø⑦ ÿ❧✭Ô ❡✁ ✂➽✭✁✄☎✲ • ➷⑥✌ ✭✙ ✵ ❞ ò➤◆✽✆å❘ ✷ ✭ ➢➤➱✯➀ ✷ ✿❏◗ù✆✭ Ô ❡✰✱✝✞✛✧❞➽✭✟ ✠✡☛✲ ☞✌ûü✍▲➚ ❙ ✽✎✏❵ ✴ ➤ ⑤⑥êë❱☞❆ ❑✲ Ô ❡✰✱✶ ✑✒✓r ✴✔ ✬✭✰✱✕② ✖✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧ ★✩✩✪✫✬✭✮✯✙✰✛✱✲✳✣✴✵✶✚✷✸✹✺✻✤✼ ✣✮✯✙✳✰ ✽✾✿❀❁❀❂✣❃❄❅✦✧ LX = λρX, α1X(a) + β1X0 (a) = 0, α2X(b) + β2X 0 (b) = 0. ✘✙✣❆❇❈❉❊❋● (❍ ✿■❏❑✢✣) ▲▼✲◆❖✣P✙✚◗❘❙❚❯❱❲❳✚❏●❃❄❅❨ ❃❄❩✢✰✿❬❭❪✫❫❀❭❪✫❉▲▼✲◆❖✻❴❵✘✙❛❜❀❭❪✫❉❝❞❡✼▲▼✲◆❖ ❢✢✙✳✚❣✫✘● ▲▼✲◆❖✣✙✰❀❂❤✐✚❥✺❦✢ ❧♠♥♦✣❩✢♣✚✻qrs✫✬✭ ❃❄❅✣t✗✉✈✇✰①②③ X00(x) + λX(x) = 0 ④⑤⑥⑦⑧✣◆❖✚✿♥⑨✣❬❁⑩❶❷❸✙ sin√ λx ❨ cos√ λx ✚✛❀❂✣❹❺❻❯❱❲❳❼✚ ❽❷✳❋●❃❄❅✣❾ ❿✉✈✇✰➀➁✚➂➃❀❂✣❃❄❅✦✧✚④➄✣➅q✷❪➆➇⑨✺✰✱ ✲✳✷➈➉➊➋➌✺✘✙❃❄❅✣✮✯◆✳✰ • ✼ Rayleigh–Ritz ◆✳✮✯✘✙❃❄❅✦✧✣✴❃➍➎❉❫
章变分法初步(续) 第9页 首先把本征值问题转化为泛函的条件极值问题, 然后在一定的函数空间中求解,因而把问题又转化函数的条件极值问题 ·只要选择的函数空间(对于此本征值问题)是完备的,原则上总可以足够精确地逼近本征值的 精确值 从实用的角度看,就是要选择一个“好”的函数空间(实际上是一个函数序列,一方面便于 计算,一方面又能够足够快地、足够精确地求得本征值的近似值 这就要求函数序列具有本征函数所要求的主要基本特征,要求我们事先从物理上和数学上对 于本征函数的性质作出准确的判断 例32.5求本征值问题 正(2a)+()=0 v(O)有界,y(1)=0 的最小本征值 解这个本征值问题在321节的例321中已经讨论过.当时讨论的是泛函 在边界条件 y(0)有界,y(1)=0 和约束条件 下的条件极值问题,它的 Euler- Lagrange方程就是 1 d/ dy +y(x)=0 现在用 Rayleigh-Ritz方法来近似求解这个泛函的条件极值问题. 事先,我们对于本征函数的了解是,它除了必须满足边界条件之外,还应该具有奇偶性(为什 么?).因此,可用多项式序列 (x)=a1(1-x2)+a2(1-x2) 去通近本征函数.首先取近似的本征函数y2(x),即在上式中取前两项,代入泛函及约束条件,得 I y2 ry2dr=a2+0102+3
Wu Chong-shi ➏➐➑➒➓ ➔→➣↔↕ (➙) ➛ 9 ➜ – ➝ ❊➞❃❄❅✦✧➟➠➈➡❩✣❲❳➢❅✦✧✚ – ◗❘✛❀❏✣❩✢➤➥ ★✘✙✚➦➇➞✦✧➧➟➠❩✢✣❲❳➢❅✦✧✰ • ✪❡➨➩✣❩✢➤➥ (➂➃➫❃❄❅✦✧) ❉➭➯✣✚➲➳✶❈❪➵➸➺➻✗➼➽✮❃❄❅✣ ➻✗❅✰ • ➾ ✤✼✣➚➪➶✚✷❉❡➨➩❀❁ ➹➘➴✣❩✢➤➥ (✤✥✶❉❀❁❩✢➷➬) ✚❀◆➮➱➃ ✃❐✚❀◆➮➧✫➺➸➺❒➼❮➸➺➻✗➼✘✬❃❄❅✣✮✯❅✰ • ④✷❡✘❩✢➷➬❰✿❃❄❩✢Ï❡✘✣Ð❡✴❃Ñ❄✚❡✘➉➊Ò❊ ➾ÓÔ✶❨✢Õ✶➂ ➃❃❄❩✢✣❶Ö×●t✗✣ØÙ✰ Ú 32.5 ✘❃❄❅✦✧ 1 x d dx x dy dx + λy(x) = 0, y(0) ✿❱ , y(1) = 0 ✣⑥Û❃❄❅✰ Ü ④❁❃❄❅✦✧✛ 32.1 Ý ✣Þ 32.1 ★❧♠ßàá✰âãßà✣❉➡❩ I[y] = Z 1 0 x y02 dx ✛❯❱❲❳ y(0) ✿❱ , y(1) = 0 ❨äå❲❳ I1[y] ≡ Z 1 0 x y2 dx = 1 ❼✣❲❳➢❅✦✧✚æ✣ Euler–Lagrange ◆❖✷❉ 1 x d dx x dy dx + λy(x) = 0. ç✛✼ Rayleigh–Ritz ◆✳✐✮✯✘✙④❁➡❩✣❲❳➢❅✦✧✰ Ò❊✚➉➊➂➃❃❄❩✢✣✺✙❉✚æ❥✺èéê➸❯❱❲❳ë♣✚❝ìí❰✿îï❶ (➈ð ➁ ñ ) ✰➦➫✚❪✼✜ò✇➷➬ yn(x) = α1 1 − x 2 + α2 1 − x 2 2 + α3 1 − x 2 3 + · · · + αn 1 − x 2 n , n = 1, 2, 3, · · · ó➽✮❃❄❩✢✰ ➝ ❊ô✮✯✣❃❄❩✢ y2(x) ✚①✛✶✇ ★ôõ❬ò✚❙❚➡❩öäå❲❳✚✬ I[y2] = Z 1 0 x y0 2 2 dx = α 2 1 + 4 3 α1α2 + 2 3 α 2 2
第10页 112l=/xy2 这可以看成是a1和a2的二元函数的条件极值问题,必要条件是 dal 0(I-Ml1)4 a2+7a1-X(=a2+7a1)=0 这又是关于a1和a2的代数方程组,有非零解的充分必要条件是 4入 4入 34 35 即 32-128X+640=0 解之得 这两个给出的都是入的极小值 在32.1和322节中已经论证过,最小的极小值就对应于最小的本征值 这里得到的当然只是本征值问题的最小本征值的近似值 =5.7841 它和精确值 入1=(2.4048 的相对误差不到2×10-4.相应地,本征函数的近似解是 1(x)=a1(1-x2)+a2(1-x2) a1=2V12-3y2/17=1.65056… a2=V80-20/17=103712 为了与精确解 h(x)=J1(1) Jo(ulz 作比较,不妨计算 4-/-=2-2.m( 21-/4v a1 82a2/8 1.66×10
Wu Chong-shi §32.3 Rayleigh–Ritz ÷ ➣ ➛ 10 ➜ I1[y2] = Z 1 0 x y2 2 dx = 1 6 α 2 1 + 1 4 α1α2 + 1 10 α 2 2 = 1. ④❪➵➶ø❉ α1 ❨ α2 ✣ùú❩✢✣❲❳➢❅✦✧✚è❡❲❳❉ ∂(I − λI1) ∂α1 = 2α1 + 4 3 α2 − λ 1 3 α1 + 1 4 α2 = 0, ∂(I − λI1) ∂α2 = 4 3 α2 + 4 3 α1 − λ 1 5 α2 + 1 4 α1 = 0. ④➧❉❸➃ α1 ❨ α2 ✣❙✢◆❖û✚✿üý✙✣þ✲è❡❲❳❉ 2 − λ 3 4 3 − λ 4 4 3 − λ 4 4 3 − λ 5 = 0, ① 3λ 2 − 128λ + 640 = 0. ✙ë✬ λ = 64 3 ± 8 3 √ 34. ④❬❁ÿ●✣❉ λ ✣➢Û❅✰ ✁ 32.1 ✂ 32.2 ✄☎ ✆✝✞✟✠✚✡☛☞✌☛✍✎✏✑✒✡☛☞✓✔✍✰ ④➄✬✭✣â◗✪❉❃❄❅✦✧✣⑥Û❃❄❅✣✮✯❅ λ¯ 1 = 5.7841 · · ·, æ❨➻✕❅ λ1 = (2.4048 · · ·) 2 = 5.7831 · · · ✣✖➂✗✘✙✭ 2 × 10−4 ✰✖ì➼✚❃❄❩✢✣✮✯✙❉ y¯1(x) = α1 1 − x 2 + α2 1 − x 2 2 , α1 = 2q 12 − 33p 2/17 = 1.6505676 · · ·, α2 = q 80 − 230p 2/17 = 1.0538742 · · ·. ➈✺✚➻✕✙ y1(x) = √ 2 J1(µ1) J0 (µ1x) × ✛✜✚✙✢✃❐ ∆ = Z 1 0 y1(x) − y¯1(x) 2 xdx = 2 − 2 Z 1 0 y1(x) ¯y1(x)xdx = 2 ( 1 − h 4 √ 2α1 µ 3 1 + 8 √ 2α2 µ 3 1 8 µ 2 1 − 1 i) = 1.66 × 10−5 .