第十四讲(一)偏微分方程定解问题 814.1边界条件与初始条件 ★只根据 Newton第二定律列出的动力学方程并不能唯一地确定质点的运动 ★要完全确定一个质点的运动,除了微分方程之外,还必须有初始条件.否则二阶常微分方程 的通解中含有两个任意常数,因而解不是唯一确定的 ★只有偏微分方程,也不能唯一地、确定地描写某一个具体的物理过程. ★二阶偏微分方程的通解,含有两个任意函数.例如,偏微分方程 02u(x,y) 0 的通解就是 u(a, y)=ci(y)+ac2(y) 其中c1(y)和c2(y)是y的任意函数 仅有方程,而解并不唯一从物理上来看,也是自然的,因为 ★在推导方程时,只考虑了介质的内部,并没有考虑介质通过表面和外界的相互作用.因此 严格说来,方程只适用于介质内部 ★如果问题与时间有关的话,在推导方程时也并没有考虑介质的历史状况.如果我们适当选取 计时的零点,那么,就可以说,方程也只适用于t>0的任一时刻 为了完全描写一个具有确定解的物理问题,在数学上就是要构成一个定解问题,这除了微分 方程之外,还必须有边界条件和初始条件 初始条件初始条件应该完全描写初始时刻(t=0时)介质内部及边界上任意一点的状况 ★对于波动方程来说,就是应该给出初始时刻的位移和速度(如果是力学问题的话) l=0=c(x,3,2) v(x,y,z),(x,y,z)∈V ★对于热传导方程,由于方程中只出现未知函数u(x,y,z,t)对t的一阶偏微商,所以只需给出
Wu Chong-shi ✁ ✂✄ (☎) ✆✝✞✟✠✡☛☞✌ §14.1 ✍✎✏✑✒✓✔✏✑ F ✕✖✗ Newton ✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✚✰✱✣✲✤✳ F ✴✵✶✯✚✭✷✰✱✣✲✤✸✹✺✻✼✧★✽✾✸✿❀❁❂❃❄❅❆✳❇❈✙❉❊✻✼✧★ ✣❋● ❍■❂❏✷❑▲❊▼✸◆❖●✪P✬✭✯✚✣✳ F ✕❂◗✻✼✧★✸❘✪✫✬✭✮❙✯✚✮❚❯❱✭✷❲❳✣❨❩❬★✳ F ✙❉◗✻✼✧★✣❋●✸■❂❏✷❑▲❭▼✳❪❫✸◗✻✼✧★ ∂ 2u(x, y) ∂x2 = 0 ✣❋●❴P u(x, y) = c1(y) + xc2(y), ❵ ❍ c1(y) ❛ c2(y) P y ✣❑▲❭▼✳ ❜ ❂✧★✸❖●✩✪✬✭✳❝❨❩❞❡❢✸❘P ❣ ❤ ✣✸◆✐ F ❥❦❧✧★♠✸✕♥♦✺♣✰✣ qr✸✩s❂♥♦♣✰❋❬t✉❛✾✈✣✇①②③✳◆④✸ ⑤⑥⑦❡✸ ⑧⑨⑩❶❷❸❹❺❻❼✳ F ❫❽❾❿➀♠➁❂➂✣➃✸❥❦❧✧★♠❘✩s❂♥♦♣✰✣➄➅➆➇✳❫❽➈➉➊➋➌➍ ➎ ♠✣➏✱✸➐➑✸❴➒➓⑦ ✸ ⑧⑨➔⑩❶❷❸ t > 0 →➣↔↕➙✳ ✐✺✵✶❚❯✭✷❲❂✯✚●✣❨❩❾❿✸❥▼✦❞❴P✴➛➜✭✷✚●❾❿✸➝✹✺✻✼ ✧★✽✾✸✿❀❁❂➞✈❅❆❛❃❄❅❆✳ ➟➠➡➢ ➟➠➡➢➤➥➦➧➨➩➟➠↕➙ (t = 0 ↕) ❹❺❻❼➫➭➯➲➣➳↔➵→➸➺✳ F ➻➼➽✤✧★❡⑦ ✸❴P➾➚➪✢❃❄♠➶✣➹➘❛➴➷ (❫❽P✥✦❾❿✣➃) ✸ u t=0 = φ(x, y, z), ∂u ∂t t=0 = ψ(x, y, z), (x, y, z) ∈ V . F ➻➼➬➮❧✧★✸➱➼✧★ ❍✕✢✃❐❒❭▼ u(x, y, z, t) ➻ t ✣✭❉◗✻❮✸❰➓✕Ï➪✢
141边界条件与初始条 初始时刻的温度 o(x,y,2),(x,y,z)∈V 边界条件的形式比较多样化,要由具体问题中描述的具体状况决定,总的原则是:边界条件 应该完全描写边界上各点在任一时刻(t≥0)的状况 弦的横振动如果弦的“两端固定”,则边界条件就是 0.t 杆的纵振动若x=0端固定,则x=0端的边界条件仍是 若另一端(x=l)受x方向上的外力作用,单位面积上的力 是F(t).模仿推导方程的办法,在端点x=l处截取一小块 介质,长度为ε.根据 Newton第二定律可知,这一小段介质 P(l-a, ts 所受的合力(外力加内应力),应该等于介质的质量乘以介质 中某一点的加速度 图141端点所受外力与应力平衡 pES a42 F(ts-P(I-E, t)S, 其中0≤a≤1.令∈→0,并代入 则有 ·如果外力为0,即x=l端是自由的,则 au 如果外力F(t)不是一个确定的已知函数,而是由弹簧提供的弹性力,则 F(1)=-k[(1,t)-] k是弹簧的劲度系数,于是 热传导问题常见的边界条件有下列几种类型 边界上各点的温度已知, =o(∑,t)
Wu Chong-shi §14.1 ÐÑÒÓÔÕÖÒÓ × 2 Ø ❃❄♠➶✣Ù➷ u t=0 = φ(x, y, z), (x, y, z) ∈ V . ➭➯➡➢ ✣ÚÛ ÜÝÞßà✸✴ ➱❲❳❾❿ ❍❚á✣❲❳➆➇â✚✳ ã→äåæç➭➯➡➢ ➤➥➦➧➨➩➭➯➲è➵é➣↔↕➙ (t ≥ 0) →➸➺✳ ê →ëìí ❫❽î✣ ï ðñòó ô ✸❈➞✈❅❆❴P u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0. õ →öìí ÷ x = 0 ñòó ✸❈ x = 0 ø✣➞✈❅❆ùP u x=0 = 0. ÷ ú↔ñ (x = l) û x ⑧ü➲→ýþÿ❷ ✸➹✉✁❞✣✥ P F(t) ✳✂✄❦❧✧★✣☎✆✸❥ø✱ x = l ✝✞➍✭✟✠ ♣✰✸✡ ➷✐ ε ✳✖✗ Newton ✘✙✚✛➒❒✸➝✭✟☛♣✰ ❰☞✣✌✥ (✾✥✍ q➾✥) ✸➾➚✎➼♣✰✣✰✏✑➓♣✰ ❍❱✭✱✣✍➴➷✸ ρεS ∂ 2u ∂t2 x=l−αε = F(t)S − P(l − ε, t)S, ✒ 14.1 ✓✔✕✖✗✘✙✚✘✛✜ ❵ ❍ 0 ≤ α ≤ 1 ✳✢ ε → 0 ✸✩✣✤ P = E ∂u ∂x, ❈❂ ∂u ∂x x=l = 1 E F(t). • ❫❽✾✥✐ 0 ✸✥ x = l ñ æ ✦✧→ ✸❈ ∂u ∂x x=l = 0. • ❫❽✾✥ F(t) ✪P✭✷✯✚✣ ★❒❭▼✸❖P ➱✩✪✫✬✣✩✭✥✸❈ F(t) = −k u(l, t) − u0 , k P✩✪✣✮➷✯▼✸➼P✸ ∂u ∂x + k E u x=l = k E u0. ✰✱✲✳✴ ❊✵✣➞✈❅❆❂✶✜✷✸✹✺ç F ➭➯➲è➵→✻✼✽✾✸ u Σ = φ(Σ, t).
偏微分方程定解 第3页 ∑表示边界上的变点,同时也表示这些点的坐标 单位时间内、通过单位面积的边界面流入的热量已知 在边界内侧截取一小薄层介质,一个底面在介质的表面 另一个底面在介质内部.柱体的两底面积相等,厚度趋于0 根据能量守恒定律可知,介质从两个底面及侧面流入的热量 之和,应该等于这一块介质温度升高所需要的热量.但是,当 介质的厚度趋于0时,通过侧面流入的热量应该趋于0(因为 侧面积趋于0),介质的热容量趋于0(因为介质的质量趋于 0),因此,通过介质表面流入的热量,应当全部通过薄层的另 底面流向介质内部.于是,可以写出边界条件 图14.2边界面处的热流连续 =Tl(E, t) 其中。称为法向微商,它是梯度矢量在外法线方向n上的投影 即 n·(Vu) ·边界绝热,则v≡0 an ★介质通过边界按 Newton冷却定律散热:单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介 质表面温度叫x和外界温度u0之差成正比,设比例系数为H H 5-u0 或者写成 上面出现的边界条件有一个共同的特点:就未知函数而言,它们都是线性的.再进一步细分 还可以分为三类 ★第一类边界条件:给出边界上各点的函数值 ★第二类边界条件:给出边界上各点函数的法向微商值 ★第三类边界条件:给出边界上各点的函数值与法向微商值之问的线性关糸
Wu Chong-shi ✿❀❁❂ (❃) ❄❅❆❇❈❉❊❋● × 3 Ø Σ t❍➞✈❞✣■✱✸❏♠❘t❍➝❑✱✣▲▼✳ F ◆❖↕P❻❙◗❘◆❖❙❚→➭➯❙❯❱→ ✰❲✽✾✳ ❥➞✈ q❳ ✞➍✭✟❨❩♣✰✸✭✷❬✉❥♣✰✣t✉✸ ❭ ✭✷❬✉❥♣✰ qr✳❪ ❳✣❏❬✉✁✇✎✸ ❫ ➷❴➼ 0 ✳ ✖✗✫✏❵❛✚✛➒❒✸ ❜❝❞❡❢❣ ❤✐❥ ❤❦❧♠ ♥♦ ♣q✸ rst✉✈✇①❜❝②③④ ⑤⑥⑦⑧♠ ♥♦✳ ⑨ P✸➋ ♣✰✣❫ ➷❴➼ 0 ♠✸❋❬❳ ✉⑩✤✣➬✏➾➚❴➼ 0 (◆✐ ❳ ✉✁❴➼ 0) ✸♣✰✣➬❶✏❴➼ 0 (◆✐♣✰✣✰✏❴➼ 0) ✸◆④✸❋❬♣✰t✉⑩✤✣➬✏✸➾➋✶r❋❬❨❩✣ ❭ ✭❬✉⑩ ❷♣✰ qr✳➼P✸➒➓❯✢➞✈❅❆ ∂u ∂n Σ = 1 k ψ(Σ, t), ✒ 14.2 ❸❹❺❻❼❽❾❿➀ ❵ ❍ ∂ ∂n ➁ ✐✆ ❷✻❮✸➂P➃➷➄✏❥✾✆➅✧ ❷ n ❞✣➆➇✸ ∂ ∂n = n · ∇ ✥ ∂u ∂n = n · (∇u). • ➭➯➈ ✰ ✸❈ ψ ≡ 0 ✸ ∂u ∂n Σ = 0. F ❹❺◗❘➭➯➉ Newton ➊➋ó➌➍✰ ç◆❖↕P◗❘◆❖❙❚➎❙➏ý➯➐➑→ ✰❲➒❹ ❺➎❙✻✼ u|Σ ➏ý➯✻✼ u0 ➓➔→➣↔ ✳↕ Ü❪✯▼✐ H ✸ −k ∂u ∂n Σ = H u Σ − u0 , ➙➛❯➜ ∂u ∂n + hu Σ = hu0. ❞✉✢✃✣➞✈❅❆❂✭✷➜❏✣➝✱ç❴❐❒❭▼❖➞✸➂➉➟P➅✭✣✳➠➡✭➢➤✼✸ ✿➒➓✼✐➥✹ç F ➦ ✇ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸♠➺➻➼ F ➦➽ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸➺➻♠➾ ➚➪➶➼ F ➦➹ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸♠➺➻➼➘➾ ➚➪➶➼♣ ➴♠➷➬ ➮➱
§14.1边界条件与初始条件 在饕个描写面上种灬时描写弃知所边界 始第页温面形 时条件与种初不 全、比较上面多样时化性述时描写条—种决总原则 是界:是的 这时代边界条件就应当各在外横振在是动弦“的 种例如 画它代导在纵调 边。仍 另受向种初方上力 条 原种当我们采用极坐标由、柱坐标由 或球坐标由种偏微刻∂u/(ar在坐标原失去义。因而需方针对具体情况,在坐标原 点补充上有界条件或其他条件
Wu Chong-shi §14.1 ÐÑÒÓÔÕÖÒÓ × 4 Ø ✃ ❐ ❢ ➨➩ ❤ ➳ ✸ ➵➸♠ ➨➩➫➭❒❮✇❰ÏÐÑ✇♠ÒÓÔ✸Õ ❮Ö× ØÙ✉✇Ú ➧Û✳Ü Ý➳ ❤Þß♠à➬á♠➨➩➫➭✸âãäå✳ F æ➯çP→ ✳✴ ➝♠✣➞✈❅❆❴➾➋ èéê✾ëìéæíîï→ðñòó ✸❪❫ ❭▼ôõ➂✣❧▼❥ö÷ø✝❂✈✳ ✃Ð➩ ù➴ ♠ úû ü✸ ÐýÕ⑧ ➲þÐ➩➫➭✳ ÿ ä✸✁✂✄☎✆✝✞ ➱❙ ✟ ✝✞ ➱ ✠✡✝✞ ➱ ý ✸ ☛ ➪➶ ∂u/∂r ✃ ✝✞☞➸✌✍✎✏✳✑✒⑦⑧✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜☞ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬★✩✭
确质点 要分方个,解 第5页 §14.2外解问题有初外始 条件则常 么件二定解中题的解是存的二数一的二而是是稳定的? ★解的本性一函定解如飄描解 具导球一则体 上体 某个、面为在推导时具介个 面为在螽件过 力作用过时人为 端固 它端点受 ★解的教←性一定解中题的解是数 。个导 条件·足二问题就“唯 用 求定解问解并且一二就是要求定解问果状况浮“合理”二定程并 恰到可以 ★解的稳定性一如的定解中题任的一时则件(刻如方程定解件任的一时边数)描微 条件应该二蟹描徵条的集应点状为作况于=应一该微 楚位号 二刻位描称具速度性界导由度 能定解中题解的存性数一性。稳宾条件与定性 歲全初始第页温形中题的式比是较形的 件的化是述决总“化定总原则是 该(各在 弦E=0)振动弦“ 棒纵差一端≥莩啼 纵弥力单仍另 件的化是述决受是化定总原则是 的定解积一定是与定的一积是模二解一足 存的数一的二而是是稳定的 仿办如法导需多样则,界则, 等量乘问 件任处截的一时边数小块,段一定的受合性初加 某点所 定 u(z,y,2,t)=f(E, t), 受外力 u(, y o(a, y, z) 与应二平衡 f(x,t=0=(x,y,2)|x 具体方个具代为在界等入即自外力由由已弹端 导个簧提供 个,劲宙系 星豺 如某为在导类由楚供西型维吧 受同提供题面导由由面孙爷心原 等有_与应界等况 点所条件 将条件 u(a, y,z, t)s=o
Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (✲) ✳✴✵✶✷✸✹✺✻ ✼ 5 ✽ §14.2 ✾✿❀❁❂❃✾❄ ❅❆❇❈❉❊✙❋●❍■❏●❑▲❅ ❏✙▼◆❏✙❖P❑◗❋❏ ❘ F ●❏▲❅❙ ❋●❍■❚●✭ ❯❱❲❳❨❩❬❭✙ ❪❫❴❵✙ ❛❲❳❜❝❞❳✭❡❯✙ ❯❱❢❣❤✐❥❦❧♠♥ ♦❲✙ ♣❢ ❣❤q✐❥r❧♥st✉✈❲❧✇①②③✭④♠⑤✐❥⑥⑦❪❫❴❵❧✭ F ●❏▼◆❙ ❋●❍■❏●❑▼◆❏✭ ❯❱❲❳❨❩⑧⑨✙ ❲❳❜❝❧❳⑥⑧⑦⑩❢❧✭ ❶ ❷✙❸❹❺❻ ❼❽❾❻❿✚➀➁➂➃✙➄➅❸❹❺❻ ❼❽➆➇➈ ➉➊➋➌✙❺❻★✩ ❸➍ ➎➍ ➏✙➐➑➒➓✭ F ●❏◗❋❙ ➔→❋●❍■➣❏↔↕❈❉ (➙ ➔➛➜➝❋ ● ❈❉➣❏↔↕➞➟) ❚➠ ➡➢➤➥✙●➦➧❚➠➡ ❏ ➢➤✭ ➨➩➫❲❳❜❝➭✙ ⑧➯➲➳➵➸✐②➺➻➼➽➾✭➚➪✙➶➹➨➘❲➴➷➬➯❧➮➱ ✃➷ ②❧➺➻➼➽➾❐⑦➹❒❮❧✭ ❰Ï❋●❍■●❏▲❅❙Ð▼◆❙Ñ◗❋❙ ✙ÒÓÔ❋❙✭ ➧ÕÖ×ØÙÚ❍■❏ÛÜ❑ÝÚ❏✙Þß❈❉❏à❑áâãÐ à❋ãäåæÞß➥ç (èé êë t = 0) ìíîïðñòóôõö÷◆ø❏ùú✙òó❈❉❏à❑áâûPà❋ãäåæòó ôõö÷◆ø❅ t ≥ 0 ❏ùú✙ü❇ ✙ ýþÿ ❏❋●❍■✁◆❋❑Ô❋❏✙➦✁❑✂✙●◆❋❑ ▲ ❅ ❏ Ð ▼◆❏✙❖P❑◗❋❏✭ ✄☎❫✆❧❜❝⑦✙ Þß❈❉Ñòó❈❉➣✝✞❏↔↕➞➟✟✠✡☛◆❋❏☞✌❙ Õ✍ ✭ ✎✏✑✒❜❝✓❡✭❯❱✔✕❨❩⑦ u(x, y, z, t) Σ = f(Σ, t), ✖✗✘❨❩⑦ u(x, y, z, t) t=0 = φ(x, y, z), ✙✚✙ ⑥✛✜➹ f(Σ, t) t=0 = φ(x, y, z) Σ . ➹✢ ❲❳❜❝⑧❢❲✣⑨④⑤✐❥✭➯✎✤✥✙ ✦✗✘✧➱★✩✓ φ(x, y, z) ❧❢✪✫✬ ✭✉❢⑤✮✧✯✰ (❡❯✧➱✮✓ u0) ✱✙ ✲✖✳✫✬✴❤❧✧➱✵✶✷✸✉✮✧ u0 ✙ ❯❱✐❥❧✹➱➬➯✙ ✫✬✴❤✺✻✼✽✧❬✾❧✿❀➯✎❁❂✙ ✙✚✙ ⑥➯✎➺❃➵ ❄✔✕❨❩❅❆ u(x, y, z, t) Σ = u0
§14.2定解问题的适定性 第6页 这样做的结果,尽管和精确的边界条件还有差别,但只要这种差别足够小,那么,解的 稳定性就告诉我们,由此引起的解的差异也是足够小的.当然,如果我们就是要研究这 种冷却或升温过程的影响,这种近似就是不可取的
Wu Chong-shi §14.2 ✸✹✺✻❇❈✸❉ ✼ 6 ✽ ④❊❋❧●❱ ✙ ❍■➼✹✈❧✔✕❨❩❏ ➹❑▲✙ ▼ ➶ ✐④◆ ❑▲⑨❖P✙ ✙✚✙ ❳❧ ➘❲➴⑥◗❘❙❚✙❯ ☎❱❲❧❳❧❑❳✵⑦⑨❖P❧✭✜➪ ✙ ❯❱❙❚⑥⑦✐❨❩④ ◆✺✻✼✽✧❬✾❧✿❀✙ ④◆➽➾⑥⑦⑧➯❬❧✭
恒介质从 (两)个底面及侧 入的热量 定解问题的之和应解该,等于这该 块解,边界应定解条件(处的条件定”的问热,所需要。流 解和 入的热量 定解问题一,块和“是度求升入的热量 容向升 但ˇ的解 连需要流入的热量, 的求解问题,续的¨该 热:它豆梯矢线连需要4,入的热量投 的求 解问题 影绝按连、冷却连,流入的热量 表和交换,度升流入的热 量 以所绝律芝差成、正窥解同设情况有散 犬舒熟量一块解 者以共持言都与以 步细 定解条件定升线 的定解冋题,就进求解 以类边的界条 8143a给出定,的 各点画数 定解问题值二法为l、两端固定的弦的流微商,方定解条件为 at 00 0, t>0 x=0 u=0=(x) v(x),0≤x≤L. 知 at 裡。线 方和边界条件是间的,而初始条件是问的 关糸 希望求得的解具有”等于这的形式,这 u(a, t)=X(r)r(t) 偏 知 u(x,t)代入方,即得 X(ar(t)=a-X"()T(t) 等式两端除X(x)T(t), 1m(t)∠X"(x) a2 T(t) 在这个等式中 左端只是t的函数(换句话说,与。x法 右端只是x的函数(换句话说,与t无) 此,左端和冇端相等,就必须共同等于一个既与x无、又与t无的常数.为一入,上面的 果就可 X"(x)+λX(x)=0
Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (❭) ✵❪❫❴❵ ✼ 7 ✽ ❛❜ ❝❞ (❡) ❢ ❣ ❤ ✐ ❥ ❦❧♠♥♦❺❻ ❼❽❾♣qr❻s ✙ ♠ t✉✈s✭ ❻q❧♠♥♦❺❻ ❼❽✇ ✙①q②➅③❹ ④❧♠♥♦❾⑤❻ ✙⑥⑦⑧⑨ ⑩❾⑤❻ ❶❷ ④ ①❻ ✙❸❹r❺❻★✩ (❺❻❼★✩) ❺ ④❶❷ ❽❾✭ ➃❿⑦⑧❦❧♠♥♦❾❹❻ ❼❽✙➀➁❾♥s➂➅➃➄➅➃❿⑦⑧q❧♠♥♦➆❾❹ ❻ ❼❽✭ ➇➈➉❿ ❷➊➋ ➌❿❾❦❧♠♥♦❺❻ ❼❽✙✗✘✦➍➍ ➎➏➐➑➒ ❷③❹ ④❦❧♠♥ ♦❾①❻ ✙⑥➈①❻ ➓➔✦→❺➣❾✙ ➃↔↕➙✙ ➛ ❷➜➝➞➟❺❻★✩❺ ④✭➅ ➠❹ ❻❦❧♠♥♦❾❺❻ ❼❽✙➄➡➢➤❹❻ ➥➦❷ ❷➧ ➨❾➩➫✭ §14.3 ➭➯➲✾➳❂ ➵➸➺➻ ❋●❍■ ➼➽➾✓ l Ð♠♥ ♦❲❧❦❧ ➚ ❯➪➶✙ ❣✾➹❲❳❨❩✓ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. ❣✾➼✔✕❨❩➘⑦➴➷❧ ✙ ✖✗✘❨❩⑦➬➴➷❧✭ ➮➱✃ ❐❹➈❾⑤❻❒✦♠ t✉✈❾❮❰✙➐ u(x, t) = X(x)T (t). F ❄ u(x, t) ÏÐ❣✾ ✙ÑÒ X(x)T 00(t) = a 2X 00(x)T (t). ÓÔ♠♥Õ✎ X(x)T (t) ✙ 1 a 2 T 00(t) T (t) = X00(x) X(x) . ➨④⑤ÓÔ ✱✙ Ö ♥ ➶ ⑦ t ❧×Ø (ÙÚÛÜ✙ ✄ x ❞✆ ) Ý♥ ➶ ⑦ x ❧×Ø (ÙÚÛÜ✙ ✄ t ❞✆ ) Þ☎ ✙ Ö ♥➼Ý♥❫Ó ✙ ⑥ßàáâÓã❢⑤ä✄ x ❞✆Ðq✄ t ❞✆❧åØ✭✤✓ −λ ✙ æ❤❧ ●❱⑥➯✎➻❆ T 00(t) + λa2T (t) = 0, X00(x) + λX(x) = 0
143边界条件与初始条 将u(x,t)代入边界条件与得 t)=0.X(l)r(t)=0 这时必须有 x(0)=0.X()=0. 在 这样就完成了用分离变量法解偏徵微分方程定解问题 分离变 ★目标:分离变量形式非零解u(x,t)=X(x)T(t) ★结:函数X(x)满足常微分方程和边界条件以及T(t)满足常徵分方程 ★条件:偏徵分方程和边界条件都是齐次 当,我当导 导 们 函数X(x)常微分方程定解问题与点是:微分方程中采有用定常数入与 定解条件是一齐次边界条件这样定解问题不同于常微分方程初问题 标,极 非于柱或λ一与都有既满足齐次常微分方程ˉ又满足齐次边界条件非零解 只有当A取球些定时与才有既满足齐次常微分方程又满足齐次边界条件非零 解X(x A这些们定坐为,原 偏为失去意 应非零解偏为失边数 函数X(x)常微分方程定解问题意偏为失去问题 第义步:求解失去问题 导而 因A=0意微分方程解是 X(a)=Aor +Bo 代入边界条件 就以定 A0=0,B 对具坐性 这说针λ=0时微分方程只有零解换句话说意A=0不是 当λ≠0时意常微分方程 X"(x)+λX(x)=0
Wu Chong-shi §14.3 çèéêëìíéê ✼ 8 ✽ F ❄ u(x, t) ÏÐ✔✕❨❩✙Ò X(0)T (t) = 0, X(l)T (t) = 0. ④➭ßà➹ X(0) = 0, X(l) = 0. ④❊⑥î❆ï③★ðñòó❥❳ôõ★❣✾❲❳❜❝❧ ö❢÷➏ øù➤ú F ûü➏★ðñòýÔ❧➬þ❳ u(x, t) = X(x)T (t) F ÿ →➏×Ø X(x) ✣⑨❧åõ★❣✾➼✔✕❨❩✎➹ T (t) ✣⑨❧åõ★❣✾ F ❈❉➏ôõ★❣✾➼✔✕❨❩➘⑦➴➷❧ ➨✁❧×Ø X(x) ❧åõ★❣✾❲❳❜❝✙ ✂s⑦➏õ★❣✾ ✱✄➹☎ ❲åØ λ ✙ ❲❳❨❩⑦❢✆➴➷✔✕❨❩✭④❊❧❲❳❜❝⑧âãåõ★❣✾❧✗✝❜❝✭ ✞➬✆ã✟✠ λ ✝ ✙ ➘ ➹ ä✣⑨➴➷åõ★❣✾Ðq✣⑨➴➷✔✕❨❩❧➬þ❳✭ ➶➹✜ λ ❬✡ ✢ ✂❲✝➭ ✙ ❐ ➹ ä✣⑨➴➷åõ★❣✾Ðq✣⑨➴➷✔✕❨❩❧➬þ ❳ X(x) ✭ λ ❧④ ✢ ✂❲✝☛✓ ☞✌✍ ✎ ❫✛❧➬þ❳☛✓ ☞✌➞➟ ✭ ×Ø X(x) ❧åõ★❣✾❲❳❜❝✎☛✓ ☞✌✍❍■ ✭ ö✏÷➏ ✍● ☞✌✍❍■ F ✑ λ = 0 ✎õ★❣✾❧✒❳⑦ X(x) = A0x + B0. ÏÐ✔✕❨❩ X(0) = 0, X(l) = 0, ⑥➯✎❲✁ A0 = 0, B0 = 0. ④ Ü ✓ λ = 0 ➭õ★❣✾ ➶➹þ❳✭ ÙÚÛÜ✎ λ = 0 ⑧⑦✔✕✝✭ F ✜ λ 6= 0 ➭✎åõ★❣✾ X00(x) + λX(x) = 0
质点 的通 (x)=Asin√Ax+ B cos Vaz, 代入边界条件,就有 B=0. Asin VAl=o 因为A≠0,故必有√X=nπ,即 本征值An 相应的本征函数就是 此解在 得的本征值有 上情况,,积界等 用正整数n标记,因此,在上面有结条件,把本征值和 相.有本征函数记An和Xn(x)
Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (❭) ✵❪❫❴❵ ✼ 9 ✽ ❧✒❳⑦ X(x) = A sin √ λx + B cos √ λx, ÏÐ✔✕❨❩✎⑥ ➹ B = 0, A sin √ λl = 0. Þ✓ A 6= 0 ✎✖ß ➹ √ λl = nπ ✎ Ñ ✔✕✝ λn = nπ l 2 , n = 1, 2, 3, · · · . ❫✛❧✔✕×Ø⑥⑦ Xn(x) = sin nπ l x. ④❊❥ Ò ❧✔✕✝ ➹ ❞✗✘⑤✎✙❚➯✎③✚✛Ø n ✜✢✎Þ✣✎✤æ✥✦✧★ ✩✎✪✔✕✝✫ ✬✭✦✔✕×Ø➘✢✮ λn ✫ Xn(x) ✯
