北京大学：《数学物理方法》精品课程电子教案（B类）第二部分 数学物理方程_第28讲 Green函数（一）

第二十八讲Gren函数( 828.1点源的数学表示一0函数 ★介绍一种新的“函数”,δ函数 ★δ函数是由物理学家P.A.M. Dirac首先引进的,在近代物理学中有着广泛的应用.它可以 用于描写物理学中的一切点量,例如点质量、点电荷、瞬时源等,物理图象清晰 ★在数学上,δ函数可以当作普通函数一样进行运算,如进行微分和积分变换,甚至应用于 求解嶶分方程,而且得到的结果和物理结论是一致的 ★运用δ函数,可以为我们处理有关的数学物理问题,带来极大的便利 ★δ函数是一类“奇怪”的函数,按照“古典”的数学概念是无法理解的.它的严格数学理 论,要涉及泛函分析的知识 ★本节将从物理学的直观出发,引进δ函数的概念,介绍它的最基本的知识及其初步应用 作为δ函数的物理背景,先讨论点源、例如点电荷的电荷分布密度函数的数学表示.为 简单起见,主要讨论一维情形 如图28.1,设在无穷直线上0l/2,就有 f(x)6(x)dx=f(61),-1/2≤6≤1/2

Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ Green ✆✝ (✞) §28.1 ✟✠✡☛☞✌✍ δ ✎☛ F ✏✑✒✓✔✕ ✖ ✗✘✙✚ δ ✗✘✛ F δ ✗✘✜ ✢✣✤ ✥✦ P. A. M. Dirac ✧★ ✩✪✕✚✫✬✭✣✤ ✥✮✯✰ ✱✲✕✳✴✛✵✶ ✷ ✴✸✹ ✺✣✤ ✥✮✕✒✻✼✽✚✾✿✼❀✽❁✼ ❂❃❁❄❅❆❇✚✣✤ ❈❉❊❋✛ F ✫✘ ✥●✚ δ ✗✘✶ ✷❍■❏❑✗✘✒▲✪▼◆❖✚✿✪▼P◗❘❙◗❚❯✚❱❲✳✴✸ ❳❨P◗❩❬✚❭❪❫❴✕❵❛❘✣✤❵❜✜ ✒❝✕✛ F ◆✴ δ ✗✘✚✶ ✷❞❡❢❣✤✯ ❤✕ ✘ ✥✣✤ ✐❥✚❦❧♠♥✕♦♣✛ F δ ✗✘✜✒ q ✖ rs✙ ✕ ✗✘✚t✉ ✖✈✇✙ ✕ ✘ ✥①②✜③④✤❨ ✕ ✛✵ ✕⑤⑥✘ ✥✤ ❜✚⑦ ⑧⑨✲✗◗⑩✕❶❷✛ F ❸ ❹❺❻✣✤ ✥✕❼❽ ❾❿✚✩✪ δ ✗✘✕ ①②✚✏✑✵ ✕➀➁❸✕❶❷⑨➂➃ ➄✳✴✛ ■❞ δ ✗✘✕ ✣✤➅➆✚★➇❜✼❆❁✾✿✼ ❂❃✕ ❂❃◗➈ ➉➊✗✘✕ ✘ ✥➋➌✛❞ ➍➎➏➐✚➑⑦➇❜✒➒➓➔✛ →➣ 28.1 ✚↔↕➙➛➜➝➞ 0 l 2 . ➶➹➘➴➷➳ ↕ −l/2 l/2 ✚à➢ Z b a f(x)δ(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2

§28.1点源的数学表示 作为极限情形,当l→0时,就得到点电荷的密度函数,记为 6(x)=limo(x)={∞ 当当当 xxx 000 而且,对于任意一个在x=0点连续的函数f(x),有 f(x)6(x)dx=f(0) 实际上,积分限不一定是±∞.只要a0,就有 f(x)6(x)dx=f(0) 显然,还可以把区间内的电荷分布画数修改为其他任意连续函数,再重复上面的讨论 作为它们的极限情形,我们总会得到同样的结果 ★6函数,并不是通常意义下的函数:它并没有给出函数与自变量之间的对应关系,或者说, 它给出的对应关系 当x≠0 6(x)= 当x=0 在通常意义下是没有意义的 ★6函数表示的是(任意阶可微)函数序列的极限.它所给出的“函数值”只是在积分运算中 才有意义 f(x)6(x)dx=f(0),特别是 6(x)dx=1 ★这个积分应该理解为 f(a)8(=)dr f(ar)8(a)dr 从计算的角度来看,引进δ函数的目的,即在于简化对函数序列进行微积分计算、而后取极 限的过程.由于函数序列是由具有足够好的连续性质的函数组成的,所以,在计算中可以把δ函 数当作(任意阶)连续可微的函数处理,甚至可以定义6函数的导数6(x):对于在x=0点连续并 有连续导数的任意函数f(x),有 f(ar)8(a)dr=f(a)8( f(x)6(x)dx=-f(0) 这里,就把δ函数当作普通的连续函数一样进行分部积分 δ函数并不是给出普通的数值之间的对应关系,也并不像普通函数那样具有唯一、确定的 表达式

Wu Chong-shi §28.1 áâãäåæç δ èä é 2 ê ë ➲ìÛíî✚➪ l → 0 ï✚àðñò ➧ ➨ ➦ ➼➽➾➚ ✚ó➲ δ(x) = lim l→0 δl(x) =    0, ➪ x 0. ôõ✚➶➹➘➴➷➳ ↕ x = 0 ò➬➮➦➾➚ f(x) ✚➢ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0). ØÙ➞✚Ú➩ÛÜ➷❮Ý ±∞ ✛Þß a 0 ✚à➢ Z b a f(x)δ(x)dx = f(0). ö÷✚ø✶ ✷ù úûü✕ ❂❃◗➈✗✘ýþ❞ ➂ÿ￾✁✂✄✗✘✚☎✆✝● ✞ ✕➇❜✛ ■❞✵❢✕♠✟➓➔✚❡❢✠✡❫❴ ☛▲✕❵❛✛ F δ ➾➚ ✚☞ÜÝ✌✍➴✎✏➦ ➾➚✑✒☞✓➢✔✕➾➚✖ ✗✘ ➯✙➠➦➶✚✛✜✚✢✣✤✚ ✒ ✔✕➦ ➶✚✛✜ δ(x) = ( 0, ➪ x 6= 0; ∞, ➪ x = 0 ↕✌✍➴✎✏Ý✓ ➢ ➴✎ ➦ ✛ F δ ➾➚✥✦➦ Ý (➘➴✧★✩) ➾➚✪✫➦ìÛ✛✒✬✔✕➦ ✖ ➾➚❒✙ÞÝ↕ Ú➩✭✮ ❐ ✯ ➢ ➴✎✛ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0), ✰✱Ý Z ∞ −∞ δ(x)dx = 1. F ✲➳Ú➩✚✳❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx. ✵✶✮ ➦✷ ➽✸✹✚✺✻ δ ➾➚ ➦ ✼➦✚✽↕➹✾✿➶➾➚✪✫✻❀✩ Ú➩✶✮ ❁ ô❁❂ì Û ➦❃❄✛❅➹➾➚✪✫Ý ❅❆➢❇❈❉➦➬➮❊❋➦ ➾➚●❍➦✚✬■✚↕✶✮ ❐★■❏ δ ➾ ➚ ➪ ë (➘➴✧ ) ➬➮★✩➦ ➾➚❑❰ ✚▲▼★■❮✎ δ ➾➚ ➦◆ ➚ δ 0 (x) ✑➶➹↕ x = 0 ò➬➮☞ ➢➬➮◆ ➚ ➦ ➘➴➾➚ f(x) ✚➢ Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx = f(x)δ(x)    ∞ −∞ − Z ∞ −∞ f 0 (x)δ(x)dx = −f 0 (0). ✲❖✚à❏ δ ➾➚ ➪ ëP✌➦➬➮➾➚➷◗ ✻❀➩❘ Ú➩✛ F δ ➾➚☞ÜÝ ✔✕P✌➦ ➚❒✙➠➦➶✚✛✜✚❙☞Ü❚P✌➾➚❯◗❆ ➢❱ ➷ ❁ ❲❮ ➦ ✥❳❨✛

数 凡是具有 f(x)61(x)dx=f(0) 性质的函数序列b(x),或是具有 f(a)8n()dr= f(o) 性质的函数序列6n(x),它们的极限都是δ函数 dn(e) δa(x) 图28.26函数的逼近序列举例 ★同样,有关δ函数的等式,也应当从积分意义下去理解如 应理解为 f(erd(a)dx=0 6(-x)=6(x) 应理解为 f(r)o(c)dr f(x)6(x)d, 6(-x)=-6(x)应理解为 f(x)6(-r)dx=- f(er)8(r)dr 应理解为 f(ar)8(ar) f(r)8(r)dr, g(x)6(x)=g(0)6(x)应理解为 f(a)g(r)d(a)dr f(x)(0)6(x) ★6函数还可以表示成初等函数的微商.由于 8(a)dr =n(a) 因此 6(x) 7(x)

Wu Chong-shi ❩❬❭❪❫ Green èä (❴) é 3 ê F ❵ Ý❆ ➢ lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(0) ❊❋➦ ➾➚✪✫ δl(x) ✚✢Ý❆ ➢ limn→∞ Z ∞ −∞ f(x)δn(x)dx = f(0) ❊❋➦ ➾➚✪✫ δn(x) ✚✒❛➦ìÛ❜Ý δ ➾➚✛ (a) n √ π exp −n 2x 2 (b) n π 1 1 + n2x2 (c) sin nx πx Ï 28.2 δ ❝❞Õ❡❢❣❤✐❥ F ❦ ◗ ✚➢ ✛ δ ➾➚ ➦❧ ❨ ✚❙✚ ➪ ✵ Ú➩➴✎✏♠❰✴✛→ xδ(x)= 0 ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)xδ(x)dx= 0, δ(−x)=δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(−x)dx= Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx, δ 0 (−x)=−δ 0 (x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (−x)dx=− Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx, δ(ax)= 1 |a| δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(ax)dx= Z ∞ −∞ f(x)  1 |a| δ(x)  dx, g(x)δ(x)=g(0)δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)g(x)δ(x)dx= Z ∞ −∞ f(x) g(0)δ(x) dx. F δ ➾➚♥★■✥✦❍♦❧ ➾➚ ➦ ✩♣✛❅➹ Z x −∞ δ(x)dx = η(x), qr✚ δ(x) = dη(x) dx .

§28.1点源的数学表示 4 也可以对δ函数作 Laplace变换 5(t-to)=/ 8(t-to)e-p dt =e-pto, to>0 函数也可以表示成初等函数的 Fourier积分.因为 6(x)e 所以,根据 Fourier变换的反演公式,有 二维或三维δ函数 ★在平面上(x0,3)点处有一个单位点电荷,那么,密度分布函数就是b(x-x0)6(y-) ★在三维空间(xo,3,2o)处有一个单位点电荷,密度分布函数就是6(x-xo)6(y-y)6(z-20) ★从三维空间来看,所谓一维点电荷应该是三维空间内的面电荷;二维点电荷就是三维空间内 的线电荷 例28.1证明 4o(r) 其中r=√2+y2+2,b()=6(x)6(y)6(2) 证正像前面指出的,凡是涉及δ函数的等式都应该从积分意义下去理解,即应该去证明 当r=0gV; 当r=0∈V 当r≠0时,直接微商可得 2⊥y2⊥2)3/2 I +y+2 同理 oy2√a2+y2+2(x 2)5 32-(x2+y2 (x2+y2+25 三式相加,即得 1 0,r≠ 这样就证得:当积分体积V内不包含原点r=0时,积分恒为0

Wu Chong-shi §28.1 áâãäåæç δ èä é 4 ê F ❙★■➶ δ ➾➚ë Laplace ✘s✚ δ(t − t0) ; Z ∞ 0 δ(t − t0)e−ptdt = e−pt0 , t0 > 0. F δ ➾➚❙★■✥✦❍♦❧ ➾➚ ➦ Fourier Ú➩✛q Z ➲ ∞ −∞ δ(x)e−ikxdx = 1, ✬■✚➱✃ Fourier ✘s➦t✉✈❨ ✚➢ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ e ikxdk. ✇①②③① δ ④⑤ F ↕⑥⑦➞ (x0, y0) ò❑ ➢ ➷ ➳➵➸ò ➧ ➨ ✚❯⑧✚➼➽➩➫➾➚ àÝ δ(x − x0)δ(y − y0) ✛ F ↕⑨⑩❶➠ (x0, y0, z0) ❑ ➢ ➷ ➳➵➸ò ➧ ➨ ✚➼➽➩➫➾➚ àÝ δ(x−x0)δ(y −y0)δ(z −z0) ✛ F ✵⑨⑩❶➠ ✸✹✚✬❷➷⑩ ò ➧ ➨✚✳Ý⑨⑩❶➠ ➡➦⑦ ➧ ➨❸❹⑩ ò ➧ ➨ àÝ⑨⑩❶➠ ➡ ➦ ➝ ➧ ➨✛ ❺ 28.1 ❻ ❼ ∇2 1 r = −4πδ(r), ❽ ❐ r = p x 2 + y 2 + z 2, δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) ✛ ❾ ❿❚➀⑦➁✕➦✚❵ Ý➂➃ δ ➾➚ ➦❧ ❨❜✚✳✵Ú➩➴✎✏♠❰✴ ✚✽✚✳♠❻ ❼ ZZZ V ∇ 2 1 r dxdydz = ( 0, ➪ r = 0 6∈ V ; −4π, ➪ r = 0 ∈ V. ➪ r 6= 0 ï✚➜➄✩♣★ð ∂ ∂x 1 p x 2 + y 2 + z 2 = − x (x 2 + y 2 + z 2) 3/2 , ∂ 2 ∂x2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3x 2 − ￾ x 2 + y 2 + z 2
(x 2 + y 2 + z 2) 5/2 . ❦ ❰ ✚ ∂ 2 ∂y2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3y 2 − ￾ x 2 + y 2 + z 2
(x 2 + y 2 + z 2) 5/2 , ∂ 2 ∂z2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3z 2 − ￾ x 2 + y 2 + z 2
(x 2 + y 2 + z 2) 5/2 . ⑨❨➅➆✚✽ð ∇2 1 r = 0, r 6= 0. ✲ ◗ à❻ð✑ ➪Ú➩➇ Ú V ➡ Ü➈➉➊ò r = 0 ï✚Ú➩➋ ➲ 0 ✛

数 第5页 当积分体积V内包含原点r=0时,由于函数1/在r=0点不可导,上面的结果不成立.这 时不妨将V就取为整个(三维)空间.容易得到 dzdydz 127T lim 令r=atan,即可证明上面的积分与a无关,且 v2-drdydz 12丌 l(1+) -12丌 12:26cos6d0 /2 12.=sin(

Wu Chong-shi ❩❬❭❪❫ Green èä (❴) é 5 ê ➪Ú➩➇ Ú V ➡ ➈➉➊ò r = 0 ï✚❅➹➾➚ 1/r ↕ r = 0 òÜ★ ◆✚➞⑦ ➦➌➍Ü❍➎✛ ✲ ï Ü➏➐ V à❂ ➲➑➳ (⑨⑩) ❶ ➠ ✛➒➓ðñ ZZ Z ∇2 1 r dxdydz = lim a→0 Z ZZ ∇2 1 √ r 2 + a 2 dxdydz = − lim a→0 ZZ Z 3a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr sin θdθdφ = − 12π lima→0 Z ∞ 0 a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr, ➔ r = a tan θ ✚✽★ ❻ ❼➞⑦ ➦Ú➩✖ a ➙✛ ✚õ ZZ Z ∇ 2 1 r dxdydz = −12π Z π/2 0 tan2 θ ￾ 1 + tan2 θ
3/2 dθ = −12π Z π/2 0 sin2 θ cos θdθ = −12π · 1 3 sin3 θ     π/2 0 = −4π.

§28.2 Green函数的概 第6页 3282 Green数的概念 先举一个静电场的例子关 设在无界空间中有一定的电荷分布电荷密度为p(r)关这样:在坐标为r=(x,y,2)的体元 dr’内的电量即为p(r)dr’它在空间r=(x,y,x)点的电势是 ATEo r-rTdr' 根据电势叠加原理把空间中的全部电荷产生的电势叠加起来就得到在T点的总电势为 叭(r) 4πEo 这个结果说明、只要知道了单位点电荷在空间的电势分布,那么,通过电荷的分割 与叠加就可以得到任意电荷分布时的电势关 这种做法只不过是利用了偏微分方程的线性性质关 ·如果是有界空间。原则上仍然可以把空间内的电荷无限分割关 ·由于边界条件的制约。在边界面上也会有一定的(单层或偶极层的)感生面电荷分布也需要 将这些面电荷无限分割关 ·为了唯一地确定(有界空间内)点电荷的电势也需要指定适当的边界条件关 在有界空间的情形下 题就是:如何通过(适当边界条件下的)点电荷电势的叠加而给出任意 电荷分布和任意边 茶件时的电势关这就是说,要用定解问题 V-G(r;r 适当的边界条件 的解G(r;r)叠加出 V2n(r)=--p(r),r∈V u=f(∑) 的解u(r)即把u(r)用p(r),f(E)以及G(r;r)表示出来关 数学工具:Gren第二公式(或简称 Green公式) u(r)Vu(r)-v(r)Vu(r)dr=//JuVu-UVu|dE 其中f(r)≡f(x,3,2),dr= drdy,E是v的边界面并且规定外法线方向为正关

Wu Chong-shi §28.2 Green èäã→➣ é 6 ê §28.2 Green ✎☛✡↔↕ ➙➛➷ ➳➜ ➧➝➦➞➟✛ ↔↕➙➠❶➠ ❐➢ ➷❮➦ ➧➨➩➫✚➧ ➨➼➽➲ ρ(r) ✛ ✲ ◗ ✚↕➡➢➲ r 0 = (x 0 , y0 , z0 ) ➦ ➇➤ dr 0 ➡➦ ➧➯✽➲ ρ(r 0 )dr 0 ✚✒↕❶ ➠ r = (x, y, z) ò➦ ➧➥ Ý 1 4πε0 ρ(r 0 ) |r − r 0 | dr 0 , ➱✃ ➧➥➦➆➊❰ ✚❏❶➠ ❐➦➧ ❘ ➧ ➨➨➩➦ ➧➥➦➆➫✸ ✚àðñ↕ r ò➦ ➭ ➧➥➲ φ(r) = 1 4πε0 Z ZZ ρ(r 0 ) |r − r 0 | dr 0 . ✲➳➌➍✤ ❼✚Þß➭➯➲➵➸ò ➧ ➨↕❶ ➠➦ ➧➥ ➩➫✚❯⑧✚✌ ❃ ➧ ➨ ➦ ➩➳ ✖ ➦ ➆ ✚à★■ ðñ➘➴ ➧ ➨➩➫ï➦ ➧➥ ✛ ✲➵➸➺ÞÜ ❃ Ý➻➼➲➽✩➩➾ ❄➦ ➝ ❊❊❋✛ • → ➍ Ý ➢ ➠❶➠✚➊➻➞➚➪★■❏❶➠ ➡➦ ➧ ➨➙Û➩➳✛ • ❅➹➶➠➹➘➦➴➷✚↕➶➠⑦➞❙➬➢ ➷❮➦ (➵➮ ✢➱ì➮➦) ✃ ➩⑦ ➧ ➨➩➫✚❙❐ß ➐ ✲❒⑦ ➧ ➨➙Û➩➳✛ • ➲ ➲ ❱ ➷❮❲❮ (➢ ➠❶➠ ➡) ò ➧ ➨ ➦ ➧➥✚❙❐ß➁❮❰ ➪➦➶➠➹➘✛ ↕ ➢ ➠❶➠➦íî✏ ✚ÏÐàÝ✑ ÑÒÓÔ (ÕÖ×ØÙÚÛÜ) ÝÞßÞàÜáâ✚ãäåæç Þßèéêæç×ØÙÚëÜÞà✛ ✲àÝ✤ ✚ß➼❮✴ÏÐ ∇2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V ❰ ➪➦➶➠➹➘ ➦ ✴ G(r; r 0 ) ➦ ➆ ✕ ∇2u(r) = − 1 ε0 ρ(r), r ∈ V u   Σ = f(Σ) ➦ ✴ u(r) ✚✽❏ u(r) ➼ ρ(r), f(Σ) ■➃ G(r; r 0 ) ✥✦✕ ✸✛ • ➚ìí❆✑ Green î❹ ✈ ❨ (✢✾ï Green ✈ ❨ ) Z ZZ V h u(r)∇2 v(r) − v(r)∇2u(r) i dr = ZZ Σ h u∇v − v∇u i · dΣ, ❽ ❐ f(r) ≡ f(x, y, z), dr = dxdydz, Σ Ý V ➦ ➶➠⑦✚☞õð❮ ➺➺ ➝➾ ñ➲ ❿✛

数 方法:将G(r;r)和u(r)满足的方程分别乘以u(r)和G(r;r),相减,再在空间V内积分 Lu(r)VG(r; r,)-G(r;r)Vu(r)dr u(r)(r-r)-G(r rp(r)dr G(r; rp(r)di 根据Grn公式,可以将上式左端的体积分化为面积分//[(r)vG(r)-Grr1)Vn(r)]d 经过移项、整理,就有 G(r: r)P(r)dr -Eo//[u(r)VG(r;r,)-G(r; r" )Vu(r)]dE 在上面的面积分中, ·第一项u(r)在边界面∑上的数值由边界条件给出,是已知的; G(r;r)可由定解问题求出,故而它的梯度ⅤG(r;r)及其在边界面上的数值当然也可求 ·第二项中,Vu(r)在边界面上的数值未知 所以,为了要能够把u(r)用p(r),f(∑)以及G(r;r)表示出来,必须对G(r;r)加上齐次边界条件 G(r; r) 于是,最后就得到 u(r)=//G(r; r)p(r)dr-Eo//f(E)VG(r; rls.dE 或者把r和r对换一下 u(T= G(;r)P(r)dr'-Eo///(2)VG(r; r)ly.d> G(r; r)(r)dr-Eo/f(2) aG(r/;r) 其中的V和a/0n表示对自变量r微商,V和∑还是原来的空间区域和它的边界面,只不过 是把它们的坐标变量改成了 论 ·G(r;r)在r=r点不连续,根本不能应用 Green公式;上面得到的结果是否正确? 为了弥补这一缺陷,可以将G(r;r)所满足的方程修改为 V-Gn(r:r 右端的电荷密度函数bn(r-r)是足够好的连续函数,在r′附近一定尺度内明显不为0,而 总电量为1个单位.当n→∞时6n(r-r)→6(r-r)

Wu Chong-shi ❩❬❭❪❫ Green èä (❴) é 7 ê ➾ ➺ ✑➐ G(r; r 0 ) ò u(r) ó❇➦ ➾ ❄ ➩ ✱ô■ u(r) ò G(r; r 0 ) ✚➅õ✚ö↕❶ ➠ V ➡Ú➩ ✚ Z ZZ V u(r)∇2G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇2u(r) dr = − 1 ε0 Z ZZ V u(r)δ(r − r 0 ) − G(r; r 0 )ρ(r) dr = − 1 ε0 " u(r 0 ) − Z ZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr # . ➱✃ Green ✈ ❨ ✚★■➐➞❨÷ø➦ ➇ Ú➩✿ ➲ ⑦ Ú➩ ZZ Σ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) · dΣ ✛ ù ❃úû❁➑ ❰ ✚à➢ u(r 0 ) = ZZ Z V G(r; r 0 )ρ(r)dr − ε0 ZZ Σ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) · dΣ. ↕➞⑦ ➦ ⑦ Ú➩ ❐✚ • î ➷ û u(r) ↕➶➠⑦ Σ ➞ ➦ ➚❒ ❅➶➠➹➘✔✕✚Ý ü➭ ➦ ❸ G(r; r 0 ) ★ ❅❮✴ÏÐý✕✚þô✒ ➦ÿ ➽ ∇G(r; r 0 ) ➃❽↕➶➠⑦➞ ➦ ➚❒➪ ➪❙★ý❸ • î❹ û ❐✚ ∇u(r) ↕➶➠⑦➞ ➦ ➚❒￾➭ ✚ ✬■✚➲ ➲ß✁ ❈ ❏ u(r) ➼ ρ(r), f(Σ) ■➃ G(r; r 0 ) ✥✦✕ ✸ ✚✂✄➶ G(r; r 0 ) ➆➞☎✆➶➠➹➘ G(r; r 0 )   Σ = 0. ➹Ý✚✝❁ àðñ u(r 0 ) = ZZ Z V G(r; r 0 )ρ(r)dr − ε0 ZZ Σ f(Σ)∇G(r; r 0 )   Σ · dΣ, ✢✣❏ r ò r 0 ➶s➷✏ ✚ u(r) = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r 0 ; r)   Σ0 · dΣ 0 = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 ) ∂G(r 0 ; r) ∂n0     Σ0 dΣ 0 , ❽ ❐➦ ∇0 ò ∂/∂n0 ✥✦➶ ✗✘ ➯ r 0 ✩♣✚ V 0 ò Σ0 ♥Ý➊✸➦ ❶ ➠➟✞ò ✒ ➦ ➶➠⑦✚ÞÜ ❃ Ý❏✒❛➦ ➡➢✘ ➯✟ ❍➲ r 0 ✛ ✠ ✡ • G(r; r 0 ) ↕ r = r 0 òÜ ➬➮✚➱☛Ü✁✚➼ Green ✈ ❨❸➞⑦ ðñ➦➌➍Ý☞❿❲ ✌ • ➲ ➲✍✎✲ ➷✏✑✚★■➐ G(r; r 0 ) ✬ ó❇➦ ➾ ❄✒✟➲ ∇2Gn(r; r 0 ) = − 1 ε0 δn(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. ✓ø ➦ ➧➨➼➽➾➚ δn(r − r 0 ) Ý ❇❈❉➦➬➮➾➚ ✚↕ r 0 ✔✕➷❮✖✗ ✘✙✚✛✜ 0 ✢ ✣ ✤ ✥✦✜ 1 ✧★✩✪✫ n → ∞ ✬ δn(r − r 0 ) → δ(r − r 0 ) ✪

§28.2 Green函数的概 第8页 ·这样就可以应用 Green公式 ·重复上面的做法,然后再令n→∞ ·引入δ函数的好处恰恰就在于略去这种极限过程,恰恰就在于可以把δ函数当成连续函数来 处理 ·因此,上面得到的结果是严格的,是正确的 ·另外一种严格的做法是把点电荷所在的r’点的附近挖去一个小体积,在这个新的空间区域 中应用Gren公式(必须注意,现在的边界面除了原来的∑之外,还有在r点处的界面 然后再令这个小体积趋于0 以上通过静电场的实例引入了 Poisson方程在第一类边界条件下(简称 Poisson方程 的第一边值问题)的Gren函数 简言之,所谓 Green函数就是单位点电荷在齐次边界条件下的电势 对于其他类型的边界条件,原则上也可以类似地讨如 从数学上说,·含时间(稳定问题)的偏微分方程( Laplace方程, Poisson方程, Helmholtz方 程…)在一定边界条件下的Gren函数就可以定义为一个特有的定解问题的解: ·的程和八来定解为题的的程一样,只是非当改6函。(点源) ·同种类型的_边_。件 函数理图 但是,在某些特有情的下,这样定义的Gren函数本身可能无解.例积对于上面的 Poisson方程定 解问题,。边界条件改为 Ou(r) =f(∑) 照上面的讨,, Green函数G(r;r)在边界面上 必须满足齐次的第二类边界条件 aG(r; r) 在Gren公式中令u(r)=1,u(r)=G(r;r),应该有 T:r dr VG(r; r)d>=//on ->, 将方程积分,就得到 V2G(r; r)dr 这样, Green函数G(r;r)在边界面上的面积分必须满足(Gaus定理) aG(r; r) ≠0. 然数边界条件(#)矛盾这说明,在齐次的第二类边界条件(#)下,方程一定无解,换说, 这样的Gren函数一定.在.在这种情的下,需极引进广义的 Green函数

Wu Chong-shi §28.2 Green ✭✮✯✰✱ ✲ 8 ✳ • ✴✵✶✷✸✹✺ Green ✻✼✪ • ✽✾✿❀❁❂❃✢❄❅❆❇ n → ∞ ✪ • ❈❉ δ ❊❋❁●❍■■✶❏❑▲▼✴◆❖P◗❘✢■■✶❏❑✷✸❙ δ ❊❋✫❚❯❱❊❋❲ ❍❳✪ • ❨❩✢✿❀❬❭❁❪❫❴❵❛❁✢❴❜❝❁✪ • ❞❡❢◆❵❛❁❂❃❴❙❣ ✥❤✐❏❁ r 0 ❣❁❥✕❦▼❢✧❧♠♥✢❏✴✧♦❁♣qrs t ✹✺ Green ✻✼ (✉✈✇①✢②❏❁③④❀⑤⑥⑦❲❁ Σ ⑧❡✢⑨⑩❏ r 0 ❣❍❁④❀) ✢ ❄❅❆❇✴✧❧♠♥❶❑ 0 ✪ ✸✿❷◗❸ ✥❹❁❺❻❈❉⑥ Poisson ❼❘❏❽❢❾③④❿➀➁ (➂➃ Poisson ❼❘ ❁❽❢③➄➅➆) ❁ Green ❊❋✪ ➂➇⑧✢✐➈ Green ❊❋✶❴★✩❣ ✥❤❏➉➊③④❿➀➁❁ ✥➋✪ ➌ ❑➍➎❾➏❁③④❿➀✢⑦➐✿➑✷✸❾➒➓➔→✪ ➣ ❋↔✿↕✢✛➙✬q (➛➜➅➆) ❁➝➞➟❼❘ (Laplace ❼❘✢ Poisson ❼❘✢ Helmholtz ❼ ❘ · · · · · ·) ❏❢➜③④❿➀➁❁ Green ❊❋✶✷✸➜➠✜ ❢✧➡➢❁➜➤➅➆❁➤➥ • ➦➧➨➩➫➭➯ ➲➳➵➦➧➸➺✢➻➼ ➽➾➚➪➶➹ δ ➘➴ (➷➬) ➮ • ➱✃ ❐❒➵➾➚❮❰ÏÐ✪ Ñ ❴✢❏ÒÓ➡➢ÔÕ➁✢✴✵➜➠❁ Green ❊❋Ö×✷ØÙ➤✪❻Ú➌ ❑✿❀❁ Poisson ❼❘➜ ➤➅➆✢Û③④❿➀Ü✜ ∂u(r) ∂n    Σ = f(Σ) ✢➐ÝÞ✿❀❁➔→✢ Green ❊❋ G(r; r 0 ) ❏③④❀✿ ✉✈ßà➉➊❁❽á❾③④❿➀ ∂G(r; r 0 ) ∂n    Σ = 0. (#) ❏ Green ✻✼ t ❇ u(r) = 1, v(r) = G(r; r 0 ) ✢✹â⑩ ZZZ V ∇ 2G(r; r 0 )dr = ZZ Σ ∇G(r; r 0 ) · dΣ = Z Z Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ, ã ❼❘♥➟✢✶❬❭ ZZ Z V ∇2G(r; r 0 )dr = − 1 ε0 . ✴✵✢ Green ❊❋ G(r; r 0 ) ❏③④❀✿❁❀♥➟✉✈ßà (Gauss ➜❳) ZZ Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ = − 1 ε0 6= 0. ✚ ❄ä③④❿➀ (#) åæ✪✴↕ ✙ ✢❏➉➊❁❽á❾③④❿➀ (#) ➁✢❼❘❢➜Ù➤✢çèé↕✢ ✴✵❁ Green ❊❋❢➜✛ê❏✪❏✴◆ÔÕ➁✢ëì❈íî➠❁ Green ❊❋✪