第十六讲分离变量法(二) 16.1多于两个自变量的定解问题 定解问题 a,0 X(r) +A=-y"(y) Y(y) 得 这里多引进了常数μ,但,v和入中只有两个是独立的,它们必须满足μ+=入 再将边界条件分离变量,又可得到 (0)=0.X(a) 和 0.Y 求解关于X(x)的本征值问题 x"(x)+pX(x)=0
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) §16.1 ✡☛☞✌ ✍✎✏✑✒✓✔✕ ✖✗✘✙ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, 0 0, ∂u ∂x x=0 = 0, ∂u ∂x x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, t ≥ 0, ∂u ∂y y=0 = 0, ∂u ∂y y=b = 0, 0 ≤ x ≤ a, t ≥ 0, u t=0 = φ(x, y), 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b. ✚ u(x, y, t) = v(x, y)T (t) ✛✜✢✣✤✛✥✦✧★✛ v(x, y)T 0 (t) − κ ∂ 2v ∂x2 + ∂ 2v ∂y2 T (t) = 0 =⇒ ∂ 2v ∂x2 + ∂ 2v ∂y2 v(x, y) = 1 κ T 0 (t) T (t) = −λ ✩ ∂ 2v ∂x2 + ∂ 2v ∂y2 + λv(x, y) = 0, T 0 (t) + λκT (t) = 0, ✪ ✫ λ ✬✥✦✧★✭✮✯✰✱✲✳✴✵✶✭ ✷✸✹✺✻✛✼✽✾✩ ∂v ∂x x=0 = 0 ∂v ∂x x=a = 0 ∂v ∂y y=0 = 0 ∂v ∂y y=b = 0 ✿❀ v(x, y) = X(x)Y (y) ✛✯❁❂✥✦✧★✛ X00(x)Y (y) + X(x)Y 00(y) + λX(x)Y (y) = 0 =⇒ X00(x) X(x) + λ = − Y 00(y) Y (y) = ν ✩ X00(x) + µX(x) = 0 Y 00(y) + νY (y) = 0 ❃❄❅✮✯❆✳✴ µ ✛❇ µ, ν ❈ λ ✫❉❊❋●✬❍■✰✛❏❑▲▼◆❖ µ + ν = λ ✵ ✿P✸✹✺✻✥✦✧★✛◗✽✩❘ X0 (0) = 0, X0 (a) = 0 ❈ Y 0 (0) = 0, Y 0 (b) = 0. ❙✗❚❯ X(x) ❱❲❳❨✘✙ X00(x) + µX(x) = 0
§16.1多于两个自变量的定 X(0)=0,X(a)=0 ★当μ=0时,常微分方程的通解是 X(r)=Aoz+ Bo 代入(齐次)边界条件,得 A0=0,Bo任意 这说明入=0是一个本征值,本征函数可取为 X(x)=1 和前两节不同的的是这里的μ=0是本征值,这是因为当μ=0时,本征值问题有非零 解X(x)=B0,B0是任意常数 ★当μ≠0时,常徵分方程的通解是 X(x)= Asin y√x+Bcos√x 代入(齐次)边界条件,又得到 所 本征值=(a) n=1,2,3 本征函数Xn(x)=cos-x 把μ=0和μ>0的结果合并起来,就可以统一写成 本征值 0,1,2,3 本征函数 同样可以解得关于Y(y)的本征值问题 0)=0,Y(b) 的解为 本征值 ()m=0123 本征函数 mt Ym(a)=cosby
Wu Chong-shi §16.1 ❩❬❭❪ ❫❴❵❛❜❝❞❡ ❢ 2 ❣ X0 (0) = 0, X0 (a) = 0 F ❤ µ = 0 ✭✛✳✐✥✣✤✰❥❦✬ X(x) = A0x + B0. ✜✢ (❧♠) ✸✹✺✻✛✩ A0 = 0, B0♥♦. ❃♣ q λ = 0 ✬❁●rst✛ rs✉✴✽✈✇ X(x) = 1. ①②③ ④⑤ ⑥⑦⑦⑧⑨⑩⑦ µ = 0 ⑧❶❷❸✛⑨⑧ ❹❺ ❻ µ = 0 ❼✛❶❷❸ ❽❾❿ ➀➁ ➂ X(x) = B0, B0 ⑧➃➄➅➆✵ F ❤ µ 6= 0 ✭✛✳✐✥✣✤✰❥❦✬ X(x) = A sin √ µx + B cos √ µx. ✜✢ (❧♠) ✸✹✺✻✛◗✩❘ A = 0, √ µ sin √ µa = 0. ➇➈✛ √ µa = nπ ✛➉ rst µn = nπ a 2 , n = 1, 2, 3, · · · rs✉✴ Xn(x) = cos nπ a x. ➊ µ = 0 ❈ µ > 0 ✰➋➌➍➎➏➐✛➑✽➈➒❁➓➔ rst µn = nπ a 2 , n = 0, 1, 2, 3, · · · , rs✉✴ Xn(x) = cos nπ a x. ✶→✽➈ ❦ ✩➣↔ Y (y) ✰ rst↕➙ Y 00(y) + νY (y) = 0 Y 0 (0) = 0, Y 0 (b) = 0 ✰❦✇ rst νm = mπ b 2 , m = 0, 1, 2, 3, · · ·, rs✉✴ Ym(x) = cos mπ b y
量法( 对于给定的n和m,再进一步求出 Too(t)=Aoo 0 Tnm(t)=Ame-mM,其他情形, 也可以写成统一的形式 A 0,1,2,3, 因此,就求得整个定解问题的特解 unm(a, 9, t)=Xn(r)Ym(y)Tnm(t nm Co mTT ∑∑Ammy|m)+(=门]-} 代入初始条件,有 nT (x,y) n=0m=0 下一步就应当根据本征函数的正交性定出叠加系数.现在既要用到{Xn(x),n=0,1,2,…}的正交 性,又要用到{Ymn(y),m=0,1,2,…}的正交性,缺一不可.其次,考虑到它们的正交归一性 Xn(a)Xn(a)dr ==(1+5no)ann/, 计算中还需要留心区分n=0与n≠0和m=0与m≠0的情形.计算的结果是 ab(1+6no)(1+6mo) p(, y)cos-Tcos
Wu Chong-shi ➛➜➝➞ ➟➠❴❵➡ (➢) ❢ 3 ❣ ➤↔➥✲✰ n ❈ m ✛ ✿ ✯❁❂➦➧ T00(t) = A00, n = m = 0, Tnm(t) = Anm e −λnmκt , ✪➨➩➫, ✼✽➈ ➓➔➒ ❁✰➫➭ Tnm(t) = Anm e −λnmκt, n = 0, 1, 2, 3, · · · , m = 0, 1, 2, 3, · · · , λnm = µn + νm = nπ a 2 + mπ b 2 . ➯➲✛➑➦✩➳● ✲❦↕➙✰➵❦ unm(x, y, t) = Xn(x)Ym(y)Tnm(t) = Anm cos nπ a x cos mπ b y e −λnmκt ❈❁➸❦ u(x, y, t) = X∞ n=0 X∞ m=0 unm(x, y, t) = X∞ n=0 X∞ m=0 Anm cos nπ a x cos mπ b y e −λnmκt = X∞ n=0 X∞ m=0 Anm cos nπ a x cos mπ b y exp − nπ a 2 + mπ b 2 κt . ✜✢➺➻✺✻✛❊ u(x, y, t) t=0 = X∞ n=0 X∞ m=0 Anm cos nπ a x cos mπ b y = φ(x, y). ➼ ❁❂➑➽❤➾➚rs✉✴✰➪➶➹✲➧➘➴➷✴✵➬➮➱✃❐❘ {Xn(x), n = 0, 1, 2, · · ·} ✰➪➶ ➹✛◗✃❐❘ {Ym(y), m = 0, 1, 2, · · ·} ✰➪➶➹✛❒❁❮✽✵✪ ♠✛❰Ï❘ ❏❑✰➪➶Ð❁➹ Z a 0 Xn(x)Xn0 (x) dx = a 2 (1 + δn0) δnn0 , Z b 0 Ym(y)Ym0 (y) dy = b 2 (1 + δm0) δmm0 . ÑÒ ✫ÓÔ✃ ÕÖ×✥ n = 0 Ø n 6= 0 ❈ m = 0 Ø m 6= 0 ✰ ➩➫✵ ÑÒ✰➋➌✬ Anm = 4 ab 1 (1 + δn0) (1 + δm0) Z a 0 Z b 0 φ(x, y) cos nπ a x cos mπ b y dxdy
§16.2两端固定弦的强迫捐 §16.2两端固定弦的强迫振动 齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离变量法中起着关键作用:因为方程和边界条件 是齐次的,分离变量才得以实现 如果定解问题中的方程和边界条件不是齐次的,还有没有可能应用分离变量法 定解问题 f(x,t),00, u-==0.,t≥0 u=0=0 =0,0≤x≤l 为了突出对于方程非齐次项的处理,这里研究纯粹由外力引起的两端固定弦的强迫振动,弦的初 位移和初速度均为0 基本解法一方程和边界亲件同时齐次化 u(a, t)=v(a, t)+w(a 在将非齐次方程齐次化的同时,必须保持原有的齐次边界条件不变 解法的关键就在于求得特解v(x,t).适用于f(x,t)形式比较简单的情形 解按照求解非齐次方程的一贯做法,先求得非齐次方程的一个特解v(x,t) -a20 这样,如果设u(xt)=v(x,t)+(x,t),则 0 ot-a f(a, t) 0 f(,t) 0 0 du u=0=0 t=0 t=0 旦求得了特解(x,),就可以求出u(x,t)的一般解 at Dn cos
Wu Chong-shi §16.2 ÙÚ ÛÜÝÞßàáâ ã 4 ä §16.2 ☞åæ✒ç✑èéêë ìíîïðñò①ìíóôõö÷ð øùúû üýþ ÿ✁✂✄❹❺ñò①óôõö ⑧ìí⑦ ✛ ð øùú ☎✆ ✝✞✟✵ ✠✡☛➂ ❽❾ ü⑦ñò①óôõö⑤⑧ìí⑦ ✛☞❿✌❿✍✎✏✂ð øùúû ✑ ✖✗✘✙ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ✇❆✒➧ ➤↔ ✣✤✓❧♠✔✰✕✖✛ ❃❄✗✘✙✚ ✷✛✜✮➏✰❋✢ ✣ ✲✤✰✥✦✧★✛✤✰➺ ✩✪❈➺✫✬✭✇ 0 ✵ ✮ ❲ ✗✯✰ ✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), ➮ P ✓❧♠✣✤❧♠✽✰✶✭✛▲▼✾✿❀❊ ✰❧♠✸✹✺✻❮✧✵ ❦❁✰ ➣❂ ➑➮↔ ➦ ✩ ➵❦ v(x, t) ✵ ❃ ❐ ↔ f(x, t) ➫➭ ❄❅❆❇✰ ➩➫✵ ✗ ❈❉➦❦✓❧♠✣✤✰❁❊❋❁✛●➦ ✩ ✓❧♠✣✤✰❁● ➵❦ v(x, t) ✛ ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = f(x, t). ⑨❍ ✛✠✡■ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) ✛ ❏ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x, t) u x=0 = 0 u x=l = 0 u t=0 = 0 ∂u ∂t t=0 = 0 = ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = f(x, t) v x=0 = 0 v x=l = 0 + ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0 w x=0 = 0 w x=l = 0 w t=0 = −v t=0 ∂w ∂t t=0 = − ∂v ∂t t=0 ❑▲▼✆ ◆❖➂ v(x, t) ✛P✍ ✝▼ ◗ w(x, t) ⑦❑❘➂ w(x, t) = X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x
量法 第5页 所以 u(r, t)=v(r, t)+2(cn sin at +Dn cos Ta ) sin 代入初始条件 T=-v(, t) 利用本征函数的正交归一性,定出叠加糸数 Dn=-/v(r,O)sindi ·这种解法称为方程和边界条件的同时齐次化 在将非齐次方程齐次化的同时,必须保持原有的齐次边界条件不变 解法的关键就在于求得特解υ(x,t).适用于∫(x,)形式比较简单的情形 齐次初始条件的限制可以取消 例16.1求解定解问题 at2 x2=f( 00, u=1=0.t≥0 0 at x≤l, 其中∫(x)为已知函数 解只给出解题的主要思路 由于方程的非齐次项只是x的函数,就可以把齐次化函数也取为只是x的函数,即设 u(a, t)=v(z)+w(r, t) 其中υ(x)满足常微分方程的边值问题 U(0)=0,v()=0 而u(x,t)则满足定解问题 022o2v 0 00 rel 0 t≥0, (x) 0≤x≤l
Wu Chong-shi ➛➜➝➞ ➟➠❴❵➡ (➢) ❢ 5 ❣ ❙ ✝ u(x, t) = v(x, t) + X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x, ❚❯❱❲õö✛ X∞ n=1 Dn sin nπ l x = −v(x, t) t=0, X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = − ∂v(x, t) ∂t t=0 , ❳✂❶❷❨➆⑦❩❬ ❭❑❪✛☛ ◗❫❴ ❵➆ Cn = − 2 nπa Z l 0 ∂v(x, t) ∂t t=0 sin nπ l x dx, Dn = − 2 l Z l 0 v(x, 0) sin nπ l x dx. • ⑨❛➂û❜❺ñò①óôõö⑦ ⑥❼ ìí❝ ✵ • ÷❞ ➀ìíñòìí❝⑦ ⑥❼✛❡❢❣❤✐❿⑦ìíóôõö⑤ù ✵ • ➂û⑦ ÿ P ÷❥▼✆❖➂ v(x, t) ✵❦ ✂❥ f(x, t) ❧♠♥♦ ♣q⑦r ❧✵ • ìí❱❲õö⑦st✍ ✝✉ ✈✵ ✇ 16.1 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x), 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l, ✪ ✫ f(x) ✇ ①②✉ ✴✵ ✗ ❉➥ ➧❦➙ ✰③✃④⑤✵ ✷ ↔ ✣✤✰✓❧♠✔ ❉ ✬ x ✰ ✉ ✴✛➑✽➈➊ ❧♠✽ ✉ ✴✼✈✇❉ ✬ x ✰ ✉ ✴✛➉✚ u(x, t) = v(x) + w(x, t), ✪ ✫ v(x) ◆❖✳✐✥✣✤✰✸t↕➙ v 00(x) = − 1 a 2 f(x), v(0) = 0, v(l) = 0; ⑥ w(x, t) ⑦◆❖✲❦↕➙ ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0, 0 0, w x=0 = 0, w x=l = 0, t ≥ 0, w t=0 = −v(x), ∂w ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l
§16.2两端固定弦的强迫振动 第6页 例16.2求解定解问题 02 Ao sin wt 00 u u 其中a,A0及w均为已知常数 解设 u(a, t)=v( 考虑到非齐次项的具体形式,可将齐次化函数v(x,t)取为 v(a, t)=f(r)sint 使得v(x,t)满足非齐次方程及齐次边界条件, a21 l,t>0. t≥0, 也就是选择∫(x),使得 w2f(a)-a2f"(a)=Ac f(0)=0,f()=0 这个非齐次常徵分方程的通解为 f(a) +as + Bcos-r 代入齐次边界条件可以定出 2,(A≥A0, Ao 于是 f(r) Ao「,cos(c(x-1/2)/a) cos(wl /2a) 这样就能导出u(x,t)所满足的定解问题, 0. t≥0, 0 uf(x),0≤x≤l 它的一般解为 (,1)=∑
Wu Chong-shi §16.2 ❭⑧⑨❜⑩❛❶❷❸❹ ❢ 6 ❣ ✇ 16.2 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = A0 sin ωt, 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l, ✪ ✫ a, A0 ❺ ω ✭✇ ①②✳✴✵ ✗ ✚ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), ❰Ï❘ ✓❧♠✔✰❻❼➫➭✛✽P ❧♠✽ ✉ ✴ v(x, t) ✈✇ v(x, t) = f(x) sin ωt. ❽✩ v(x, t) ◆❖✓❧♠✣✤❺❧♠✸✹✺✻✛ ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = A0 sin ωt, 0 0, v x=0 = 0, v x=l = 0, t ≥ 0, ✼➑✬❾❿ f(x) ✛ ❽✩ − ω 2 f(x) − a 2 f 00(x) = A0, f(0) = 0, f(l) = 0. ❃●✓❧♠✳✐✥✣✤✰❥❦✇ f(x) = − A0 ω2 + A sin ω a x + B cos ω a x. ✜✢❧♠✸✹✺✻✽➈ ✲➧ B = A0 ω2 , A = A0 ω2 tan ωl 2a . ↔ ✬ f(x) = − A0 ω2 1 − cos ω a x − tan ωl 2a sin ω a x = − A0 ω2 1 − cos(ω(x − l/2)/a) cos(ωl/2a) . ❃ →➑➀➁➧ w(x, t) ➇ ◆❖✰✲❦↕➙✛ ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0, 0 0, w x=0 = 0, w x=l = 0, t ≥ 0, w t=0 = 0, ∂w ∂t t=0 = −ωf(x), 0 ≤ x ≤ l. ❏✰❁➸❦✇ w(x, t) = X∞ n=1 h Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l ati sin nπ l x
量法( 利用上面的初始条件就可以定出 fra 只有n=奇数时,Cn才不为0.这样,最后就求出了 和 u(x-l/2)/ ular (2n+1)2[(2n+1)ta]2-() 特殊情形:强迫力的角频率ω正好是弦的某些固有频率, +1)ma/,k为某个确定的非负整数 弦在强迫力的作用下会发生共振现象 例16.3求解定解问题 0<x<a,0<y<b, u==0,叫 <u< u-o =o(=), l 解容易求出方程的通解 1 y+f(a +iy)+g(x-iy) 适当选择函数∫和g,例如 24i 2 使得到的解 满足齐次边界条件 y)=v(a, y)+w(, y)
Wu Chong-shi ➛➜➝➞ ➟➠❴❵➡ (➢) ❢ 7 ❣ ➂ ❐➃➄✰➺➻✺✻➑✽➈ ✲➧ Dn = 0, Cn = − 2ω nπa Z l 0 f(x) sin nπ l xdx = − 2A0ωl3 π2a 1 − (−) n n2 1 (nπa) 2 − (ωl) 2 . ❉❊ n = ➅✴ ✭✛ Cn ➆❮✇ 0 ✵ ❃ →✛➇➈➑➦➧❆ w(x, t) = − 4A0ωl3 π2a X∞ n=0 1 (2n + 1)2 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin 2n + 1 l πat ❈ u(x, t) = − A0 ω2 1 − cos ω(x − l/2)/a cos(ωl/2a) sin ωt − 4A0ωl3 π2a X∞ n=0 1 (2n + 1)2 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin 2n + 1 l πat . ➉➊➋➌ ✄ ✥✦✜✰➍➎➏ ω ➪➐✬✤✰➑➒ ✣❊ ➎➏✛ ω = (2k + 1)πa/l, k✇➑ ●➓ ✲✰✓➔➳ ✴ ✤➮✥✦✜✰→❐ ➼➣↔↕➙✧➬➛✵ ✇ 16.3 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = xy, 0 < x < a, 0 < y < b, u x=0 = 0, u x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, u y=0 = φ(x), u y=b = ψ(x), 0 ≤ x ≤ a. ✗ ➜➝➦➧✣✤✰❥❦ 1 6 x 3 y + f(x + iy) + g(x − iy). ❃ ❤❾❿✉ ✴ f ❈ g ✛➞➟✛ f(x + iy) + g(x − iy) = − a 2 24i (x + iy) 2 − (x − iy) 2 = − 1 6 a 2xy, ❽✩❘✰❦ v(x, y) = 1 6 x 2 − a 2 xy ◆❖❧♠✸✹✺✻ v(x, y) x=0 = 0, v(x, y) x=a = 0. ❀ u(x, y) = v(x, y) + w(x, y),
§16.2两端固定弦的强迫振动 第8页 就可以导出u(x,t)所应满足的定解问题, 0<x<a,0<y<b ul=0=0,叫l n=ox),叫=()-2(2-a2) 0<x<a. 其中的方程和一对边界条件都是齐次的,因此,很容易求解
Wu Chong-shi §16.2 ❭⑧⑨❜⑩❛❶❷❸❹ ❢ 8 ❣ ➑✽➈ ➁➧ w(x, t) ➇ ➽◆❖✰✲❦↕➙✛ ∂ 2w ∂x2 + ∂ 2w ∂y2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, w x=0 = 0, w x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, w y=0 = φ(x), w y=b = ψ(x) − b 6 x 2 − a 2 x, 0 ≤ x ≤ a. ✪ ✫✰✣✤❈❁➤ ✸✹✺✻➠✬❧♠✰✛➯➲✛➡ ➜➝➦❦✵