北京大学：《数学物理方法》精品课程电子教案（A类）第二部分 数学物理方程_第5讲 分离变量法（四）

第五讲 分离变量法四) 北京大学物理学院 2007年春

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讲授要点 ③圆形区域内的 Laplace方程第一类边值问题 定解问题的正确提法 定解问题的求解 ③正交曲面坐标系下 Helmholtz方程的分离变 柱坐标系下的 Helmholtz方程的分离变量 球坐标系下的 Helmholtz方程的分离变量

Outline ùLJ: 1 /«SLaplace§1a>Š¯K ½)¯K(J{ ½)¯K¦) 2 ­¡‹IXeHelmholtz§©lCþ ΋IXeHelmholtz§©lCþ ¥‹IXeHelmholtz§©lCþ C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

讲授要点 ③圆形区域内的 Laplace方程第一类边值问题 定解问题的正确提法 定解问题的求解 ②正交曲面坐标系下 Helmholtz方程的分离变量 柱坐标系下的 Helmholtz方程的分离变量 球坐标系下的 Helmholtz方程的分离变量

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References 吴崇试,《数学物理方法》,§15.4,15.5,15.6

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . References ÇÂÁ§5êÆÔn{6§§15.4, 15.5, 15.6 ù&œ§5êÆÔn{6§§8.4, 9.1 nÎ!X1Á§5êÆÔn{6§§12.1, 12.1, 13.1 C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

References 吴崇试,《数学物理方法》,§15.4,15.5,15.6 梁昆淼,《数学物理方法》,§.4,9.1 胡嗣柱、倪光炯,《数学物理方

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . References ÇÂÁ§5êÆÔn{6§§15.4, 15.5, 15.6 ù&œ§5êÆÔn{6§§8.4, 9.1 nÎ!X1Á§5êÆÔn{6§§12.1, 12.1, 13.1 C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

References 吴崇试,《数学物理方法》,§15.4,15.5,15.6 梁昆淼,《数学物理方法》,§.4,9.1 胡嗣柱、倪光炯,《数学物理方法》,§12.1, 12.1.13.1

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . References ÇÂÁ§5êÆÔn{6§§15.4, 15.5, 15.6 ù&œ§5êÆÔn{6§§8.4, 9.1 nÎ!X1Á§5êÆÔn{6§§12.1, 12.1, 13.1 C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

讲授要点 ③圆形区域内的 Laplace方程第一类边值问题 定解问题的正确提法 定解问题的求解 ②正交曲面坐标系下 Helmholtz方程的分离变量 柱坐标系下的 Helmholtz方程的分离变量 球坐标系下的 Helmholtz方程的分离变量

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . Well-posed Problem in Circular Region Solutions of Well-posed Problem in Circular Region ùLJ: 1 /«SLaplace§1a>Š¯K ½)¯K(J{ ½)¯K¦) 2 ­¡‹IXeHelmholtz§©lCþ ΋IXeHelmholtz§©lCþ ¥‹IXeHelmholtz§©lCþ C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

圆形区域中的稳定问题 定解问题 On2+a2=0x2+y2<a2 a2u a2u

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . Well-posed Problem in Circular Region Solutions of Well-posed Problem in Circular Region /«¥­½¯K ½)¯K ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0 x 2 + y 2 < a2 u   x 2+y 2=a 2 = f ©Û C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

圆形区域中的稳定问题 定解问题 a2u a2u 0x2 0y20x2 +-<a 分析 在直角坐标系下,方程(二维 Laplace方程)当然可 以分离变量.但边界条件显然不能.由于边界的 形状是圆形,很自然地应该采用平面极坐标系

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . Well-posed Problem in Circular Region Solutions of Well-posed Problem in Circular Region /«¥­½¯K ½)¯K ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0 x 2 + y 2 .^‡w,ØU© du>. /G´/§ég,/ATæ^²¡4‹IX C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

圆形区域中的稳定问题 定解问题 On2+a2=0x2+y2<a2 a2u a2u 分析 在平面极坐标系中,原来的定解问题应该改写为 10/0 102u 00<r<a arar +n282 ul_n=f(o)

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . Well-posed Problem in Circular Region Solutions of Well-posed Problem in Circular Region /«¥­½¯K ½)¯K ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0 x 2 + y 2 < a2 u   x 2+y 2=a 2 = f ©Û 3²¡4‹IX¥§5½)¯KATU 1 r ∂ ∂r  r ∂u ∂r  + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0 0 < r < a u   r=a = f(φ) C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)