第十八讲分离变量法(四)正交曲面坐标系 平面极坐标系和柱坐标系下的 Lapalce算符 平面极坐标(r,)和直角坐标(x,y)的关系是 r sino 由此容易求出 dr= cos o dr+ sin od do=sin d or 按照复合函数的求导法则 dr dr dr dr do or o ar a do d 进一步就能得到 a- a sino a Cos? a? 2 sino cos o 82, sin20 02 sin2o a 2 sin o cos o a 那-(m+=)( 2 o a2 c0s20 a 2 sin o cos o a ordo 最后就得到平面极坐标系下的 Laplace算符 W+b+产 1a/0)1a2 在此基础上,还可以得到柱坐标系下的 Laplace算符 8210 102a2 v Or+rar r2 aq 1a/0
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) ✡☛ ☞✌✍✎✏ ✑✒✓✔✕✖✗✘✔✕✖✙✚ Lapalce ✛✜ ✢✣✤✥✦ (r, φ) ✧★✩✥✦ (x, y) ✪✫✬✭ x = r cos φ, y = r sin φ. ✮✯✰✱✲✳ dr = cos φ dx + sin φ dy, dφ = − sin φ r dx + cos φ r dy, ✴ ∂r ∂x = cos φ, ∂φ ∂x = − sin φ r , ∂r ∂y = sin φ, ∂φ ∂y = cos φ r . ✵✶✷✸✹✺✪ ✲✻✼✽✾ ∂ ∂x = ∂r ∂x ∂ ∂r + ∂φ ∂x ∂ ∂φ = cos φ ∂ ∂r − sin φ r ∂ ∂φ, ∂ ∂y = ∂r ∂y ∂ ∂r + ∂φ ∂y ∂ ∂φ = sin φ ∂ ∂r + cos φ r ∂ ∂φ. ✿❀❁❂❃❄❅ ∂ 2 ∂x2 = cos φ ∂ ∂r − sin φ r ∂ ∂φ cos φ ∂ ∂r − sin φ r ∂ ∂φ = cos2φ ∂ 2 ∂r2 − 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + sin2φ r 2 ∂ 2 ∂φ2 + sin2 φ r ∂ ∂r + 2 sin φ cos φ r 2 ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂y2 = sin φ ∂ ∂r + cos φ r ∂ ∂φ sin φ ∂ ∂r + cos φ r ∂ ∂φ = sin2φ ∂ 2 ∂r2 + 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + cos2φ r 2 ∂ 2 ∂φ2 + cos2 φ r ∂ ∂r − 2 sin φ cos φ r 2 ∂ ∂φ. ❆❇❂❄❅✢✣✤✥✦✬❈✪ Laplace ❉❊ ∇2 ≡ ∂ 2 ∂r2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 ≡ 1 r ∂ ∂r r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 . ❋✯●❍■✾❏❑▲❄❅▼✥✦✬❈✪ Laplace ❉❊ ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂r2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 + ∂ 2 ∂z2 ≡ 1 r ∂ ∂r r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 + ∂ 2 ∂z2
18.球坐标系下的 球坐标系下的 Lapalce算符 球坐标(r,6,)和直角坐标(x,y,2)的关系是 由此可以解出 dr= sin 6 cos o dr+ sin 6 sin o dy +cos ed cos e cos cos s dr+ COs o rsin e y 因此 0 ar a 00 a do a az ar or+ 0x00+ ar do=sine cos dar a cos 0 coso a sino a a ar a a0 a do a a cos 6 sino a dy dy dr dy d8 d sin e d 0z 0z or 0z00 dr 在此基础上就可以求出 cos 6 coso a c0s20c0s20 a2 sin" cos oar a2 2sin 0 cos 0 cos2o a2 droe 2 sin o cos o 0- 2 cos 0 sin o cos o a- cos0 cos@+sin-o a rasin B a0a% 2 0 cos 0 cos2o+cos 0 sing a 2 o cos o a a2 a cos e 0 cos 0 sin o d In g sin sin 6 sin一+ 6 8 2 sin 0 cos 0 sin2o 002 r2 sin20 00- r06 2 sin o cos o a2 2 cos 0 sin o cos o 82 cos20 sin20+coso a drdo do dr -2sin20 cos 0 sin2o+ cos 0 cos2o a 2 sin o cos o a sin b a0 r2 sin20 ao 06 a2 sin20 a2 2 sin 0 cos 0 a2 2 sin 0 cos 0 a sine a
Wu Chong-shi §18. ◆❖P◗❘❙ Lapalce ❚❯ ❱ 2 ❲ ❳✔✕✖✙✚ Lapalce ✛✜ ❨✥✦ (r, θ, φ) ✧★✩✥✦ (x, y, z) ✪✫✬✭ x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. ✮✯❑▲❩✳ dr = sin θ cos φ dx + sin θ sin φ dy + cos θ dz, dθ = cos θ cos φ r dx + cos θ sin φ r dy − sin θ r dz, dφ = − sin φ r sin θ dx + cos φ r sin θ dy. ❬✯ ∂ ∂x = ∂r ∂x ∂ ∂r + ∂θ ∂x ∂ ∂θ + ∂φ ∂x ∂ ∂φ = sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ, ∂ ∂y = ∂r ∂y ∂ ∂r + ∂θ ∂y ∂ ∂θ + ∂φ ∂y ∂ ∂φ = sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ, ∂ ∂z = ∂r ∂z ∂ ∂r + ∂θ ∂z ∂ ∂θ = cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ . ❋✯●❍■❂❑▲✲✳ ∂ 2 ∂x2 = sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ = sin2 θ cos2 φ ∂ 2 ∂r2 + cos2 θ cos2φ r 2 ∂ 2 ∂θ2 + sin2 φ r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 + 2 sin θ cos θ cos2 φ r ∂ 2 ∂r∂θ − 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ − 2 cos θ sin φ cos φ r 2 sin θ ∂ 2 ∂θ∂φ + cos2 θ cos2 φ + sin2 φ r ∂ ∂r + −2 sin2 θ cos θ cos2 φ + cos θ sin2 φ r 2 sin θ ∂ ∂θ + 2 sin φ cos φ r 2 sin2 θ ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂y2 = sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ = sin2 θ sin2φ ∂ 2 ∂r2 + cos2 θ sin2φ r 2 ∂ 2 ∂θ2 + cos2 φ r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 + 2 sin θ cos θ sin2 φ r ∂ 2 ∂r∂θ + 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + 2 cos θ sin φ cos φ r 2 sin θ ∂ 2 ∂θ∂φ + cos2 θ sin2 φ + cos2 φ r ∂ ∂r + −2 sin2 θ cos θ sin2 φ + cos θ cos2 φ r 2 sin θ ∂ ∂θ − 2 sin φ cos φ r 2 sin2 θ ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂z2 = cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ = cos2 θ ∂ 2 ∂r2 + sin2 θ r 2 ∂ 2 ∂θ2 − 2 sin θ cos θ r ∂ 2 ∂r∂θ + 2 sin θ cos θ r 2 ∂ ∂θ + sin2 θ r ∂ ∂r
交曲面坐标系 第3页 最后就得到球坐标系下的 Laplace算符 a2201 W++产m+产s1b+产5m26b rOr dr)+r2 a080 )+
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 3 ❲ ❆❇❂❄❅❨✥✦✬❈✪ Laplace ❉❊ ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂r2 + 2 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ2 + cos θ r 2 sin θ ∂ ∂θ + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 ≡ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂ ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2
§18.1圆形区 818.1圆形区域 圆形区域中的稳定问题.定解问题为 0 在直角坐标系下,方程(二维 Laplace方程)当然可以分离变量.但边界条件显然不能.由于边界的 形状是圆形,很自然地应该采用平面极坐标系 在平面极坐标系中,原来的定解问题应该可以写为 18(0)+2o2=0.,0<r< 1a2 u=f() 令u(r,)=R(T)(),代入方程,有 F(a)4+:2=0.→()=-za=1 因此,可以分离变量, AR=O d2④ +№=0. 但是边界条件 R(a)p(o)=f(0) 仍然不能分离变量,因为边界条件是非齐次的.我们尽管能够将齐次方程分离变量,得到两个含有 待定参数的齐次常微分方程,但是并没有相应的齐次边界条件与之配合而构成一个本征值问题 在平面极坐标系下应用分离变量法,又遇到了新的特殊的困难 上面出现的困难,完全是由于演绎中的疏漏造成的:在圆形区域的条件下,由平面直角坐标 系变换到平面极坐标系时,结果 0 1a2 a("a)+D=0.0<r<a 并不完全等价于原来的定解问题;或者说,它并不构成一个完整的定解问题
Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 4 ❲ §18.1 ♥ ♦ ♣ q rst✉✈✇①②③④ ⑤⑥❩⑦⑧⑨ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, x2 + y 2 < a2 , u x2+y 2=a2 = f. ❋ ★✩✥✦✬❈✾⑩❶ (❷❸ Laplace ⑩❶) ❹❺❑▲❻❼❽❾⑤❿➀➁➂➃➄❺➅❃⑤✮➆➀➁✪ ➇➈✭ ➉➇✾➊ ➋ ❺➌➍➎➏➐✢✣✤✥✦✬ ⑤ ❋✢✣✤✥✦✬ ➑✾➒➓✪ ⑥❩⑦⑧➍➎❑▲➔⑨ 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u r=a = f(φ). → u(r, φ) = R(r)Φ(φ) ✾➣↔⑩❶✾↕ 1 r d dr r dR dr Φ + R r 2 d 2Φ dφ2 = 0, =⇒ r R d dr r dR dr = − 1 Φ d 2Φ dφ2 = λ. ❬✯✾❑▲❻❼❽❾✾ r d dr r dR dr − λR = 0, d 2Φ dφ2 + λΦ = 0. ❿ ✭ ➀➁➂➃ R(a)Φ(φ) = f(φ) ➙ ❺➅❃❻❼❽❾✾❬⑨➀➁➂➃✭➛➜➝✪⑤➞➟➠➡❃➢➤➜➝⑩❶❻❼❽❾✾❄❅➥➦➧↕ ➨⑥➩✺ ✪➜➝➫➭❻⑩❶✾❿✭➯➲↕➳➍✪➜➝➀➁➂➃➵➸➺✸➻➼➽❀➦➾➚➪⑦⑧⑤ ➶➹➘➴➷➬➮➱✃❐❒❮❰ÏÐ✾ÑÒÓÔÕ✇Ö×✇ØÙ Ú ■✣✳Û✪ÜÝ✾Þß✭ ✮➆àá ➑✪âãä➽ ✪å❋ ➉ ➇æç✪ ➂➃❈ ✾✮✢✣★✩✥✦ ✬ ❽è❅✢✣✤✥✦✬é✾êë 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u r=a = f(φ). ➯➅Þßìí➆➒➓✪ ⑥❩⑦⑧îïðñ✾ò➯➅➼➽❀➦Þó✪ ⑥❩⑦⑧⑤
变量法(四 交曲面坐标系 第5页 第一,在数学上,原来定解问题的微分方程在圆内处处成立;然而变换到平面极坐标后,方 程在区间的端点中=0和φ=27并不成立严格说,在平面极坐标中,自变量φ的变化范第 是.27,因为a,9)在端点中=0和=27处的导数没有定八讲量最窿变量能定八 (x,)在两个端点处的、四,导数 个端点交曲是由于朵用平面极坐标系面写圆形而出现的,并非坐标时的系边界,在原面的 定解问题中,就极不上坐标定相应的边界条件系就导和在上面的结果中变有柱出u(, 在φ=0和φ=2处_应当,算的边界条件 的 平到平面极坐标系的点 完整的定解问题,应当和讲 。0)和(r,=27)代极的是平面上的一点,一以,标为 件 u(r,以)l=0=(,ol=2n和 正 香角上面到的由于Lapl程直角坐标系是换到极坐标系时面由此的容易可以求 出条件而得到和 第二,原来的方程在坐标原点(x,)=(0,0)变是成立的、但是,变换到平面极坐标后,方程在 r=0点并不成立,因为u(,)在r=0点的,导数变洋没有定八讲分量变量能定八u(, 在r=0点的 导数 法十 r=0为自变量的端点,变交曲是由采用极坐标系而出现的,它并不是圆形区城的系 当是有界的,应当坐和讲上有界条件女坐标原项的边 边 界系变丕按坐和讲上(,)在r=0点应 界条件 平到原来的方程是齐次的,在圆内( 的,因此,u(r,)在坐标原点应 u(r,o)=0有界 数导:在法则到平面极坐标系,,定进问题一应步变就 1 8/0u\ 1 8u 0 0<φ<2丌,0<r 0<r<a, 0u(r,) du(r, o 0<r<a 1=2r =0有界 0<φ<2π
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 5 ❲ F ô ❀✾❋✺õ■✾➒➓⑥❩⑦⑧✪➭❻⑩❶❋ ➉ö÷÷➽øî ❺ ➻❽è❅✢✣✤✥✦❇✾⑩ ❶❋æù✪úû φ = 0 ✧ φ = 2π ➯➅➽ø⑤üýñ✾❋✢✣✤✥✦ ➑ ✾ ➋❽❾ φ ✪ ❽þÿ ✭ [0, 2π] ✾❬⑨ u(r, φ) ❋ úû φ = 0 ✧ φ = 2π ÷✪✁ ✻✺ ➲ ↕⑥✂✾✄☎❾❆✆✝✞❃⑥✂ u(r, φ) ❋➥➦úû÷✪✟✠✁✻✺⑤ ✡➥➦úû☛☞✭ ✮➆ ➏➐✢✣✤✥✦✬✌ ➔ ➉ ➇➻✳Û✪ ✾ ➯➛✍✎✪✏✑➀➁✾❋➒✒ ✪ ⑥❩⑦⑧ ➑ ✾❂✓ ➅ ■✔✕⑥➳ ➍✪➀➁➂➃⑤✡✖❂✻✗❋■✣ ✪ êë ➑ ✝ ➲ ↕✘✳ u(r, φ) ❋ φ = 0 ✧ φ = 2π ÷✙➍❹✚✛✪ ➀➁➂➃⑤ ✜✢❅✢✣✤✥✦✬✪✣û ✾ (r, φ = 0) ✧ (r, φ = 2π) ➣✤ ✪✭✢✣■ ✪✥ ❀ û ✾ ✙ ▲✾✦⑨ Þó✪ ⑥❩⑦⑧✾➍❹✧ ✄■★✩➂➃ u(r, φ) φ=0 = u(r, φ) φ=2π ✧ ∂u(r, φ) ∂φ φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ φ=2π . ✡✖✾■✣✪❅ ✪ ✮➆✫ Laplace ⑩❶✬ ★✩✥✦✬✭ è❅✤✥✦✬é➻✮✯✪✰✱✾❑▲✲ ✳★✩➂➃➻❄❅✧✴⑤ F ô❷✾➒➓✪ ⑩❶❋✥✦➒ û (x, y) = (0, 0) ✝ ✭ ➽ø✪ ⑤❿ ✭ ✾❽è❅✢✣✤✥✦❇✾⑩❶❋ r = 0 û➯➅➽ø⑤❬⑨ u(r, φ) ❋ r = 0 û✪✁ ✻✺✝ ➯➲↕⑥✂✾✄☎❾✝✞❃⑥✂ u(r, φ) ❋ r = 0 û✪✟✠✁✻✺⑤ r = 0 û ✦⑨ ➋❽❾ r ✪úû✾✝ ☛☞✭ ✮ ➏➐✤✥✦✬ ➻✳Û✪ ✾ò ➯➅✭ ➉➇æç✪✏✑ ➀➁⑤✡✖✝❏✵✔✧ ✄■ u(r, φ) ❋ r = 0 û✙➍❹✚✛✪ ➀➁➂➃⑤ ✜✢❅➒➓✪ ⑩❶✭➜➝✪✾❋ ➉ö (✶✷✥✦➒ û) ✭✸✹✪ ✾❬✯✾ u(r, φ) ❋✥✦➒ û➍ ❹✭↕➁✪ ✾ ➍❹✔ ✧ ✄■↕➁➂➃ u(r, φ) r=0↕➁. ✺✻å ➶✼✽Ó➹➘➴➷➬➮✾✾②✿③④❀✃❁❰❂ 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < φ < 2π, 0 < r < a, u(r, φ) φ=0 = u(r, φ) φ=2π , 0 < r < a, ∂u(r, φ) ∂φ φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ φ=2π , 0 < r < a, u(r, φ) r=0 ↕➁, 0 < φ < 2π, u r=a = f(φ), 0 < φ < 2π
§18.1圆形区 第6页 现在,能来得复分离变量的步到,就可以最到,后下算。符 面在得到的两个齐次常微分方程 直角 之基,由条件还可以得到 (0)=重(2),更(0)=更(2m) 系,础得到一个上的本征值问题 d2更 +=0, (0)=重(2丌),更(0)=更(27 还可以柱值问題的特点是:它是由含有待定参数的常嶶分方程和一对周期条件构成的 还可以柱值问题的解当然就会出现新的特点 当λ=0时,常微分方程的求解为 o()=A0 直角 代入条件 +B0,A0=A0 因此 正 说明λ=0是本征值,相应的本征函数是 () 当λ≠0时,方程的求解为 p()=A 直角 代入条件,得到 B=Asin√2x+Bcos√A /A2T-Bsin VA2 正 可以最成是关于系数A和B的线性齐次代数方程组,有非零解的讲必坐条件是 sin√2πcos√2x-1 osxx-1-sin√x2x=0 即2(V-1)=0.正系础可以求得本征值 2,m=1,2,3 相应的非零解是 A任意,B任意
Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 6 ❲ Û❋✾❃➓❄✷❻❼❽❾✪ ❁❅✾❂❑▲❆❅✾❇❈❉✣ ❊❋❄❅✪ ➥➦➜➝➫➭❻⑩❶ r d dr r dR dr − λR = 0, d 2Φ dφ2 + λΦ = 0 ➸●✾✮★✩➂➃❏❑▲❄❅ Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π). ✡✖✾❍❄❅❈❀➦■ ✪ ➾➚➪⑦⑧ d 2Φ dφ2 + λΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π). ❏❑▲▼◆ ❖P◗❘❙❚å ❯❚ ❱❲❳❨❩❬❭◗❪❫❴❵❛❜❝❞❡❢❣❤✐❥◗⑤ ❏❑▲▼◆ ❖P◗❦ ❧♠♥♦ ♣qr◗❘❙⑤ ❹ λ = 0 é ✾ ➫➭❻⑩❶✪ ✲❩⑨ Φ0(φ) = A0φ + B0. ➣↔★✩➂➃✾↕ B0 = A02π + B0, A0 = A0. ❬✯ A0 = 0, B0st. ✡ñ ✉ λ = 0 ✭ ➾➚➪✾➳➍✪➾➚✹✺✭ Φ0(φ) = 1. ❹ λ 6= 0 é ✾⑩❶✪ ✲❩⑨ Φ(φ) = A sin √ λφ + B cos √ λφ. ➣↔★✩➂➃✾❄❅ B = A sin √ λ2π + B cos √ λ2π, A = A cos √ λ2π − B sin √ λ2π. ✡❑▲❆➽ ✭✫➆ ✬ ✺ A ✧ B ✪✈✇➜➝➣✺⑩❶①✾↕➛② ❩ ✪ ✄❻③✔➂➃✭ sin √ λ2π cos √ λ2π − 1 cos √ λ2π − 1 − sin √ λ2π = 0, ✴ 2(cos √ λ2π − 1) = 0 ⑤✡✖❍❑▲✲❄➾➚➪ λm = m2 , m = 1, 2, 3, · · · , ➳ ➍✪➛② ❩ ✭ Ast, Bst
曲面坐标系 这就是说,对应于一个本征值λm,有两个本征函数 m1() Pm2(o)=cos mo 当然,也还可以将λ=0的结果和λ≠0的结果合并起来,统一写成 m1(小)= sin mo 重m2() 而将m的取值相应地改为0,1,2,3 按照分离变量法的标准步骤,再来求常微分方程 AR=O 的解.注意这个常微分方程是一个特殊的变系数方程,经过自变量的变换 即t=lr 后,就可以变为常系数的常微分方程 d-R 所以,当λ=0时,通解为 Ro(r)=Co+ Dot=Co+Do 当Am=m2,m≠0时,通解为 现在,就求得了满足齐次方程和齐次边界条件(周期条件)的全部特解 uml(r,)=(CmIrm+Dmir m27+D, -m)cos mo 叠加起来,就得到定解问题的一般解 u(r,o)=Co+DoInr+2(CmIrm +dmir-m)sin mo+2(Cm2r m+Dm2r-m)cos mo 考虑到有界条件 u,=0有界 因为nr和rm在r=0点都是无界的,所以它们的系数都必须为0 再代入其余的边界条件,就得到 Co+>am(CmI sino+Cm2 cos mo)=f()
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 7 ❲ ✡❂ ✭ ñ✾④ ➍ ➆❀➦➾➚➪ λm ✾↕➥➦➾➚✹✺ Φm1(φ) = sin mφ, Φm2(φ) = cos mφ. ❧♠✾⑤⑥⑦ ⑧⑨ λ0 = 0 ◗⑩❶❜ λ0 6= 0 ◗⑩❶❷❸❹❺✾❻❝ ❼❥ Φm1(φ) = sin mφ, Φm2(φ) = cos mφ, ❽⑨ m ◗❾◆❿➀➁➂➃ 0, 1, 2, 3, · · · ⑤ ✵✶❻❼❽❾✼✪ ✦➄❁❅✾❃➓✲➫➭❻⑩❶ r d dr r dR dr − λR = 0 ✪ ❩⑤➅ t ✡➦ ➫➭❻⑩❶✭ ❀➦✣➆✪ ❽ ✬ ✺⑩❶✾❋✳ ➋❽❾✪ ❽è d dt = r d dr ✴ t = ln r ❇✾❂❑▲❽⑨➫✬✺ ✪➫➭❻⑩❶å d 2R dt 2 − λR = 0. ✙ ▲✾❹ λ0 = 0 é ✾✲❩⑨ R0(r) = C0 + D0t = C0 + D0 ln r; ❹ λm = m2 , m 6= 0 é ✾✲❩⑨ Rm(r) = Cme mt + Dme −mt = Cmr m + Dmr −m. Û❋✾❂✲❄❈ ✚✛➜➝⑩❶✧➜➝➀➁➂➃ (★✩➂➃) ✪ ß➇ ✣ ❩ u0(r, φ) = C0 + D0 ln r, um1(r, φ) = Cm1r m + Dm1r −m sin mφ, um2(r, φ) = Cm2r m + Dm2r −m cos mφ. ➈➉➊➓✾❂❄❅⑥❩⑦⑧✪ ❀➋❩ u(r, φ) = C0 + D0 ln r + X∞ m=1 Cm1r m + Dm1r −m sin mφ + X∞ m=1 Cm2r m + Dm2r −m cos mφ. ✜✢❅↕➁➂➃ u r=0↕➁, ❬⑨ ln r ✧ r −m ❋ r = 0 û➌✭✸ ➁ ✪ ✾ ✙ ▲ò➟ ✪✬✺ ➌ ③➍⑨ 0 ✾ D0 = 0, Dm1 = 0, Dm2 = 0. ❃➣↔☎➎✪ ➀➁➂➃✾❂❄❅ u(r, φ) r=a = C0 + X∞ m=1 a m(Cm1 sin mφ + Cm2 cos mφ) = f(φ)
§18.1圆形区 第8页 下面的问题便是如何定出叠加系数Co,Cm1和Cm2.尽管也可以从 Fourier展开的角度去求出 系数C0,Cm1和Cm2,但采用分离变量法的标准做法,还是利用本征函数的正交性定叠加系数 对于本征值问题 d2+№=0., (0)=中(2m),更(0)=更(27) 对应不同本征值的本征函数是正交的 ★本征函数1(对应于本征值λ=0)和本征函数snm或cosm(对应于本征值Am=m2,m≠0) do=0. ★对应于本征值Am=m2的本征函数 sin mg, cos mo和对应于本征值An=n2,n≠m的本征函 数 sin ng, cos no是两两正交的 =0, 对应于同一个本征值Am=m2的两个本征函数snmb和(m也是正交的 coS 因此,利用本征函数的正交性以及 可求得 f()d, f(o)sin mo f() cos mod.口
Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 8 ❲ ❈ ✣ ✪ ⑦⑧➏ ✭➐✑⑥✳➈➉✬ ✺ C0, Cm1 ✧ Cm2 ⑤➠➡✝❑▲✬ Fourier ➑➒✪✩➓➔✲✳ ✬ ✺ C0, Cm1 ✧ Cm2 ✾❿ ➏➐❻❼❽❾✼✪ ✦➄→✼✾❏✭➣➐ ➾➚✹✺✪✎↔✇⑥➈➉✬ ✺⑤ ↕➙➛➜➝③④ d 2Φ dφ2 + λΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π), ↕✃➞➟➛➜➝✇➛➜➠➡➢➤➥✇⑤ F ➾➚✹✺ 1 (④ ➍ ➆➾➚➪ λ0 = 0) ✧ ➾➚✹✺ sin mφ ï cos mφ (④ ➍ ➆➾➚➪ λm = m2 , m 6= 0) ✭✎↔✪å Z 2π 0 sin mφdφ = 0, Z 2π 0 cos mφdφ = 0. F ④ ➍ ➆➾➚➪ λm = m2 ✪ ➾➚✹✺ sin mφ, cos mφ ✧ ④ ➍ ➆➾➚➪ λn = n 2 , n 6= m ✪ ➾➚✹ ✺ sin nφ, cos nφ ✭ ➥➥✎↔✪å Z 2π 0 sin nφ sin mφdφ = 0, Z 2π 0 sin nφ cos mφdφ = 0, Z 2π 0 cos nφ cos mφdφ = 0. ↕✃➙➟➦➧➛➜➝ λm = m2 ✇➨➧➛➜➠➡ sin mφ ➩ cos mφ ➫ ➢➤➥✇ å Z 2π 0 sin mφ cos mφdφ = 0. ❬✯✾➣➐ ➾➚✹✺✪✎↔✇▲➭ Z 2π 0 sin2mφdφ = π, Z 2π 0 cos2mφdφ = π, ❂❑✲❄ C0 = 1 2π Z 2π 0 f(φ)dφ, Cm1 = 1 amπ Z 2π 0 f(φ) sin mφdφ, Cm2 = 1 amπ Z 2π 0 f(φ) cos mφdφ.
变量法(四 交曲面坐标系 第9页 现在再对上面求解过程中的某些问题作一些补充讨论 ★第一,在求解本征值问题时,对应于一个本征值有两个(线性无关的)本征函数 ·对应一个本征值有不止一个(线性无关的)本征函数的现象,称为简并(或退化) 如果对应一个本征值有n个本征函数,则称本征值问题是n重简并的,或者说简并度为n 对于二阶常微分方程的本征值问题,最多只能是二重简并的 在二阶常微分方程的本征值问题中,如果边界条件是一、二、三类,则对应一个本征值,只能 有一个本征函数,或者说,本征值问题一定是非简并的.而当边界条件是周期条件时,本征值 问题才是简并的 第二,对于简并的本征值问题,本征函数的选取并不唯 对应同一个本征值的本征函数也不一定正交 但是一定可以通过适当的重新组合而使它们正交化 就本题而言,就可以将对应于Mm=m2,m=1,2,3 本征函数取为 或者简单地将全部本征值(包括λ=0)和本征函数统一写成 m=0,±1,±2,±3, 这时,对应不同本征值的本征函数当然仍然是正交的: r2y(emd=0,n,m=0,±1,±2,土3,…,且n≠m 而且,对应于同一个本征值An=m2,m≠0的两个本征函数eim也是正交的 注意现在的本征函数是复函数,在上面的正交关糸中需要将其中的一个本征函数取复 共轭
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 9 ❲ Û❋❃④■✣✲❩✳❶ ➑✪➯➲⑦⑧✦❀ ➲✧✄➳➵⑤ F ➸ ➦✾➶➺✿➛➜➝③④➻✾↕✃➙➦➧➛➜➝➼➨➧ (➽➾➚➪✇ ) ➛➜➠➡⑤ • ④ ➍ ❀➦➾➚➪↕ ➅➶ ❀➦ (✈✇✸✫✪) ➾➚✹✺✪ Û➹✾➘⑨➴ ➯ (ï➷þ ) ⑤ • ➐ ë④ ➍ ❀➦➾➚➪↕ n ➦➾➚✹✺✾✽➘➾➚➪⑦⑧✭ n ❄➴➯✪✾ïðñ➴ ➯➓ ⑨ n ⑤ • ④➆ ❷➬➫➭❻⑩❶✪ ➾➚➪⑦⑧✾❆✆✞❃ ✭❷❄➴➯✪⑤ • ❋ ❷➬➫➭❻⑩❶✪ ➾➚➪⑦⑧ ➑ ✾ ➐ ë➀➁➂➃✭ ❀➮ ❷ ➮➱✃✾✽④ ➍ ❀➦➾➚➪✾✞❃ ↕❀➦➾➚✹✺✾ïðñ✾➾➚➪⑦⑧❀⑥ ✭➛➴ ➯✪⑤➻ ❹ ➀➁➂➃✭ ★✩➂➃é ✾➾➚➪ ⑦⑧❐ ✭ ➴ ➯✪⑤ F ➸❒✾↕➙❮❰✇➛➜➝③④✾➛➜➠➡✇ÏÐ❰➞Ñ➦⑤ • ④ ➍✥ ❀➦➾➚➪✪ ➾➚✹✺✝ ➅ ❀⑥ ✎↔✾ • ❿ ✭ ❀⑥❑▲✲✳Ò❹✪❄■①✸➻Óò➟ ✎↔þ⑤ ♥▲P❽Ô✾♥⑦ ⑧⑨❞➀Õ λm = m2 , m = 1, 2, 3, · · · ◗▲▼Ö❭❾➃ e imφ ❜ e −imφ , ×Ø ÙÚ➁⑨ÛÜ▲▼◆ (ÝÞ λ0 = 0) ❜▲▼Ö❭❻❝ ❼❥ λm = m2 , m = 0, ±1, ±2, ±3, · · · , Φm(φ) = eimφ . ❏ß✾❞➀à á▲▼◆◗▲▼Ö❭ ❧♠â♠❚ãä◗å Z 2π 0 e inφ(eimφ) ∗dφ = 0, n, m = 0, ±1, ±2, ±3, · · ·, å n 6= m. ❽ å ✾❞➀Õ á❝❑▲▼◆ λm = m2 , m 6= 0 ◗æ❑▲▼Ö❭ e ±imφ ⑤❚ãä◗å Z 2π 0 e imφ(e−imφ) ∗dφ = 0. çèqé◗▲▼Ö❭❚êÖ❭✾éë ì◗ãä íîïðñ⑨ò ï◗❝❑▲▼Ö❭❾ê óô⑤
§18.1圆形区 第10页 ·关于定解问题的特解,它们是 1, Inr, rm sin mo, rm cos mo, r-m sin mo F r-m cos mo 注意这里的偏微分方程是(二维) Laplace方程.在复变函数部分中,我们曾经证明,解析函数 的实部或虚部一定是 Laplace方程的解.把re看成是复变数 +ⅳy,就可以看出,上面 的这些特解正是解析函数 20.l 和 的实部或者虚部.而有界条件正是使我们摈弃掉在圆内|<a并不处处解析的函数lz和 更进一步,把上面求得的系数代入到解式中,还可以得到 u(r,)=27 f(o )do'+ inmo f(@)sin mo'dp coS n 2o/ f(o)cos mo'do' 2f()1+2∑(2)mc 显然,当r<a时级数收敛.将余弦函数改写为复指数函数,利用等比级数的求和公式就可以求出 级数的和,最后就得到 f() r2+a2-2ar cos(o-o) 这个结果称为 Poisson积分公式,它把 Laplace方程在圆内的第一类边值问题的解表示为边值f() 的积分.事实上,由解析函数的 Cauchy积分公式,也可以推出这个结果(见3.7节),而u(r,)正 好是解析函数的实部或虚部.这里只不过再一次看到解析函数的实部或虚部和二维 Laplace方程 的解之间的关系
Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 10 ❲ • ✫ ➆⑥❩⑦⑧✪✣ ❩✾ò➟ ✭ 1, ln r, rm sin mφ, rm cos mφ, r−m sin mφ✧ r −m cos mφ. ➅ t ✡õ✪✁➭ ❻⑩❶✭ (❷❸)Laplace ⑩❶⑤❋✷❽✹✺➇❻ ➑ ✾➞➟ ö❋÷ ✉✾❩ø✹✺ ✪ù ➇ïú➇❀⑥ ✭ Laplace ⑩❶✪ ❩⑤✫ re iφ ❆➽ ✭ ✷❽✺ z = x + iy ✾❂❑▲❆✳✾■✣ ✪ ✡ ➲✣❩ ✎✭ ❩ø✹✺ z 0 , ln z, zm ✧ z −m ✪ù ➇ïðú➇⑤➻↕➁➂➃✎✭ Ó➞➟ûüý❋ ➉ö |z| < a ➯➅÷÷❩ø ✪ ✹✺ ln z ✧ z −m ⑤ þ✿❀❁✾✫■✣✲❄ ✪✬✺➣↔❅❩ÿ ➑ ✾❏❑▲❄❅ u(r, φ) = 1 2π Z 2π 0 f(φ 0 )dφ 0 + 1 π X∞ m=1 r a m sin mφ Z 2π 0 f(φ 0 ) sin mφ0dφ 0 + 1 π X∞ m=1 r a m cos mφ Z 2π 0 f(φ 0 ) cos mφ0dφ 0 = 1 2π Z 2π 0 f(φ 0 ) h 1 + 2 X∞ m=1 r a m cos m(φ − φ 0 ) i dφ 0 . ➄ ❺ ✾ ❹ r < a é ✺✁✂⑤➤➎✄✹✺☎➔⑨✷✕✺✹✺✾ ➣➐ ì ✆ ✺ ✪ ✲ ✧✝ ÿ❂❑▲✲✳ ✺ ✪✧✾❆❇❂❄❅ u(r, φ) = a 2 − r 2 2π Z 2π 0 f(φ 0 ) r 2 + a 2 − 2ar cos(φ − φ0) dφ 0 . ✡➦êë➘⑨ Poisson ✞ ❻ ✝ ÿ✟ò✫ Laplace ✠✡☛ ☞✌✍✎✏✑✒✓✔✕✍✖✗✘✙✒✓ f(φ) ✍✞✚✛✜✢✣✟✤✖✥✦✧✍ Cauchy ✞✚★✩✟✪✫✬✭✮✯✰✱✲ (✳ 3.7 ✴) ✟✵ u(r, φ) ✶ ✷✸✖✥✦✧✍✢✹✺✻✹✛ ✯✼✽✾✿❀✏❁❂❃✖✥✦✧✍✢✹✺✻✹❄❅❆ Laplace ✠✡ ✍✖❇❈✍❉❊✛