第一讲解析函数 §1.1预备知识:复数及其运算规则 复数定义设有一对有序实数(a,b),遵从下列运算规则: 加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1 b1+b2) 乘法(a,b)(c,d)=(a 则称这一对有序实数(a,b)定义了一个复数a,记为 a=(a,b)=a(1,0)+b0,1) a称为a的实部,b称为a的虚部 Rea b= lm a ★复数相等:两复数的实部、虚部分别相等 复数不能比较大小! ★特殊的复数:实数1 (1,0)(1,0)=(1,0),(1,0)(a,b)=(a,b), 可见(1,0)具有和实数1同样的运算效果 特殊的复数:虚单位i (0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 这样就定义了虚单位i=(0,1), i2 所以,复数a又可以记为 +ib ★特殊的复数:0 (a,b)+(0,0)=(a,b),(a,b)(0,0)=(0,0), 可见(0,0)具有和实数0同样的运算效果 ★复数共轭复数a*≡a-ib与a=a+ib互为共轭 共轭复数的乘积为实数 (a +ib(a-ib)=a+ ★复数减法复数加法的逆运算 (a +ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d) ★复数除法复数乘法的逆运算 c+id (c+id(c-id) c2+d2 c2+d2
Wu Chong-shi §1.1 ✁✂✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 2 ✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕ §1.1 ✖✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧ ★✩✪✫ ✬✭✮✯✭✰✱✲ (a, b) ✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼ ✽✾ (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), ✿✾ (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc), ✻❀❁✮✯✭✰✱✲ (a, b) ❂❃❄✮❅❆✲ α ✳❇❈ α = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), a ❀❈ α ❉ ✱❊✳ b ❀❈ α ❉❋❊ ✳ a = Re α, b = Im α. F ★✩●❍✼ ■ ❆✲❉ ✱❊❏❋ ❊❑▲▼◆❖ ❆✲P◗ ❘❙❚❯ ❱ F ❲❳❨★✩✼❩✩ 1 (1, 0)(1, 0) = (1, 0), (1, 0)(a, b) = (a, b), ❬❭ (1, 0) ❪ ✭❫✱✲ 1 ❴❵❉✸✹❛❜✳ (1, 0) = 1. F ❲❳❨★✩✼❝❞❡ i (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1, ❁❵❢❂❃❄❋❣❤ i = (0, 1) ✳ i 2 = −1. ✐❥✳ ❆✲ α ❦ ❬❥ ❇❈ α = a + i b. F ❲❳❨★✩✼ 0 (a, b) + (0, 0) = (a, b), (a, b)(0, 0) = (0, 0), ❬❭ (0, 0) ❪ ✭❫✱✲ 0 ❴❵❉✸✹❛❜✳ (0, 0) = 0. F ★✩❧♠ ❆✲ α ∗ ≡ a − i b ♥ α = a + i b ♦❈♣q❖ (α ∗ ) ∗ = α. ♣q❆✲❉ ✿r❈ ✱✲❖ (a + i b)(a − i b) = a 2 + b 2 . F ★✩st ❆✲✽✾❉✉✸✹✼ (a + i b) − (c + i d) = (a − c) + i (b − d), F ★✩✈t ❆✲✿✾❉✉✸✹✼ a + i b c + i d = (a + i b)(c − i d) (c + i d)(c − i d) = ac + bd c 2 + d 2 + i bc − ad c 2 + d 2
81.2预备知识:复数的几何表示 个复数可以用复平面上的一个点表示(见图1.1) 图1.1复数a和a 复数a=a+ib还可以表示成复平面上的一个矢量(见图1.2) 图1.2矢量OP和OP代表同一个复数 这里的矢量是自由矢量:将一个矢量平移(例如将矢量的一个端点移到原点仍代表同一个 复数. 复数加法的几何意义:横坐标、纵坐标分别相加 复数加法满足平行四边形法则(或称为三角形法则) 图1.3复数加法的平行四边形法则和三角形法则 图1.4复数减法的平行四边形法则和三角形法则 平行四边形法则(或三角形法则)也可以应用于复数相减a-B≡a+(-B) 1.将代表B的矢量反向即表示一B),然后作加法 2.由B的终点指向a的终点作一矢量,即代表a-B
Wu Chong-shi ✇①② ③④⑤✝ ✌ 3 ✍ §1.2 ✖✗✘✙✚✛✜⑥⑦⑧⑨⑩ ✮❅❆✲❬❥❶❆❷❸❹❉ ✮❅❺❻❼ (❭❽ 1.1) ❖ ❾ 1.1 ❿➀ α ➁ α ∗ ❆✲ α = a + i b ➂ ❬❥❻❼➃❆❷❸❹❉ ✮❅➄➅ (❭❽ 1.2) ❖ ❾ 1.2 ➆➇ OP ➁ O0P 0 ➈➉➊➋➌❿➀ ❁➍❉➄➅➎ ➏➐➑➒ ✼➓✮❅➄➅❷➔ (→➣➓➄➅❉ ✮❅↔❺➔↕➙❺) ➛➜❻ ❴ ✮❅ ❆✲❖ ★✩➝t❨➞➟➠✫ ✼ ➡➢➤❏➥➢➤❑▲▼✽❖ ❆✲✽✾➦➧❷➨➩➫➭✾✻ (➯❀❈➲➳➭✾✻) ❖ ❾ 1.3 ❿➀➵➸➺➻➼➽➾➚➸➪➁➶➹➚➸➪ ❾ 1.4 ❿➀➘➸➺➻➼➽➾➚➸➪➁➶➹➚➸➪ ❷➨➩➫➭✾✻ (➯➲➳➭✾✻) ➴ ❬❥➷❶➬❆✲▼➮ α − β ≡ α + (−β) ✼ 1. ➓➜❻ β ❉ ➄➅➱ ✃ (❐ ❻❼ −β) ✳❒❮❰✽✾Ï 2. Ð β ❉Ñ❺Ò ✃ α ❉Ñ❺ ❰ ✮➄➅✳❐➜❻ α − β ❖
复数的极坐标表示 (cos 0 +i sin 0) r,6称为复数a的模和辐角, a,6 +2x 显然, 复数0的模为0,辐角不定 图15复数的模和辐角及辐角的多值性 ★复数辐角的多值性:由于三角函数的周期性,所以一个复数的辐角不是唯一的,它还 可以加上2π的任意整数倍 通常把(-兀,可之间的辐角值称为辐角的主值 极坐标表示下的复数运算 复数共轭 复数乘法 a1=r1(cos 01+i sin 01), 02=r2(cos 82 +i sin 02), A1 sin 82) +i (sin 01 cos B2 r1r2cos(61+62)+isin(61+62 两个复数相乘,就是它们的模相乘,辐角相加 复数除法 a==ros(61-0)+isin(61-B2) 两个复数相除,就是它们的模相除,辐角相减 复数的指数表示:定义复指数函数 且具有和实指数函数相同的性质 则复数a又可以表示成 指数表示形式下的复数乘法和除法 a1a2=n1e01.r2e2=r1r2e(4+2 ib1.-ib2=e(1-62)
Wu Chong-shi §1.2 ✁✂✄☎✆✝ÓÔÕÖ× ✌ 4 ✍ ★✩❨ØÙÚÛÜ✼ α = r(cos θ + i sin θ). r, θ ❀❈❆✲ α ❉Ý❫Þ➳✳ r = |α|, θ = arg α. ß ❒✳ a = r cos θ, b = r sin θ. ❆✲ 0 ❉Ý❈ 0 ✳ Þ ➳ P ❂ ❖ ❾ 1.5 ❿➀➺à➁á➹âá➹➺ãäå F ★✩æç❨èéê✼ Ð ➬ ➲➳ë✲ ❉ìíî✳✐❥ ✮❅❆✲❉ Þ ➳ P➎ï✮❉✳ð ➂ ❬❥✽❹ 2π ❉ñòó✲ô❖ õö÷ (−π, π] øù❉Þ ➳ú❀❈Þ ➳❉ûú❖ ØÙÚÛÜü❨★✩ýþ✼ ❆✲♣q α ∗ = r(cos θ − i sin θ). ❆✲✿✾ α1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1), α2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2), ➬➎ α1 · α2 = r1r2 (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2) = r1r2 [cos (θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)] . ■ ❅❆✲▼✿✳❢➎ðÿ❉Ý▼✿✳ Þ ➳ ▼✽❖ ❆✲✾ α1 α2 = α1 · α ∗ 2 α2 · α ∗ 2 = r1 r2 [cos (θ1 − θ2) + i sin (θ1 − θ2)] . ■ ❅❆✲▼ ✳❢➎ðÿ❉Ý▼ ✳ Þ ➳ ▼➮❖ ★✩❨✁ ✩ ÛÜ✼ ❂❃❆Ò✲ë ✲ e i θ = cos θ + i sin θ, ✂ ❪ ✭❫✱Ò✲ë ✲▼❴❉î✄✼ e i θ1 · e i θ2 = ei (θ1+θ2) , ✻ ❆✲ α ❦ ❬❥❻❼➃ α = re i θ . Ò✲❻❼➭☎ ✶❉❆✲✿✾❫✾ ✼ α1 · α2 = r1e i θ1 · r2e i θ2 = r1r2e i (θ1+θ2) , α1 α2 = r1e i θ1 · 1 r2 e −i θ2 = r1 r2 e i (θ1−θ2) .
31.3复数 按照一定顺序排列的复数 称为复数序列,记为{zn} 复数序列的性、和实数序列完全相同 个复数序列完全等第于两个实数序列 点给定序列{n},若存在复数z,对于任意给定的c>0,恒有无穷多个zn满足 zn-20,总能到N()>0,当 n>N(=)时,有|zmn-叫0,存在正整数N(e)>0 对于任意正整数p,有 个无界序列不可能是收敛的
Wu Chong-shi ✇①② ③④⑤✝ ✌ 5 ✍ §1.3 ✛ ✜ ✆ ✝ ✞✟✮ ❂✠ ✰✡ ✷❉❆✲ zn = xn + i yn, n = 1, 2, 3, · · · , ❀❈❆✲✰✷✳❇❈ {zn} ❖ ❆✲✰✷❉î✄ ❫✱✲✰✷☛☞▼ ❴ ❖ ✮❅❆✲✰✷☛☞◆✌➬ ■ ❅✱✲✰✷ ❖ ✍✎ ✏ ❂ ✰ ✷ {zn} ✳✑✒✓❆✲ z ✳ ✯➬ ñò✏ ❂❉ ε > 0 ✳✔ ✭✕✖✗❅ zn ➦➧ |zn − z| 0 ✳✵ ◗✶↕ N(ε) > 0 ✳✭✷ n > N(ε) ✸✳ ✭ |zn − z| 0 ✳✒✓✬ ó ✲ N(ε) > 0 ✳✭ ✯➬ ñò✬ ó ✲ p ✳ ✭ |zN+p − zN | < ε. ✮❅✕✯✰ ✷ P❬◗➎✹✺❉ ❖
31.4复 个复 记为的 定义在复数平面上的一定区域的复变函数 点集的两点以、一点为作一个,,相等.足不小 小,则称此点为点小的内 分别 有能分的所有的点属于大点 今,区域满足的两个件的点小,①)全部由内点可成:(2)具有连通性,即点小中任意 可以用一折和连起来,折和上的点全属于此点小 图1.6(a)和(b)中的图形是区域,果(c)不构成区域 (b) 图1.6区域(a)和(b)就非区域(c) 区域常用不等式表示.例如, 2|1 R10 2|0 图1.7几个典型的区域
Wu Chong-shi §1.4 ✆ ❄ ⑤ ✝ ✌ 6 ✍ §1.4 ✛ ❅ ❆ ✜ ❇❈❉❂❃✓ ❆✲❷❸❹❉ ✮ ❂❊❋❉ ❆● ë ✲❖ ✎❍❨■ ✎ ❥❏✮❺❈ ❑▲❰ ✮❅ ❑✳ ❇▼◆❖➧P❯ ✳✭◗ ❑❘❉ ✐✭ ❉ ❺ ✮❙➬❚❺ ❯ ✳✻❀❱ ❺ ❈ ❺❯ ❉ ❘ ❺❖ ❲❳ ➦➧✶✷■❅❨❩❉ ❺❯ ✼ (1) ☞ ❊ ✮ Ð❘ ❺❬➃Ï (2) ❪ ✭❭õ î✳❐❺❯ ✤ñò ■ ❺ ✳✮ ❬❥❶✮❨❪❫❭❴❵❛✳ ❪❫❹ ❉ ❺ ☞✮❙➬ ❱ ❺❯❖ ❽ 1.6(a) ❫ (b) ✤❉ ❽➭ ✮ ➎ ❊❋✳❜ (c) P❝➃ ❊❋❖ ❾ 1.6 ❞❡ (a) ➁ (b) ❢❣❞❡ (c) ❊❋ö❶P◆☎❻❼❖→➣✳ |z| r R1 0 |z| 0 ❾ 1.7 ♥➌♦♣➺❞❡
区域的边界点和边界所谓区域的边界点,并不属于区域,但是以它为圆心作圆,不论半径 如何小,圆内总含有区域的点 边界点的全体就构成边界 区域边界的方向如果沿着边界走,区域保持在左方,则走向称为边界的正向.例如,对于 环域a0,总能找到一个b(-)>0,使当|z-o|0,存在(ε)>0,使当|z-200,存在与z无关的6(ε)>0,使口中的任何两 个点21和2,只要满足|z1-2|<δ,就有|f(z1)-∫(z)<ε 连续函数的和、差、积、商(在分母不为零的点),以及连续函数的复合函数仍是连续函数
Wu Chong-shi ✇①② ③④⑤✝ ✌ 7 ✍ ❲❳❨q ✧✎✪ q ✧ ✐r ❊❋❉ ➫✯❺ ✳ sP ❙ ➬ ❊❋✳❜ ➎❥ð ❈ ❑▲❰ ❑✳ Pt◆❖ ➣✉ ❯ ✳❑❘✵✈✭ ❊❋❉ ❺❖ ➫✯❺ ❉☞✇❢ ❝➃➫✯❖ ❲❳q ✧ ❨①② ➣❜③④➫✯⑤✳❊❋⑥⑦✓⑧⑨✳✻⑤ ✃ ❀❈➫✯ ❉ ✬ ✃❖→➣✳✯➬ ⑩ ❋ a 0 ✳✵ ◗✶↕✮❅ δ(ε) > 0 ✳✭✷ |z − z0| 0 ✳✒✓ δ(ε) > 0 ✳✭✷ |z − z0| 0 ✳➺➜➻ z ➼ ➽➥ δ(ε) > 0 ✳➾ G ➝➥➵➚➪ ➶➹ z1 ➘ z2 ✳➴➷➬➮ |z1 − z2| < δ ✳➱➞ |f(z1) − f(z2)| < ε ❖ ❭➇ë ✲ ❉ ❫❏✃❏r❏❐ (✓ ❑❒P ❈❮❉ ❺ ) ✳ ❥➒❭➇ë ✲ ❉ ❆➁ ë ✲ ➛ ➎❭➇ë ✲❖
81.6 几何 于无界序列{zn},给定任意正数M,不存在一个正整数N,当 时,|zn|M.这时可以里照序列在有限标表的聚点的概念,称无穷 标点(记为∞点)为无界序列的一个聚点.例如2=1和z=∞就是序列 如果一个无界序列在有限标表无聚点、亓,6,1,8 的两个聚点 ∞点就是它的唯一的一个聚点,或称无界序列 收敛于∞点 无穷标点也是一个(复)数,其模大于任何正数,辐角不定.在复数平面上也存在相应的一点 无穷标点 有无业复数平称为生程复画○ 国复数鲁的原点(0作为的函面,与复数平面相周周点称为期极,图期极的 的性一端点称为极N.它定义面坐标(6,5),例如,=0和的两个半平面与复数 辑 面相于正实轴,则θ=0和π则对应于极和期极.这样定义的面就称为复数 图1.8 的无阻标点收到无标故在这的上的令 对于复数平面上一点2,将它和复数面的极N相连,此连和和“面必有 这 说x复数面上的点和复数平面上的点也存在一一对应的关通.于是,就可 个点来表示复数z.例如期极对应于复数0 应于复数 面上 极N 对于兜穷标点,还可以用变表(或间值)的主下定义.例如变表n=1/z就了复数z和复 运算 数m之间的一一对应关通.复数z=0对应于=∞,则2=∞对应于=0
Wu Chong-shi §1.6 ❰ Ï Ð Ñ ✌ 8 ✍ §1.6 Ò Ó Ô Õ ✯➬✕✯✰ ✷ {zn} ✳ ✏ ❂ñò✬✲ M ✳ P ✒✓✮❅✬ ó ✲ N ✳✭✷ n > N ✸✳ |zn| M ❖ ❁✸ ❬❥Ù✟✰ ✷✓ ✭ ✚ÚÛ❉ ✘❺ ❉➈➉✳❀ ✕✖ Ú ❺ (❇❈ ∞ ❺ ) ❈ ✕✯✰ ✷❉✮❅✘❺❖→➣ z = 1 ❫ z = ∞ ❢ ➎✰✷ zn = 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, · · · ❉■❅✘❺❖ ➣❜✮❅✕✯✰ ✷✓ ✭ ✚ÚÛ✕✘❺ ✳ ÜÝ✳ ∞ ❺ ❢ ➎ð ❉ ï✮❉ ✮❅✘❺ ✳➯❀✕✯✰ ✷ ✹✺➬ ∞ ❺❖ ✕✖Ú ❺ ➴ ➎✮❅ (❆ ) ✲ ✳✣Ý ❚➬ ñ✉ ✬✲ ✳ Þ ➳ P ❂ ❖ ✓ ❆✲❷❸❹➴✒✓▼➷ ❉ ✮❺❖ ❥ ñò⑨ ☎✕✚ÞÚß➙❺✳❐❬↕à✕✖Ú ❺❖ áâ✭✕✖Ú ❺ ❉ ❆✲❷❸❀❈ãä❄❉❆✲❷❸❖ ❈❄åæçÞ❻è✕✖Ú ❺ ✳➂❬❥éê❆✲ë❸❖ ❾❆✲❷❸❹❉ ➙❺ (0, 0) ❰æ ❖ ❈ 1 ❉ ë❸ ✳✭♥ ❆✲❷❸▼ì ✳ ì❺ ❀❈í✙❖❾ í✙❉ æ ❖ ❉î ✮↔❺❀❈ï✙ N ❖ð ✷❂❃ë❸ ➢➤ (θ, φ) ✳→➣✭ φ = 0 ❫ π ❉■❅◆❷❸♥ ❆✲ ❷❸▼ñ➬✬ò✱↕ ✳✻ θ = 0 ❫ π ✻ ✯➷➬ï✙❫ í✙❖ ❁❵❂❃❉ë❸ ❢❀❈❆✲ë❸ ✳➣ ❽ 1.8 ❖ ❾ 1.8 ❿➀óô ✯➬❆✲❷❸❹✮❺ z ✳➓ ð❫❆✲ë❸ ❉ï✙ N ▼❭ ✳❱ ❭❫❫ë❸ ✢ ✭✮ñ❺ ✳❁❢➎ ❶ ✳ ❆✲ë❸❹❉ ❺❫❆✲❷❸❹❉ ❺ ➴✒✓✮✮✯➷ ❉ ➋õ❖➬➎ ✳❢❬❥❶❆✲ë❸❹❉❁ ❅ñ❺❛❻❼❆✲ z ❖ →➣í✙✯➷➬❆✲ 0 ✳ö÷✯➷➬❆✲❷❸❹❉❣❤ ❑ ❖ø❆✲❷❸❹ ❉ ❺✕ ✚ÞÚß➙❺✳❢◗ ↕✕✖Ú ❺ ✓ ❆✲ë❸❹❉ ✯➷❺ ï✙ N ❖ ✯➬✕✖Ú ❺ ✳➂❬❥❶●Ö (➯ùú) ❉ûü❂❃❖ →➣●Ö w = 1/z ❢ýþ❄ ❆✲ z ❫❆ ✲ w øù❉✮✮✯➷➋õ❖❆✲ z = 0 ✯➷➬ w = ∞ ✳✻ z = ∞ ✯➷➬ w = 0 ❖
31.7关于复数的历史 1.早期的历史 复数,最早(16世纪)是在二次、三次代数方程的求解中引入的.1545年, Girolamo Cardano(意 大利,医生、数学家、占星术家,1501~1576)在他的 Ars magna(《大术》)一书中认真地讨论了虛 数,给出表示虛数的符号和运算法则,但同时也怀疑这种运算的合法性.此后, Rafael bombelli(意 大利,工程师、代数学家,1526~1572)熟练地运用虛数,证明了三次方程的判别弌为负(因而涉 及虛数开方)时必有三个实根(见《代数学》,1572年出版) 2. Johann bernoulli和 Leibniz的争论 在微积分学的建立过程中, Johann bernoulli(1667~1748)和 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646~ 1716)采用部分分式法求有理函数的积分时用到了复数.1702年, Johann bernoulli指出,在替换 z t+1即 1b+ 之下,有 -12bt 因为等式两端的原函数可以分别表示为反三角函数或对数函数,所以 Johann bernoulli就建立了 反三角函数和对数函数之间的联糸,这个结果引发了有关负数的对数和复数的对数性质的讨论 Leibniz一方面在积分 x+d(其中至少d为复数) 时毫不犹豫地使用对数函数,认为复数的出现是无害的,另一方面,在1712年的文章( Acta crud, 1712,167~169,或见Math. Schriften,5,387~389)以及1712~1713年间和 Johann bernoulli的通 信中,却又断言负数的对数是虚构的. Leibniz的论点是;大于1的数的对数为正,0与1之间的 数的对数为负,因此不可能有负数的对数.他进一步说,假如-1的对数存在,那么√-1的对数 就是它的一半;而√-肯定是没有对数的.而 Johann bernoulli则力图证明负数的对数是实数 他的观点是:因为 所以ln(-x)=lnx;又因为ln1=0,所以l(-1)=0. Leibniz反驳说,dlx=d/x只对正数x 成立 十几年后,1727~1731年间 L einhard euler(1707~1783)和 Johann bernoulli又发生了争执 JOhann bernoulli仍然坚持他的见解,而Eler表示不同意 3. Euler公式 1714年 Roger Cotes(英,1682~1716)发表了一个关于复数的定理,用现在的符号表示,就 -1d=ln(cos+√-lsin) 1740年10月18日, Euler在给 Johann bernoulli的信中说y=2cosx和y=ez+e是同 一个微分方程的解,因此应当相等.1743年,他又发表了(现在就称为Euer公式) SIns= cl/evI. 1748年,他发现由 Euler公式就可以得到 Cotes的结果
Wu Chong-shi ÿ✁ ✂✄☎✆ ✝ 9 ✞ ∗§1.7 ✟✠✛✜⑥✡☛ 1. ☞✌❨✍✎ ✏✑✳ ✒✓ (16 ✔✕) ✖✗✘✙✚✛ ✙✜✑✢✣✤✥✦ ✧★✩✤✪1545 ✫✬Girolamo Cardano(✭ ✮✯✬✰✱ ✚ ✲ ✳✴✚ ✵✶✷ ✴ ✬1501 ∼ 1576) ✗✸✤ Ars Magna( ✹✮✷✺) ✻✼ ✧✽✾✿❀❁ ❂❃ ✲ ✬❄ ❅❆❇❃✲✤❈❉❊❋●❍■✬❏ ❑▲▼◆❖P◗❋●✤❘❍❙✪❚❯✬ Rafael Bombelli(✭ ✮✯✬❱✣❲✚✜ ✲ ✳✴✬ 1526 ∼ 1572) ❳❨✿❋❩❃✲ ✬❬ ❭ ❂✛ ✙ ✢✣✤❪❫❴❵ ❛ (❜❝ ❞ ❡❃✲❢✢ ) ▲❣❤✛✐ ❥❦ (❧ ✹✜ ✲ ✳✺ ✬ 1572 ✫ ❅♠) ✪ 2. Johann Bernoulli ♥ Leibniz ♦♣q ✗rst ✳✤✉✈✇✣ ✧✬ Johann Bernoulli(1667 ∼ 1748) ❊ Gottfried Wilhelm Leibniz(1646 ∼ 1716) ① ❩②tt❴❍✥❤③④✲✤ st▲❩⑤ ❂⑥✲✪ 1702 ✫✬ Johann Bernoulli ⑦ ❅ ✬✗⑧⑨ z = √ −1b t − 1 t + 1 ⑩ t = √ −1b − z √ −1b + z ❶❷✬❤ dz z 2 + b 2 = − dt √ −12bt . ❜ ❵❸❴❹❺✤❻④✲❼ ❽ t ❫❆❇❵❾✛ ❿④✲➀➁✲④✲ ✬➂ ❽ Johann Bernoulli ➃ ✉✈ ❂ ❾✛ ❿④✲❊➁✲④✲❶ ➄✤➅ ➆✪P✐➇➈ ★➉ ❂❤ ➊❛✲✤➁✲❊⑥✲✤➁✲❙➋✤❀❁✪ Leibniz ✻ ✢ ➌✗st Z dx cx + d (➍ ✧➎ ➏ d ❵⑥✲ ) ▲ ➐➑➒➓✿➔❩➁✲④✲ ✬✽❵⑥✲✤ ❅→✖➣ ↔✤ ✬↕✻✢ ➌✬✗ 1712 ✫ ✤➙➛ (Acta Erud., 1712, 167 ∼ 169 ✬ ➀ ❧ Math. Schriften, 5, 387 ∼ 389) ❽❡ 1712 ∼ 1713 ✫ ➄❊ Johann Bernoulli ✤➜ ➝ ✧ ✬ ➞➟➠➡ ❛✲✤➁✲✖ ❃➢✤✪ Leibniz ✤❁➤✖➥✮➦ 1 ✤✲✤➁✲❵➧✬ 0 ➨ 1 ❶ ➄✤ ✲✤➁✲❵ ❛✬❜❚➑❼➩❤ ❛✲✤➁✲✪ ✸➫✻ ➭➯✬➲➳ −1 ✤➁✲➵✗✬➸ ➺ √ −1 ✤➁✲ ➃✖➻✤ ✻➼➽❝ √ −1 ➾➚✖➪❤➁✲✤✪❝ Johann Bernoulli ■ ➶➹❬ ❭❛✲✤➁✲✖ ❥✲✪ ✸ ✤➘➤ ✖➥❜❵ d(−x) −x = dx x , ➂ ❽ ln(−x) = ln x ➽ ➟ ❜ ❵ ln 1 = 0 ✬➂ ❽ ln(−1) = 0 ✪ Leibniz ❾➴➯✬ d ln x = dx/x ➷ ➁➧✲ x ➬✈✪ ➮➱✫❯ ✬1727 ∼ 1731 ✫ ➄ L eonhard Euler(1707 ∼ 1783) ❊ Johann Bernoulli ➟➉✱ ❂✃❐✪ Johann Bernoulli ❒❮❰Ï✸✤ ❧ ✦ ✬❝ Euler ❆❇➑ ❑✭ ✪ 3. Euler ÐÑ 1714 ✫ Roger Cotes(Ò✬ 1682 ∼ 1716) ➉❆ ❂ ✻✐ ➊➦⑥✲✤ ➚③ ✬ ❩→ ✗ ✤❈❉❆❇✬➃✖ √ −1φ = ln cos φ + √ −1 sin φ . 1740 ✫ 10 Ó 18 Ô✬ Euler ✗❄ Johann Bernoulli ✤➝ ✧ ➯ y = 2 cos x ❊ y = e √ −1x + e− √ −1x ✖ ❑ ✻✐ rt✢✣✤✦✬❜❚Õ Ö×❸✪ 1743 ✫✬✸➟➉❆ ❂ (→ ✗➃Ø❵ Euler Ù ❴ ) cos s = 1 2 h e √ −1s + e− √ −1s i , sin s = 1 2 √ −1 h e √ −1s − e − √ −1s i . 1748 ✫✬✸➉→ Ú Euler Ù ❴ ➃ ❼ ❽Û⑤ Cotes ✤➇➈✪
4. de moivre公式 样 1722年, Abraham de moivre(法,1667~1754)在他的笔记中或,比1:n的上个(a和 na)的足矢x(= vers a≡1-cosa)与t(= vers na≡1- cos na)用间的关余示图由 中消去z而得到.不个结果就是 de moivre公式 (cosa±y-1sina)= cOS na±y-1 sIn no. 但示惜 de moivre并没明唯地得到个它“的复一式,它一梦果是Buer个的, 在 de moivre的结果中,n是足数, Euler还把n推广 Euler间于复数的对数的正确论 有 以数 位定 图 得到位关复要的对数的足按结这1他在这1以顺实与聊m顺实关满负数 数的对数用争排则原中,对不争 中肯的 对上点由 d(-ar) dh 而引发的争这∥的这标≈出 会对团),又指个四取四给中足按是点当如刀和如分 不个什数就是m(-1).Eulr或, Bernot以假lm(-1)=0,但不是 聚和是, Johann bernot极点在则个合就可=In/2 穷多可叨的 1777年图后, Euler采用限代复v=i 6. Euler的复数 在必其负鼓誇对数和复数的对数面中最后,Em国进则袁群界复数到复是么数,他 把复数称用和无中的数排”还不示能的数排他在《对民数的正“的有一》(1768179年在 界否个版,1770年在。否个版)则书中或 数的数数限比0一数限比0总,数限面满0,还图下其当,负数的 不能蚕能的数中,金而则加或它,说不示能的称簍变不液乘使则 的数,果它:存在与无数用中 Eulr在书中还定则个天个限十分,级的 为的 样 1.√-4=√4=2, b=√ab E山把复数称要不示能的数,但又或它:是位用的,用处就是用限判断问变是否位解,他两 例或,角果,把12分于上部分,使它:的积40,不上部分就是6+√一4和6-√=4,而示 图判断不个向变是不示解的 7.代数 得位 超越函数、 Johann Bernoulli断言的足按性“赖满能否动含三复画数点对数画数外的 hann bernoulli断言 现更数的积分如。收 则个以糸数项式分解以亲数
Wu Chong-shi ∗ §1.7 ÜÝÞßàáâ (ã ä ) å 10 æ 4. de Moivre ÐÑ 1722 ✫✬ Abraham de Moivre(❍ ✬ 1667 ∼ 1754) ✗✸✤ çè ✧ ➯✬é❵ 1 : n ✤❹✐ ❿ (α ❊ nα) ✤➧ê x(= vers α ≡ 1 − cos α) ➨ t(= vers nα ≡ 1 − cos nα) ❶ ➄✤ ➊➆❼ ❽Ú 1 − 2z n + z 2n = −2z n t 1 − 2z + z 2 = −2zx ✧ëì z ❝ Û⑤✪P✐➇➈➃✖ de Moivre Ù ❴ ✬ cos α ± √ −1 sin α n = cos nα ± √ −1 sin nα. ❏❼í de Moivre î➪❤ ❭ï✿Û⑤P✐ðñ✤❆ò❴ ✬ðñ✤➇➈✖ Euler ❄ ❅✤✪ ✗ de Moivre ✤➇➈ ✧ ✬ n ✖ ➧ ó✲ ✬ Euler ôõ n ö ÷❵ø✭ ❥✲✪ 5. Euler ùúûü♦ýü♦þÿq 1747 ✫✁❯ ✬ Euler ➁ ⑦ ✲④✲ ✚ ➁✲④✲❊✛ ❿④✲❶ ➄✤➅ ➆ ✂❤ ❂✄ t ✤☎✆✬✝ ❽ Û⑤❤ ➊⑥✲✤➁✲✤➧✞➇❁✪ 1749 ✫✬✸✗ ✟❁ Leibniz ✠ ✱ ➨ Bernoulli ✠ ✱ ➊➦ ❛✲❊❃ ✲✤➁✲❶✃❁✡ ✻ ➙ ✧✬ ➁P☛✃❁☞ ❂✧ ➾ ✤ t✌ ✪✍➁❹✎ Ú d(−x) −x = dx x ❝ ★➉✤✃❁ ✬✸➑ ❑✭ Leibniz ✤❁➤ (⑩ d ln x = dx x ➷ ➁➧ x ➬✈ ) ✬ ➟ ⑦ ❅ ✬ Johann Bernoulli ✏ ✧Û ❅✤➧✞➇❁ ✖Õ Ö ln(−x) ❊ ln x ➷✑✻✐✒ ✲ ✬P✐✒✲ ➃✖ ln(−1) ✪ Euler ➯✬ Bernoulli ❥✓✔➲✕ ❂ ln(−1) = 0 ✬❏P✖✖✗❬ ❭✤✪ ✘❫ ✖✬ Johann Bernoulli ✙ ✎ ✗ ↕✻✐☛❘ ➃❬ ❭ ❂ ln √ −1 = √ −1π/2 ✪ 1777 ✫ ❽❯ ✬ Euler ① ❩❈❉ i ✚✜❆ √ −1 ✪ 6. Euler ♦ûü✛✜ ✗✢✣ ❂❛✲✤➁✲❊⑥✲✤➁✲❸✤✥❯ ✬ Euler ✦ ➹ ➫✻ ➭ ✦✧⑥✲⑤★ ✖✩ ➺ ✲ ✬✸ õ ⑥✲ Ø❶❵ ✟✪✫ ✧✤✲✡➀ ✟➑❼➩✤✲✡✪ ✸✗ ✹ ➁ ✜ ✲✤ ✬ó✤✭✮✺ (1768 ∼ 1769 ✫✗ ✯ ✰❅♠✬ 1770 ✫✗✱ ✰❅♠) ✻✼ ✧ ➯➥ ❜ ❵ ➂❤❼ ❽✫✲✤✲✳➀✴ é 0 ✮ ✬ ➀✴ é 0 ✵✬ ➀✴❸➦ 0 ✬➂ ❽✶ ✣ ✷✬ ❛✲✤ ✸✢❦➑➩ ✹✺✗ ❼➩✤✲ ✧✪✏❝✻✼❣✽ ➯➻✼✖➑❼➩✤✲✪ ❮❝P◗✾✿➔ ✻ ✼ò⑤ ✻◗✲✤✤✥✬➻✼➃➍✙ ❙ ➯✚✖➑❼➩✤✲ ✬❜❝➜✒❀❁❃✲➀✴✪✫ ✧ ✤✲ ✬❜❵ ➻✼ ➷ ➵ ✗➨✫✲❶ ✧✪ Euler ✗✼ ✧ ô❂ ❂ ✻✐❃❄❅✚➮ t❆❇✤❈❉✪ ✸✽❵ √ −1 · √ −4 = √ 4 = 2, ❜ ❵ √ a √ b = √ ab ✪ Euler õ ⑥✲❀❁➑❼➩✤✲ ✬❏➟ ➯➻✼✖❤❩✤✪❩❊ ➃✖❩ ✚ ❪➠ ❋●✖❍❤✦✪✸■ ❏ ➯✬➳➈ ✗õ 12 t ➬❹②t✬➔ ➻✼ ✤❑ s ❵ 40 ✬P❹②t➃✖ 6 + √ −4 ❊ 6 − √ −4 ✬✏❝ ❼ ❽❪➠P✐ ❋●✖➑❼✦✤✪ 7. ▲ü▼◆❖P 1702 ✫✬Johann Bernoulli ➠➡✬ ø◗❤③④✲✤ st➣✖ ✹❘✛ ❿④✲ ➨ ➁✲④✲❶❙✤ø ◗❚❯④✲✪ Johann Bernoulli ➠➡✤➧✞❙❱❲➦➩ ❍❳ø◗ ✻✐ ❥➆✲ ❨❩❴ t ✦❵ ❥➆✲
区域就非,就,区几 第所以典. Leibniz认为不是不示能的,1742年10月1日, Euler在 cholas Bernoulli(1687~1759, Johann Bernoulli用型)的信中可明地断言:任,次数的以亲数件式 则定能型分解为以数的则次部二次因式的分积, Nicholas bernoulli不相信不所结论的足确性 他说件式x4-4x3+2x2+4x+4的零点是 1+V2+√-3,1-V2+√-3,1+ 部Eur的结论矛盾,1742年12月15日,Ealr写 Goldbach的信中指个复根是图共轭第式 个的,所图x-(+b=部x-的一的分积则所以养数的二 式. Goldbach也一讲解 析不种函想,不认为每则所以系数件式能分解为以亲数因式的分积,性个、子x4+72x-20 Eler可明 goldbach做,性说明自己的定理满直是六次件式于立,、是 Goldbach仍不 相信,因为Eulr性没有个有关他的定理的晋面可明.关上是要可明每则所以数件式是少 有则所以根或则所复根(数数点本定理).此小, d'Alembert部 Lagrange也曾试图可明 Euler的结 论,、他们的可明”是不完全的. Lagrange随随便便、(以数的性质应用满想数为方程的根上, 而没有可明件式的根在最坏的情况平是复数. 关满数数点本定理的笫则所以质性可明是Gs个的1799年他在 Helmstadt写的博士 论原中批评 d'Alembert, Euler部 Lagrange的工一,然小 自己的可明.在则篇论原中 Gas可明n次件式能复示于则次部二次以亲数因式的分积.Gas的可明区满复数的 承认,因而也巩固复数的地位
Wu Chong-shi ❬❭❪ ❫❴❵❛ ❜ 11 ❝ ❞❡❢❣❤❢✐❥❞❦❧✪ Leibniz ✽❵P ✖➑❼➩✤✪ 1742 ✫ 10 Ó 1 Ô✬ Euler ✗❄ Nicholas Bernoulli(1687 ∼ 1759 ✬ Johann Bernoulli ❶♠ ) ✤➝ ✧♥♦❬ ❭✿➠➡➥ ø ✭✙✲✤ ❥➆✲ ❨❩❴ ✻➚➩♣ t ✦❵ ❥➆✲✤ ✻✙❊ ✘✙ ❜❴✤❑ s ✪ Nicholas Bernoulli ➑×➝P✐➇❁✤➧✞❙✪ ✸➯ ❨❩❴ x 4 − 4x 3 + 2x 2 + 4x + 4 ✤q➤ ✖ 1 + q 2 + √ −3, 1 − q 2 + √ −3, 1 + q 2 − √ −3 ❊ 1 − q 2 − √ −3, ❜❝ ❊ Euler ✤➇❁ rs✪ 1742 ✫ 12 Ó 15 Ô✬Euler t❄ Goldbach ✤➝ ✧ ⑦ ❅ ✬ ⑥❦ ✖ ❽✉✈✇❴ ❅→✤ ✬➂ ❽ x− a+b √ −1 ❊ x− a−b √ −1 ✤❑ s✻✐ ❥➆✲✤ ✘✙ ❨❩❴✪Goldbach ▼①②③ ④P◗⑤✫ ✬➑✽❵⑥ ✻✐ ❥➆✲ ❨❩❴➩ t ✦❵ ❥➆✲ ❜ ❴✤❑ s✬î❄ ❅❏⑦ x 4 + 72x−20 ✪ Euler ❬ ❭ Goldbach ❁❈ ❂ ✬î➯ ❭ ⑧⑨✤ ➚③➁➦⑩➎❶ ✙ ❨❩❴✳➬✈✪❏ ✖ Goldbach ❒➑ ×➝ ✬❜❵ Euler î➪❤❄ ❅❤ ➊ ✸ ✤ ➚③✤❷❸❬ ❭✪➊❹ ✖✗❬ ❭⑥ ✻✐ ❥➆✲ ❨❩❴➎ ➏ ❤ ✻✐ ❥❦➀ ✻✐⑥❦ (✜ ✲❺ ✙➚③ ) ✪❚❯✬ d’Alembert ❊ Lagrange ▼ ❻ ✦ ➹❬ ❭ Euler ✤➇ ❁ ✬❏ ✸✼ ✤❬ ❭✳ ✖➑ ✬❼✤✪ Lagrange ❽❽❾❾õ (❥ ) ✲✤❙➋Õ❩➦✫✲❵✢✣✤❦✔ ✬ ❝➪❤❬ ❭❨❩❴✤❦ ✗ð❿✤✾✿❷ ✖ ⑥✲✪ ➊➦ ✜ ✲❺ ✙➚③✤ ➀ ✻✐ ❥➋❙❬ ❭ ✖ Gauss ❄ ❅✤✪ 1799 ✫✸✗ Helmst¨adt t ✤➁➂ ❁➙ ✧➃➄ ❂ d’Alembert, Euler ❊ Lagrange ✤❱☞ ✬❮❯☞ ❅ ❂⑧⑨✤❬ ❭✪ ✗ ❑ ✻➅❁➙ ✧ ✬ Gauss ❬ ❭ ❂ n ✙ ❨❩❴➩❆❇➬ ✻✙❊ ✘✙ ❥➆✲ ❜ ❴✤❑ s ✪ Gauss ✤❬ ❭❱❲➦➁⑥✲✤ ➆✽ ✬❜❝▼ ➃➇ ➈ ❂⑥✲✤✿➉✪
