教案 函数的幂级数展开 复旦大学陈纪修金路 1.教学内容 函数的幂级数( Taylor级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一,也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法,比较 它们的优缺点,使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上,掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数,提高学生的计算与运算 能力。 2.指导思想 (1)函数的幂级数( Taylor级数)展开作为一个强有力的数学工具,在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论, 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法,这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论,但在实际计算中,即使对于一个很简单的函数,在求它的幂级数展 开时也会感到很困难,这种状况必须加以改变 (2)求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题,虽然我们有函 数的幂级数展开公式(见下面的(*)式),但一般来说,直接利用(*)式来求 函数的幂级数展开往往很不方便,因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法,提高学生的实际计算能力,这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3.教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容:设函数f(x)在xo的某个邻域 O(xo,p)中能展开幂级数,则它的幂级数展开就是f(x)在x0的 Taylor级数 f(x)=∑ f("(x0) (x-x0)",x∈O(xa2,r) 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式 (1)f(x)=e=∑x =1+x+一+ +oO (2)()-snx=∑(-)x 0(2n+1)!
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较 它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算 能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论， 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展 开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函 数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求 函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x0 的某个邻域 O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数： （*） ( ) , ( , ). ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) x x x O x r n f x f x n n n = ∑ − ∈ ∞ = 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x) = ex = ∑ ∞ =0 ! n n n x 2! 3! ! 1 2 3 n x x x x n = + + + +"" + …, x ∈(-∞, +∞)。 (2) f (x) = sin x = ∑ ∞ = + + − 0 2 1 (2 1)! ( 1) n n n x n (2 1)! ( 1) 3! 5! 3 5 2 1 + = − + − + − + n x x x x n "" n + …, x∈(-∞, + ∞)。 1
()f(x)=cos S(-1)2x2n 0(2n)! x∈(-∞,+∞) (2n) (4)f(x)=arctan x ∑(Jxm ∈[-1,1 (5)f(x)=ln(1+x) +(-1)x+…,x∈(-1,1l (6)f(x)=(1+x)2,a≠0是任意实数。 当a是正整数m时, f(x)=(1+x)"=1+m+mm-1 +mxm-1+xm,x∈(-∞,+∞) 2 即它的幂级数展开就是二项式展开,只有有限项。 当a不为0和正整数时, x∈(-11),当a≤-1 +x x∈(-1,1,当 0 x∈[-1,1],当a>0. 其中 (α-1)……(a-n+1) 设函数f(x)在x0的某个邻域Oxn)中任意阶可导,要求它在Oxr)中的幂级数 展开,一开始就考虑利用公式(*)往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法: 1.通过各种运算与变换,将函数化成已知幂级数展开的函数的和 例1求f(x)= 在x=0的幂级数展开 3+5x-2 解利用部分分式得到 f(x) 7(1+2 再利用(6)式(a=-1),得到 f(x) 例2求f(x)=sin3x在x=2的幂级数展开。 解f(x)=sin3x=sinx 3s(+(x-6)4 cos5(x一
(3) f (x) = cos x = ∑ ∞ = − 0 2 (2 )! ( 1) n n n x n (2 )! ( 1) 2! 4! 1 2 4 2 n x x x n n = − + −""+ − + …, x∈(-∞, + ∞)。 (4) f (x) = arctan x = ∑ ∞ = − − − − 1 2 1 1 2 1 ( 1) n n n x n 2 1 ( 1) 3 5 3 5 2 1 + = − + − + − + n x x x x n "" n + …, x∈[-1, 1]。 (5) f (x) = ln (1 + x) = ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n x n n x x x x x n n 1 2 3 4 ( 1) 2 3 4 − = − + − +""+ − + …, x∈(-1, 1]。 (6) f x( ) = + (1 x) α ，α≠0 是任意实数。 当α 是正整数 m 时， f (x) = (1 + x) m = 1 + mx + 2 2 ( 1) x m m − + … + + x m−1 mx m，x∈(-∞, +∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当α不为 0 和正整数时， ∑ ∞ = α ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛α + = 0 (1 ) n n x n x , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − < < ≤ − ∈ − ∈ − ∈ − 0. 1 0, 1, [ 1,1], ( 1,1], ( 1,1), α α α 当 当 当 x x x 其中 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n α ! ( 1) ( 1) n α α − "" α − n + , (n = 1,2,…) 和 1。 0 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛α 设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中任意阶可导，要求它在O(x0, r)中的幂级数 展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法： 1． 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。 例 1 求 2 3 5 2 1 ( ) x x f x + − = 在 x = 0 的幂级数展开。 解 利用部分分式得到 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ x x f x 1 2 1 7 2 3 1 1 21 1 ( ) ， 再利用（6）式（α = −1），得到 ( ) n n n n f x ∑ x ∞ = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − 0 1 1 2 3 1 7 1 ( ) ， ). 2 1 , 2 1 x ∈ (− 例2 求 f (x) = sin3 x 在 6 π x = 的幂级数展开。 解 ) 6 cos3( 4 1 ) 6 ( 6 sin 4 3 sin 3 4 1 sin 4 3 ( ) sin3 π π π ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f x = x = x − x = + x − x 2
8mr-2)3 3 )+=cos(x--) 3(x--) 68 利用(2)式与(3)式,即得到 3√3、(-1) 3(-1) 2.32n1-1)(x-2)2n x∈(-00+ 8m(2n+1)6 例3求f(x)=lnx,(x>0)关于变量的幂级数展开 解令t 则 1+t (00 2.对已知幂级数展开的函数进行还项求导或逐项积分。 例4求f(x)=在x=1的幂级数展开。 解由于8)=x-1+(x-15=2(x-,利用逐项求导,即可得到 f(x)=-g(x)=∑m(x-1)=∑(n+1)x-1)”,x∈(0,2) 例5求f(x)= arcsin X在x=0的幂级数展开。 解利用(6)式(a=-),可知当x∈(-1,1)时, x2) 1x2+x7+…+(n (2m)! 对等式两边从0到x积分,利用幂级数的逐项可积性与 d t arcsin x, 即得到 arcsinx=x+ (2n ∈|-1 其中关于幂级数在区间端点x=±1的收敛性,可用Rabe判别法得到 特别,取x=1,我们得到关于I的一个级数表示: 1+ y(2n-1) (2n)!!2n+1 3.对形如f(x)g(x),(X的函数,可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法” g(x) 设f(x)的幂级数展开为∑anx”,收敛半径为R1,g(x)的幂级数展开为∑bx
) 6 cos3( 4 1 ) 6 cos( 8 3 ) 6 sin( 8 3 3 π π π = x − + x − − x − ， 利用（2）式与（3）式，即得到 ) , ( , ). 6 (2 3 1)( (2 )! ( 1) 8 3 ) 6 ( (2 1)! ( 1) 8 3 3 ( ) 2 1 2 0 0 2 1 ⋅ − − ∈ −∞ +∞ − − − + − = − ∞ = ∞ = + ∑ ∑ x x n x n f x n n n n n n n π π 例3 求 f (x) = ln x, (x > 0) 关于变量 1 1 + − x x 的幂级数展开。 解 令 , 1 1 + − = x x t 则 , (0 1) 1 1 + − ⋅ + ⋅ = + = ∑ ∑ ∞ = + + ∞ = x x x n t n n n n n 2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例 4 求 2 1 ( ) x f x = 在 x = 1 的幂级数展开。 解 由于 ∑ ∞ = = − + − = = 0 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( ) n n x x x g x ，利用逐项求导，即可得到 ( ) '( ) ( 1) ( 1)( 1) , (0, 2). 1 0 1 = − = ∑ ∑ − = + − ∈ ∞ = ∞ = − f x g x n x n x x n n n n 例 5 求 f (x)= arcsin x 在 x = 0 的幂级数展开。 解 利用(6)式 ) 2 1 (α = − ，可知当 x∈(-1,1)时， 2 1 1 − x = 2 1 2 (1 ) − − x = ∑ ∞ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 0 2 2 1 ( ) n n x n = 1 + 2 2 1 x + 4 8 3 x + … + n x n n 2 (2 )!! (2 −1)!! + …， 对等式两边从 0 到 x 积分，利用幂级数的逐项可积性与 ∫ − x t t 0 2 1 d = arcsin x， 即得到 arcsin x = x + ∑ ∞ = + + − 1 2 1 (2 )!! 2 1 (2 1)!! n n n x n n ， x∈[-1, 1]。 其中关于幂级数在区间端点 x = ±1 的收敛性，可用 Raabe 判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于π的一个级数表示： 2 π = 1 + ∑ ∞ = + ⋅ − 0 2 1 1 (2 )!! (2 1)!! n n n n 。 3．对形如 f (x)g(x) ， ( ) ( ) g x f x 的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法”。 设 f (x) 的幂级数展开为∑ ，收敛半径为R ∞ n=0 n n a x 1，g(x) 的幂级数展开为∑ , ∞ n=0 n n b x 3
收敛半径为R2,则(x)g(x)的幂级数展开就是它们的 Cauchy乘积: f(x)(x)=(∑anx")∑bx")=∑cnx 其中 abnk,∑cnx”的收敛半径R≥min{R,R2} 当b≠0时,我们可以通过待定系数法求∫x)的幂级数展开:设 g(x) g(x) (∑bx")(∑cnx)=∑ 分离x的各次幂的系数,可依次得到 Co -a b bo C1+ bico a-b,co b bo C2+ bcit hc b,c-b,Co 直继续下去,可求得所有的cn。 例6求 e sin x的幂级数展开(到x3) 解 e sin x=(1+x+x+x+x+…)(x-x+x =x+x2+-X ", 由于e与sinx的收敛半径都是R=∞,所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞,+∝ 都成立 例7求tanx的幂级数展开(到x3) 解由于tanx是奇函数,我们可以令 sIn x =CIx+C3x++ cOS x 于是 (cx+c3x2+csx+…)(1 2!4 比较等式两端x,x3与x5的系数,就可得到 3 15 因此 tanx=x+-x+ 4.“代入法
收敛半径为R2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积： f (x)g(x) = (∑ )( ) = , ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ n=0 n n c x 其中cn = ∑ , 的收敛半径 = − n k k n k a b 0 ∑ ∞ n=0 n n c x R ≥ min｛R1，R2｝。 当b0 ≠ 0 时，我们可以通过待定系数法求 ( ) ( ) g x f x 的幂级数展开：设 ( ) ( ) g x f x = ∑ , ∞ n=0 n n c x 则 (∑ ) ( )= , ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ n=0 n n c x ∑ ∞ n=0 n n a x 分离 x 的各次幂的系数，可依次得到 b0 c0 = a0 ⇒ c0 = 0 0 b a , b0 c1 + b1 c0 = a1 ⇒ c1 = 0 1 1 0 b a − b c ， b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2 ⇒ c2 = 0 2 1 1 2 0 b a − b c − b c ， …… 一直继续下去，可求得所有的cn 。 例 6 求e x sin x的幂级数展开( 到x 5 )。 解 e x sin x = ( 2! 3! 4! 1 2 3 4 x x x + x + + + + …)( − + −" 3! 5! 3 5 x x x ) = x + 2 3 5 30 1 3 1 x + x − x + …， 由于e x 与sin x 的收敛半径都是 R = ∞ ，所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞, + ∞) 都成立。 例 7 求tan x的幂级数展开( 到x 5 )。 解 由于 tan x 是奇函数，我们可以令 tan x = x x cos sin = c1 x + c3 x 3 + c5 x 5 + …， 于是 (c1 x + c3 x 3 + c5 x 5 + …)( − + −" 2! 4! 1 2 4 x x ) = − + −" 3! 5! 3 5 x x x ， 比较等式两端x, x 3 与x 5 的系数，就可得到 c1 = 1, c3 = 3 1 , c5 = 15 2 , 因此 tan x = x + 3 1 x 3 + 15 2 x 5 + …。 4． “代入法” 4
对于例7,我们还可采用如下的“代入法”求解:在 中,以 +…代入,可得到 4! 1+x2+ 然后求sinx与—的 Cauchy乘积,同样得到上述关于tanx的幂级数展开 需要向学生指出的是,利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开,我们目 前无法得到它的收敛范围,而只能知道在x=x0的小邻域中,幂级数展开是成立 的(事实上,tanx的幂级数展开的收敛范围是(-,),它的证明需要用到复 变函数的知识) “代入法”经常用于复合函数,例如形如e(,ln(1+f(x)等函数的求幂级数展 开问题 例8求f(x)=emx在x=0的幂级数展开(到x) 解以u=smx=∑()x2m1=x-x+…代入 6 f(x)=emx=∑ s山=1+sinx+sinx+sin3x+,Sinx+…, 即可得到 f(x)=emx=1+x+x2--x4+…,x∈(-∞,+∞) 注对于求函数f(x)=ex在x=0的幂级数展开问题,我们不能采用以 n=csx=1-1x2+1.x-…代入(x)=∑03x的方法,请学生思考为什 么,并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例9求h的幂级数展开(到x4),其中函数应理解为 SInx f(x) ≠0 x 0 解首先,利用sinx的幂级数展开,可以得到 sIn x 令 代入In(1+u)=u 23-…,即得
对于例 7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在 1− u 1 = ∑ = 1 + u + u ∞ n=0 n u 2 + … 中，以 u = − +" 2! 4! 2 4 x x 代入，可得到 cos x 1 = 1 + ( − +" 2! 4! 2 4 x x ) + ( − +" 2! 4! 2 4 x x ) 2 + … = 1 + x 2 + 24 5 x 4 + …， 然后求 sin x 与 cos x 1 的 Cauchy 乘积，同样得到上述关于 tan x 的幂级数展开。 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x = 的小邻域中，幂级数展开是成立 的（事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (- 0 x 2 π , 2 π )，它的证明需要用到复 变函数的知识）。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x) ，ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展 开问题。 例 8 求 在 的幂级数展开( 到x x f x esin ( ) = x = 0 4 ) 解 以 = − +" + − = = + ∞ = ∑(2 1)! 6 ( 1) sin 3 2 1 0 x x x n u x n n n 代入 = = ∑ = + + + + +" ∞ = x x x x n x f x e n n x 2 3 4 0 sin sin 24 1 sin 6 1 sin 2 1 1 sin ! sin ( ) ， 即可得到 , ( , ) 8 1 2 1 ( ) 1 sin 2 4 f x = e = + x + x − x + x ∈ −∞ +∞ x " 。 注 对于求函数 f (x) = ecos x 在 x = 0 的幂级数展开问题，我们不能采用以 = = − 2 + 4 −" 24 1 2 1 u cos x 1 x x 代入 ∑ ∞ = = 0 ! cos ( ) n n n x f x 的方法，请学生思考为什 么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例 9 求ln x sin x 的幂级数展开( 到x 4 )，其中函数 x sin x 应理解为 f (x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1 0. , 0, sin x x x x ， 解 首先，利用 sin x 的幂级数展开，可以得到 x sin x = − + −" 3! 5! 1 2 4 x x 。 令 u = − + −" 3! 5! 2 4 x x 代入 ln (1 + u) = u - + −" 2 3 2 3 u u ，即得 5
sIn x 3!5! 6180 利用例9,我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 Sinx 两边取对数,再分别将ln(1 nx)展开成幂级数, sinx n Ju n JC 将上式与本例中的结果相比较,它们的x2系数,x系数都对应相等,于是就得到 等式 如果我们在计算时更精细些,也就是将n的幂级数展开计算到x5,x3 还可以获得∑n,∑n,“的精确值。 注意点 1.如果f(x)在x。邻域的幂级数展开存在,则幂级数必然是它在xo的 Taylor 级数(*);但反之则不然。事实上,我们举出过在x=x0任意阶可导的函 数f(x),它在x的 Taylor级数并不收敛于f(x)。但一般来说,对于有解析 表达式的初等函数f(x),只要它在x=x。任意阶可导,则它在x0的 Taylor 级数就是它在x0邻域的幂级数展开。 2.要让学生知道,遇到求函数的幂级数展开问题,不要首先想到用(*)式。 事实上,上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法,比起直接利用公式(*) 来都要方便,而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法 3.一般来说,利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开,我们往往只 能求出幂级数的初始几项,而不易求出幂级数的一般项,也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题,只要求出幂级数的初始几项就够了, 例如例9中的问题。关于幂级数的收敛半径,等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定
ln x sin x = ( − + −" 3! 5! 2 4 x x ) - 2 1 ( − + −" 3! 5! 2 4 x x ) 2 + … = − − −" 6 180 2 4 x x 。 利用例 9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 x sin x = ∏ ∞ = π − 1 2 2 2 (1 ) n n x , 两边取对数，再分别将 ln (1 ) 2 2 2 π − n x 展开成幂级数， ln x sin x = ∑ ∞ = π − 1 2 2 2 ln(1 ) n n x = - ∑ ∞ = + π + 1 π 4 4 4 2 2 2 ) 2 1 ( n n x n x " 。 将上式与本例中的结果相比较，它们的x 2 系数，x 4 系数都对应相等，于是就得到 等式 ∑ ∞ =1 2 1 n n = 6 2 π , ∑ ∞ =1 4 1 n n = 90 4 π 。 如果我们在计算时更精细些，也就是将ln x sin x 的幂级数展开计算到x 6 ，x 8 ，…， 还可以获得∑ ∞ =1 6 1 n n ，∑ ∞ =1 8 1 n n ，…的精确值。 注意点 1． 如果 f (x) 在 邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x 0 x 0 的Taylor 级数（*）；但反之则不然。事实上，我们举出过在 0 x = x 任意阶可导的函 数 ，它在 的Taylor级数并不收敛于 。但一般来说，对于有解析 表达式的初等函数 ，只要它在 f (x) 0 x f (x) f (x) 0 x = x 任意阶可导，则它在 的Taylor 级数就是它在 邻域的幂级数展开。 0 x 0 x 2． 要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。 事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*） 来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法。 3． 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只 能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了， 例如例 9 中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定。 6
