习题5.4函数的 Tay lor公式及其应用 1.求下列函数在x=0处的 Taylor公式(展开到指定的n次) 4 (2)f(x)=cos(x+a),n=4; (3)f(x)=√2+sinx,n=3 (4)f(x)=sinr, n= 4 (5)f(x)=tanx, n=5 (6)f(x)=In(cosx), n=6 x≠0 sIn x (7)f(x)={ex-1 4(8)f(x)= ,x≠0 (9)f(x)=√1-2x+x3-Ⅵ1-3x+x2,n=3 解(1)f(x) }-} c(x4) 32.96·2724.8 243 x2+o(x4)。 (2)f(x)=cos(x+a)=cos x cosa-sinxsina (--+m+o(x))cosa-(x-+o(x))sin a 24 sin a cosa cosa- sind.x- 4x+o(x)。 (3)(x)=√2+smx=121+mx)=√2+(x-x+(x) 1+ +O(x3) (x-g+or)+、1 168-6+o(x2)1
习 题 5.4 函数的 Taylor 公式及其应用 ⒈ 求下列函数在 x = 0处的 Taylor 公式（展开到指定的n次）： ⑴ f x x ( ) = − 1 13 , n = 4 ; ⑵ f x( ) = cos(x + α) , n = 4 ; ⑶ f x( ) = + 2 sin x , n = 3; ⑷ f x x ( ) esin = , n = 4 ; ⑸ f (x) = tan x , n = 5; ⑹ f x( ) = ln(cos x), n = 6 ; ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x , n = 4 ⑻ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 , 0 sin ln ( ) x x x x f x , n = 4 ⑼ f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 , n = 3. 解（1） f x x ( ) = − 1 13 2 3 4 1 1 1 1 1 ( 3 3 ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( 1 2 3 4 4 x x x x ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + − + − + − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ D x 1 4 2 3 28 280 4 1 ( 3 2 9 6 27 24 81 4 = + x + x x + + x + ) ⋅ ⋅ ⋅ D x 1 2 2 3 14 35 4 1 ( 3 9 81 243 4 = + x + x x + + x + D x )。 （2） f x( ) = + cos(x α) = cos x x cosα −sin sinα 2 4 3 4 4 (1 ( )) cos ( ( ))sin 2 24 6 x x x = − + + o x α − x − + o x α = cos 2 3 s 4 in cos cos sin ( ) 2! 3! 4! 4 x x x x o x α α α α α − ⋅ − + + + 。 （3） f x( ) = + 2 sin x sin 2(1 ) 2 x = + 3 1 3 2 1 2[1 ( ( ))] 2 6 x = + x o − + x 120 3 3 3 1 1 3 3 1 1 2 1 1 2[1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ] 2 2 6 8 4 6 16 8 6 x x x = + ⋅ −x o + x − ⋅ −x + o x + ⋅ x o − + x 3 3
2 42432128 384 0(x3) 4 (4)f(x)=e =1+(x x)+1(x-xy+x+1x2+a(x) 1+ )+2x3+x2+o(x4) x+o(x) (5)f(x)=tan x sIn x +o(x3)(1 6120 224 +o(x3)(1+( )2+o(x3) 6120 2 (6)f(x)=In(cos x)=In(1-+ 224720 0(x°) (-2+24-n20)-2-2+24)+3(-2)+x) (-2+24-720)-2(4-24)-38+ax) x4--x+o(x°)。 (7)f(x)={e-1 x≠0 x=0 l+(-+ (x4) 624120 6 2412 6 +o(x )++o(x 262412046728816
3 2 3 3 2 2 2 13 2 2[1 ( )] 2 ( ) 4 24 32 128 4 32 384 x x x x = + − − + + o x = + x − x − x + o x 3 3 。 （4） f x x ( ) esin = 3 3 ( ) 6 e x x x − + = D 3 3 2 3 4 3 4 2 3 4 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 6 2 6 6 24 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 6 2 3 6 24 x x 4 4 x x x x o x x x x x x x o = + − + − + + + = + − + − + + + x 1 1 2 4 1 ( 2 8 4 = + x + x x − + o x )。 （5） f (x) = tan x sin cos x x = 3 5 2 4 5 5 1 3 5 2 4 2 4 5 2 3 5 3 2 4 5 ( ( ))(1 ( )) 6 120 2 24 ( ( ))(1 ( ) ( ) ( 6 120 2 24 2 24 5 ( ) ( ) ( ) 6 120 6 2 24 x x x x x o x o x x x x x x x 5 x o x o x )) x x x x x x x x o x − = − + + − + + = − + + + − + − + = − + + − + ⋅ + 1 2 3 5 ( ) 3 15 5 = +x x x + + o x 。 （6） f x( ) = ln(cos x) 2 4 6 6 ln(1 ( )) 2 24 720 x x x = − + − + o x 2 4 6 2 4 2 2 3 2 4 6 4 6 6 6 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 24 720 2 2 24 3 2 1 1 ( ) ( ) ( 2 24 720 2 4 24 3 8 x x x x x x o x x x x x x x o x = − + − − − + + − + = − + − − − − ⋅ + 6 ( ) ) 1 1 2 4 1 6 ( ) 2 12 45 6 = − x − x x − + o x 。 （7） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x 2 3 4 4 1 [1 ( ( ))] 2 6 24 120 x x x x o x − = + + + + + 121 2 3 4 2 3 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 4 4 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 24 120 2 6 24 2 6 2 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 24 120 4 6 72 8 8 16 x x x x x x x x x x o x x x x x x x x x x x o x = − + + + + + + − + + + = − + + + + + + − + + + 4
-x+—x x+0(x) 212720 (8)1(x)=mx2+ox)=(62)-2(-)2+ox) 6 180tor (9)f(x)=√1-2x+x3-1-3x+x2=[1+(-2x+x2)2-[1+(-3x+x2) [1+(-2x+x3)--(-2x)2+ )+o(x3) -[1+(-3x+x2)--(-3x+x2)2+2(-3x)3+o(x2) =(1-X2+2)-(1-x-1x2-x)+o(x) x2+x3+o(x) 6 2.求下列函数在指定点处的 Taylor公式: (1)f(x)=-2x3+3x2-2,xo=1(2)f(x)=lnx,xo=e; (3)f(x)=ln (4)f(x) 解(1)f(x)=-2x3+3x2-2=-2(x-1)+1+3(x-1)+2-2 [-2(x-1)3-6(x-1)2-6(x-1)-2]+[3(x-1)2+6(x-1)+3]-2 =-1-3(x-1)2-2(x-1)3 (2)f(x)=Inx =In(x-e)+e]=Ine+In(t-e -(x (3)f(x)=In x=In(+(x-D)) "(x-1y+(x-1y)
1 1 2 4 1 1 ( 2 12 720 4 = − x + x x − + o x )。 （8） 2 4 4 ( ) ln(1 ( )) 6 120 x x f x o = − + + x 2 4 2 1 2 4 ( ) ( ) 6 120 2 6 x x x = − + − − + o x( ) 2 4 4 ( ) 6 180 x x = − − + o x 。 （9） f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 1 1 3 2 2 3 = + [1 (−2x x + )] −[1+ (−3x x + )] 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 1 [1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )] 2 8 16 1 1 5 [1 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( )] 3 9 81 x x x x o x 3 x x x x x o = + − + − − + − + − + − + − − + + − + x 1 2 2 2 3 (1 ) (1 ) ( ) 2 3 3 = − x − x x − − − x − x + o x = 1 2 3 3 ( ) 6 x + + x o x 。 ⒉ 求下列函数在指定点处的 Taylor 公式： ⑴ f x( ) = −2 3 x + x − 3 2 2 0 , x = 1 ⑵ f x( ) = ln x , x = e ; 0 ⑶ f x( ) = ln x ; x0 = 1 ⑷ f x( ) = sin x , x0 6 = π ; ⑸ f x( ) = x , x . 0 = 2 解（1） f x( ) = −2 3 x + − x 2 3 2 2[(x 1) 1] 3[(x 1) 1] 2 3 2 = − − + + − + − 3 2 2 = −[ 2( 1 x x − ) − 6( 1− ) − 6( 1 x − ) − 2]+[3(x −1) + 6(x −1) + 3]− 2 2 3 = −1− 3( 1 x x − ) 2 − ( −1) 。 （2） f x( ) = ln x = − ln[(x e e ) + ] ln ln(1 ) x e e e − = + + = n n n x e ne x e e x e e ( ) ( 1) ( ) 2 1 ( ) 1 1 1 2 2 − − + − − − + + − " ( ) n + D (x − e) 。 （3） f x( ) = ln x = + ln(1 (x −1)) = n n x n x x x ( 1) ( 1) ( 1) 3 1 ( 1) 2 1 ( 1) 1 2 3 − − − − − + − − + − " ( ) n + D (x −1) 。 122
(4)f(x)=sinx, f(m(xo)=sin(xo+2), f(x)=f()+f(zx、f" z )--(x )3+…+-sin("+2)(x +o(x-2) 6 (5)f(x)=√=√.,h+x=2 √2 16(x22(2n-3(x-=2° nk 2 3.通过对展开式及其余项的分析,说明用 In 2=In 比用 hn2=m(1+x)2+x- +…+(-1)xx 效果好得多的两个原因 解利用第一个展开式计算时是用x=代入,利用第二个展开式计算 时是用x=1代入,显然第一个展开式的通项(或余项)趋于零的速度 快,而第二个展开式的通项(或余项)趋于零的速度相对较慢,所以 在指定精度的条件下,利用第一个展开式计算ln2的值比利用第二个 展开式计算量小,效果好
（4） f x( ) = sin x ， ( ) 0 0 ( ) sin( ) 2 n n f x x π = + ， 2 3 ''( ) ''( ) 6 6 ( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) 6 6 6 2! 6 3! 6 f f f x f f x x x π π π π π π π = + − + − + − +" ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ! 6 6 n n n f x o x n π π π ⎛ ⎞ + − + ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 1 3 1 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) sin( )( 2 2 6 4 6 12 6 ! 2 6 6 n n x x x x n ) π π π π π = + − − − − − +"+ + − π ( ) 6 n o x ⎛ ⎞ π + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 （5） f x( ) = x 2 2 1 2 x − = ⋅ + = n n n x n n x x ( 2) 2 ! ( 1) (2 3)!! ( 2) 16 2 1 ( 2) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 − − − + − − − + + − − " ( ) n + D (x − 2) 。 ⒊ 通过对展开式及其余项的分析，说明用 3 1 3 5 2 1 3 1 3 5 2 1 2 1 1 ln 2 ln = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ + + + + − + = x n x n x x x x x x " 比用 1 1 2 3 4 1 ( 1) 2 3 4 ln 2 ln(1 ) = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ≈ − + − + + − x n n x n x x x x x x " 效果好得多的两个原因。 解 利用第一个展开式计算时是用 1 3 x = 代入，利用第二个展开式计算 时是用 x = 1代入，显然第一个展开式的通项（或余项）趋于零的速度 快，而第二个展开式的通项（或余项）趋于零的速度相对较慢，所以 在指定精度的条件下，利用第一个展开式计算 的值比利用第二个 展开式计算量小，效果好。 ln 2 123
另外可以通过比较两者的误差来说明两种方法的优劣: 由 n(1+x)=∑(-1) k(2n+1X1+5)m+ 2n+1 n(1-x)=- k(2n+1)(1-52 可知利用第一个展开式计算前n项之和,余项为 F,(x) 11,其中,1位于0与x之间 (2n+1)(1+51)(1-2) 取 X= 3’/5nG)≤ 31(2n+1)32+ (2n+1)22n° 而利用第二个展开式计算前n项之和,余项为 ()+)1+y-,其中5位于0与x之间, 取 rn(l)卜> (n+1)(+1)+(n+1)2 显然 所以利用第一个展开式计算2的值比利用 (n+1)2+1(2n+1)2 第二个展开式误差小,精度高 4.利用上题的讨论结果,不加计算,判别用哪个公式计算π的近似 值效果更好,为什么? (1) I=arc tanl sx- +(-)°x2 4 arc tan--arc tan- ( Machin公式) 2n+1 解两个计算π的公式都是利用了 arctan x的 Taylor公式,但第一个公
另外可以通过比较两者的误差来说明两种方法的优劣： 由 2 2 1 1 2 1 1 1 ln(1 ) ( 1) (2 1)(1 ) n k n k n k x x x k n ξ + − + = + = − + + + ∑ ， 2 2 1 2 1 1 2 ln(1 ) (2 1)(1 ) n k n n k x x x k n ξ + + = − = − − + − ∑ , 可知利用第一个展开式计算前n项之和，余项为 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 ( ) [ ] (2 1) (1 ) (1 ) n n n n x r x n ξ ξ + + + = + + + − , 其中 1 2 ξ ,ξ 位于0 与 x 之间。 取 1 3 x = ， 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 ( ) [1 ] 3 (2 1)3 1 (2 1)2 (1 ) 3 n n n n r n n + + ≤ + = + + + 。 显然 1 1 1 ( 1)2 (2 1)2 n n n + > + + 2n π ，所以利用第一个展开式计算 的值比利用 第二个展开式误差小，精度高。 ln 2 ⒋ 利用上题的讨论结果，不加计算，判别用哪个公式计算 的近似 值效果更好，为什么？ ⑴ 1 3 5 2 1 2 1 ( 1) 3 5 arc tan1 4 = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ≈ − + − + − x n n n x x x x " π ⑵ 239 1 arc tan 5 1 4arc tan 4 = − π （Machin 公式） 239 1 3 2 1 5 1 3 2 1 2 1 ( 1) 2 1 3 ( 1) 3 4 = + = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ − − + + − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ≈ − + + − x n n x n n n x x x n x x x " " 解 两个计算π 的公式都是利用了arctan x的 Taylor 公式，但第一个公 124
式是用x=1代入,而第二个公式是用x=与x=代入由于与 239 5239 比I小得多,因此第二个公式的通项(或余项)比第一个公式的通项 (或余项)趋于零的速度快得多,所以用第二个公式计算π的近似值 效果更好。 5.利用 Taylor公式求近似值(精确到10-): (1)lg11 (3)sin31° (4)cos89 (5)250 (6)(11)2 解(1)01010m+面m+( n+1 其中r(x)= 5位于0与之间。 ln1010(n+1)(+2) 由;(1)| (ln10)10(n+1)(1+2)(n10)10(n+1) 得到r;(1)k<089×10, 满足精度要求,所以 lg11≈1+1 n10102.10231054.10)=104139。 (2)e=S 知kx+(x),其中2(x)=+D’5位于0与x之间。 分x3n=4,()51x2=027×10°,满足精度要求,所以 ≈1+-+ 1.39561。 32.96·2724.81 (3)sin(+)=sin()+cos()x--sin ()x'+r(x) 其中r(x)3×x+),5位于0与x之间
式是用 x =1代入，而第二个公式是用 1 5 x = 与 1 239 x = 代入。由于 1 5 与 1 239 比 1小得多，因此第二个公式的通项（或余项）比第一个公式的通项 （或余项）趋于零的速度快得多，所以用第二个公式计算 的近似值 效果更好。 π ⒌ 利用 Taylor 公式求近似值（精确到10−4）： ⑴ lg11; ⑵ e 3 ; ⑶ sin o 31 ; ⑷ cos o 89 ; ⑸ 250 5 ; ⑹ ( . ) . 11 1 2 . 解（1） ln(10 ) 1 lg(10 ) 1 ln(1 ) ln10 ln10 10 x x x + + = = + + 1 1 1 ( 1) 1 ( ln10 10 n k k k n k x r x k − = − = + ∑ + )， 其中 1 1 ( 1) ( ) (ln10)10 ( 1)(1 ) n n n n n x r x n ξ + + + − = + + 1 ，ξ 位于0 与 10 x 之间。 由 1 1 1 1 1 | (1) | (ln10)10 ( 1)(1 ) (ln10)10 ( 1) nr n n n n n ξ + + + = < + + + ，得到 ， 满足精度要求，所以 6 4 | ( r 1) | 0.89 10− < × 2 3 4 1 1 1 1 1 lg11 1 ( ) 1.04139 ln10 10 2 10 3 10 4 10 ≈ + − + − ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （2） 0 1 ( ) ! n x k n k e x r = k = ∑ + x ，其中 1 ( ) ( 1)! n n e r x x n ξ + = + ，ξ 位于0 与 x之间。 令 1 3 x = ， n = 4 ， 1 3 5 4 5 1 | ( ) | 0.27 10 3 5!3 e r − ≤ ≈ × ，满足精度要求，所以 3 1 1 1 1 1 1.39561 3 2 9 6 27 24 81 e ≈ + + + + ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （3） 2 2 1 sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) ( ) 6 6 6 2 6 x x x r x π π π π + = + − + ， 其中 3 2 ( ) cos( ) 3! 6 x r x π = − +ξ ，ξ 位于0 与 x之间。 125
由于|n2(-)k 0.88×10,满足精度要求,所以 1803!180 sin 31=sin(-+- )=sin(-)+ co sin(.)2≈0.51504 6180 61802 (4)sinx=x+2(x),其中(x)=-cos5,位于0与x之间 由于|(x)103,满足精度要求,所以 cos89=sin°=sin(。) ≈0.01745。 180180 (5)f(x)=31+x)3=3(1+2x 525.x)+h(x), 其中r(x)= ,5位于0与x之间 125(1+)5 由于|2(x,)k 187 )3≈034×10-3,满足精度要求,所以 243125243 243s3(1+7 243)2=205301+7 4.72 524325.2.2432301708 (6)f(x)=(1+x)2=1+1.2x+ 1.2.0.221.2.0.2.0.8 x+r2(x), 1.2.0.2.0.8·1.8 其中(x)=241+8°x2,5位于0与x之间。 由于|r;(01)k≤001440.1)=0.144×103,满足精度要求,所以 f(0.1)=(1.1)}2=1+1.20.1+ 1.2.02 O.12_1.2 0.2.0 60.13≈1.12117 6.利用函数的 Taylor公式求极限 e sinx-x(l+x (2)lim (a>0) (4)lim(x5+x X→+
由于 3 6 2 3 | ( ) | 0.88 10 180 3!180 r π π − ≤ ≈ × ，满足精度要求，所以 1 2 sin 31 sin( ) sin( ) cos( ) sin( )( ) 0.51504 6 180 6 6 180 2 6 180 π π π π π π π = + = + − ≈ D 。 （4） 2 sin x = +x r (x) ，其中 3 2 ( ) cos 3! x r x = − ξ ，ξ 位于0 与 x之间。 由于 5 2 | ( ) | 10 180 r π − ≤ ，满足精度要求，所以 cos89 sin1 sin( ) 180 π = = D D 0.01745 180 π ≈ ≈ 。 （5） 1 5 2 2 1 4 ( ) 3(1 ) 3(1 ) ( ) 5 25 2 f x x = + = + x − x + r ⋅ x ， 其中 3 2 14 5 18 ( ) 125(1 ) r x x ξ = + ，ξ 位于0 与 x之间。 由于 3 2 7 18 7 | ( )| ( ) 0.34 10 243 125 243 r −5 + − − → + a x a a x x x ; ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x x x csc 1 lim 0 ; ⑷ lim ( ) x x x x x →+∞ + − − 5 5 4 5 5 4 ; 126
→0x( x tan x (7) lim x2(√x+l+√x-1-2x);(8)lin 解(1)e'sinx-x(1+x)=(1+x+)x-)+o(x2)-(x+x2)=+o(x3), 所以 lim e sinx-x(1+x) (2)a2+a (ea-1)+(e-x-1) =(no. In ax+o(r))+(. xIn ax+o(r)=In'ax2+o(x) 所以 (3)由于sinx=x+o(x2),所以 (r Cscx=lim sin x-x x (4)令u=-,由于 2 (1+l)5-(1-l)5=(1+u--u2+o(u2)-(1-2l- 2 52San2+o(n2)=2u+o(un2), 所以 im(x+x4-3x3-x)=m1+a)3-1-n322 (5)令 由于ln(1+u)= 2),所以
⑸ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ x x x x 1 lim ln 1 2 ; ⑹ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x tan x 1 1 1 lim 0 ; ⑺ lim ( ) x x x x x →+∞ + + − − 3 2 1 1 2 ; ⑻ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ e 1 2 lim 6 1 3 2 x x x x x x . 解（1） 2 3 3 2 e sin (1 ) (1 )( ) ( ) ( ) 2 6 x x x x − + x x = + x + x − + o x − x + x 3 3 ( ) 3 x = + o x ， 所以 3 0 e sin (1 ) 1 lim 3 x x x x x → x − + = 。 （2） ln ln 2 ( 1) ( 1) x x x a x a a a e e − − + − = − + − 2 2 2 2 2 2 ln ln (ln ( )) ( ln ( )) 2 2 a a = ⋅ a x + x + o x + − a ⋅ x + x + o x 2 2 2 = ⋅ ln a x + o(x )， 所以 2 2 0 2 lim ln x x x a a a x − → + + − = 。 （3）由于 2 sin x = +x o(x )，所以 2 2 0 0 0 1 sin ( lim csc lim lim 0 x x sin x x x o x x → → x x x → x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = = ⎝ ⎠ ) = 。 （4）令 1 u x = ，由于 1 1 5 5 1 2 2 2 1 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ( )) (1 ( )) ( ) 5 25 5 25 5 + − u − u = + u − u + o u − − u − u + o u = u + o u 2 ， 所以 lim ( ) x x x x x →+∞ + − − 5 5 4 5 5 4 1 1 5 5 0 (1 ) (1 ) 2 limu 5 u u → + u + − − = = 。 （5）令 1 u x = ，由于 2 2 ln(1 ) ( ) 2 u + = u u − + o u ，所以 127
x-x2(1+/-1im0y-hn+al242+o()1。 →+0 (6)由于tanx=x++o(x3),所以 +o(x) →0x( x tan x)x0x2tanx (7)令u=,由于 √1+u+1-a-2=(1+u-1)+(1-u-1) +0(r)+(-2-8+o(r) 所以 lim 3 x(√x+1+√x-1-2√x)=my++√--2 (8)令n=1,由于 e"(1-+2)--n=(1++2x3 01-+2)-1+o(un3)=2+o(v2) 所以 (1 lim x'-x2+ 7.利用 Taylor公式证明不等式 ≤ln(1+x)≤x (2)(1+x)20。 证(1)利用带 Lagrange余项的 Taylor公式, n(1+x)=x 0<5<x, 28
2 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 1 ln(1 ) 1 2 lim ln 1 lim lim x u u 2 u o u u u x x →∞ x u → → u + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ − + − ⎜ ⎟ + = = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 。 （6）由于 3 3 tan ( ) 3 x x = +x + o x ，所以 3 3 2 3 0 0 0 ( ) 1 1 1 tan 3 1 lim lim lim x x tan tan x 3 x o x x x → → x x x x x → x + ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = = = ⎝ ⎠ 。 （7）令 1 u x = ，由于 1 1 + + u u − − 2 = ( 1+ u −1) + ( 1− u −1) 2 2 2 2 ( ( )) ( ( )) 2 8 2 8 4 u u u u u = − + o u + − − + o u = − + o u 2 2 ( )， 所以 lim ( ) x x x x x →+∞ + + − − 3 2 1 1 2 2 0 1 1 2 limu 4 u u → + u + + − − 1 = = − 。 （8）令 1 u x = ，由于 2 2 3 2 6 3 (1 ) 1 (1 )(1 ) 1 ( ) ( ) 2 2 6 2 u u u u u e u − + − − u = + u + + − + u − + o u = + o u 3 3 6 u ， 所以 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ e 1 2 lim 6 1 3 2 x x x x x x 2 6 3 0 (1 ) 1 1 2 lim 6 u u u e u u → + u − + − − = = 。 7． 利用 Taylor 公式证明不等式： （1） 2 3 ln(1 ) 2 2 2 3 x x x x x x − ≤ + ≤ − + ， x > 0； （2） 2 2 ( 1) (1 x) 1 x x − + 0。 证（1）利用带 Lagrange 余项的 Taylor 公式， 2 3 2 3 ln(1 ) , 0 2 3(1 ) 2 x x x x x x ξ ξ + = − + > − < < + x， 128
0<5 (2)(1+x)2=1+ax+ (a-1)2a(a-1)(a-2) 6(1+5)a ,0<5<x 由于1<a<2,所以a(x-1a-2)<0,从而 Lagrange余项a(a=a=2)x 6(1+5) 小于零,于是得到 (a-1) 8.判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线,若存在的话求出渐 近线方程: (2) +x (6) y=In 2 (7)y=x+arccot x (8)y=V(x-2)x+1)2 1 1 (11 y=x xe r-vx'+x (12)y=x|xe 解(1)由于1mx=∞,所以x=-1是垂直渐近线;由于 a=lim=lim x(1+x) b=lim +x 所以斜渐近线为y=x-1。 (2)由于lim 0,所以y=0是水平渐近线。 (3)解法一:由于
2 3 4 2 3 4 ln(1 ) , 0 2 3 4(1 ) 2 3 x x x x x x x x ξ ξ + = − + − < − + < < + x。 （2） 2 3 3 ( 1) ( 1)( 2) (1 ) 1 2 6(1 ) x x x x α α α α α α α α ξ − − − − + = + + + + ，0 < ξ < x。 由于1< < α 2 ，所以α( 1 α α − − )( 2) < 0，从而 Lagrange 余项 3 3 ( 1)( 2) 6(1 ) x α α α α ξ − − − + 小于零，于是得到 2 2 ( 1) (1 x) 1 x x − + < + + α α α α 。 8．判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线，若存在的话求出渐 近线方程： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; ⑺ y = x + arc cot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 ; ⑽ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 2 2 1 5 1 cos x e x y x ; (11) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 3 3 2 3 1 2 y x xe x x x ; (12) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ y = x xe − x + x 2x 2 1 2 . 解 （1）由于 2 1 limx 1 x →− x = ∞ + ，所以 x = −1是垂直渐近线；由于 2 lim lim 1 (1 ) x x y x a →∞ x x →∞ x = = + = ， 2 2 lim lim 1 x x 1 1 x x b ax x →∞ x x →∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − = ⎜ − ⎟ = − ⎝ ⎠ + + ⎝ ⎠ ， 所以斜渐近线为 y x = −1。 （2）由于 2 2 lim 0 x 1 x →∞ x = + ，所以 y = 0是水平渐近线。 （3）解法一：由于 129