第四章微分 习题4.1微分和导数 1.半径为lcm的铁球表面要镀一层厚度为0.0lcm的铜,试用求微 分的方法算出每只球需要用铜多少克?(铜的密度为89gcm3。) 解球体积V 4 每只球镀铜所需要铜的质量为 ≈4 1.12g 2.用定义证明,函数y=x2在它的整个定义域中,除了x=0这 点之外都是可微的 证当x=0时,4y=MAx2是Ax的低阶无穷小,所以y=x在x=0不可 微。当x≠0时 △y=(x+△x)2-yx2 Ax+O(Ax) x+△x) 所以y=√x2在x≠0是可微的
第四章 微分 习 题 4.1 微分和导数 ⒈ 半径为 1cm 的铁球表面要镀一层厚度为 0.01cm 的铜，试用求微 分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 8.9g/ cm3。） 解 球体积 3 3 4 V = πr ，每只球镀铜所需要铜的质量为 4 1.12 2 m = ρ∆V ≈ ρπr ∆r ≈ g。 ⒉ 用定义证明，函数 y = x 3 2 在它的整个定义域中，除了 x = 0这一 点之外都是可微的。 证 当 x = 0时， 3 2 ∆y = ∆x 是∆x 的低阶无穷小，所以 y = x 3 2 在 不可 微。当 时， x = 0 x ≠ 0 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 ( ) ( )( 2 ( ), ( ) 3 y x x x x x x x x x x x x 3 ) x x o x x x x x x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ + + ∆ − + ∆ + = ∆ = + ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ 所以 y = x 3 2 在 x ≠ 0是可微的。 57
习题4.2导数的意义和性质 1.设f(x)存在,求下列各式的值: (1)lim f(xo-Ax)-f(xo) △x 2)lim f(x)-fc f(x0+h)-f(x0-h) h N(1)lim /(xo-Ax)-f(x2-lim /(xo+(Ax)-f(o)=-/(xo) (2)lim f(x)-f(o= lim f(xo+(x-xo)-f(xo=/'(o) (3)lim(o+h-f(xo-h) =lim f(x+h)-/(x)-1im/(x-h)-/(x) 2f(x0)。 h 2.(1)用定义求抛物线y=2x2+3x-1的导函数; (2)求该抛物线上过点(-1,-2)处的切线方程 (3)求该抛物线上过点(-2,1)处的法线方程; (4)问该抛物线上是否有(a,b),过该点的切线与抛物线顶点与焦 点的连线平行? 解(1)因为=2(x+4D)+x+A0)-1-(2x+3x=1=4x+3+2Ax,所以 f(r)=Iin 4r =4x+3。 Ar→0△x (2)由于∫(-1)=-1,切线方程为y=-1[x-(-1)+(-2)=-x-3。 (3)由于f(-2)=-5,法线方程为y=-[x-(2)+1=+。 5 (4)抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴,即斜率为无穷大,由(1)可
习 题 4.2 导数的意义和性质 1． 设 f x ′( 0 )存在，求下列各式的值： ⑴ lim ( ) ( ∆ ∆ x ∆ f x x f x ) → x − − 0 0 0 ； ⑵ lim ( ) ( ) x x f x f x → x x − 0 − 0 0 ； ⑶ lim ( ) ( ) h f x h f x h → h + − − 0 0 0 。 解 (1) '( ) ( ) ( ( )) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x f x x f x x x = − −∆ + −∆ − = − ∆ − ∆ − ∆ → ∆ → 。 ⑵ '( ) ( ( )) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x x f x x x f x x x f x f x x x x x = − + − − = − − → − → 。 ⑶ h f x h f x h h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − − → 2 '( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x h f x h f x h f x h f x h h = − − − + − = → → 。 2． ⑴ 用定义求抛物线 y x = 2 3 + x − 2 1的导函数； ⑵ 求该抛物线上过点( , −1 −2)处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点(−2 1, )处的法线方程； ⑷ 问该抛物线上是否有( , ，过该点的切线与抛物线顶点与焦 点的连线平行？ a b) 解 (1)因为 x x x x x x x x x x y = + + ∆ ∆ + ∆ + + ∆ − − + − = ∆ ∆ 4 3 2 2( ) 3( ) 1 (2 3 1) 2 2 ，所以 '( ) lim 4 3 0 = + ∆ ∆ = ∆ → x x y f x x 。 (2)由于 f '(−1) = −1，切线方程为 y x = − ⋅ 1 [ − (−1)]+ −( 2) = −x − 3。 (3)由于 f '(−2) = −5，法线方程为 1 7 [ ( 2)] 1 5 5 x y x + = − − − + = − 。 (4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于 y 轴，即斜率为无穷大，由(1)可 58
知不存在x,使得∫(x)=∞,所以这样的点(a,b)不存在。 3.设f(x)为(-0,+∞)上的可导函数,且在x=0的某个邻域上成立 f(+sin x)-3f1-sin x)=8x+a(x) 其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小。求曲线y=f(x)在(1,f() 处的切线方程 解记F(x)=f(+sinx)-3f(-sinx),可得imF(x)=-2f(1)=0,即f(1)=0 由 F(x) lim Bx+a(x) 与 lim F(r) f(1+sin x =im )-f()sin x-3liml f(1-sin x)-f()sinx 4f(1), x→0 sIn x sInx 得到f/(1)=2。于是曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=2(x-1)。 证明:从椭圆的一个焦点发出的任一束光线,经椭圆反射后,反 射光必定经过它的另一个焦点。(见图425) 证设椭圆方程为 l,a>b>0,焦点坐标为 (±c0)c=Va2-b2。假设(xn,y)为椭圆 上任意一点,当y=0时结论显然成立。现设y≠0,则过此点的切线 斜率为bx,(x0)与焦点+c0连线的斜率为tnO1=, xo+c 此连线与切线夹角的正切为 tan 0.-tan e 利用c2=a2-b2和 1+tan 0. tane =1代入计算,得到
知不存在 x ，使得 f '(x) = ∞，所以这样的点( , a b)不存在。 3．设 f (x)为(−∞,+∞) 上的可导函数，且在 x = 0的某个邻域上成立 f (1+ sin x) − 3 f (1− sin x) = 8x +α(x)， 其中α(x)是当 x → 0时比 x高阶的无穷小。求曲线 y = f (x)在 处的切线方程。 (1, f (1)) 解 记F(x) = f (1+ sin x) − 3 f (1− sin x)，可得lim ( ) 2 (1) 0 0 = − = → F x f x ，即 。 由 f (1) = 0 0 0 ( ) 8 ( ) lim lim 8 x x F x x x x x α → → + = = 与 0 0 0 ( ) (1 sin ) (1) sin (1 sin ) (1) sin lim lim 3lim 4 '(1) x x sin x sin F x f x f x f x f x f → → x x x → x x ⎡ ⎤ + − ⎡ − − = ⋅ − ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥ ⎦ ， 得到 f '(1) = 2。于是曲线 y = f (x)在(1, f (1))处的切线方程为 y = 2(x −1)。 4． 证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反 射光必定经过它的另一个焦点。 （见图 4.2.5） 证 设椭圆方程为 1 0 2 2 2 2 + = a > b > b y a x ， ，焦点坐标为 2 2 (±c,0), c = a − b 。假设 为椭圆 上任意一点，当 时结论显然成立。现设 ( , ) 0 0 x y y0 = 0 y0 ≠ 0，则过此点的切线 斜率为 0 2 0 2 tan a y b x θ = − ，(x0 , y0 )与焦点(−c,0)连线的斜率为 x c y + = 0 0 1 tanθ ， 此连线与切线夹角的正切为 θ θ θ θ 1 tan tan tan tan 1 1 + − k = 。利用 c 2 = a 2 − b2 和 1 2 2 0 2 2 0 + = b y a x 代入计算，得到 59
y b- xo+c a y2+b2x2+ a b+cx.b- b 1-3.bx(a2-b)x+ a cyo C xoyo+aa。° (x,y0)与另一焦点(c0)连线的斜率为n2=-y0-,此连线与切线 夹角的正切为 b2 yo -bx 1+ tan b tan e 1-10b2x0(a2-b)x-a∞cx1-accy° 由于两个夹角的正切相等,所以两个夹角相等,命题得证。 5.证明:双曲线x=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三 角形的面积恒为2a2 证假设(xny)为双曲线上任意一点,则x%=a2,过这一点的切线斜 率为y==-2,切线方程为 x-x0), 易得切线与两坐标轴的交点为(0,2y)和(2x0,0)。切线与两坐标轴构成 的直角三角形的面积为 S=(2y0)(2x0)=2x0y0=2a2 6.求函数在不可导点处的左导数和右导数 (1)y=Isin xI y (4)y=|n(x+1) 解(1)对y=f(x)=sinx,当x=0时
2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 ( ) 1 y b x x c a y a y b x cx b a b cx b b k y b x a b x y a cy c x y a cy cy x c a y + + + + + = = = − + + − ⋅ + = 。 ( , ) 0 0 x y 与另一焦点(c,0)连线的斜率为 x c y − = 0 0 2 tanθ ，此连线与切线 夹角的正切为 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 tan tan 1 tan tan ( ) 1 b x y a y x c cx b a y b x cx b a b b k y b x a b x y a cy c x y a cy cy x c a y θ θ θ θ − − − − − − − = = = = + − − − ⋅ − 0 0 = − 。 由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。 5．证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三 角形的面积恒为 。 xy = a2 2 2 a 证 假设 为双曲线上任意一点，则 ，过这一点的切线斜 率为 ( , ) 0 0 x y 2 x0 y0 = a 0 0 2 0 2 0 ' x y x a y x = − = − ，切线方程为 ( ) 0 0 0 0 x x x y y − y = − − ， 易得切线与两坐标轴的交点为 和 。切线与两坐标轴构成 的直角三角形的面积为 (0,2 ) 0 y (2 ,0) 0 x 2 (2 0 )(2 0 ) 2 0 0 2 2 1 S = y x = x y = a 。 6． 求函数在不可导点处的左导数和右导数。 ⑴ y = |sin x |； ⑵ y x = −1 cos ； ⑶ y x = − e | | ； ⑷ y = |ln(x + 1)|. 解 （1）对 y = f x( ) =|sin x |，当 x = 0时， 60
f(0)=lim I sin Ax|- sin O I Ax→0+ f(O)= lim Isin Ax|-Isin0l= lim sinv2-l →0-△x 所以x=0是不可导点。又由于函数y是周期为x的函数,所有不可导 点为x=kz(k∈Z),且∫(k)=-1,f(kr)=1。 (2)y=/()-0x=3m2、mn2,由(1)可知不可导点 为x=2kz(k∈2),且经计算得到f(2kx)=- 2,A(kr)=v2 (3)y=f(x)=e不可导点只有x=0,且 f(0=li →0+△ ∫2(0)=lin (4)y=f(x)=n(x+1)不可导点只有x=0,且 ln(△x+1)|-ln1 n(△x+1) f(0)=lim Ax→0+ f∫(0)=lin n(△x+1)|-ln1 li 7.讨论下列函数在x=0处的可导性 x|sin1、(a>0)x≠0, (1)y= (2)y 0 ax+b,x≤0, (3)y= 0 2,x≤0; =0. 解(1)2=四(4r,所以函数 在x=0可导 (2)如果函数在x=0可导,则必须在x=0连续,由f(+)=f(0)=b 可得b=0。当b=0时,O)=mAx2-0=0,f(0)=△ 0
1 sin lim |sin | | sin 0 | (0) lim 0 0 ' = ∆ ∆ = ∆ ∆ − = ∆ → + ∆ → + + x x x x f x x ， ' 0 0 |sin | |sin 0 | sin (0) lim lim 1 x x x x f x x − ∆ → − ∆ → − ∆ − − ∆ = = = − ∆ ∆ ， 所以 x = 0是不可导点。又由于函数y是周期为π 的函数，所有不可导 点为 x = kπ (k ∈ Z)，且 ′( ) = −1 f− kπ ， ′( ) =1 f+ kπ 。 （2）y = f x( ) = −1 cos x 2 2sin 2 sin 2 2 x x = = ，由（1）可知不可导点 为 x = 2kπ (k ∈ Z) ，且经计算得到 2 (2 ) 2 f k − ′ π = − ， 2 (2 ) 2 f k + ′ π = 。 （3） y f = ( ) x = e−|x| 不可导点只有 x = 0，且 1 1 (0) lim 0 ' = − ∆ − = −∆ ∆ → + + x e f x x ， 1 1 (0) lim 0 ' = ∆ − = ∆ ∆ → − − x e f x x 。 （4） y f = = ( ) x ln(x +1) 不可导点只有 x = 0，且 ' 0 0 | ln( 1) | ln1 ln( 1) (0) lim lim 1 x x x x f x x + ∆ → + ∆ → + ∆ + − ∆ + = = = ∆ ∆ ， ' 0 0 | ln( 1) | ln1 ln( 1) (0) lim lim 1 x x x x f x x − ∆ → − ∆ → − ∆ + − − ∆ + = = = − ∆ ∆ 。 7．讨论下列函数在 x = 0处的可导性： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = > ≠ = + 0, 0; | | sin ,( 0) 0, 1 1 x x a x y x a ⑵ y x x ax b x = > + ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 0 , , , ; ⑶ y x x ax x x = > ≤ ⎧ ⎨ ⎩ e , , , ; 0 0 2 ⑷ y x x a x = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ e , , . 2 0 0 0 , 解 （1） 1 0 0 0 1 | | sin 1 lim lim lim | | sgn( )sin 0 a a x x x x y x x x x x x + ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎝ ⎠ = ，所以函数 在 x = 0可导。 （2）如果函数在 x = 0可导，则必须在 x = 0连续，由 可得 。当 时， f (0+) = f (0) = b b = 0 b = 0 0 0 (0) lim 2 0 ' = ∆ ∆ − = ∆ → + + x x f x ， a x a x f x = ∆ ∆ − = ∆ → − − 0 (0) lim 0 ' ， 61
故当a=b=0时函数在x=0可导,其他情况下函数在x=0不可导 (3)由于f(0)=1im 如4=1,f(0)= lim aAr2-0=0≠f.0), 故函数在x=0不可导。 (4)当a≥0时函数在x=0不连续,所以不可导;当a0,则在x=0的小邻域中有f(x)>0, 故|f(x)=f(x),所以(x)在x=0处也可导。 当f(0)=0时,由于 f(x)|-|f(0)|_f(x)-f(0 sonx, 分别在x=0处计算左、右极限,得到|∫(x)在x=0处的左导数为 ∫(0)|,右导数为f(0)|,所以f(x)在x=0处也可导的充分必要条 件是f(0)=0 9.设f(x)在[a,b上连续,f(a)=f(b)=0,且f(a)·f(b)>0,证明f(x) 在(a,b)至少存在一个零点。 证由题设知f(a)和∫(b)同号,不妨设两者都为正数。由于 f()-/(a)=imf(x) f(a)=m x-a 同理由于f(b)=1mn(0,可知存在x(a0。 =lim(x)>0,可知存在x(x<x2<b), f(x2)<0。由连续函数的零点存在定理,函数f(x)在x1,x2之间有零点。 10.设f(x)在有限区间(a,b)内可导
故当a = b = 0时函数在 x = 0可导，其他情况下函数在 x = 0不可导。 （3）由于 1 0 (0) lim 0 ' = ∆ ∆ − = ∆ ∆ → + + x xe f x x ， 0 (0) 0 (0) lim ' 2 0 ' + ∆ → − − = ≠ ∆ ∆ − = f x a x f x ， 故函数在 x = 0不可导。 （4）当a ≥ 0时函数在 x = 0不连续，所以不可导；当a 0，则在 x = 0的小邻域中有 ， 故 ，所以| ( 在 f (x) > 0 | f (x)|= f (x) f x)| x = 0处也可导。 当 f (0) = 0时，由于 | ( ) | | (0) | ( ) (0) sgn 0 0 f x f f x f x x x − − = − − ， 分别在 x = 0 处计算左、右极限，得到 | ( f x)| 在 x = 0 处的左导数为 − | ' f (0) |，右导数为| ' f (0) |，所以| ( f x)|在 x = 0处也可导的充分必要条 件是 f '(0) = 0。 9．设 f (x)在[ , a b]上连续， f a( ) = f b( ) = 0，且 ′( )⋅ ′( ) > 0 + − f a f b ，证明 在( , 至少存在一个零点。 f x( ) a b) 证 由题设知 f (a) + ′ 和 f− ′(b)同号，不妨设两者都为正数。由于 ' ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x a x a f x f a f x f a x a x a + → + → + − = = > − − ，可知存在 1 1 x ( ) a x ' ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x b x b f x f b f x f b x b x b − → − → − − = = − − > ，可知存在 2 1 2 x ( ) x x < < b ， f (x2 ) < 0。由连续函数的零点存在定理，函数 f x( )在 x1, x2之间有零点。 10．设 f (x)在有限区间( , a b)内可导， 62
(1)若limf(x)=∞,那么能否断定也有limf(x)=∞? (2)若limf(x)=o,那么能否断定也有limf(x)=∞? 解(1)不一定。反例:f(x)=1+c0s1,a=0,lmf(x)=+∞, f(x)=(-1+sin-),limf(x)=∞不成立。 (2)不一定。反例:f(x)=√x,a=0,limf(x)=im +∞ 而 √x limf(x)=0≠∞ 11.设函数f(x)满足f()=0。证明f(x)在x=0处可导的充分必要条件 是:存在在x=0处连续的函数g(x),使得f(x)=xg(x),且此时成 立f()=g(0) 证充分性。由f(x)=x(x)可知lm(x)-/0)=img(x)=g(0),故(x)在 x=0处可导,且成立f(0)=g(0)。 必要性。令g(x)=x x≠0 ,则f(x)=xg(x),且 厂(0),x=0 imng(x)=m(x)-0=(0)=g(0),即g(x)在x=0处连续。 63
⑴ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + = ∞ lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ ？ ⑵ 若 lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ ，那么能否断定也有 lim ( ) x a f x → + = ∞？ 解（1）不一定。反例： x x f x 1 cos 1 ( ) = + ，a = 0，x li → + m 0 f x( ) = +∞ ， ) 1 ( 1 sin 1 '( ) 2 x x f x = − + ， = ∞ → + lim '( ) 0 f x x 不成立。 （2）不一定。反例： f (x) = x ，a = 0， 0 0 1 lim ( ) lim 2 x x f x → + → + x ′ = = +∞ ，而 0 lim ( ) 0 x f x → + = ≠ ∞ 。 11．设函数 f (x)满足 f (0) = 0。证明 f (x)在 x = 0处可导的充分必要条件 是：存在在 x = 0处连续的函数 g(x) ，使得 f (x) = xg(x)，且此时成 立 f ′(0) = g(0)。 证 充分性。由 f (x) = xg(x)可知 0 0 ( ) (0) lim lim ( ) (0) x x f x f g x g → → x − = = ，故 f (x)在 x = 0处可导，且成立 f ′(0) = g(0)。 必要性。令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = '(0), 0 , 0 ( ) ( ) f x x x f x g x ，则 f (x) = xg(x)，且 0 0 ( ) (0) lim ( ) lim '(0) (0) x x f x f g x f g → → x − = = = ，即 g(x)在 x = 0处连续。 63