教案 数学分析中一个反例的教学 复旦大学陈纪修金路邱维元 教学内容 讲授数学分析发展历史上一个重要的反例:处处连续处处不可导的函数,以及这 反例对数学学科发展的影响;介绍德国数学家 Weierstrass的生平与对数学分析 所作的贡献。 指导思想 通过讲授处处连续处处不可导的函数的例子与介绍德国数学家 Weierstrass的贡 献,使学生掌握函数项级数一致收敛理论的重要应用,认识到数学家如何通过从 提出猜想,到证明或否定猜想的过程,使数学学科得到发展的,从而使学生在今 后的学习中重视对反例的探讨 教学安排 (1)德国数学家 Weierstrass的简单介绍 同学们,前一阶段,我们学习了函数项级数一致收敛的理论,有了这一基础, 我们可以来介绍一个在数学分析中非常重要的内容。这个结果是属于 Weierstrass 的。关于 Weierstra这个名字,我们并不陌生(我们已学过以他的名字冠名的定 理有:有界数列必有收敛子列,函数项级数的 Weierstrass判别法等),在以后的 学习中,你们将会不断遇上 Weierstrass这个名字。 Karl Weierstrass(1815-1897) 是19世纪德国数学家,他在数学的许多领域都作出了重大贡献,其中不少成果 是在他做中学教师时取得的。后来他被聘为柏林大学教授和法国巴黎科学院院 士。他是数学分析基础的主要奠基者之一,是把严格的数学论证引进分析学的 位大师。 Weierstrass利用单调有界的有理数数列来定义无理数,从而在严格的逻 辑基础上建立了实数理论;关于连续函数的分析定义(即E-δ语言)也是他给 出的,这些贡献使得数学分析的叙述精确化,论证严格化 (2)处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上,数学家们一直猜测:连续函数在其定义区间中, 至多除去可列个点外都是可导的。也就是说,连续函数的不可导点至多是可列集。 在当时,由于函数的表示手段有限,而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的 角度出发去考虑,这个猜想是正确的。但是随着级数理论的发展,函数表示的 手段扩展了,数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。 Weierstrass是 位研究级数理论的大师,他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结: f(x cos(b"x), 0<a<1<b 下面叙述的反例在证明上要相对简易些,它是由荷兰数学家 Van de aerden于1930年给出的: 设q(x)表示x与最邻近的整数之间的距离,例如当x=1.26,则o(x)=0.2 当x=367,则g(x)=0.33显然o(x)是周期为1的连续函数,且q(x)≤12
教案 数学分析中一个反例的教学 复旦大学 陈纪修 金 路 邱维元 教学内容 讲授数学分析发展历史上一个重要的反例:处处连续处处不可导的函数,以及这 一反例对数学学科发展的影响;介绍德国数学家 Weierstrass 的生平与对数学分析 所作的贡献。 指导思想 通过讲授处处连续处处不可导的函数的例子与介绍德国数学家 Weierstrass 的贡 献,使学生掌握函数项级数一致收敛理论的重要应用,认识到数学家如何通过从 提出猜想,到证明或否定猜想的过程,使数学学科得到发展的,从而使学生在今 后的学习中重视对反例的探讨。 教学安排 (1)德国数学家 Weierstrass 的简单介绍 同学们,前一阶段,我们学习了函数项级数一致收敛的理论,有了这一基础, 我们可以来介绍一个在数学分析中非常重要的内容。这个结果是属于 Weierstrass 的。关于 Weierstrass 这个名字,我们并不陌生(我们已学过以他的名字冠名的定 理有:有界数列必有收敛子列,函数项级数的 Weierstrass 判别法等),在以后的 学习中,你们将会不断遇上 Weierstrass 这个名字。Karl Weierstrass (1815—1897) 是 19 世纪德国数学家,他在数学的许多领域都作出了重大贡献,其中不少成果 是在他做中学教师时取得的。后来他被聘为柏林大学教授和法国巴黎科学院院 士。他是数学分析基础的主要奠基者之一,是把严格的数学论证引进分析学的一 位大师。Weierstrass 利用单调有界的有理数数列来定义无理数,从而在严格的逻 辑基础上建立了实数理论;关于连续函数的分析定义(即ε −δ 语言)也是他给 出的,这些贡献使得数学分析的叙述精确化,论证严格化。 (2)处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上,数学家们一直猜测:连续函数在其定义区间中, 至多除去可列个点外都是可导的。也就是说,连续函数的不可导点至多是可列集。 在当时,由于函数的表示手段有限,而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的 角度出发去考虑,这个猜想是正确的。 但是随着级数理论的发展,函数表示的 手段扩展了,数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass 是 一位研究级数理论的大师,他于 1872 年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结: ∑ ( ) ∞ = = 0 ( ) cos n n n f x a b x ,0 1。 下面叙述的反例在证明上要相对简易些,它是由荷兰数学家 Van Der Waerden 于 1930 年给出的: 设 (x)表示 x 与最邻近的整数之间的距离,例如当 x = 1.26,则 (x) = 0.26; 当 x = 3.67,则 ϕ ϕ ϕ (x) = 0.33。显然ϕ (x)是周期为 1 的连续函数,且ϕ(x) ≤ 1/ 2
注意当xy∈.k+2+2,k+时,成立19(x)-9()Hx-y Van der waerden给出的例子是 f(x) q(10″x) 10n 由 p(10x) 及 的收敛性,根据 Weierstrass判别法,上述函数 项级数关于x∈(-∞,+∞)一致收敛。所以f(x)在(-∞,+∞)连续。 (3)处处不可导的证明 现考虑f(x)在任意一点x的可导性。由于f(x)的周期性,不妨设0≤x0(m→∞) 于是我们只要证明极限m(x+hm)-(x)不存在。 f(x+hm)-f(x) p(10(x+hn)-p(10x) 10"h q(10°(x+hn)-q(10x)、(0(x+hn)-9(10x) 10"h 10h 当n≥m时,q(10°(x+hm)=Q(10x±10m)=(10%x),所以 f(x+hm)-f(x)_v o(10"(+hm))-(10x) 0"h 当n=0,12…,m-1,在100x的表示中am的位置是第m-n位小数 10x=a1 10″(x+ hn)=a1a2… 由hn的取法,可知10°(x+hm)与10″x同时属于[k,k+或[+,k+1],因此 I( +h)) 于是我们得到 f(x+hm)-f(x)=F h 等式右端必定是整数,且其奇偶性与m一致,由此可知极限 lin f(x+h)-f(x) h 不存在,也就是说,f(x)在任意一点x是不可导的。这样,一个处处连续,但
注意当 x, y ] 2 1 ∈[k, k + 或 , 1] 2 1 [k + k + 时,成立|ϕ(x) −ϕ( y) |=| x − y |。 Van Der Waerden 给出的例子是: f (x) = ∑ ∞ = ϕ 0 10 (10 ) n n n x . 由 n n x 10 ϕ(10 ) ≤ n 2 10 1 ⋅ ,及∑ ∞ = ⋅ 0 2 10 1 n n 的收敛性,根据 Weierstrass 判别法,上述函数 项级数关于 x ∈ (−∞,+∞)一致收敛。所以 f (x) 在(−∞,+∞) 连续。 (3)处处不可导的证明 现考虑 在任意一点 x 的可导性。由于 的周期性,不妨设 , 并将 x 表示成无限小数 f (x) f (x) 0 ≤ x < 1 x = 0.a1a2…an…。 若 x 是有限小数时,则在后面添上无穷多个 0。然后我们取 hm= ⎩ ⎨ ⎧ − = = − − 10 , 4,9, 10 , 0,1,2,3,5,6,7,8, m m m m a a 当 当 例如设x = 0.309546…,则我们取h1 = ,h 1 10− 2 = ,h 2 10 − 3 = ,h 3 10 − − 4 = , h 4 10 − 5 = ,h 5 10 − − 6= 10 −6 ,…。显然 hm → 0 ( m → ∞ )。 于是我们只要证明极限 m m m h f (x h ) f (x) lim + − →∞ 不存在。 m m h f (x + h ) − f (x) = ∑ ∞ = ϕ + − ϕ 0 10 (10 ( )) (10 ) n m n n m n h x h x ∑ − = ϕ + − ϕ = 1 0 10 (10 ( )) (10 ) m n m n n m n h x h x ∑ ∞ = ϕ + − ϕ + n m m n n m n h x h x 10 (10 ( )) (10 ) 当n ≥ m时,ϕ (10n (x + hm)) = ϕ (10n x± ) = n−m 10 ϕ (10n x),所以 m m h f (x + h ) − f (x) ∑ − = ϕ + − ϕ = 1 0 10 (10 ( )) (10 ) m n m n n m n h x h x . 当n = 0,1,2,",m −1,在10n x的表示中am的位置是第m − n位小数, 10 . , n x = a1a2 "an an+1"am " 10 ( ) . ( 1) , n x + hm = a1a2 "an an+1" am ± " 由hm 的取法,可知 10n (x + hm)与10n x同时属于 ] 2 1 [k, k + 或 , 1] 2 1 [k + k + ,因此 ϕ ( (x + )) - n 10 hm ϕ ( x) = n 10 ± m n 10 h , 于是我们得到 m m h f (x + h ) − f (x) = ∑ , − = ± 1 0 1 m n 等式右端必定是整数,且其奇偶性与 m 一致,由此可知极限 m→∞ lim m m h f (x + h ) − f (x) 不存在,也就是说, f (x) 在任意一点 x 是不可导的。这样,一个处处连续,但
处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造出来了。 (4)电子课件演示 (5)总结 Weierstrass的反例构造出来后,在数学界引起极大的震动,因为对于这类函 数,传统的数学方法已无能为力,这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来 危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究,从而促成了 门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形”,就是指几何上的一种“形”,它 的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道,经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形,但是自然界存 在着许多不规则不光滑的几何图形,它们都具有上面所述的“自相似性”。如云 彩的边界;山峰的轮廓;奇形怪状的海岸线;蜿蜒曲折的河流;材料的无规则裂 缝,等等。这些变化无穷的曲线,虽然处处连续,但可能处处不可导。因此“分 形几何”自产生起,就得到了数学家们普遍的关注,很快就发展为一门有着广泛 应用前景的新的学科 通过这个例子,同学们可以了解到数学学科的发展规律,认识到一个反例如 何促成一门新学科的产生。希望同学们在今后的学习中,重视对反例的探索。 注意点 (1)在 Weierstrass反例的证明中,注意hn的符号的选取是证明的关键。这样的 符号选取保证了当n=0,1,2,…m-1时,10″(x+hn)与10″x或者同时属于 [k,k+与],或者同时属于[k+,k+1,从而有 fx+hn)-f(x)=9(0(x+hm)-9(0x)=罗 h 10”hn (2)在用电子课件演示 Weierstrass反例的几何性状时,应强调 Weierstrass函数 的局部与整体性质上的相似性,从而使学生对“分形”有一个初步的感性认识
处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造出来了。 (4)电子课件演示 (5)总结 Weierstrass 的反例构造出来后,在数学界引起极大的震动,因为对于这类函 数,传统的数学方法已无能为力,这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来 危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究,从而促成了一 门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形”,就是指几何上的一种“形”,它 的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道,经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形,但是自然界存 在着许多不规则不光滑的几何图形,它们都具有上面所述的“自相似性”。如云 彩的边界;山峰的轮廓;奇形怪状的海岸线;蜿蜒曲折的河流;材料的无规则裂 缝,等等。这些变化无穷的曲线,虽然处处连续,但可能处处不可导。因此“分 形几何”自产生起,就得到了数学家们普遍的关注,很快就发展为一门有着广泛 应用前景的新的学科。 通过这个例子,同学们可以了解到数学学科的发展规律,认识到一个反例如 何促成一门新学科的产生。希望同学们在今后的学习中,重视对反例的探索。 注意点 (1)在 Weierstrass 反例的证明中,注意 的符号的选取是证明的关键。这样的 符号选取保证了当 hm n = 0,1,2,",m −1 时, 10n (x + hm ) 与 10n x 或者同时属于 ] 2 1 [k, k + ,或者同时属于 , 1] 2 1 [k + k + ,从而有 m m h f (x + h ) − f (x) ∑ − = ϕ + − ϕ = 1 0 10 (10 ( )) (10 ) m n m n n m n h x h x = ∑ 。 − = ± 1 0 1 m n (2)在用电子课件演示 Weierstrass 反例的几何性状时,应强调 Weierstrass 函数 的局部与整体性质上的相似性,从而使学生对“分形”有一个初步的感性认识