习题4.4复合函数求导法则及其应用 求下列函数的导数 (3)y= √1+x3 (4) y=sinx; cos√x (7)y=√x+1-lhn(x+√x+1); y=arcsin(e-x): aD y=1+In2 x √1+cscx2 2 1√3x3+1 解(1)y2=2(2x2-x+1)(2x2-x+1y=2(2x2-x+1)(4x-1)。 (2)y=e2(sin 3x)+(e2)'sin 3x=e2(3 cos 3x+2sin 3x) (1+x3)2(1+x3)y=-5x2(1+x3) (4)y In 1-In (5)y=cosx(x)=3x cosx (6)y=-smx(xy=-出x。 70
70 习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y xx = −+ ( ) 2 1 2 2 ； ⑵ y x x = e sin 2 3 ； ⑶ y x = + 1 1 3 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x = sin 3； ⑹ y x = cos ； ⑺ yx xx = +− + + 1 1 ln( )； ⑻ y x = − arcsin (e ) 2 ； ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 1 ln x y x ； ⑽ y x x = + 1 2 2 2 ( sin ) ； ⑾ y x x x = + − 1 1 2 2 ln ； ⑿ y x x = 1+ 2 csc ； ⒀ y x x = − + + 2 2 1 3 3 1 3 2 4 3 ； ⒁ y x = − e sin2 ； ⒂ y xa x x a x = −+ − 2 2 2 2 . 解 （1） ' 2(2 1)(2 1)' 2(2 1)(4 1) 2 2 2 y = x − x + x − x + = x − x + x − 。 （2） ' (sin 3 )' ( )'sin 3 (3cos3 2sin 3 ) 2 2 2 y e x e x e x x x x x = + = + 。 （3） 2 3 2 3 2 3 3 3 (1 ) 2 3 (1 ) (1 )' 2 1 ' − − y = − + x + x = − x + x 。 （4） 2 1 2 ' 2 1 2 ln ln 1 ln 2 ln 1 ' ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x x x x x x x y 。 （5） 3 3 2 3 y'= cos x (x )'= 3x cos x 。 （6） x x y x x 2 sin '= −sin ( )'= −
(x+1)”( +1 2√x+1x+√x+12√ 2√1+x( x 9)y'=[n(x4-1)-ln(x2 2x4+2 (10)y=(2 -2(2x+sin x) 4x+ cos x) 2x2+sin x)(2x2+sin x)' (1+ln2x) (1+ln2xx√1-x2) x2(1-x2) 2(1-x2)lnx-(1+ln2x)(1-2x2) (12) x'√l+cscx2-x(√1+csx2) (cot x csc x).(2x) 1+cscx2+x csc x cot x2 (+cscw (13) )+( =2(-)(2x2-1)(4x)+3(--)3x3+1)(9x 8 2x2 27 (14)y=esin(-sin?x)'=-sin 2xe-in
71 （7） 1 ( 1)' ( 1)' ' 2 1 1 x xx y x xx + ++ =⋅ − + ++ = 1 1 21 2 1 21 ( 1 ) x x xx x + + − + + ++ = 1 1 21 ( 1 ) x x x x x −− + + + + 。 （8） 2 2 2 2 2 2 (e )' 2 e ' 1 (e ) 1 e x x x x x y − − − − − = = − − = 1 2 2 2 − − x e x 。 （9） 4 4 2 4 ( 1)' 1 ' [ln( 1) ln( ]' 2 1 x yx x x x − = −− = − − = 4 4 2 2 ( 1) x x x + − 。 （10） 2 2 3 2(2 sin )' ' (2 sin ) x x y x x − + = + = 2 3 (2 sin ) 2(4 cos ) x x x x + − + 。 （11） 2 22 2 2 2 (1 ln ) ' 1 (1 ln )( 1 )' ' (1 ) x x x xx x y x x + − −+ − = − = 2 3 2 2 2 2 2 (1 ) 2(1 )ln (1 ln )(1 2 ) x x x x x x − − − + − 。 （12） 2 2 2 ' 1 csc ( 1 csc )' ' 1 csc x xx x y x + −+ = + 2 2 2 2 2 1 ( cot csc ) (2 ) 1 csc 2 1 csc 1 csc x x x x x x x − ⋅ + −⋅⋅ + = + 22 2 2 3 2 2 1 csc csc cot (1 csc ) x xxx x + + = + 。 （13） 3 2 3 4 2 3 ' ( )' ( )' 21 31 y x x = + − + 4 5 2 32 3 4 1 1 2( )(2 1) (4 ) 3( )(3 1) (9 ) 3 4 x x xx − − = − − +− + 4 5 2 23 3 4 8 27 (2 1) (3 1) 3 4 xx x x − − =− − − + 。 （14） 2 sin 2 ' e ( sin )' x y x − = − 2 sin sin 2 x x e− =− ⋅
(a2-x2+1)·(-÷)(-2x) (15)y'=( G23y=2 (√a2-x2)3 2.求下列函数的导数 (1)y=Isin x (2)y=In(csc x-cot x); 3)y t a arcsin (4)y=ln(x+√x2+a2); 解( In x sInx (2) (csc x-cot x) -cot xcscx-(CSc- x) CSC x o cscx-cot x cscx-cot x (3)y20I'va2-x+x(a-x)'+a(arcsin a>0 a2-x2+x() ,a<0 2 (4)y'= x (5)y=tx2-a+x2-ay-a2(+=a)y 3.设f(x)可导,求下列函数的导数:
72 （15） 2 2 2 2 ( ) ' ( )' x ax x y a x − + = − 2 2 2 2 2 2 2 23 1 ( 1) ( ) ( 2 ) 3 1 2 ( ) x ax x a x ax ax − + ⋅− ⋅− − + = + − − 4 22 4 2 3 2 2 2 2 3 ( ) x ax a a a x − ++ = − 。 ⒉ 求下列函数的导数： ⑴ y x = ln sin ； ⑵ y = ln(csc x − cot x)； ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + a x y x a x a arcsin 2 1 2 2 2 ； ⑷ y x xa =++ ln( ) 2 2 ； ⑸ y xx a a x x a = −− + − 1 2 22 2 22 ( ln( ) . 解 （1） 1 ' (sin ) ' cot sin y xx x = = 。 （2） (csc cot ) ' ' csc cot x x y x x − = = − 2 cot csc ( csc ) csc csc cot xx x x x x − −− = − 。 （3） 1 22 22 2 ' ' ( )' (arcsin )' 2 x y xa x xa x a a ⎛ ⎞ = −+ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 22 2 22 2 1 1 1 (2) ( ) 2 2 1 x a axx a a x x a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = −+ + − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 , 0, , 0. ax a x a a x ⎧ − > ⎪ = ⎨ ⎪− < ⎩ − 。 （4） 2 2 2 2 ( )' ' x x a y x x a + + = + + 2 2 2 2 2 1 2 x x a x x a + + = + + 2 2 1 x a = + 。 （5） 2 2 22 22 2 2 2 1 ( )' ' [ ' ( )' ] 2 x xa y xx a xx a a x xa + − = −+ − − + − 2 2 22 2 22 22 1 1 2 x x x a xa x a x a x xa ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ − = − + −⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − +− ⎣ ⎦ = 2 2 x − a 。 ⒊ 设 f x( )可导，求下列函数的导数：
(1)f(yx2); In x (3)√f(x); (4)arc tanf(x) (5)f(f(ex2) (6)sin(f(sin x)) f(x) f(() 解(1)f(√x2)=f(x2x2)=2x5f(x3) (2)1)=1)(1)=1 lnx八Ir Inx (3)I(x)= [f(x) ∫(x) f(x) 2√f(x) (4)[arctan f(x) 1+[f(x)2 (x)y=./(x) 1+f(x (5)[f(f(e)=f(f(e2)Lf(e)=ff(e2)/(e)(e) =2xef(e)f(f(e2)。 (6)sin(f(sin x)I'=cos(f(sin x))((sin x)'=cos(f(sin x))/'(sin x)(sin x) cos(f(sin x))f(sin x )cosx (7) f(x) f(x)八f(x)f2(x)(f( (8) f∫(f(x) fU(x)) 2((x) [f(x)= f'f(x))f(x) ((x) 4.用对数求导法求下列函数的导数: (1)y=x (x'+sin xiF
73 ⑴ f x ( ) 3 2 ； ⑵ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f ln 1 ； ⑶ f x( ) ； ⑷ arc tan f (x) ； ⑸ f fex ( ( )) 2 ； ⑹ sin ( (sin )) f x ； ⑺ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) 1 f x f ； ⑻ 1 f fx ( ( )) . 解 （1） 3 33 2 22 f ( )' '( )( )' x fx x = = '( ) 3 2 3 2 3 1 x f x − 。 （2） 1 11 ' ln ln ln f f x x x ′ ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ) ln 1 '( ln 1 2 x f x x − 。 （3） 1 [ ( )]' [ ( )]' 2 () f x fx f x = = 2 ( ) '( ) f x f x 。 （4） 2 1 [arctan ( )]' [ ( )]' 1 [ ( )] f x fx f x = + = 1 ( ) '( ) 2 f x f x + 。 （5） 2 22 [ ( ( ))]' '( ( ))[ ( )]' x xx f fe f fe fe = 2 22 '( ( )) '( )( )' x xx = f fe f e e =2 '( ) '( ( )) 2 2 2 x x x xe f e f f e 。 （6）[sin ( (sin ))]' cos( (sin ))( (sin )) ' f x f xf x = = cos( (sin )) '(sin )(sin ) ' f xf x x =cos( f (sin x)) f '(sin x)cos x。 （7） 1 11 ' () () () f f f x fx fx ′ ′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ( ) 1 ' ( ) '( ) 2 f x f f x f x 。 （8） 2 1 '( ( )) [ ( )]' ( ( )) ( ( )) f fx f x f fx f fx ′ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ = ( )2 ( ( )) '( ( )) '( ) f f x f f x f x − 。 ⒋ 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴ y x x = ； ⑵ y ( ) x x x 1 3 = + sin ； ⑶ y x x = cos ； ⑷ y x x = ln ( ) 2 1 + ；
y=∏I(x-x); (7)y=sin x 解由于(ny)=y,所以y=yny)。 (1) Iny=xIn x, y'=y(In y)'=y[x'Inx+x(Inx)=(1+Inx)x (2) Iny=-In(x'+sinx) y=y(ny)=yll- In(x'+sinx)+[in(x+sinx) x +sinx 1[ 3x2+cos x_(x'+sin x)I x(x +sin x) (3) In y=xIn cosx y'=y(xIn cos x)'=ylx'ln cos x+x(In cos x)]=(In cos x-x tan x)cosx (4) In y=x InIn(2 y=ylx'In In(2x+1+xInIn(2x+D)] InIn(2x+1)+ ln2(2x+1) (2x+1)ln(2x+1) (5) In y=Inx+=In(1-x2)--In(1+x) y'=ynx)+(n(1-x2)-(n(1+x) 3: (6) In v=>In(x-x
74 ⑸ y x x x = − + 1 1 2 3 ； ⑹ y xxi i n = − = ∏( ) 1 ； ⑺ y x x = sin . 解 由于 ' (ln )' y y y = ，所以 yyy ' (ln )' = 。 （1）ln ln yxx = , ' (ln )' [ 'ln (ln )'] (1 ln ) x y y y yx x x x xx = = + =+ 。 （2） ( ) 1 3 ln ln sin y xx x = + ， ( ) ( ) 1 1 3 3 yyy y x x x x ' (ln )' ln sin ln sin ' x x ⎡ ⎤ ′ ⎛⎞ ⎛⎞ = = ++ + ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + 2 3 3 2 1 3 ln( sin ) ( sin ) 3 cos ( sin ) x x x x x x x x x x x 。 （3）ln ln cos yx x = ， y yx x yx x x x ' ( ln cos ) ' [ 'ln cos (ln cos )'] = =+ =( x x x) x x ln cos − tan cos 。 （4）ln ln ln(2 1) yx x = + ， y yx x x x ' [ 'ln ln(2 1) (ln ln(2 1)) '] = ++ + = ln (2 1) (2 1)ln(2 1) 2 lnln(2 1) + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + x x x x x x 。 （5） 1 1 2 3 ln ln ln(1 ) ln(1 ) 2 2 yx x x = + −− + ， 1 1 2 3 ' [(ln )' (ln(1 ))' (ln(1 ))'] 2 2 yy x x x = + −− + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − + − 2(1 ) 3 1 1 1 1 3 2 2 3 2 x x x x x x x x 。 （6） 1 ln ln( ) n i i y xx = = − ∑
y'=y∑hn(x-x)=∏(x-x)∑ (7)令 =√xlnx,则 =l(√x)nx+√x(nx)!]=l( In x 2+In ,于是 y’=(sina)(a) 2+lnx√x x COS x √x 5.对下列隐函数求 dx (1)y=x+arc tany; y+re=l (3)√x-cosy=siny-x; (4)xy-ln(y+1)=0; y2=0; (7)2ysin x+xlny=0: (8)x3+y3-3axy=0 解(1)在等式两边对x求导,得到 y=x+(arctan y)=1+,5 解得 (2)在等式两边对x求导,得到 y+x'e+xe'y=y(1+ xe)+e'=0 解得 1+xeJ (3)等式两边平方,再对x求导,得到
75 1 ' [ ln'( )] n i i y y xx = = − ∑ =∏ ∑ = = − − ⋅ n i n i i i x x x x 1 1 1 ( ) 。 （7）令 , ln ln x ux u xx = = ，则 ln 1 2 ln ' [( )'ln (ln )'] ( ) ( ) 2 2 x x uux x x x u u x x x + = + = += ，于是， y uu ' (sin ) '( ) ' = = x x x x x x cos 2 2 + ln 。 ⒌ 对下列隐函数求 dy dx ： ⑴ y = x + arc tan y ； ⑵ y x y + e 1 = ； ⑶ x y yx − =− cos sin ； ⑷ xy y − ln( ) + 1 0 = ； ⑸ e xy x y 2 2 0 + − = ； ⑹ tan(x + y) − xy = 0； ⑺ 2 0 y xx y sin ln + = ； ⑻ x y axy 3 3 + − 3 0 = . 解 （1）在等式两边对 x求导，得到 2 ' ' ' (arctan )' 1 1 y yx y y = + =+ + ， 解得 y '= 2 2 1 y + y 。 （2）在等式两边对 x求导，得到 ' ' ' '(1 ) 0 y y yy y x e xe y y xe e + + = + += ， 解得 y ' = y y xe e + − 1 。 （3）等式两边平方，再对 x求导，得到
l+siny·(y)'=2(siny-x)(cosy·(y)-1) 解得 (4)在等式两边对x求导,得到 0, 解得 (5)在等式两边对x求导,得到 (x2+y)-(xy2)'=ex+(2x+y)-(y2+2xy)=0 解得 (6)在等式两边对x求导,得到 (x+y)(x+y)-(xy) (x+y)(1+y)-(y+xy")=0 解得 y)-y (7)在等式两边对x求导,得到 y(sin x)+(xIn y)'= 2y 解得
76 1 sin ( ) ' 2(sin )(cos ( ) ' 1) + yy yx yy ⋅ = − ⋅− ， 解得 y ' = y x y y y x 2(sin )cos sin 1 2(sin ) − − + − 。 （4）在等式两边对 x求导，得到 1 ' ' [ln( 1)]' ' ' 0 1 x y xy y y xy y y + − + =+ − = + ， 解得 y ' = x xy y y − − + 1 2 。 （5）在等式两边对 x求导，得到 2 2 22 2 ( )' ( )' (2 ') ( 2 ') 0 xy xy e x y xy e x y y xyy + + +− = + − + = ， 解得 2 2 2 2 ' 2 x y x y xe y y e xy + + − = − − 。 （6）在等式两边对 x求导，得到 2 2 sec ( )( )' ( )' sec ( )(1 ') ( ') 0 x y x y xy x y y y xy + + − = + + −+ = ， 解得 2 2 sec ( ) ' sec ( ) x y y y x x y + − = − + 。 （7）在等式两边对 x求导，得到 ' 2 'sin 2 (sin )' ( ln )' 2 'sin 2 cos ln 0 y y x y x x y y x y x yx y + + = + + +⋅ = ， 解得
2y cosx+yIn (8)在等式两边对x求导,得到 3x+3yy'-3ax'y-3axy'=3(x+yy'-ay-axy)=0 解得 6.设所给的函数可导,证明: (1)奇函数的导函数是偶函数;偶函数的导函数是奇函数 (2)周期函数的导函数仍是周期函数。 证(1)设f(x)为奇函数,则 fex=lim f(-x+A)-/(-x)=lmt/(x-A)--f(x △x s lim f(x+(Ax))-f(=f(x); 设f(x)为偶函数,则 f(x)=lim /-=x+Ax)-f(-=x)=lim/(x-Ax)-f(x) Ar→0 lim f(x+(-△x)-f(x) (2)设f(x)是周期为r的函数,则 f'(x+)=lim (x T)+Ax)-f(x+T)=lim /(x+Ax)-f(x) f'(x)。 Ax→0 Ax→0 7.求曲线x+lny=1在M(1)点的切线和法线方程。 解对方程两边求导,得到y+xy+少=0,解得y=-y,,将(1)代 y 入得到y(1)=-1。于是切线方程为y-1=-1(x-1),即
77 2 2 cos ln ' 2 sin y xy y y x y x + = − + 。 （8）在等式两边对 x求导，得到 2 2 22 3 3 ' 3 ' 3 ' 3( ' ') 0 x y y ax y axy x y y ay axy + − − = + −− = ， 解得 2 2 ' ay x y y ax − = − 。 6． 设所给的函数可导，证明： ⑴ 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； ⑵ 周期函数的导函数仍是周期函数。 证 ⑴设 f x( )为奇函数，则 0 0 ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] '( ) lim lim x x f x x f x fx x fx f x ∆→ ∆→ x x − +∆ − − − −∆ − − −= = ∆ ∆ 0 ( ( )) ( ) lim '( ) ( ) x fx x fx f x −∆ → x + −∆ − = = −∆ ； 设 f x( )为偶函数，则 0 0 ( ) ( ) ( ) () '( ) lim lim x x f x x f x fx x fx f x ∆→ ∆→ x x − +∆ − − −∆ − −= = ∆ ∆ 0 ( ( )) ( ) lim '( ) ( ) x fx x fx f x −∆ → x + −∆ − =− =− −∆ 。 （2）设 f x( )是周期为T 的函数，则 0 0 (( ) ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim '( ) x x f x T x fx T fx x fx f xT fx ∆→ ∆→ x x + +∆ − + +∆ − += = = ∆ ∆ 。 7．求曲线 xy + ln y = 1在M (1,1)点的切线和法线方程。 解 对方程两边求导，得到 ' ' 0 y y xy y + + = ，解得 2 ' 1 y y xy = − + ，将(1,1) 代 入得到 1 '(1) 2 y = − 。于是切线方程为 1 1 ( 1) 2 y x − =− − ，即
x+2y-3=0, 法线方程为y-1=2(x-1),即 8.对下列参数形式的函数求 (2)x=1-r bt y=I y=I cost y=be x=a cos X (6) y=asin T, y=ch bt t+1 X 7) t-1 (8) x=e cos t x=ln(1+t2) (9) y=e sin- t y=t-arc tant 解:(1)如=y=3=3b dx 2at 2 (2)如=y=1-32=312-1 d x (3) dy y' 2t cost-I sint 2 cost-tsint dx x' 2tsint+( 2 cost 2 sint +t cost (4) dx x ae (5) dy y basin t cost tant o dx x' 3a cos t(-sint) (6) dy y bshbt dx x achat
78 x y + −= 2 30， 法线方程为 y x −= − 1 2( 1)，即 2 10 x y − −= 。 8． 对下列参数形式的函数求 dy dx ： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = = ; , 3 2 y bt x at ⑵ ⎩ ⎨ ⎧ = − = − ; 1 , 3 2 y t t x t ⑶ ⎩ ⎨ ⎧ = = cos ; sin , 2 2 y t t x t t ⑷ ⎩ ⎨ ⎧ = = − e ; e , t t y b x a ⑸ ⎩ ⎨ ⎧ = = sin ; cos , 3 3 y a t x a t ⑹ ⎩ ⎨ ⎧ = = ch ; sh , y bt x at ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ; 1 , 1 t t y t t x ⑻ ⎩ ⎨ ⎧ = − = + 1 ; 1 , y t x t ⑼ ⎩ ⎨ ⎧ = = − − e sin ; e cos , 2 2 2 2 y t x t t t ⑽ ⎩ ⎨ ⎧ = − = + arc tan . ln(1 ), 2 y t t x t 解：（1） 2 '3 3 '2 2 dy y bt bt dx x at a == = 。 （2） 2 2 ' 13 3 1 '2 2 dy y t t dx x t t − − == = − 。 （3） 2 2 ' 2 cos sin 2cos sin ' 2 sin cos 2sin cos dy y t t t t t t t dx x t t t t t t t − − == = + + 。 （4） 2 ' '( ) t t t dy y be b e dx x ae a − = = =− − 。 （5） 2 2 ' 3 sin cos ' 3 cos ( sin ) dy y a t t dx x a t t = = − =− tan t 。 （6） ' sh ' ch dy y b bt dx x a at = =
(7)少=y= d_y'_2 (9) d y sin- t+e (sint-cost)tant 2e cos t+e 2 cost(-sint) sin t+ cos t (10) y J d x 9.求曲线x=2+r2 上与t=1对应的点处的切线和法线方 1+t 程。 解将t=1代入参数方程,有x=3,y=1。经计算, t)≈(2t+12)(1+t)-(21+t2)1+1)(2+2)(1+t)-(2+12)3r2 (1+t) P()=21-1)(1+t2)-(21-)1+t)(2-2)1+t)-(21-12)2 十 (1+r3)2 2t-4t3+t (1+r3)2 于是 当t=1时,如、3 d x 1 3,所以切线方程为 79
79 （7） 1 2 1 2 ' (1 )' 1 ' (1 )' dy y t t dx x t t − − − − + − = = = =− − 。 （8） 1 ' 1 2 1 ' 1 1 2 1 dy y t t dx x t t − − + = = =− − + 。 （9） 22 2 22 2 ' 2 sin 2sin cos (sin cos ) tan ' 2 cos 2cos ( sin ) sin cos t t t t dy y e t e t t t t t dx x e t e t t t t − − − − −+ − == = −+− + 。 （10） 2 2 1 1 ' 1 ' 2 2 1 dy y t t dx x t t − + == = + 。 9．求曲线 3 2 1 2 t t t x + + = ， 3 2 1 2 t t t y + − = 上与t = 1对应的点处的切线和法线方 程。 解 将t =1代入参数方程，有 3 1 , 2 2 x y = = 。经计算， 2 3 2 3 3 22 32 32 (2 )'(1 ) (2 )(1 )' (2 2 )(1 ) (2 )3 '( (1 ) (1 ) tt t tt t t t tt t x t t + +− + + + +− + = = + + t) 3 4 3 2 22 4 (1 ) ttt t +− − = + ， 2 3 2 3 3 22 32 32 (2 )'(1 ) (2 )(1 )' (2 2 )(1 ) (2 )3 '( ) (1 ) (1 ) tt t tt t t t tt t y t t t − +−− + − +− − = = + + 3 4 3 2 22 4 (1 ) ttt t −− + = + 。 于是 3 4 3 4 22 4 22 4 dy t t t dx t t t −− + = +− − 。 当t =1时， 3 4 3 1 4 dy dx − = = − ，所以切线方程为