习题4.3导数四则运算和反函数求导法则 1.用定义证明(cosx)=-sinx 证由于 -2 sin(x+ 根据sinx的连续性和sin()-(△x→0),可知 lim cos(x+△x)-cosx =-lim sin(x +-).lim smnx。 2Ax→0Ax 2.证明 (1)(csc x)'=-cot xcscx; (2)(cot x)=-cSc2x; (3)(arccos)= (4)(arccot x) 解(1)( (csc x) (sin x) cos x =-cot x cscx o sIn x sin x sin x (2)(cot x) (tan x) (3)(arccos)=(I arcsinx)=一 (4)(arccot x)=(-arctan x)'= (5)(ch ( chy)'shy ch2y-l√2 (6)(th-x) (thy)' sech'y I-th2y 1-x2
习 题 4.3 导数四则运算和反函数求导法则 ⒈ 用定义证明(cos x x )′ = − sin 。 证 由于 2 )sin 2 cos( ) cos 2sin( x x x x x x ∆ ∆ + ∆ − = − + ， 根据sin x 的连续性和sin( ) ( 0) 2 2 x x x ∆ ∆ ∼ ∆ → ，可知 0 0 0 sin cos( ) cos 2 lim lim sin( ) lim sin 2 2 x x x x x x x x x x ∆ → x ∆ → ∆ → x ∆ + ∆ − ∆ = − + ⋅ = − ∆ ∆ 。 2. 证明： ⑴ (csc x)′ = −cot x csc x ； ⑵ x x 2 (cot )′ = −csc ； ⑶ (arccos x) x ′ = − − 1 1 2 ； ⑷ 2 1 1 (arc cot ) x x + ′ = − ； ⑸ (ch ) − ′ = − 1 2 1 1 x x ； ⑹ (th ) (cth ) − − ′ = ′ = − 1 1 2 1 1 x x x 解（1） x x x x x x x x cot csc sin cos sin (sin )' sin 1 (csc )' 2 2 ' = − = − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 。 （2） x x x x x x x x 2 2 2 2 2 ' csc sin 1 tan sec tan (tan )' tan 1 (cot ) = − = − = − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ = 。 （3） 2 1 1 arcsin )' 2 (arccos ) ( x x x − ′ = − = − π 。 （4） 2 1 1 arctan )' 2 (arc cot ) ( x x x + ′ = − = − π 。 （5） 1 2 2 1 1 1 1 (ch ) (ch )' sh ch 1 1 x y y y x − ′ = = = = − − 。 （6） 1 2 2 1 1 1 1 (th ) = (th )' sech 1 th 1 x y y y − ′ = = = 2 − − x ， 64
chy 3.求下列函数的导函数 (1)f(x)=sinx+Inx-vxi (2)f(x)=xcosx+x+3 SInx: (4)f(x)=x(3 tan x+2 sec x) 3 2sinx +x-2x (5)f(x)=er sin x-4 cosx+ (6)f(x)= (7)f(x)=-; xsin x-2Inx (8)f(x)= x+ cos x x3+ (9)f( 0f(x) aD f(x)=( 3f(x) x+ sec x (4f(r)=x+sinx 解(1)∫(x)=(3sinx)+(nx)-(√xy=3cosr×1/ctnx ∫(x)=x +(x)+(3=cos x-xsin x 2x (3)(x)=(x2+7x-5)'sinx+(x2+7x-5)(sin x) (2x+7)sinx+(x2+7x-5) (4)f(x)=(x2) (tan x+ 2 sec x)+x'(3tanx+2sec x) 2x(3 tan x+2 x)+x(sec- x+2 tan xsec x) ∫(x)=(e) (sin x)-(4 cos x)+(F) (sin x + cos x)+sinx (6)∫(x)=(x+2sinx-2)x3+(x+2
1 2 2 1 1 1 (cth ) (cth )' csch cth 1 1 x y y y − ′ = = − = − = 2 1 − − x 。 3. 求下列函数的导函数： ⑴ f (x) = 3sin x + ln x − x ； ⑵ ( ) cos 3 2 f x = x x + x + ； ⑶ f x( ) = + (x x − )sin x 2 7 5 ； ⑷ ( ) (3tan 2sec ) 2 f x = x x + x ； ⑸ f x x x x x ( ) = − e sin 4 cos + 3 ； ⑹ f x x x x x ( ) sin = 2 2 + − 3 2 ； ⑺ f x x x ( ) cos = + 1 ； ⑻ f x x x x ( ) sin ln = − x + 2 1 ； ⑼ x x x f x ln cot ( ) 3 + = ； ⑽ f x x x x x x x ( ) sin cos sin cos = + − ； ⑾ f x x x x ( ) = + (e log3 ) arcsin ； ⑿ f (x) (csc x 3ln x)x sh x 2 = − ； ⒀ f x x x x x ( ) sec csc = + − ； ⒁ x x x f x arc tan sin ( ) + = ； 解 （1） x x f x x x x x 2 1 1 '( ) = (3sin )'+(ln )'−( )'= 3cos + − 。 （2） f '(x) = x'cos x + x(cos x)'+(x 2 )'+(3)'= cos x − x sin x + 2x 。 （3） '( ) ( 7 5)'sin ( 7 5)(sin )' 2 2 f x = x + x − x + x + x − x (2x 7)sin x (x 7x 5) cos x 2 = + + + − 。 （4） '( ) ( )'(3tan 2sec ) (3tan 2sec )' 2 2 f x = x x + x + x x + x 2 (3tan 2sec ) (3sec 2 tan sec ) 2 2 = x x + x + x x + x x 。 （5） )' 3 '( ) ( )'sin (sin )' (4cos )' ( x f x e x e x x x x = + − + 3 2 3 (sin cos ) 4sin 2 x e x x x x − = + + − 。 （6） '( ) ( 2sin 2 )' ( 2sin 2 )( )' 3 2 3 2 − − f x = x + x − x + x + x − x x x 65
2 (1+2cos x-2 In 2)x3-=(x+2sin x-2)x 3 (7) (x+cos x) sIn x (8)/(r)=(xsinx-2Inx)(Vx+1)-(xsinx-2Inx)(x+1y x 2( sinx+x2cosx-2)(√x+1)-√x( siNx-2lnx) 2x(√x+1) (9)f(x) (x'+cot x),'Inx-(x'+cot x) (In x)" In c x)xInx-x'-cot x xIn- x (10)f(x)=(1+ xsinx- Cos x (2 cos x)(xsin x-cos x)-2 cos x(xsin x-cos x) 2(x+sin x cos x) (11) f(x)=(e+log, xy'arcsinx+(e+logs x)(arcsin x) (12)f'(x)=(cscx-3Inx)'x'shx+(cscx-3Inx(x'shx 3In x)x(shx) -(cot xcscx +-)xshx+(csc x-3In x)(2x)shx+(cscx-3Inx)xchx 3x)shx +x(csc x-3 In x)(2shx xchx) (13)f(x) (+sec x(x-cscx)-(x+ sec x)(x-csc x) (1+ tan x sec x)(x-csc x)-(x+ sec x (1+ cot xcsc x)
3 5 3 2 ( 2sin 2 ) 3 2 (1 2cos 2 ln 2) − − = + x − x − x + x − x x x 。 （7） 2 2 ( cos ) sin 1 ( cos ) ( cos )' '( ) x x x x x x x f x + − = + + = − 。 （8） 2 ( 1) ( sin 2ln )'( 1) ( sin 2ln )( 1)' '( ) + − + − − + = x x x x x x x x x f x 2 2 2 ( 1) 2( sin cos 2)( 1) ( sin 2ln ) + + − + − − = x x x x x x x x x x x 。 （9） 3 3 2 ( cot )'ln ( cot )(ln ) '( ) ln x x x x x x ' f x x + − + = 2 2 3 2 (3 csc ) ln cot ln x x x x x x x x − − − = 。 （10） )' sin cos 2cos '( ) (1 x x x x f x − = + 2 ( sin cos ) (2cos )'( sin cos ) 2cos ( sin cos )' x x x x x x x x x x x − − − − = 2 ( sin cos ) 2( sin cos ) x x x x x x − − + = 。 （11） '( ) ( log )'arcsin ( log )(arcsin )' 3 3 f x e x x e x x x x = + + + 2 1 1 ) ln3 ln ) arcsin ( ln3 1 ( x x x e x ex x − = + + + 。 （12） 2 2 f '(x x ) = − (csc 3ln x)' x shx + (csc x − 3ln x)(x )'shx 2 + − (csc x 3ln x x) (shx)' x x x x x x x x x x x x x ) sh (csc 3ln )(2 )sh (csc 3ln ) ch 3 (cot csc 2 2 = − + + − + − ( cot csc 3 )sh (csc 3ln )(2sh ch ) 2 = − x x x + x x + x x − x x + x x 。 （13） 2 ( csc ) ( sec )'( csc ) ( sec )( csc )' '( ) x x x x x x x x x x f x − + − − + − = 2 ( csc ) (1 tan sec )( csc ) ( sec )(1 cot csc ) x x x x x x x x x x − + − − + + = 。 66
(14)G(+sin x)arctan x-(x+sin x)(arctan x) arctan"x (1+x(+ cos x)arctan x-(x+sin x) 4.求曲线y=lnx在(e,1)处的切线方程和法线方程。 解因为y(e) 1,切线方程为 y=-(x-e)+ 法线方程为 y=-e(x-e)+1=-ex+(e+1) 5.当a取何值时,直线y=x能与曲线y=log。x相切,切点在哪里? 解设切点为(x0,x),由于y=x是y=f(x)=lgnx的切线,其斜率为1 所以f(x0)=xma=1,故x=1。又由f(x)= loga x=na 得到 xo 即x0=e,从而a 切点为 6.求曲线y=xn(n∈N+)上过点(1)的切线与x轴的交点的横坐标xn, 并求出极限limy(xn)。 解因为y()=mnx1=n,所以过点1)的切线为y=m(x-1)+1,它与 x轴交点的横坐标为x=n-,因此 n lim y(x)=lim(-) 7.对于抛物线y=ax2+bx+c,设集合 S1={(x,y)过(x,y)可以作该抛物线的两条切线}; S2={(x,y)过(x,y)只可以作该抛物线的一条切线} S3={(x,y)过(x,y)不能作该抛物线的切线}, 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件
（14） x x x x x x x f x 2 arctan ( sin )'arctan ( sin )(arctan )' '( ) + − + = x x x x x x x 2 2 2 (1 ) arctan (1 )(1 cos ) arctan ( sin ) + + + − + = 。 4. 求曲线 y x = ln 在(e,1)处的切线方程和法线方程。 解 因为 x e y e x e 1 1 '( ) = = = ，切线方程为 1 ( ) 1 x y x e e e = − + = , 法线方程为 2 y e = − ( ) x − e +1 = −ex + (e +1)。 5. 当a取何值时，直线 y = x 能与曲线 y x = a log 相切，切点在哪里？ 解 设切点为(x0 , x0 )，由于 y = x 是 ( ) loga y f = x = x的切线，其斜率为 1， 所以 1 ln 1 '( ) 0 0 = = x a f x ，故 a x ln 1 0 = 。又由 0 0 0 ln ( ) log ln a x 0 f x x a = = = x ，得到 ln x0 = 1，即 x = e 0 ，从而 ，切点为 。 −1 = e a e (e, e) 6．求曲线 y = x（n n ∈ N+）上过点( , 1 1)的切线与x轴的交点的横坐标 ， 并求出极限 。 x n lim ( ) n n y x →∞ 解 因为 y nx n x n = = = − 1 1 '(1) ，所以过点( , 1 1)的切线为 y = n(x −1) +1，它与 x轴交点的横坐标为 1 n n x n − = ，因此 n e n y x n n n n 1 ) 1 lim ( ) lim( = − = →∞ →∞ 。 7. 对于抛物线 y a = + x 2 bx + c ，设集合 S1 = {(x, y) | 过(x, y)可以作该抛物线的两条切线}； S { 2 = (x y, )|过(x y, )只可以作该抛物线的一条切线}； S3 = {( , x y)|过( , x y)不能作该抛物线的切线}， 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。 67
解a≠0,不妨设a>0,抛物线开口向上。过(x,y)可以作该抛物线 两条切线当且仅当(x,y)在该抛物线的下方,即yax2+bx+c,因此 S,=x, y)la(ax2+bx+c-v)>oo 过(x,y)只可以作该抛物线一条切线当且仅当(x,y)在该抛物线上 所以 S2=(x,y)|ax2+bx+c-y=0}。 由此得到 S,=(S, US,)=x, y)la(ax2+bx+c-v)<oo 8.(1)设f(x)在x=x0处可导,g(x)在x=x0处不可导,证明 cf(x)+c2g(x)(c2≠0)在x=x0处也不可导 (2)设f(x)与g(x)在x=x0处都不可导,能否断定c1f(x)+c2g(x)在 x=x0处一定可导或一定不可导? 解(1)记h(x)=c1f(x)+c2g(x),当c2≠0时,如果h(x)在x=x处可导 则g(x)=[h(x)-c1f(x)/c2在x=x处也可导,从而产生矛盾 (2)不能断定。如g(x)=f(x)=,当c1==c2时,c1f(x)+c2g(x)在x=0 处是可导的;当c1≠-c2时,cf(x)+c28(x)在x=0处不可导。 9.在上题的条件下,讨论f(x)g(x)在x=x0处的可导情况。 解函数f(x)=c在x=0处可导,g(x)=x在x=0处不可导,则f(x)g(x) 当c=0时在x=0处可导,当c≠0时在x=0处不可导 函数f(x)=g(x)=x在x=0处都不可导,但f(x)g(x)=x2在x=0处可 导。函数f(x)=g(x)=sgn|x在x=0处都不可导,f(x)g(x)=sn|x在x=0
解 a ≠ 0，不妨设a > 0，抛物线开口向上。过(x, y)可以作该抛物线 两条切线当且仅当(x, y)在该抛物线的下方，即 y ax 2 + bx + c ，因此 {( , )| ( ) 0} 2 S1 = x y a ax + bx + c − y > 。 过(x, y)只可以作该抛物线一条切线当且仅当(x, y)在该抛物线上， 所以 {( , )| 0} 2 S2 = x y ax + bx + c − y = 。 由此得到 ( ) {( , ) | ( ) 0} 2 S3 = S1 S2 = x y a ax + bx + c − y < C ∪ 。 8. ⑴ 设 f x( ) 在 x = x0 处可导， g x( ) 在 x = x0 处不可导，证明 c f 1 2 ( ) x + ( c g x) (c2 ≠ 0)在 x = x0处也不可导。 ⑵ 设 与 在 处都不可导, 能否断定 在 处一定可导或一定不可导？ f x( ) g x( ) x = x0 ( ) ) 1 2 c f x + c g(x x = x0 解 （1）记 ( ) ( ) ) 1 2 h x = c f x + c g(x ，当 0 c2 ≠ 时，如果 在 处可导， 则 在 h(x) x = x0 1 2 g(x) = [h(x) − c f (x)]/ c x = x0处也可导，从而产生矛盾。 （2）不能断定。如 g(x) = f (x) = x ，当 1 2 c = −c 时， ( ) ) 1 2 c f x + c g( x 在 处是可导的；当 时， x = 0 1 2 c ≠ −c ( ) ) 1 2 c f x + c g( x 在 x = 0处不可导。 9. 在上题的条件下，讨论 f x( )g(x)在 x = x0处的可导情况。 解 函数 f x( ) = c在 x = 0处可导，g x( ) =| x |在 x = 0处不可导，则 当 时在 处可导，当 f x( )g(x) c = 0 x = 0 c ≠ 0时在 x = 0处不可导。 函数 f x( ) = g( ) x =| x |在 x = 0处都不可导，但 2 f ( ) x g( ) x = x 在 处可 导。函数 在 x = 0 f x( ) = = g(x) sgn | x | x = 0处都不可导，f x( )g( ) x = sgn | x |在 x = 0 68
处也不可导 10.设∫(x)(i,j=12,…,n)为同一区间上的可导函数,证明 f1(x)f2(x)…fn( f1(x)f2(x)…fn(x) d|/2(x)f2(x)…Jn(x) f(x)f2(x)…f(x) Jn(x)fn2(x)…fm(x) M(x) fn2(x) fm(x) 证根据行列式的定义 f1(x)f2(x)…fn(x) dl/2(x)f2(x)…f2(x) dx fn(x)fm2(x)…Jm(x) a(-1)(k-+(x)5(x)…,(x) ∑(-1)4/(x)2(x)…fm(x)+f(x)(x)…(x)+ +f4(x)2(x)…m(x) ∫1(x)∫l2(x)…∫ln(x)f(x)f2(x)…fn(x) f1(x)f2(x) f2, (x).2I(x)f2(x)..f'2n(x) f,(x) fm,(x) fm(x)f(x)fn2(x) f(x) f1(x)f2(x) f(x) f1(x)f2(x) f,(x) fn(x)f"n(x)…f"m(x) G1(x)f2(x)…fn(x) ∑|f(x)f2(x)…fm(x) Jn(x)fn(x)…mn(x)
处也不可导。 10．设 fij (x)（i, j = 1,2,", n）为同一区间上的可导函数，证明 ∑= = ′ ′ ′ n k n n nn k k kn n n n nn n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x dx d 1 1 2 1 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " # # # " # # # " " # # # " " 。 证 根据行列式的定义 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn f x f x f x d f x f x f x dx f x f x f x " " # # # " 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) n n N k k k k k nk d f x f x f x dx = − ∑ " " 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 ( 1) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] n n n n N k k k k k nk k k nk k k nk f x f x f x f x f x f x f x f x f x = − ′ ′ + + + ′ ∑ " " " " " 11 12 1 21 22 2 1 2 ' ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn f x f x f x f x f x f x f x f x f x = + " " # # # " 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn f x f x f x f x f x f x f x f x f x + " " " # # # " 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) n n n n nn f x f x f x f x f x f x f x f x f x + " " # # # " 11 12 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k kn k n n nn f x f x f x f x f x f x f x f x f x = = ∑ ′ ′ ′ " # # # " # # # " 。 69