数定理及其应 第十讲留数定理及其应用 310.1留数定理 留数定理设区域G的边界C为一分段光滑的简单闭合曲线.若除有限个孤立奇点 bk,k=1,2,3,…,n外,函数f(x)在G内单值解析,在石中连续,且在C上没有f(x)的奇 点,则 f(a)dx=2ri> res f(bk) k=1 resf(bk)称为f(2)在bk处的留数,它等于f(x)在bk的邻域内 Laurent展开中(z-bk)-1的系数 证如图10.1,围绕每个奇点bk作闭合曲线^k,使^k均在G内,且互不交叠,则根据复 连通区域 Cauchy定理及函数作 Laurent展开时的系数公式,就有 f(a)dz=∑ k=1 留数定理告诉我们,解析函数的围道积分值与函数在围道内的奇点直接有关.为了 计算解析函数的围道积分值,只需计算出函数在围道内奇点处的留数 ★求f(z)在奇点b处的留数,原则上说,就是求f(2)在2=b的邻域内 Laurent展开中(z-b)-1 项的系数 ★在极点的情况下,可以通过微商计算求留数
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 1 ☞ ✌✍✎ ✏✑✒✓✔✕✖✗ §10.1 ✘✙✚✛ ✜✢✣✤ ✥✦✧ G ★✩✪ C ✫✬✭✮✯✰★✱✲✳✴ ✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀ bk, k = 1, 2, 3, · · · , n ❁❂❃❄ f(z) ❅ G ❆✲❇❈❉❂❅ G ❊❋●❂❍❅ C ■❏✺ f(z) ★✿ ❀❂❑ I C f(z)dz = 2π i Xn k=1 res f(bk). res f(bk) ▲✫ f(z) ❅ bk ▼★ ◆❄❂❖P◗ f(z) ❅ bk ★❘✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ (z − bk) −1 ★❯❄ a (k) −1 ✷ ❱ 10.1 ❲❳❨❩ ❬ ❭❪ 10.1 ❂❫❴❵✼✿❀ bk ❛✳✴ ✵✶ γk ❂❜ γk ❝❅ G ❆❂❍❞❡❢❣❂❑❤✐❥ ❋❦✦✧ Cauchy ❧♠♥❃❄❛ Laurent ❙❚♦★❯❄♣q❂r✺ I C f(z)dz = Xn k=1 I γk f(z)dz = 2π i Xn k=1 a (k) −1 = 2π i Xn k=1 res f(bk). st✉✈✇①②③❂④⑤⑥t⑦ ⑧⑨⑩❶❷❸⑥ t❹ ⑧⑨ ❺⑦❻❼❽❾❿ ➀✷➁ ➂ ➃➄④⑤⑥t⑦ ⑧⑨⑩❶❷❂➅➆➃➄ ➇⑥ t❹ ⑧⑨ ❺❻❼➈⑦ st✷ F ➉ f(z) ❅✿❀ b ▼★ ◆❄❂➊ ❑■➋❂r➌➉ f(z) ❅ z = b ★❘✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ (z − b) −1 ➍ ★❯❄✷ F ❅➎❀★➏➐➑❂➒➓❦➔→➣↔↕➉ ◆❄✷
§10.1留数定理 一阶极点的情形设b点是f(z)的一阶极点,则在b点的邻域内 f(a) (z-b)+a2(z-b)2 以(z-b)乘展开式两端, (2-b)f(2)=a-1+a0(z-b)+a1(2-b)2+a2(z-b)3+ 所以 a-1=lim(2-b)f(2) ★特别常见的情况是∫(z)可以表示为P(x)/((x),P(z)和Q(z)均在b点及其邻域内解析,b 是Q(2)的一阶零点,Q(b)=0,Q(2)≠0,P(b)≠0,则 a-1=lmn(2-b)f(2)=lm(2-b(2)_P Q(2)Q"(b) 例10.1求 在奇点处的留数 解z=±i是它的一阶极点 s)=-= 例10.2求 在奇点处的留 解z=0是它的一阶极点 高阶极点的情形设z=b是f(x2)的m阶极点,m≥2 f(2)=a-m(z-b)-m+a-m+1(2-b)-(m-1)+…+a-1(2-b)-1+a+a1(z-b)+ 两端乘上(z-b) (2-b)mf(z)=a-m+a-m+1(z-b)+…+a-1(2-b)m-1+a0(z-b)m+a1(z-b)m+1 这时a-1是(z-b)mf()的展开式中(z-b)m-1项的系数,故 (m-1)/dems(2-b)mf() 例10.3求1/(2+1)3在奇点处的留数 解z=±i是它的三阶极点 )=正干·四 d21 2!d2(z±i)
Wu Chong-shi §10.1 ✄☎✆✝ ☛ 2 ☞ F ➙➛➜➝➞➟➠ ✥ b ❀➌ f(z) ★✬➡➎❀❂❑❅ b ❀★❘✧ ❆❂ f(z) = a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + a2(z − b) 2 + · · · . ➓ (z − b) ➢❙❚q➤➥❂ (z − b)f(z) = a−1 + a0(z − b) + a1(z − b) 2 + a2(z − b) 3 + · · · . ➦ ➓ a−1 = lim z→b (z − b)f(z). F ➧➨➩➫★➏➐➌ f(z) ➒➓➭➯✫ P(z)/Q(z) ❂ P(z) ➲ Q(z) ❝❅ b ❀♥➳❘✧ ❆❈❉❂ b ➌ Q(z) ★✬➡➵❀❂ Q(b) = 0 ❂ Q0 (z) 6= 0 ❂ P(b) 6= 0 ❂❑ a−1 = lim z→b (z − b)f(z) = lim z→b (z − b) P(z) Q(z) = P(b) Q0(b) . ➸ 10.1 ➉ 1 z 2 + 1 ❅✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = ±i ➌❖★✬➡➎❀✷ res f(±i) = 1 2z z=±i = ∓ i 2 . ➸ 10.2 ➉ e iaz − e ibz z 2 ❅✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = 0 ➌❖★✬➡➎❀✷ res f(0) = limz→0 z · e iaz − e ibz z 2 . = limz→0 e iaz − e ibz z = i(a − b). F ➻➛➜➝➞➟➠ ✥ z = b ➌ f(z) ★ m ➡➎❀❂ m ≥ 2 ❂ f(z) = a−m(z − b) −m + a−m+1(z − b) −(m−1) + · · · + a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + · · · . ➤➥➢■ (z − b) m ❂ (z − b) mf(z) = a−m + a−m+1(z − b) + · · · + a−1(z − b) m−1 + a0(z − b) m + a1(z − b) m+1 + · · · . ➼ ♦ a−1 ➌ (z − b) mf(z) ★❙❚q ❊ (z − b) m−1 ➍ ★❯❄❂➽ a−1 = 1 (m − 1)! d m−1 dzm−1 (z − b) mf(z) z=b . ➸ 10.3 ➉ 1/(z 2 + 1)3 ❅✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = ±i ➌❖★➾➡➎❀✷ res f(±i) = 1 2! d 2 dz 2 (z ∓ i)3 · 1 (z 2 + 1)3 z=±i = 1 2! d 2 dz 2 1 (z ± i)3 z=±i
数定理及其应 第3页 2(-3)(-4(2+i) =士i ★函数在∞点的留数 对于∞点,定义 res f(oo)=2mi f, f(a)d 这里的C′是绕∞点正向(也就是顺时针方向)一周的围道,在围道内除∞点可能是f(2)的奇点 外别无奇点 resf(∞)并不是f(2)在∞邻域内 Laurent展开中21项的系数 resf(∞)s,1 f(zd /() t- 在t=0点邻域内幂级数展开中项的系数 -f()在=点邻域内幂级数展开中项的系数 f(2)在z=∞点邻域内幂级数展开中2-1项的系数 ★这个结果和有限远处不同之处: 1.从结果上说,函数∫()在∞点的留数,等于∫(z)在∞点邻域內幂级数展开中x-1项的 亲数乘以-1,这里多了一个负号 2.从概念上说,由于z-1项是属于∫(z)在∞点邻域內幂级数展开式的正则部分,因此,即 使∞点不是∫(2)的奇点,resf(∞)也可以不为0·反之,即使∞点是f(x)的奇点,留数是一定 理点,也可以为0 ★留数的应用一有理函数的部、页 例.将函数 f(a) 1)(2-2)(z-3) 部分分式 A (z-1)(z-2)(2-3)z-1z-2z-3 三个待定常数,AB和C,正好就是函数f(2)在一阶极点z=1,2=2和2=3点处的留数.因此 A (2-1)(2-2)(2-3)2
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 3 ☞ = 1 2!(−3)(−4)(z ± i)−5 z=±i = ∓ 3 16 i. F ➚ ✢➪ ∞ ➝➞✜✢ ➶ ◗ ∞ ❀❂❧➹ res f(∞) = 1 2π i I C0 f(z)dz, ➼➘★ C 0 ➌❴ ∞ ❀➴ ➷ (➬r➌ ➮♦➱✃ ➷) ✬❐★ ❫❒❂❅ ❫❒ ❆✹ ∞ ❀➒❮➌ f(z) ★✿❀ ❁➨❰✿❀✷ F res f(∞) Ï❡➌ f(z) ❅ ∞ ❘ ✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ z 1 ➍ ★❯❄✷ res f(∞) = 1 2π i I C0 f(z)dz = − 1 2π i I C f 1 t dt t 2 = − 1 t 2 f 1 t ❅t = 0❀❘✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊t −1➍ ★❯❄ = − f 1 t ❅t = 0❀❘✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊t 1➍ ★❯❄ = − f(z)❅z = ∞❀❘✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊z −1➍ ★❯❄✷ F ➼ ✼ÒÓ➲✺✻Ô▼❡ÕÖ▼× 1. ØÙÚÛÜ❂ ⑥ t f(z) ❹ ∞ ❼⑦ st❂ÝÞ f(z) ❹ ∞ ❼ßà ❺áâtãä å z −1 æ⑦ çtè é −1 ❂êë ì ➂íî ïð ✷ 2. ØñòÛÜ❂óÞ z −1 æôõÞ f(z) ❹ ∞ ❼ßà ❺áâtãäö⑦÷øù❶❂úû❂ü ý ∞ ❼þô f(z) ⑦❻❼❂ res f(∞) ÿ éþ➁ 0 ✷ ✁✂❂üý ∞ ❼ô f(z) ⑦❻❼❂ ✄☎ôí✆ ✝❼ ❂ÿ é ➁ 0 ✷ F ✜✢➞✞✟ ✠ ✤ ➚ ✢ ➞✡☛☛☞✷ ✌ ✷✍❃❄ f(z) = 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) ✎ ✭✭q✷ 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) = A z − 1 + B z − 2 + C z − 3 . ➾✼✏❧➩❄❂A, B ➲ C ❂➴✑r➌❃❄ f(z) ❅✬➡➎❀ z = 1, z = 2 ➲ z = 3 ❀▼★ ◆❄✷✒✓ A = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=1 = 1 2
§10.1留数定理 (2-1)(z-2)(2-3)2=2 1 1 (2-1)(2-2)(2-3)32 如果函数f(z)具有高阶极点,也可以类似地处理.例如 A B (2-1)2(2-2(-3)=(2-12+z-1+z-2 e 容易看出 1)(z-2)(2-3) 1)2(z-2)(z-3) 2-1)2(2-2)(2-3)1=2-1 z-1)2(2-2)(z-3) ★留数的应用一计算定积分 留数定理把围道积分的计算转化为留数的计算,只要能把定积分和一定解析函数的围道积分 联系起来,就有可能比较简便地计算出这些定积分
Wu Chong-shi §10.1 ✄☎✆✝ ☛ 4 ☞ B = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=2 = −1, C = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=3 = 1 2 . ❭ Ó❃❄ f(z) ✔✺✕➡➎❀❂➬➒➓✖✗✘▼♠✷✌❭ ❂ 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) = A (z − 1)2 + B z − 1 + C z − 2 + D z − 3 . ✙✚✛✜ A = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=1 = 1 2 , B = res 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) z=1 = 3 4 , C = res 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) z=2 = −1, D = res 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) z=3 = 1 4 . F ✜✢➞✞✟ ✢✣✣✤ ☛✷ ◆❄❧♠✥ ❫❒✦✭★↔↕✧★✫ ◆❄★↔↕❂✩✪❮✥❧✦✭➲✬❧❈❉❃❄★ ❫❒✦✭ ✫ ❯✬✭❂r✺➒❮ ✮✯✱✰✘↔↕✜➼✱ ❧✦✭✷
理及其应 第5页 310.2有理三角函数的积分 有理三角函数的积分的形式是 R(sin 8, cos 0)d8, 其中R是sin,cos6的有理函数,在积分区间上是连续的.作变换z=e,则 相应的积分路径则变为z平面上的单位圆的圆周|2=1.于是, R (分 有理三角函数R(sin6,cos6)在积分区间0.2x上连续,就保证了有理函数R 在单位圆的圆周上无奇点 例10.4计算积分I 1+Ecos 6 9,< 解仿照上面的方法步骤,我们有 da de z2+1 2 2Ez+2 11-)/e 计算留数时,注意函数2/(2+2z+E)有两个极点 但由于它们的乘积为1,所以一定只有一个极点,z=(-1+√1-2)/e,处于单位圆内
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 5 ☞ §10.2 ✲✛✳✴✵✙✶✷✸ ✺♠➾✹❃❄★✦✭★✺q➌ I = Z 2π 0 R(sin θ, cos θ)dθ, ➳ ❊ R ➌ sin θ, cos θ ★✺♠❃❄❂❅✦✭ ✦✻ ■➌❋●★✷❛✼✽ z = eiθ ❂❑ sin θ = z 2 − 1 2iz , cos θ = z 2 + 1 2z , dθ = dz iz , ✾✿★✦✭❀❁❑✼✫ z ❂❃■★✲❄ ❅★ ❅❐ |z| = 1 ✷◗➌❂ I = I |z|=1 R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z dz iz = 2π X |z|<1 res 1 z R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z . ✺♠➾✹❃❄ R(sin θ, cos θ) ❅✦✭ ✦✻ [0, 2π] ■❋●❂r❆❇❈✺♠❃❄ R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z ❅✲❄ ❅★ ❅❐■❰✿❀✷ ➸ 10.4 ↔↕✦✭ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ, |ε| < 1 ✷ ➺ ❉❊■❃★✃❋●❍❂■❏✺ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ = I |z|=1 1 1 + ε z 2 + 1 2z dz iz = I |z|=1 2 εz2 + 2z + ε dz i = 2π X |z|<1 res 2 εz2 + 2z + ε = 2π · 2 2εz + 2 z=(−1+√ 1−ε 2)/ε = 2π √ 1 − ε 2 . ↔↕ ◆❄♦❂❑▲❃❄ 2/(εz2 + 2z + ε) ✺➤✼➎❀❂ z = −1 ± √ 1 − ε 2 ε , ▼ ◆◗❖❏★➢✦✫ 1 ❂ ➦ ➓✬❧✩ ✺✬✼➎❀❂ z = (−1 + √ 1 − ε 2)/ε ❂▼◗✲❄ ❅❆✷
§10.3无穷积分 第6页 810.3无穷积分 无穷积分的定义为 f(a)dr =:m 有时这种极限不存在,但。lm/)dx存在,称为积分主值,记为 - OOJ-R f(r)dr f(r)da. 显然,当这两种极限都存在时,它们必定相等 在复平面上看,积分 f(r)d 是沿着实轴进行的,并不构成复变函数的围道积分 我们可以容易地将实函数f(x)延拓为复函数f(2) ·为了能构成围道积分并应用留数定理计算,还必须 (1)补上适当的积分路径而形成闭合围道,计算pf(2d2 (2)在补上的路径上的积分,或者与所要求计算的无穷积分直接相关,或者可以简单方便地 计算出来 最自然的做法当然是补上以原点为圆心,R为半径的上半圆CR f(ada f(a)dz+ f(a)dz. O 图10.2 而后令R→∞·这样,我们便需要计算/f(x)dz的极限值.只要f(x)满足适当的条件 这是可以做到的 不妨假设函数f(2)满足下列条件:
Wu Chong-shi §10.3 ❖P◗❘ ☛ 6 ☞ §10.3 ❙❚✷✸ ❰❯✦✭★❧➹✫ Z ∞ −∞ f(x) dx = lim R1 → +∞ R2 → +∞ Z R2 −R1 f(x) dx. ✺♦➼❱ ➎✻❡❲❅❂▼ lim R → +∞ Z R −R f(x)dx ❲❅❂▲✫✦✭❳❇❂❨✫ v.p. Z ∞ −∞ f(x)dx = lim R→+∞ Z R −R f(x)dx. ❩❬❂❭ ➼ ➤ ❱ ➎✻❪❲❅♦❂❖❏❫❧ ✾ P✷ ❅❥❂❃■ ✛ ❂✦✭ Z ∞ −∞ f(x) dx ➌❴❵❛❜❝❞★❂Ï❡❡❢❥✼❃❄★ ❫❒✦✭✷ • ■❏➒➓✙✚✘✍❛❃❄ f(x) ❣❤✫❥❃❄ f(z) • ✫❈❮❡❢ ❫❒✦✭Ï✿✐ ◆❄❧♠↔↕❂❥❫❦× (1) ❧■♠❭★✦✭❀❁♥✺❢✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz ♦ (2) ❅❧■★❀❁■★✦✭❂♣qr➦✪ ➉↔↕★❰❯✦✭st✾✉❂♣q➒➓✱✲✃✰✘ ↔↕✜ ✭✷ ✈ ✇❬ ★①❋❭❬ ➌❧■➓➊ ❀✫ ❅②❂ R ✫③❁★■③ ❅ CR ❂ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z) dz. ❱ 10.2 ♥④⑤ R → ∞ ✷ ➼⑥ ❂■❏✰⑦✪ ↔↕ Z CR f(z)dz ★➎✻❇✷✩✪ f(z) ⑧⑨♠❭★⑩❶❂ ➼ ➌➒➓①❷★✷ ❡❸❹✥ ❃❄ f(z) ⑧⑨➑❺⑩❶×
数定理及其应 第7页 1.f(2)在上半平面除了有限个孤立奇点外是处处解析的,在实轴上没有奇点; 2.在0≤argz≤π范围内,当|z→∞时,zf(z)一致地趋于0,即对于任给的ε>0,存在 M()>0,使当|2≥M,0≤argz≤π时,|zf(z)<ε 这两个条件并不苛刻.第1个条件保证了原来的实变积分不是瑕积分,并且可以应用 留数定理计算围道积分 d f):=/f(d:+/ /(@):=2ri 2 res f(e) 上半平面 第2个条件,首先是作为实变无穿积分的收敛条件 lim f(z)=0 的自然推广,同时,根据引理3.2,又保证了 f(2)dz=0. R→∞Jca 取极限R→∞,就得到 f(x)dx=2i∑ res j(2) 上半平面 例10.5计算定积分I (1+x2)3 解此时显然符合上述要求的条件,故 =2i 最后,为了对应用留数定理计算定积分的基本思想有一个比较深入的理解,不妨再重复一下 前面的叙述 为了能够应用留数定理计算无穷积分,我们必须: 1.补上适当的积分路径而形成闭合围道,计算∮f()dz; 2.在补上的路径上的积分,或者与所要求计算的无穷积分直接相关 或者可以简单方便地计算出来
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 7 ☞ 1. f(z) ❅■③❂❃✹❈✺✻✼✽✾✿❀❁➌▼▼❈❉★❂❅❛❜■❏✺✿❀♦ 2. ❅ 0 ≤ arg z ≤ π ❻ ❫❆❂❭ |z| → ∞ ♦❂ zf(z) ✬❼✘❽◗ 0 ❂ ❾➶ ◗❿➀★ ε > 0 ❂❲❅ M(ε) > 0 ❂❜❭ |z| ≥ M ❂ 0 ≤ arg z ≤ π ♦❂ |zf(z)| < ε ✷ ê➁î➂➃➄þ➅➆✷➇ 1 î➂➃➈➉ ➂ ➊➋⑦ ➌➍⑩❶þô➎⑩❶❂➄➏ é➐➑ st✉✈➃➄ ⑧⑨⑩❶ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z)dz = 2π i X Û➒➓ ➔ res f(z). ➇ 2 î➂➃❂→➣ô↔➁ ➌➍↕➙⑩❶⑦➛➜➂➃ lim x→±∞ xf(x) = 0 ⑦ ➝➞➟ ➠❂➡➢❂➤➥ ➦✈ 3.2 ❂➧➈➉ ➂ lim R→∞ Z CR f(z)dz = 0. ➨ ➎✻ R → ∞ ❂r➩❷ Z ∞ −∞ f(x)dx = 2π i X ■③❂❃ res f(z). ➸ 10.5 ↔↕❧✦✭ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 ✷ ➺ ✓ ♦ ❩❬➫✴■➭ ✪ ➉★⑩❶❂➽ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 = 2π i · res 1 (1 + z 2) 3 z=i =2π i · − 3i 16 = 3 8 π. ✈ ④❂✫❈ ➶✿✐ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭★➯➲➳➵✺✬✼ ✮✯➸➺★♠❈❂❡❸➻➼❥✬➑ ➽ ❃★➾➭× ✫❈❮➚ ✿✐ ◆❄❧♠↔↕❰❯✦✭❂■❏❫❦× 1. ❧■♠❭★✦✭❀❁♥✺❢✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz ♦ 2. ❅❧■★❀❁■★✦✭❂♣qr➦✪ ➉↔↕★❰❯✦✭st✾✉❂ ♣q➒➓✱✲✃✰✘↔↕✜ ✭✷
§10.3无穷积分 第8页 基于这样的理解,就可以更加灵活地运用留数定理计算定积分 如果是f(x)偶函数,则对于积分/f(x)m,由于 f(a)=I f(a)dr, 所以仍然可以釆用图10.2的围道,并重复上面的讨论,而得到 f(a)dx=5/f(a)dx=ni∑ 上半平面 如果在积分f(x)d中,被积画数f()具有某种对称性质 那么,也可以采用图10.3中的围道来计算 图10.3 图10.4 例106计算定积分中 解由于这里的被积函数f()=x是的函数,所以,我们可以采用图104的围道 沿正实轴由0到R,沿圆弧到达正虚轴,再沿正虚轴由iR回到原点.这样,根据留数定理,有 ++x+1,+ 1+(iy)4 1+x4 =2ires1+2l=emA=2√ 取极限R→∞,因为 1+z4 所以,根据引理32,有
Wu Chong-shi §10.3 ❖P◗❘ ☛ 8 ☞ ➯◗ ➼⑥ ★♠❈❂r➒➓➪➶➹➘✘➴✐ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭✷ F ➷Úô f(x) ➬⑥ t ❂ ø➮ Þ ⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx ❂óÞ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx, ➱ é✃➞ é❐➑ ❒ 10.2 ⑦ ⑧⑨❂➄❮❰Û ➔ ⑦ÏÐ❂ÑÒÓ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx = π i X Û➒➓ ➔ res f(z). F ➷Ú ❹⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx å ❂Ô ⑩ ⑥ t f(z) Õ ❿ Ö×➮ØÙÚ❂Û➷ f(z) = f(ze iθ ), Ü Ý❂ÿ é❐➑ ❒ 10.3 å⑦ ⑧⑨➋➃➄✷ ❱ 10.3 ❱ 10.4 ➸ 10.6 ↔↕❧✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 ✷ ➺ ◆ ◗ ➼➘★Þ✦❃❄ f(x) = 1 1 + x 4 ➌ x 4 ★❃❄❂➦ ➓❂■❏➒➓ß ✐❪ 10.4 ★ ❫❒× ❴➴❛❜ ◆ 0 ❷ R ❂❴ ❅à❷á➴â❜❂➻❴➴â❜ ◆ iR ã❷➊ ❀✷➼⑥ ❂❤✐ ◆❄❧♠❂✺ I C dz 1 + z 4 = Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4 + Z 0 R idy 1 + (iy) 4 = (1 − i) Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4 = 2π i res 1 1 + z 4 z=eiπ/4 = π 2 1 − i √ 2 . ➨ ➎✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 4 = 0, ➦ ➓❂❤✐ä♠ 3.2 ❂✺ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 4 = 0
理及其应 第9页 于是就得到 在这个例子中,当然仍然可以采用半圃形的围道,这时被积函数1/(1+24)在围道内有 两个奇点:z=/和z=e/4.计算量当然要略微大一些.可以设想,如果要计算 定积分 1 釆用央角为π/50的扇形围道,围道内只有一个奇点;而采用半圃形围道,围道内则有 50个奇点,两者在计算量上的差异明显可见 如果说,在上面这些例子中,扇形围道和半圃形围道两者还都可供选择的话,那么,在 下面这个例子中,扇形围道就只能是唯一的选择 例10.7计算积分 解显然,这时应该考虑夹角为2x/3的扇形围道(图10.5 图10.5 +=r++人 )++ 27i res 2-i/6 取极限R→∞,因为 0, 所以 最后就得到 7 e-17/6
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 9 ☞ ◗➌r➩❷ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 = √ 2 4 π. ❹ êîÛå å ❂æ ➞✃➞ é❐➑➒ çè⑦ ⑧⑨✷ê➢Ô⑩ ⑥ t 1/(1 + z 4 ) ❹ ⑧⑨ ❺❿ ➁î❻❼× z = eiπ/4 é z = ei3π/4 ✷ ➃➄ê æ ➞ëìíîíï✷ éðñ❂➷Ú ë➃➄ ✉⑩❶ Z ∞ 0 dx 1 + x 100 , ❐➑ò ó ➁ π/50 ⑦ô è ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ ➅ ❿íî❻❼♦Ñ❐➑➒ çè ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ø❿ 50 î❻❼✷➁õ❹➃➄ê Û ⑦ö÷ øùú✷ ➷ÚÜ❂❹ Û ➔êïÛå å ❂ ô è ⑧⑨é➒ çè ⑧⑨➁õûüýþÿ⑦ ❂ Ü Ý❂ ❹ ✁ ➔êîÛå å ❂ ô è ⑧⑨✂ ➅✄ô☎í⑦ þÿ✷ ➸ 10.7 ↔↕✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 3 ✷ ➺ ❩❬❂ ➼ ♦ ✿✆✝✞✟✹✫ 2π/3 ★✠✺ ❫❒ (❪ 10.5) ✷ ❱ 10.5 I C dz 1 + z 3 = Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 + Z 0 R e i2π/3dx 1 + x 3 = 1 − e i2π/3 Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 = 2π i res 1 1 + z 3 z=eiπ/3 = 2π 3 e −iπ/6 . ➨ ➎✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 3 = 0, ➦ ➓ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 3 = 0. ✈ ④r➩❷ Z ∞ 0 dx 1 + x 3 = 2π 3 e −iπ/6 1 − e i2π/3 = π 3 cos π 6 = 2π 3 √ 3
