讲解析函数的 第六讲解析函数的局域性展开(续 86.1 Taylor级数求法举例 求 Taylor级数的方法很难一一罗列.这里只介绍一些普通常见的方法 基本公式 1+z+-+…+ 2n+1 SIn 2 (2n+1) < (2n) ★对于其他函数,总是尽量利用这些基本公式 1+z2 (-)2n,< 有理函数总可以用部分分式的方法化为更简单的形式, ∑2+2∑(2)2=∑(2+1-1)2”,l<2 有些函数可以表示成更简单的函数的导数或积分,从而可以容易地求出其 Taylor级数 d 1 d ★如果函数可以表示成两个(或几个)函数的乘积,而每一部分的 Taylor展开比较容易求出时 则可采用级数相乘的方法 y22 2k+1 1-3z+2221-z1-2 k=0l=0 (2n+1-1)z,|2 n=0 级数在收敛圆内绝对收敛,故级数相乘是合法的,乘积在两收敛圆的公共区域内仍绝对收敛
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 1 ✎ ✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜ (✢) §6.1 Taylor ✣✤✥✦✧★ ✩ Taylor ✪✫✬✭✮✯✰✱✱✲✳✴✵✶✷✸✹✱✺✻✼✽✾✬✭✮✴ F ✿❀❁❂❃ e z = 1 + z + z 2 2! + · · · + z n n! + · · · = X∞ n=0 z n n! , |z| < ∞, sin z = e iz − e −iz 2i = X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n+1 , |z| < ∞, cos z = e iz + e−iz 2 = X∞ n=0 (−) n (2n)! z 2n , |z| < ∞, 1 1 − z = X∞ n=0 z n , |z| < 1. F ❄❅❆❇❈✫❉❊❋●❍■❏✵✺✿❀❁❂✴ 1 1 + z 2 = X∞ n=0 −z 2 n = X∞ n=0 (−) n z 2n , |z| < 1. ❑▲❈✫❊▼◆❏❖PP❂✬✭✮◗❘❙❚❯✬❱❂❉ 1 1 − 3z + 2z 2 = − 1 1 − z + 2 1 − 2z = − X∞ n=0 z n + 2X∞ n=0 (2z) n = X∞ n=0 2 n+1 − 1 z n , |z| < 1 2 . ❑ ✺❈✫▼◆❲❳❨❙❚❯✬❈✫✬❩✫❬❭P❉❪❫▼◆❴❵❛✩❜❆ Taylor ✪✫✴ 1 (1 − z) 2 = d dz 1 1 − z = d dz X∞ n=0 z n = X∞ n=1 nzn−1 = X∞ n=0 (n + 1)z n , |z| < 1. F ❝❞❈✫▼◆❲❳❨❡❢ (❬❣❢) ❈✫✬❤❭❉❫✐✱❖P✬ Taylor ❥❦ ❧♠ ❴❵✩❜♥❉ ♦ ▼♣❏ ✪✫q❤ ✬✭✮✴ 1 1 − 3z + 2z 2 = 1 1 − z · 1 1 − 2z = X∞ k=0 z k · X∞ l=0 2 l z l = X∞ k=0 X∞ l=0 2 l z k+l = X∞ n=0 Xn l=0 2 l ! z n = X∞ n=0 2 n+1 − 1 z n , |z| < 1 2 . r ✪✫st✉ ✈✇①❄t✉❉② ✪✫q❤❋③✮✬❉❤❭s❡t✉ ✈✬❁④⑤⑥ ✇⑦①❄t✉✴
待定系数法 例6.1求tanz在z=0的 Taylor展开 解由于tanz是奇函数,故其在z=0的 Taylor展开应只有奇次幂 tan z a2k+124*+1_sIn a Q2k+12k+1 (2n-2k)2k+2 n+1 a2k+1 k=0 n=0\k= 比较系数,即得 所以 1 na1-53 因此,有 32+15 从tanz的奇点可以判断,级数的收敛半径应为丌/2 应用待定亲数法,能得到糸数之间的递推关糸,原则上可以逐个求出展开糸数,但一般 不容易求出级数的通顼公式(即展开糸数αn的解析表达式) 果只需要求出级数中的某一项或某几项糸数,也可以采用待定糸数法 ★多值函数的 Taylor展开对于多值函数,在适当规定了单值分枝后,即可像单值函数那样 作 Taylor展开 例62求多值函数(1+2)2在z=0的 Taylor展开,规定z=0时(1+2)°=1 解可直接求出函数(1+z)在z=0点的各阶导数值, f(0)=1 f"(0)=a(a-1)(1+2)2-210=a(a-1 f)()=a(a-1)(a-2)…(a-n+1)(1+2)2-l=0=a(-1)…(a-n+1
Wu Chong-shi §6.1 Taylor ⑧ ✝⑨⑩❶❷ ✍ 2 ✎ F ❸❹❺✫✮ ✴ ❻ 6.1 ✩ tan z s z = 0 ✬ Taylor ❥❦✴ ❼ ❽ ❅ tan z ❋❾❈✫❉② ❆s z = 0 ✬ Taylor ❥❦❿✷❑ ❾➀r ❉ tan z = X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = sin z cos z , sin z = cos z · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 , X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n+1 = X∞ l=0 (−) l (2l)!z 2l · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = X∞ n=0 Xn k=0 (−) n−k (2n − 2k)!a2k+1! z 2n+1 . ❧ ♠ ❺✫❉➁➂ Xn k=0 (−) k (2n − 2k)!a2k+1 = 1 (2n + 1)!. ➃ ◆ n = 0 : a1 = 1; n = 1 : 1 2 a1 − a3 = 1 6 , a3 = 1 3 ; n = 2 : 1 24 a1 − 1 2 a3 + a5 = 1 120 , a5 = 2 15 ; . . . ➄➅❉ ❑ tan z = z + 1 3 z 3 + 2 15 z 5 + 17 315 z 7 + · · · . ❪ tan z ✬❾➆▼◆➇➈❉✪✫✬t✉➉➊❿❘ π/2 ✴ ➋➌➍➎ ➏➐➑❉ ➒➓➔ ➏➐→ ➣↔↕➙ ➛➏❉ ➜➝➞➟ ➠➡➢➤ ➥➦➧ ➏➐ ❉➨➩➫ ➭➯ ➲➤ ➥➳➐↔➵➸➺➻ (➼ ➦➧ ➏➐ an ↔➽➾➚➪➻) ✴ ➶➹ ➘➴➷➤ ➥➳➐ ➬↔ ➮➩➸➱ ➮✃➸ ➏➐❉❐➟ ➠❒➌➍➎ ➏➐➑✴ F ❮❰ÏÐÑ Taylor ÒÓ ❄❅ÔÕ❈✫❉s Ö×Ø❹Ù❯ÕPÚÛ ❉➁▼Ü❯Õ❈✫ÝÞ ß Taylor ❥❦✴ ❻ 6.2 ✩ ÔÕ❈✫ (1 + z) α s z = 0 ✬ Taylor ❥❦❉Ø❹ z = 0 ♥ (1 + z) α = 1 ✴ ❼ ▼àá✩❜❈✫ (1 + z) α s z = 0 ➆✬âã❩✫Õ❉ f(0) = 1, f 0 (0) = α (1 + z) α−1 z=0 = α, f 00(0) = α(α − 1) (1 + z) α−2 z=0 = α(α − 1), . . . f (n) (0) = α(α − 1)(α − 2)· · ·(α − n + 1) (1 + z) α−n z=0 = α(α − 1)· · ·(α − n + 1)
讲解析函数的局域性展 第3页 因此 z 1+az+ a(a-1)…(-n+1)2x+ 其中 1和 (a-1)…( 称为普遍的二项式展开系数 级数的收敛区域,还要视割线的作法而定,收敛半径等于z=0到割线的最短距离,所以 最大可能的收敛区域是||1/r,也就是说,级数在以∞为圆心的某个圆内收敛
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 3 ✎ . . . ➄➅ (1 + z) α = 1 + αz + α(α − 1) 2 z 2 + · · · + α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! z n + · · · = X∞ n=0 α n z n , ❆ ä α 0 = 1 å α n = α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! æ ❘✻ç✬èé❂❥❦❺✫✴ ✪✫✬t✉⑤⑥❉ê ëìíî✬ ß ✮❫❹✴t✉➉➊ï❅ z = 0 ð íî✬ñòóô ❉ ➃ ◆❉ ñõ▼ö✬t✉⑤⑥❋ |z| 1 r . ✔✕❃ f(z) ✞ ∞ ✟ ↔ Taylor ➳➐ ➬➘✖✗➐➸✘ ✙✚➸ ❉✛✖✜✚➸ ❉✎✢✣ ✤✥✒ |z| > 1/r ❉❐✡☛✦❉ ➳➐✞ ➠ ∞ ✒ ✧★↔ ➮➢ ✧✩✢✣✴
6.2解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 §6.2解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 ★介绍解析函数的两个重要性质,它们具有非常重要的理论价值 定义如果∫(x)在a点及其邻域内解析,f(a)=0,则称z=a为f(2)的零点 设∫(x)在z=a点及其邻域内解析,则当|z-a充分小时, f(2)=∑an(2-a)n, 故若z=a为零点,则必有 此时,称z=a点为f(z)的m阶零点,相应地 f(a)=f(a)=…=f(m-1)(a)=0,f(m(a)≠0 零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内,不可能有分数次的零点 解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性 定理62若f(z)不恒等于零,且在包含z=a在内的区域内解析,则必能找到圆|z-a= (p>0),使在圆内除了z=a可能为零点外,f(2)无其他零点 这个定理称为解析函数的零点孤立性定理,根据这个定理,可以推岀解析函数零点 的下面两个重要性质 推论1设f(2)在G:|z-a<R内解析.若在G内存在f(2)的无穷多个零点{zan},且 但zn≠a,则f(2)在G内恒为 推论1中的条件 lim zn=a可以减弱为序列{an}的一个极限点为a 推论2设f(z)在G:|z-叫<R内解析.若在G内存在过a点的一段弧l或含有a点的 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0 推论2的成立范围是以z=α点为圆心的圆域,但是很容易推广到一般形状的区域 推论3设f(z)在G内解析.若在G内存在一点z=a及过a点的一段弧l或含有a点的一 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0
Wu Chong-shi §6.2 ✄☎✆✝✞✪✫✬✭✡✮✄☎✆✝✞✯✰✡ ✍ 4 ✎ §6.2 ✱✲✳✤✴✵✶✷✸✹✺✱✲✳✤✴✻✼✹ F ✸✹✄☎❈✫✬❡❢✽ ë✾✿❉❀❁❂❑❃ ✽✽ ë ✬ ▲❄❅Õ✴ ❆❇ ❝❞ f(z) s a ➆❈❆❉⑥ ✇✄☎❉ f(a) = 0 ❉ ♦æ z = a ❘ f(z) ✬❊➆✴ ❋ f(z) s z = a ➆❈❆❉⑥ ✇✄☎❉ ♦ × |z − a| ●P❍ ♥ ❉ f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , ②■ z = a ❘❊➆❉♦❏❑ a0 = a1 = · · · = am−1 = 0, am 6= 0. ➅♥ ❉ æ z = a ➆❘ f(z) ✬ m ã❊➆❉q❿❛❉ f(a) = f 0 (a) = · · · = f (m−1)(a) = 0, f(m) (a) 6= 0. ❊➆✬ã✫❑❋▲❹✬▼◆✫ s❈✫✬✄☎⑤⑥ ✇❉❖▼ö❑ P✫➀✬❊➆✴ ➽➾P➐◗ ✟ ↔➩➢❘➷❙❚☛❯↔❱❲❙ ❆❳ 6.2 ■ f(z) ❖❨ï❅❊❉❩s❬❭ z = a s ✇✬⑤⑥ ✇✄☎❉ ♦❏ ö❪ð ✈ |z − a| = ρ (ρ > 0) ❉❫s ✈✇❴Ù z = a ▼ö❘❊➆❵❉ f(z) ❛❆❇❊➆✴ ❜➢➎❝❞✒ ➽➾P➐↔◗ ✟ ❱❲❙➎❝ ✴❡❢❜➢➎❝ ❉ ➟ ➠➙ ➥➽➾P➐◗ ✟ ↔❣ ❤✐➢❘➷❙❚❃ ❥❦ 1 ❋ f(z) s G : |z − a| < R ✇✄☎✴ ■ s G ✇❧s f(z) ✬❛♠Ô❢❊➆ {zn} ❉❩ limn→∞ zn = a, ♥ zn 6= a ❉ ♦ f(z) s G ✇❨❘ 0 ✴ ➙♦ 1 ➬↔♣q limn→∞ zn = a ➟ ➠rs✒t✉ {zn} ↔➩➢✈✇✟✒ a ✴ ❥❦ 2 ❋ f(z) s G : |z − a| < R ✇✄☎✴ ■ s G ✇❧s① a ➆✬✱②③ l ❬❭ ❑ a ➆✬✱ ❢④⑤⑥ g ❉s l ÷❬ g ✇ f(z) ≡ 0 ❉ ♦ s◆❢⑤⑥ G ✇ f(z) ≡ 0 ✴ ➙♦ 2 ↔✠❲ ✤✥☛ ➠ z = a ✟✒ ✧★ ↔ ✧ ⑤ ❉➨ ☛⑥➯ ➲➙ ⑦➔➩➫⑧⑨↔ ⑩⑤ ✴ ❥❦ 3 ❋ f(z) s G ✇✄☎✴ ■ s G ✇❧s✱➆ z = a ❈① a ➆✬✱②③ l ❬❭ ❑ a ➆✬✱ ❢④⑤⑥ g ❉s l ÷❬ g ✇ f(z) ≡ 0 ❉ ♦ s◆❢⑤⑥ G ✇ f(z) ≡ 0 ✴
讲解析函数的 第5页 图6.1 很容易把推论1改写成解析函数的唯一性定理 定理6.3设在区域G内有两个解析函数f()和5(2),且在G内存在一个序列{a} f1(zn)=f2(zn).若{zn}的一个极限点2=a(≠zn)也落在G内,则在G内有f1(2)≡f2(2) 同样,可以把推论3改写为推论4 推论4设f(z)和∫2(z)都在区域G内解析,且在G内的一段弧或一个子区域内相等,则在 G内f1(2)≡f2(2) 作为它的特殊情形,还有 推论5在实轴上成立的恒等式,在z平面上仍然成立,只要这个恒等式两端的函数在2平 面上都是解析的
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 5 ✎ ❶ 6.1 ⑥➯ ➲❷➙♦ 1 ❸ ❹✠➽➾P➐↔❺➩❙➎❝ ✴ ❆❳ 6.3 ❋ s⑤⑥ G ✇ ❑ ❡❢✄☎❈✫ f1(z) å f2(z) ❉❩s G ✇❧s✱❢❻✳ {zn} ❉ f1(zn) = f2(zn) ✴ ■ {zn} ✬✱❢❼❽➆ z = a(=6 zn) ú❾s G ✇❉♦ s G ✇ ❑ f1(z) ≡ f2(z) ✴ ❿➀❉ ➟ ➠❷➙♦ 3 ❸ ❹✒➙♦ 4 ✴ ❥❦ 4 ❋ f1(z) å f2(z) ❑s⑤⑥ G ✇✄☎❉❩s G ✇✬✱②③❬✱❢④⑤⑥ ✇qï❉♦ s G ✇ f1(z) ≡ f2(z) ✴ ☞✒❯↔➁➂➃⑧ ❉➄✖ ❃ ❥❦ 5 s➅➆÷❨➇✬❨ï❂❉s z ➈➉÷⑦➊❨➇❉✷ë ✵❢❨ï❂❡➋✬❈✫s z ➈ ➉÷❑❋✄☎✬✴