第二十四讲柱函数(三 §24.1半奇数阶 Bessel函数 本节讨论另一类特殊的 Bessel函数:半奇数阶的 Bessel函数 先讨论J1/2(x) 2k+1/2 J1/2(x) T(k+3/2 所以,J1/2(x)是初等函数.同样也能推出 实际上,把J(x)的两个递推关系改写成 xJ/(x)=x"-1J-1(x) 1 d 就可以得到 2(x) n+1/2( 1a)x-11( 因此,任意一个半奇数阶 Bessel函数都是初等函数,都是幂函数和三角函数的复合函数 显然,Jn+1/2(x)与J-(n+12)(x)是线性无关 Wun+(-a+p(-(-y-+2 而Nn+1/2(x)与J-(m+1)(x)线性相关, Nn+1/2(x) cos(n+1/2)丌:Jn+1/2(x)-J-(m+1/2(x) (n+1/2)丌
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎ ✆ ✝ ✞ (✟) §24.1 ✠✡☛☞ Bessel ✌☛ ✍✎✏✑✒✓✔✕✖✗ Bessel ✘✙✚✛✜✙✢✗ Bessel ✘✙✣ ✤✏✑ J1/2(x) ✚ J1/2(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + 3/2) x 2 2k+1/2 = r 2 πx X∞ k=0 (−) k (2k + 1)!x 2k+1 = r 2 πx sin x. ✥✦✧ J1/2(x) ★✩✪✘✙✣✫✬✭✮✯✰ J−1/2(x) = r 2 πx cos x. ✱✲✳✧✴ Jν(x) ✗✵✶✷✯✸✹✺✻✼ 1 x d dx x ν Jν(x) = x ν−1 Jν−1(x), − 1 x d dx x −ν Jν(x) = x −(ν+1)Jν+1(x), ✽✾✦✿❀ x −n+1/2 J−n+1/2(x) = 1 x d dx n x 1/2 J1/2(x) = 1 x d dx nr 2 π sin x, x −n−1/2 Jn+1/2(x)= − 1 x d dx n x −1/2 J1/2(x)= − 1 x d dx nr 2 π sin x x . ❁❂✧❃❄✓✶✛✜✙✢ Bessel ✘✙❅★✩✪✘✙✧ ❅★❆✘✙❇❈❉✘✙✗❊❋✘✙✣ ●❍✧ Jn+1/2(x) ■ J−(n+1/2)(x) ★❏❑▲✸✗✧ W[Jn+1/2(x), J−(n+1/2)(x)] = (−) n+1 2 πx . ▼ Nn+1/2(x) ■ J−(n+1/2)(x) ❏❑◆✸✧ Nn+1/2(x) = cos(n + 1/2)π · Jn+1/2(x) − J−(n+1/2)(x) sin(n + 1/2)π = (−) n+1J−(n+1/2)(x)
球 Bessel 824.2球 Bessel函数 Helmholtz方程V2a+k2u=0在球坐标系下分离变量时,我们曾经得到常微分方程 l d/ drY r2 d 在一般情况下M=l(1+1),l=0,1,2,……本节就讨论这个方程的求解问题 k=0:两个线性无关解是r和r-1-1 (见第20讲) ★k≠0:可作变换x=kr和y(x)=R(r),将方程变为 l(l+1 G(2a)+[1 y(x)=0. 这个方程称为球 Bessel方程,它的形式和 Bessel方程非常相似 球 Bessel方程也有两个奇点,一个是x=0,正则奇点,一个是x=∞,非正则奇点,也和 Bessel方程相同 ★因此,可以试图将它化为 Bessel方程 考虑到这个方程在x=0点的指标方程 p(p-1)+2p-l(l+1)=0 因而指标为P1=1和p2=-(1+1),和 Bessel方程的指标p=±u不同,故应该作变换 这样,可以预料,v(x)的微分方程在x=0点的指标就会变为 和Bess方程的特点完全一样.这样,(x)所满足的微分方程就是 (+1/2)2 正是l+1/2阶的 Bessel方程.它的两个线性无关解就是Jl+1/2(x)和N+1/2(x)·在此基础上,就 可以将球 Bessel方程(1784)的线性无关解取为 j (a) J+12(4)÷分 nr(n+l+3/2)(2 n(x)=(-)+-1(x)=yzN+() 、(-) 2n-1-1 分别称为l阶球 Bessel函数和球 Neumann函数
Wu Chong-shi §24.2 ❖ Bessel P◗ ❘ 2 ❙ §24.2 ❚ Bessel ✌☛ Helmholtz ❯❱ ∇2u+k 2u= 0 ❲❳❨❩✹❬❭❪❫❴❵✧❛❜ ❝❞✿❀❡❢❭❯❱ 1 r 2 d dr r 2 dR dr + k 2 − λ r 2 R = 0. ❲ ✓❣❤✐❬ λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, · · · ✣ ✍✎✽✏✑❥✶❯❱✗❦❧♠♥✣ F k = 0 ✚ ✵✶❏❑▲✸❧ ★ r l ❇ r −l−1 ✣ (♦♣ 20 q) F k 6= 0 ✚ ✾r❫s x = kr ❇ y(x) = R(r) ✧t❯❱❫✉ 1 x 2 d dx x 2 dy dx + h 1 − l(l + 1) x 2 i y(x) = 0. ❥✶❯❱✈✉❳ Bessel ❯❱✧✇✗①②❇ Bessel ❯❱③❡ ◆④✣ F ❳ Bessel ❯❱✭⑤✵✶✜⑥✧✓✶★ x = 0 ✧⑦⑧✜⑥✧✓✶★ x = ∞ ✧ ③ ⑦⑧✜⑥✧ ✭❇ Bessel ❯❱◆✫✣ F ❁❂✧✾✦⑨⑩t✇❶✉ Bessel ❯❱✣ ❷❸❀❥✶❯❱❲ x = 0 ⑥ ✗❹❩❯❱ ρ(ρ − 1) + 2ρ − l(l + 1) = 0, ❁▼❹ ❩✉ ρ1 = l ❇ ρ2 = −(l + 1) ✧ ❇ Bessel ❯❱✗❹❩ ρ = ±ν ❺✫✧❻❼❽r ❫s y(x) = v(x) √ x , ❥ ✬ ✧✾✦❾❿✧ v(x) ✗❢ ❭❯❱❲ x = 0 ⑥ ✗❹❩ ✽➀❫✉ ρ = ± l + 1 2 , ❇ Bessel ❯❱✗✕⑥➁➂✓ ✬✣❥ ✬ ✧ v(x) ✥➃➄✗❢ ❭❯❱✽ ★ 1 x d dx x dv dx + 1 − (l + 1/2)2 x 2 v = 0. ⑦ ★ l + 1/2 ✢ ✗ Bessel ❯❱✣✇✗✵✶❏❑▲✸❧✽★ Jl+1/2(x) ❇ Nl+1/2(x) ✣❲❂➅➆✳✧✽ ✾✦t❳ Bessel ❯❱ (17.84) ✗ ❏❑▲✸❧➇✉ jl(x) = r π 2x Jl+1/2(x) = √ π 2 X∞ n=0 (−) n n! Γ (n + l + 3/2) x 2 2n+l nl(x) = (−) l+1j−l−1(x) = r π 2x Nl+1/2(x) = (−) l+1 √ π 2 X∞ n=0 (−) n n! Γ (n − l + 1/2) x 2 2n−l−1 , ❭➈✈✉ l ✢❳ Bessel ✘✙❇❳ Neumann ✘✙✣
前几个球 Bessel函数和球 Neumann函数(图形见图21)的表达式是 sIn -r cos n(z)=-(cosT+asina i(a)=(3-2):inx-3xwsn2(2)=-[(8-2)x+3x j1(a) j2(x) n1(x) 图24.1球 Bessel函数jn(x)和球 Neumann函数n(x),细灰线是它们的渐近线y=±1/x 类似地,也还可以定义球 Hankel函数 hg(x)=i()+in(x),2()=i(x)-in() 例241将函数 elk cos按 Legendre多项式展开 解设 =∑e(kr)P(cos0), 则展开系数 (ikr) a"PI(a)dz n=0 利用第19讲第4节的结果,就有 2+1、(ikn) Pi(ar)dr )”_a1+2n,(+2n) (+2n)! n!r(n+l+3/2) kr)/+2n n!r(n+l+3/2 (2+1)￥i(kr)
Wu Chong-shi ➉➊➋➌➍ (➎) ➏ P ◗ (➐) ❘ 3 ❙ ➑➒✶❳ Bessel ✘✙❇❳ Neumann ✘✙ (⑩① ♦ ⑩ 24.1) ✗➓➔②★✚ j0(x) = sin x x , n0(x) = − cos x x , j1(x) = 1 x 2 sin x − x cos x , n1(x) = − 1 x 2 cos x + x sin x , j2(x) = 1 x 3 h 3 − x 2 sin x − 3x cos x i ; n2(x) = − 1 x 3 h 3 − x 2 cos x + 3x sin x i . → 24.1 ➣ Bessel ↔↕ jl(x) ➙➣ Neumann ↔↕ nl(x) ➛➜➝➞➟➠➡➢➤➥➞ y = ±1/x ✔ ④➦✧ ✭➧✾✦➨➩❳ Hankel ✘✙ h (1) l (x) = jl(x) + i nl(x), h (2) l (x) = jl(x) − i nl(x). ➫ 24.1 t ✘✙ e ikr cos θ ➭ Legendre ➯➲②➳➵✣ ➸ ➺ e ikr cos θ = X∞ l=0 cl(kr)Pl(cos θ), ⑧➳➵✹✙ cl(kr) = 2l+1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l+1 2 X∞ n=0 (ikr) n n! Z 1 −1 x nPl(x)dx. ➻➼♣ 19 q♣ 4 ✎✗➽➾✧✽ ⑤ cl(kr) = 2l + 1 2 X∞ n=0 (ikr) l+2n (l + 2n)! Z 1 −1 x l+2nPl(x)dx = 2l + 1 2 i l X∞ n=0 (−) n (l + 2n)!(kr) l+2n · (l + 2n)! 2 l+2n n! √ π Γ (n + l + 3/2) = 2l + 1 2 i l√ π X∞ n=0 (−) n n! Γ (n + l + 3/2) kr 2 l+2n = (2l + 1) il jl(kr)
§242球 Bessel函数 4 所以,最后就有展开式 ekr cose=>(21+1)i j(kr)PI(cos 0) 另法因为 eiker cos e=ek2是 Helmholtz方程的解 故应有 ers=∑Ai(kr)P(cs 现在的问题是如何定出系数At? 2l+1 ALj(hr irr 2+11 N、/P(1i/, elkrzpl(r)dz 21+11 面 ()-m(-(+)-)+0() 丌)+O 2)+e-+O(产 因此 21+1 即A1=(2+1)i2 最后就得到晨开式 Ikr cos e=>(21+1)ij(kr)PI(cos 0) 也可以赋予这个展开式一个物理解释:平面波按球面波展开.这是因为,若规定定相位的时 间因子为e-t,且r和0为球坐标,则上式左端是向=0(即正z轴)方向传播的平面波,波数 为k,而右端每一项中的i(kr)则具有球面波的相位因子 l丌
Wu Chong-shi §24.2 ❖ Bessel P◗ ❘ 4 ❙ ✥✦✧➚➪✽ ⑤ ➳➵② e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ➶➹ ❁ ✉ e ikr cos θ = eikz ★ Helmholtz ❯❱✗❧ ∇2 + k 2 e ikr cos θ = 0, ❻❼⑤ e ikr cos θ = X∞ l=0 Aljl(kr)Pl(cos θ). ➘ ❲ ✗♠♥★➴➷➨ ✰✹✙ Al ➬ Aljl(kr) = 2l + 1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l + 1 2 " 1 ikr e ikrxPl(x) 1 −1 − 1 ikr Z 1 −1 e ikrxP 0 l (x)dx # = 2l + 1 2 1 ikr e ikr − (−) l e −ikr + O 1 r 2 . ✒✓❯➮✧ jl(kr) = 1 kr cos kr − 1 2 l + 1 2 π − π 4 + O 1 r 2 = 1 kr cos kr − l + 1 2 π + O 1 r 2 = 1 2kr (−i)l+1e ikr + il+1e −ikr + O 1 r 2 = 1 2kr (−i)l+1 e ikr − (−) l e −ikr + O 1 r 2 , ❁❂✧ Al (−i)l+1 2 = 2l + 1 2i ➱ Al = (2l + 1)il , ➚➪✽✿❀➳➵② e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ✭ ✾✦✃❐❥✶➳➵②✓✶❒❮❧❰✚ ÏÐÑÒÓÐÑÔÕ✣❥ ★ ❁ ✉ ✧Ö×➨➨◆Ø✗ ❵ Ù❁Ú✉ e −iωt ✧Û r ❇ θ ✉❳❨❩✧⑧✳②ÜÝ★ Þ θ = 0 (➱ ⑦ z ß) ❯ Þàá✗â➮ã✧ ã✙ ✉ k ✧▼äÝå✓➲ æ✗ jl(kr) ⑧ç⑤❳➮ã✗ ◆Ø❁Ú✧ jl(kr) ∼ 1 kr sin kr − lπ 2 .
第二十四讲(一)柱函数(三 第5页 第二十四讲(二)分离变量法总结( 到现在为止,我们已经处理了几种典型的偏微分方程定解问题,介绍了求解这些定解问题的 种有效方法,分离变量法.这种方法,当然有一定的适用条件,例如,要求方程和定解条件都是 线性的,因此定解问题的解具有叠加性.在第15讲中,我们曾经结合具体的求解过程,分析了这 种解法对于定解问题的要求.特别是,曾经指出(见151节这种方法是否能够普遍地应用于求解 偏微分方程定解问题,在理论上,取决于下列几个问题 1.本征值问题是否一定有解,换勺话说,在什么条件下,本征值问题一定有解; 2.定解问题的解是否一定可以按照某一组本征函数展开,换句话说,在什么条件下,本征函 数是完备的; 3.本征函数是否一定具有正交性. 从这一讲开始,我们就要从理论上回答这几个问题,从而为分离变量法奠定一个坚实的理论基础 当然,严格说来,这里介绍的也只是充分条件.在一般物理间题中,这些条件是能够满足的 241内积空间与函数空间 1.内积与内积空间 设在数域K上定义了n维矢量空间v,它的元素(矢量)用x,y,…表示.可以把三维矢量 空间中矢量的长度的概念推广到n维矢量空间.为此,先定义n维矢量的内积 对于实n维矢量空间(即K为实数域),在选定了一组基{ea,i=1,2,…,n}之后,空间中的 任意一个矢量c都可以用它在这一组基上的投影(坐标) 表 =a1e1+T2e2+'+inen=>iei 对于空间中的矢量x和y,最常见的内积定义为 (x,y)=n1+22+…+n=∑x孙 这是一个实数.显然有 x,)=(y,m)和x,x)≥0 并且,当且仅当x=0时,才有(x,)=0.在此基础上,就可以定义矢量c的长度|l‖ 对于复n维矢量空间,如果仍保留上述内积定义,容易看出,这时的矢量长度就可能不是实
Wu Chong-shi ➉➊➋➌➍ (➎) ➏ P ◗ (➐) ❘ 5 ❙ ✁✂ ✄☎ (✁ ) èéêëìíî (ï) ❀➘❲✉ð✧❛❜ ñ❞ò❮ó➒ôõö✗÷❢ ❭❯❱➨❧♠♥✧øùó❦❧❥ú➨❧♠♥✗ ✓ô⑤û❯ü✧ ❭❪❫❴ü✣❥ô❯ü✧ý❍ ⑤ ✓➨✗þ➼ÿ✧✁ ➴ ✧✂❦ ❯❱❇➨❧ÿ ❅★ ❏❑✗✧❁❂➨❧♠♥✗❧ç ⑤✄☎❑✣❲♣ 15 q æ✧❛❜ ❝❞➽❋ç✆✗❦❧✝ ❱ ✧ ❭✞ ó❥ ô❧ü✟✠➨❧♠♥✗✂❦ ✣ ✕ ➈★✧❝❞❹ ✰ (♦ 15.1 ✎ ) ❥ô❯ü★✡✮☛☞✌➦ ❼➼ ✠ ❦❧ ÷❢ ❭❯❱➨❧♠♥✧ ❲ ❮✑✳✧➇✍ ✠❬✎ ➒✶♠♥✚ 1. ✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚✧✛ ✜✢✣✧✤✥ ✦✧★✩✧ ✏✑✒ ✓✔✗✘✙✚✪ 2. ✘✚ ✓✔✫✚✕✖✗✘✬ ✭✮✯ ✰✗✱✏✑✲✳✴✵✧✛ ✜✢✣✧✤✥ ✦✧★✩✧ ✏✑✲ ✳✕ ✶✷✫✪ 3. ✏✑✲✳✕✖✗✘✸✙✹✺✻✣ ✼❥✓q ➵✽✧❛❜✽✂✼❮✑✳ ✾✿❥➒✶♠♥✧✼▼ ✉❭❪❫❴ü❀ ➨✓✶❁✱✗❮✑➅➆✣ ý❍✧❂❃❄❅✧❥❆øù✗ ✭❇★❈❭ ÿ ✣❲✓❣❒❮♠♥ æ ✧❥úÿ ★✮☛ ➃➄✗ ✣ §24.1 ❉❊❋●❍✌☛❋● 1. ■❏❑■❏▲▼ ➺ ❲✙◆ K ✳➨➩ó n ❖ P◗▲▼V ✧✇✗ ❘❙ (P◗) ➼ x, y, · · · ➓❚ ✣ ✾✦✴❈❖❯❴ ❱Ù æ❯❴ ✗ ❲❳ ✗❨❩✯❬ ❀ n ❖❯❴ ❱Ù ✣✉❂✧✤➨➩ n ❖❯❴ ✗ ■❏ ✣ ✟✠✱ n ❖❯❴ ❱Ù (➱ K ✉ ✱ ✙◆) ✧ ❲❭ ➨ó✓❪➅ {ei , i = 1, 2, · · · , n} ❫ ➪✧❱Ù æ ✗ ❃❄✓✶❯❴ x ❅ ✾✦➼✇ ❲ ❥✓❪➅✳✗❴❵ (❨❩) x1, x2, · · · , xn ➓❚✧ x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = Xn i=1 xiei . ✟✠❱Ù æ ✗ ❯❴ x ❇ y ✧➚❡♦ ✗ ❛❜➨➩✉ (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = Xn i=1 xiyi . ❥ ★ ✓✶✱ ✙✣●❍⑤ (x, y) = (y, x) ❇ (x, x) ≥ 0, ❝Û✧ýÛ❞ý x = 0 ❵ ✧❡ ⑤ (x, x) = 0 ✣❲❂➅➆✳✧✽✾✦➨➩❯❴ x ✗❢❣ kxk kxk = (x, x) 1/2 . ✟✠❊ n ❖❯❴ ❱Ù✧ ➴ ➾❤✐ ❥✳❦ ❛❜➨➩✧❧♠♥✰ ✧❥ ❵ ✗ ❯❴ ❢❣✽✾✮❺★✱
与函数空 第6页 数.为了保持矢量长度仍是实数,不妨在保持长度定义的前提下,把内积定义修改为 (,y)=iv+n2v+…+xn=∑rv, 其中r是x的复共轭.显然,在复矢量空间中 (m)=( 这样的内积概念显然是三维矢量的标积的简单推广.但还不够普遍和抽象,特别是矢量的内 积明显依赖于基的选取.我们当然需要从内积的各种可能定义中抽象出它的最本质的要素.从而 给出一个公理化的内积定义(以后就称为内积公理) 定义241(定义在实数或复数域K上的)矢量空间中矢量x和y的内积(x,y)是它们的标 量值函数,满足 (x,y)=(3,c)* 2.(a+/y,z)=a'(x,z)+β(y,z),其中α和β是数域K上的标量 3.对于任何m,(x,m)≥0;当且仅当x=0时,(x,x)=0 例 24.1 和y yn 是实数域上的列矢量,P为(给定的)对角矩阵,对角元P1均为正实数,则可定义矢量x和y的 内积为 P110 0 0 P 例242实变量t的所有复系数的多项式的集合,在多项式加法以及多项式和复数的乘法 下构成一个复矢量空间.不妨假设0≤t≤1.若r(t)和y(t)是此矢量空间中的两个矢量(即多项 式),则它们的内积可以定义为 (=, y)=/r*(t)y(t)p(t)dt, 其中已知函数p(x)≥0且≠0
Wu Chong-shi §24.1 ♦ ♣qrsP◗qr ❘ 6 ❙ ✙✣✉ó✐t❯❴ ❢❣❤★ ✱ ✙ ✧ ❺✉❲ ✐t❢❣➨➩✗➑✈ ❬ ✧✴ ❛❜➨➩✇ ✺✉ (x, y) = x ∗ 1y1 + x ∗ 2y2 + · · · + x ∗ nyn = Xn i=1 x ∗ i yi , ① æ x ∗ i ★ xi ✗❊②③✣ ●❍✧ ❲ ❊ ❯❴ ❱Ù æ ✧ (x, y) = (y, x) ∗ . ❥ ✬ ✗ ❛❜❨❩●❍★❈❖❯❴ ✗ ❩ ❜✗④⑤✯❬✣⑥➧❺☛☞✌❇⑦⑧✧✕ ➈★❯❴ ✗ ❛ ❜ ⑨●⑩❶✠ ➅✗ ❭ ➇ ✣ ❛❜ý❍❷✂✼ ❛❜✗❸ô✾✮ ➨➩ æ⑦⑧✰ ✇✗➚✍❹✗✂❺✣ ✼▼ ❻ ✰ ✓✶❼❮❶✗ ❛❜➨➩ (✦➪✽ ✈✉ ❛❜❼❮ ) ✣ ❽❾ 24.1 (➨➩❲ ✱ ✙❿ ❊ ✙◆ K ✳✗ ) ❯❴ ❱Ù æ❯❴ x ❇ y ✗ ❛❜ (x, y) ★ ✇❜✗ ❩ ❴➀✘✙✧➃➄✚ 1. (x, y) = (y, x) ∗ ✪ 2. (αx + βy, z) = α ∗ (x, z) + β ∗ (y, z) ✧➁ ➂ α ➃ β ✕✳➄ K ➅✫➆➇✪ 3. ➈➉➊➋ x ✧ (x, x) ≥ 0 ✪➌➍➎ ➌ x = 0 ➏ ✧ (x, x) = 0 ✣ ➫ 24.1 Ö x = x1 x2 . . . xn ❇ y = y1 y2 . . . yn ★ ✱ ✙◆ ✳✗ ✎❯❴ ✧ P ✉ (❻➨✗ ) ✟❉➐➑✧ ✟❉➒ Pii ➓✉ ⑦✱ ✙ ✧⑧✾➨➩❯❴ x ❇ y ✗ ❛❜✉ (x, y) = x1, x2, · · · , xn P11 0 · · · 0 0 P22 · · · 0 . . . . . . 0 0 · · · Pnn y1 y2 . . . yn . ➫ 24.2 ✱ ❫❴ t ✗✥ ⑤ ❊ ✹✙✗ ➯➲②✗➔❋✧ ❲➯➲② ☎ü ✦→ ➯➲② ❇ ❊ ✙ ✗➣ ü ❬↔✼ ✓✶❊❯❴ ❱Ù ✣❺✉↕➺ 0 ≤ t ≤ 1 ✣ Ö x(t) ❇ y(t) ★ ❂ ❯❴ ❱Ù æ ✗✵✶❯❴ (➱➯➲ ② ) ✧⑧✇❜✗ ❛❜✾✦➨➩✉ (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) ρ(t) dt, ① æ ñ➙ ✘✙ ρ(x) ≥ 0 Û 6≡ 0 ✣
它的特殊情形是p(x)≡1 (a,y)=/r(t)y(t)dt 根据內积公理中的第1条要求,可以看出,不论是实的或复的矢量空间,一个矢量和它 身的内积总是实数,这样第3条要求中的不等式才有意义 在此基础上,就把 (x,x)1/2=|c 称为矢量c的模(即矢量c的“长度”) 从上面内积公理中的第1和第2条要求,可得 (a, ay)=a(a, y) 因此 11/2 l acl=(az,az) /2=aa(z, a)=lallazll 任何一个非零矢量除以它的模就成为“单位长度”的矢量,或称为归一化的矢量, 定义了内积的矢量空间称为内积空间 ★具有内积的实矢量空间称为欧几里德空间( Euclidean space) ★具有内积的复矢量空间称为酉空间( unitary space) 2.正交性 在建立了内积定义后,就可以引入矢量正交的概 当且仅当(x,y)=0时,两矢量z,y正交 ★零矢量和任何矢量都正交 定义242若对于所有的i和j,(x;x)=句,则称矢量组{x1,x2,…}是正交归一的 正交归一的矢量一定是线性无关的,这是因为如果将它们线性组合成零矢量 a11+a2x2+a3x3+…=0, 则一定有 所以n维矢量空间中的任何一组n个正交归一矢量都可以构成此空间的基,称为正交 归一基(或称正交标准基 选择正交归一基,无论在理论上或实用上,都具有极大的重要性
Wu Chong-shi ➛➜➝➞➟ (➠) ➡ ➢ ➤ (➥) ➦ 7 ➧ ✇✗✕✖❤①★ ρ(x) ≡ 1 ✧ (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) dt. ➨➩ ➫➭➯➲ ➂✫ ➳ 1 ✧➵➸✧ ✬ ✭➺ ➻✧➼➽✕ ➾✫➚➪✫➶➇ ➹➘✧ ✗➴➶➇➃➷ ➬➮ ✫ ➫➭➱✕ ➾✳✧✃❐ ➳ 3 ✧➵➸ ➂✫➼❒❮ ❰✙ÏÐ✣ ❲ ❂➅➆✳✧✽✴ (x, x) 1/2 = kxk ✈✉❯❴ x ✗ Ñ (➱❯❴ x ✗ Ò❢❣Ó) ✣ ✼✳ ➮ ❛❜❼❮ æ ✗ ♣ 1 ❇♣ 2 ÿ✂❦✧✾✿ (x, αy) = α(x, y). ❁❂ kαxk = (αx, αx) 1/2 = h αα∗ (x, x) i1/2 = |α| kxk. ❃ ➷ ✓✶③Ô❯❴Õ ✦✇✗Ö✽ ✼✉ Ò⑤ Ø ❢❣Ó✗ ❯❴ ✧ ❿✈✉ ×ØÙ ✗ ❯❴ ✧ x kxk , x kxk = 1. F ➨➩ó ❛❜✗ ❯❴ ❱Ù ✈✉ ❛❜❱Ù ✣ F ç ⑤ ❛❜✗✱ ❯❴ ❱Ù ✈✉Ú ➒❆Û❱Ù (Euclidean space) ✪ F ç ⑤ ❛❜✗❊❯❴ ❱Ù ✈✉Ü ❱Ù (unitary space) ✣ 2. ÝÞß ❲àáó ❛❜➨➩➪✧✽✾✦âã❯❴ ÝÞ ✗❨❩✣ F ýÛ❞ý (x, y) = 0 ❵ ✧✵ ❯❴ x, y ⑦ä ✣ F Ô❯❴❇❃ ➷❯❴❅⑦ä ✣ ❽❾ 24.2 Ö ✟✠✥ ⑤ ✗ i ❇ j ✧ (xi , xj ) = δij ✧⑧ ✈❯❴ ❪ {x1, x2, · · ·} ★ ÝÞ×Ø ✗ ✣ ✹✺ å✗✫➶➇✗✘✕æ✻ç è✫✧✃ ✕ éêëìí➷îæ✻✱ïðñ➶➇✧ α1x1 + α2x2 + α3x3 + · · · = 0, ò ✗✘✙ αj = 0, j = 1, 2, 3, · · · . ó ✭ n ô➶➇ ➹➘➂ ✫➊➋✗✱ n ➴✹✺ å✗➶➇õ✬ ✭öð÷ ➹➘✫ø✧ù ê ÝÞ ×Øú(➚ ù ÝÞûüú) ✣ ýþ✹✺ å✗ø✧ ç➽✤➲➽ ➅➚ ➾ÿ➅✧ õ✸✙✁✫✂ ➵ ✻✣
§241内积空间与函数空 第8页 3.完备性 定义243在有限维矢量空间中,如果一组正交归一的矢量(称为一个正交归一矢量集) 并不包含在另一个更大的正交归一矢量集之中,则称该正交归一矢量集是完备的 ★在有限维的矢量空间中,一个完备的正交归一矢量集中矢量的个数必然与空间的维数相同 ★实际问题中,往往并不是先知道矢量空间的维数,反而是要通过找出一组完备的正交归一矢 量(一组特殊的最大线性无关失量组)来判断空间的维数,而建立这个矢量空间的一组基 ★在一个内积空间V中,有一组正交归一的矢量 要判断它是否完备,是一个非常现实的问题 常用的判别法有下列几个 1.当且仅当x=0时,(x1,x)=0,t=1,2,……,k 2.对于任意的∈V,恒有m=∑(x1,x) 3. Bessel不等式中的等号成立,即对于任意的x∈W,恒有 x2=∑|(x;,)2 i=1 4. Parseval方程成立,即对于任意的xy∈V,恒有 (y,x)=∑(y,)(x;,x) 它们都是正交归一矢量组完备的充分必要条件,因而也是完全等价的 4.函数空 函数空间是一类特殊的矢量空间:空间的元素是函数,更确切地说,是定义在一定区间(为 确定起见,设为闭区间a≤x≤b上的复值函数),并且积分厂存在函数a 方可积”) 定义元素f1和f2的加法f1+f2就是两函数相加 (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x) ★元素∫和复数a的数乘af是 (af(a)=af(a) 这样的平方可积函数的集合,对于加法和数乘是封闭的,因此的确构成一个矢量空间 特别是,因为 f1(x)+f(x)+|f(x)-f2(x)=2[f1(x)2+1(x)2]
Wu Chong-shi §24.1 ♦ ♣qrsP◗qr ❘ 8 ❙ 3. ✄☎ß ❽❾ 24.3 ❲⑤✆❖❯❴ ❱Ù æ ✧ ➴ ➾✓❪⑦ä✝✓✗❯❴ (✈✉✓✶ ÝÞ×ØP◗✞) ✧ ❝ ❺✟✠❲ ✒✓✶✡☛✗⑦ä✝✓ ❯❴ ➔ ❫ æ ✧⑧✈ ❽⑦ä✝✓ ❯❴ ➔ ★ ✄☎ ✗ ✣ F ❲⑤✆❖ ✗ ❯❴ ❱Ù æ ✧✓✶➁☞✌✍ä✝✎❯✏ ➔ ✑ ❯✏✌✒✓✔✕✖❱✗ ✌✘✓✙✚✛ F ✜✢✣✤ ✑✥✦✦✧★✩✪✫✬✭✏✮✗ ✌✘✓✥✯✰✩✱✲✳✴✵✎✶✷☞✌✍✸✹✎✭ ✏ (✎✶✺✻✌✼✽✾✿❀❁✭ ✏ ✶ ) ❂❃❄✮✗ ✌✘✓✥✰❅❆❇✒ ✭ ✏✮✗ ✌ ✎✶❈✛ F ❉ ✎ ✒ ❊❋✮✗ V ✑✥●✎✶✍✸✹✎ ✌ ✭ ✏ {xi , i = 1, 2, · · · , k}, ✱ ❃❄❍✩■✷ ☞ ✥✩✎ ✒❏❑▲✜✌✣✤✛ ❑▼✌❃◆❖●P◗❘✒❙ 1. ❚❯❱ ❚ x = 0 ❲ ✥ (xi , x) = 0, i = 1, 2, · · · , k ✛ 2. ❳❨❩❬❭ x ∈ V ✥❪❫ x = X k i=1 (xi , x)xi ✛ 3. Bessel ❴❵❛ ❜❭❵❝❞❡✥❢❳❨❩❬❭ x ∈ V ✥❪❫ kxk 2 = X k i=1 |(xi , x)| 2 . 4. Parseval ❣❤❞❡✥❢❳❨❩❬❭ x, y ∈ V ✥❪❫ (y, x) = X k i=1 (y, xi)(xi , x). ❍✐❥✩ ✍✸✹✎✭ ✏ ✶✷☞✌❦❧✔✱♠♥✥♦✰♣✩✷qrs✌✛ 4. t✉✈✇ t✉✈✇ ✩✎①✺✻✌ ✭ ✏✮✗ ❙ ✈✇②③④⑤t✉ ✥⑥⑦⑧⑨⑩✥✩❶❷❉ ✎❶❸✗ (❹ ⑦❶❺❻✥❼ ❹❽❸✗ a ≤ x ≤ b) ❾✌❿➀➁✓ f(x) ✥✧➂❋❧ Z b a f(x) 2 dx ➃❉ (➄t✉ f(x) ➅ ➆➇➈ ➉ ) ✛ F ❶❷➊➋ f1 ➌ f2 ✌➍❖ f1 + f2 ➎ ✩➏➁✓✙➍✥ (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), F ➊➋ f ➌❿✓ α ✌✓➐ αf ✩ (αf)(x) = αf(x), ❇➑✌➒➓➔❋➁✓✌→➣✥↔↕➍❖➌✓➐✩➙❽✌✥♦➛✌ ⑦➜➝✎ ✒ ✭ ✏✮✗ ✛ ✺ ◆ ✩✥♦❹ f1(x) + f2(x) 2 + f1(x) − f2(x) 2 = 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 ,
第9页 所以,两个平方可积函数之和仍是平方可积的, f(x)+f2(x)≤2[f1(x)2+|f2(x)2] 5.函数的内积 定义244设f1(x)和∫2(x)是函数空间中的两个函数,它们的内积是 (f1,f2)=/f:(x)f2(x)dx 由于 f(x)|2+|t(x)2-2f(x)l|h(l=[f(x)-1()]2≥0 因此 i(x)(x)=|1(x)(x)≤21(a)2+() 所以积分/|f()()d存在,又因为 fr(r)f2(c)drs/If(r)f2(c)dz 所以,只要∫i(x)和f2(x)平方可积,那么它们的内积也一定存在 在此基础上,可以定义函数f(x)的“长度” ‖f=(,f)4/2, 称为函数f(x)的范数 ★问题是:在这样的内积定义下,如果(f,f=0,∫(x)并不见得在整个区间上处处为0.事 实是,f(x)可以在有限个点上不为0,但这些不为0的函数值并不会影响积分值,所以仍可 以有(f,f)=0 准确地说,如果(f,f)=0,则∫(x)可以在测度为零的点集上取非零值.所以只能说(f,f)=0 隐含着f(x)几乎处处为0 如果采用广义的零函数的概念,把任何几乎处处为0的函数称为零函数,那么,这一定义的 内积也就符合内积函,的、,3条要论 函一内积的定义特可以进一的为 (1, f2)=/fi(a)f2(z)p(a)da, 是 中以(a)2是且≠0,这奇 的修改。同样也,于函 积的要求也该修改为要求积分 If(z)p(a)dr
Wu Chong-shi ➞➟➠➡➢ (➤) ➥ ➦ ➧ (➨) ➩ 9 ➫ ➭➯✥➏✒➒➓➔❋➁✓➲➌➳✩ ➒➓➔❋✌✥ f1(x) + f2(x) 2 ≤ 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 . 5. t✉②➵➈ ➸➺ 24.4 ❼ f1(x) ➌ f2(x) ✩ ➁✓✮✗ ✑✌ ➏ ✒➁✓✥ ❍✐✌ ❊❋✩ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx. ➻ ❨ f1(x) 2 + f2(x) 2 − 2 f1(x) · f2(x) = |f1(x)| − |f2(x)| 2 ≥ 0, ➼➽ f ∗ 1 (x)f2(x) = f1(x) · f2(x) ≤ 1 2 |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 , ➾ ➚➪➶ Z b a f ∗ 1 (x)f2(x) dx ➹➘✛➴ ➼➷ Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx ≤ Z b a f ∗ 1 (x)f2(x) dx, ➾ ➚✥➬➮ f1(x) ➱ f2(x) ✃❣❐➪✥❒ ❮❰Ï❭ Ð➪ÑÒÓ➹➘✛ ❉ ➛❈Ô❾ ✥ ➔ ➯❶❷➁✓ f(x) ✌ ➄ ÕÖ➉ kfk = (f, f) 1/2 , × ❹➁✓ f(x) ✌ Ø✉ ✛ F ✣✤✩ ❙ ÙÚÛ②➵➈➸➺Ü✥ÝÞ (f, f) = 0 ✥ f(x) ßàáâÙãäå✇æççè 0 ✛é ✜ ✩✥ f(x) ➔ ➯ ❉ ●ê✒ë❾★ ❹ 0 ✥ì❇í★❹ 0 î➁✓➀✧★ïðñ❋❧➀✥➭➯➳➔ ➯● (f, f) = 0 ✛ F ò ⑦⑨⑩✥óô (f, f) = 0 ✥õ f(x) ➔ ➯ ❉öÖ ❹÷îë→❾ø❏÷➀✛➭➯ùú⑩ (f, f) = 0 ûüý f(x)þÿççè 0 ✛ F óô ▼✁ ❷ î÷➁✓î✂✄✥ ☎✆✝þÿççè 0 ②t✉✞è✟t✉ ✥✠✡✥❇☛❶❷î ❊❋♣ ➎☞➣ ❊❋✌✍ ✎î✏ 3 ♠✱✑ ✛ ✒✓ Ð ➪ ❭ Ó✔✕❐ ➚✖Ò ✗✘ ✙➷ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x) f2(x) ρ(x) dx, ✚ ❜ ρ(x) ≥ 0 ❯ 6≡ 0 ✛✛✜✥❫ ✢✣❛✤✥➮✦✧★❭✩✪✛✫✬✭✥✢ ❨ ✒✓✃❣❐ ➪ ❭ ➮✮Ñ★✯✩✪➷➮✮➪➶ Z b a f(x) 2 ρ(x) dx ➹➘✛
与函数空 6.函数的正交归一性 若函数∫(x)和g(x)满足 f(r)g(a)dz=0, 则称它们是(在区间[a,b上)正交的.若函数f(x)和它自身的内积 =/r(a)(x) )dx=1,亦即‖f=1, 则称∫(x)是归一化的.而若对于函数集合{f},恒有 (,f)≡/f:(x)(x)dm=b 则称此函数集合是正交归一的 例243函数集合{e/2元,n=0,±1,±2,…}在区间[-兀,上是正交归一的 7.正交归一函数集的完备性概念 如果对于(函数空间中的)任意函数∫(x),总可以表示成正交归一函数集{f1 线性组合 f(x)=∑cf(a) 则称正交归一函数集{f,i=1,2,…}是完备的 正交归一函数集的完备性概念总是和任意函数是否可以按该函数集展开相联系的 ★第一,一般说来,这个函数集应该含有无穷多个函数,否则()式不可能对任意f(x)均成立 这一事实告诉我们,函数空间是无穷维的矢量空间 ★第二,(式应该对区间[a,列内的每一点x都成立,或者说,对于区间a,b内的每一点x 级数∑cf(x)都应该收敛于f(x).这种收敛性称为逐点收敛 ★为了和广义零函数的概念相适应,也可以把()式理解为左右两端相差一个广义的零函数 换句话说,把级数∑cf(x)理解为平均收敛于∫(x),即 第三,由函数集{f,i=1,2,…}的正交归一性,可求得 c=/f(a)f(r)dr=(i,f)
Wu Chong-shi §24.1 ✰ ✱✲✳✴➦➧✲✳ ➩ 10 ➫ 6. t✉②✵✶✷✸✹ ✺ ➁✻ f(x) ➌ g(x) ✼✽ (f, g) ≡ Z b a f ∗ (x)g(x)dx = 0, õ× ❍✐✩ (❉ ❸✗ [a, b] ❾)✵✶ î✛✺ ➁✻ f(x) ➌❍ ✾ ✿ î ❊❋ (f, f) ≡ Z b a f ∗ (x)f(x)dx = 1, ❀❁ kfk = 1, õ× f(x) ✩ ✷✸❂ î✛✰✺↔↕➁✻→➣ {fi} ✥❃● (fi , fj ) ≡ Z b a f ∗ i (x)fj (x)dx = δij , õ×➛➁✻→➣✩ ✵✶✷✸ î✛ ❄ 24.3 ➁✻→➣ e inx/ √ 2π, n = 0, ±1, ±2, · · · ❉ ❸✗ [−π, π] ❾ ✩❅ ✸✹❆î✛ 7. ✵✶✷✸t✉❇②❈❉✹❊❋ óô↔↕ (➁✻✮ ✗ ✎î) ●❍➁✻ f(x) ✥■ ➔ ➯❏❑➝❅ ✸✹❆➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} î ✾✿✶ ➣ f(x) = X∞ i=1 cifi(x), (z) õ×❅ ✸✹❆➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} ✩✷▲ î✛ ❅ ✸✹❆➁✻→î✷▲ ✿✂✄■✩ ➌●❍➁✻ ✩■➔ ➯▼◆➁✻→❖P✙◗❘î✛ F ✏❆✥ ❆❙⑩ ❂ ✥❇❚ ➁✻→❯ ◆ü● ❀❱❲❚ ➁✻ ✥■õ (z) ❳ ★ ➔ ú↔ ●❍ f(x) ❨ ➝❆ ✛ ❇ ❆é✜❩❬❭✐ ✥ ➁✻✮ ✗✩❀❱✘î✭❪ ✮ ✗ ✛ F ✏❫✥ (z) ❳❯◆↔❸✗ [a, b] ❊î❴❆ë x ❥ ➝❆✥❵❛⑩✥↔↕❸✗ [a, b] ❊î❴❆ë x ✥ ❜ ✻ P∞ i=1 cifi(x) ❥❯ ◆❝❞↕ f(x) ✛ ❇❡❝❞✿ × ❹❢ë ❝❞✛ F ❹❣➌✁ ❷ ÷➁✻î✂✄✙❤❯✥♣➔ ➯✐ (z) ❳✍❥❹❦❧➏♠ ✙♥❆❚ ✁ ❷ î÷➁✻ ✥ ♦♣q⑩✥✐❜ ✻ P∞ i=1 cifi(x) ✍❥❹➒❨ ❝❞↕ f(x) ✥ ❁ limn→∞ Z b a f(x) − Xn i=1 cifi(x) 2 dx = 0. (#) F ✏r✥s ➁✻→ {fi , i = 1, 2, · · ·} î ❅ ✸✹❆✿ ✥ ➔ ✑t ci = Z b a f ∗ i (x)f(x)dx = (fi , f). (~)