第二十二讲柱函数 将 Helmholtz方程在柱坐标糸下分禹变量时,曾经得到常微分方程 1d「dR(r) 如果k2-A≠0,作变换x=VR2-xr,y(x)=R(r),则方程变为(u阶) Bessel方程 1 d r dr =]+(1-]()=0 其中p=u2 笫九讲第2节中已经求出了 Bessel方程在工=0点的正则解 下面扼要地罗列一下已经得到的结果 822.1 Bessel函数和 Neumann函数 Bessel方程有两个奇点:x=0和x=∞;x=0是正则奇点,x=∞是非正则奇点 在正则奇点x=0处,指标p=土v 当v≠整数时, Bessel方程的两个(线性无关)正则解是 x\2k±D J士(x) T(k±+1) 如果v=整数n,则Jn(x)和J-n(x)线性相关 这时, Bessel方程的第一解仍是Jn(x),第二解则可取为 Nn(z)= lim COS UT Jv(r)-J-v(a 1(n-k-1)! (k+mm+k+1)+中(k+ 并且约定,当n=0时,需去掉表达式中第二项的有限和
Wu Chong-shi ✁✂✁✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ Helmholtz ✠✡☛☞✌✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✑✠✡ 1 r d dr r dR(r) dr + h k 2 − λ − µ r 2 i R(r) = 0. ✢✣ k 2 − λ 6= 0 ✖✤✓✥ x = √ k 2 − λr, y(x) = R(r) ✖✦✠✡✓✧ (ν ★)Bessel ✠✡ 1 x d dx x dy(x) dx + 1 − ν 2 x 2 y(x) = 0, ✩ ✪ µ = ν 2 ✫ ✬✭✮ ✬ 2 ✯ ✪ ✰✘✱ ✲ ✳ Bessel ✠✡☛ x = 0 ✴✵✶✦✷✫ ✏ ✸✹✺✻ ✼✽✾✏ ✰ ✘✙✚✵✿✣✫ §22.1 Bessel ❀❁❂ Neumann ❀❁ Bessel ❃❄❅❆❇❈❉❊ x = 0 ❋ x = ∞ ● x = 0 ❍■❏❈❉✖ x = ∞ ❍❑■❏❈❉✫ ▲ ■❏❈❉ x = 0 ▼✖◆❖ ρ = ±ν ✫ P ν 6= ◗❘ ❙✖ Bessel ❃❄❚❆❇ (❯❱❲❳) ■❏❨❍ J±ν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k ± ν + 1) x 2 2k±ν . ❩❬ ν = ◗❘ n ✖❏ Jn(x) ❋ J−n(x) ❯❱❭❳✖ J−n(x) = (−) n Jn(x), ❪ ❙✖ Bessel ❃❄❚❫❴❨❵❍ Jn(x) ✖❫❛❨❏❜❝❞ Nn(x) = limν→n cos νπ Jν(x) − J−ν(x) sin νπ = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! x 2 2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (k + n)! ψ(n + k + 1)+ψ(k + 1) x 2 2k+n , ❡❢❣❤✖ P n = 0 ❙✖✐❥❦❧♠♥ ♦❫❛♣❚❅q❋✫
图2.1中给出了自变量为实数时前几个Jn(x)的图形 !.10V J4(2) Js(r) 81V120 前几个Nn(x)的图形见图22.2 no(a) N(e) N2(c) 图222 Neumann函数 级数表达式是 Bessel函数的基本表达式,由此可以推出 Bessel函数的一些其他性质,例如递 推关系(见下一节).应用 Bessel函数的级数表达式,还可以计算某些类型的积分,例如被积函数 为指数函数与 Bessel函数的乘积的积分
Wu Chong-shi §22.1 Bessel rst Neumann rs ✉ 2 ✈ ✇ 22.1 ♦①②③ ④ ⑤⑥❞⑦❘❙⑧⑨❇ Jn(x) ❚ ✇⑩✫ ❶ 22.1 Bessel ❷❸ ⑧⑨❇ Nn(x) ❚ ✇⑩❹✇ 22.2 ✫ ❶ 22.2 Neumann ❷❸ ❺ ❘❧♠♥❍ Bessel ❻❘❚❼❽❧♠♥✖❾❿❜➀➁② Bessel ❻❘❚❴➂➃➄❱➅✖➆❩➇ ➁❳➈ (❹➉❴➊) ✫➋➌ Bessel ❻❘❚❺ ❘❧♠♥✖➍❜➀➎➏➐➂➑➒❚➓➔✖➆❩ →➣↔↕ ➙➛↕↔↕➜ Bessel ↔↕➝➞➣➝➣➟ ✫
例221计算积分/e-J)dr,ea>0 解代入 Bessel函数的级数表示,并逐项积分 (k)2(2 -ar 26 dr k=0 3 k! 2(a k=0 这种做法的难点是级数求和,求和时还往往要有一定的限制条件.例如在上面求和时就要求|/a0的任意闭区域中一致收敛,因而在Rea>0 的任意区域内解析;而积分出的结果也在同一区域内解析.根据解析延拓的原理,就可以去掉这 个限制条件
Wu Chong-shi ➠➡➢➡➤ ➥ r s (➦) ✉ 3 ✈ ➧ 22.1 ➎➏➓➔ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx, Re a > 0. ➨ ➩➫ Bessel ❻❘❚❺ ❘❧➭✖❡➯♣➓➔✫ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx = Z ∞ 0 e −axX∞ k=0 (−) k (k!)2 bx 2 2k dx = X∞ k=0 (−) k (k!)2 b 2 2k Z ∞ 0 e −axx 2kdx = X∞ k=0 (−) k (k!)2 b 2 2k (2k)! a 2k+1 = 1 a X∞ k=0 1 k! − 1 2 − 3 2 − 5 2 · · · − 2k − 1 2 b a 2k = 1 a " 1 + b a 2 #−1/2 = 1 √ a 2 + b 2 . ❪➲➳➵❚➸❉❍❺ ❘➺❋✖➺❋❙➍➻➻➼❅❴❤ ❚q➽➾➚✫➆ ❩▲➪➶➺❋❙➹➼➺ |b/a| 0 ❚❰ÏÐÑÒ ♦❴ÓÔÕ✖Ö ➷ ▲ Re a > 0 ❚❰ÏÑÒ ×❨Ø●➷➓➔②❚Ù❬Ú▲Û❴ÑÒ ×❨Ø✫ÜÝ❨ØÞß❚❒à✖➹❜➀❥❦❪ ❇q➽➾➚✫
4 8222 Bessel函数的递推关系 Bessel函数J+p(x)的基本递推关系是 dr d 证先证明 dr lr Jv(z)=x Ju-1(r) 为此,直接从 Bessel函数的级数表达式 Jv(a) k!r(k+v+1) 出发.由于级数在全平面收敛,所以可以逐项微商 d k!r(k++1)2 !I(k+) 同样, d [z-J(z)] k!r(k++1) 在这两个递推关系中消去J(x)或J(x),又可以得到两个新的递推关系 J-1(x)-J+1(x)=2Jy(x) 从这些递推关系可以看出,任意整数阶的 Bessel函数,总可以用J(x)和J1(x)表示出来 Jv(a) 中令v=0,还能得到 J(x)=-J1(x) 根据N(x)的定义 Jv(a)-J-v() N sIn v7 及J(x)的递推关系,可以导出N(x)的递推关系,其形式和J(x)完全相同 dr lNv()=Ny-1(a)
Wu Chong-shi §22.2 Bessel rsáâãäå ✉ 4 ✈ §22.2 Bessel ❀❁æçèéê Bessel ❻❘ J±ν(x) ❚❼❽➇ ➁❳➈❍ d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x), d dx x −ν Jν(x) = −x −ν Jν+1(x). ë ì✃ ❐ d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x). ❞❿✖íîï Bessel ❻❘❚❺ ❘❧♠♥ Jν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2 2k+ν ②ð✫❾ñ❺ ❘ ▲òó➶ÔÕ✖ô➀❜➀➯ ♣õö✫ d dx [x ν Jν(x)] = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k+2ν 2 2k+ν = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν) x 2k+2ν−1 2 2k+ν−1 = x ν Jν−1(x). Û÷✖ d dx x −ν Jν(x) = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k 2 2k+ν = X∞ k=0 (−) k+1 k! Γ (k + ν + 2) x 2k+1 2 2k+ν+1 = −x −ν Jν+1(x). () ▲❪ ❆❇➇ ➁❳➈ ♦ø❥ Jν(x) ù J 0 ν (x) ✖ú❜➀ûü❆❇ý❚➇ ➁❳➈❊ Jν−1(x) − Jν+1(x) = 2J0 ν (x), Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2ν x Jν(x). ï ❪ ➂ ➇ ➁❳➈❜➀þ②✖❰Ï◗❘ÿ❚ Bessel ❻❘✖❜➀➌ J0(x) ❋ J1(x) ❧➭②❮✫ ✁✂❍✖▲ d dx x −ν Jν(x) = −x −ν Jν+1(x) ♦✄ ν = 0 ✖➍☎ûü J 0 0 (x) = −J1(x). ÜÝ Nν (x) ❚ ❤✆ Nν (x) = cos νπ Jν(x) − J−ν(x) ✝ sin νπ Jν(x) ❚ ➇ ➁❳➈✖❜➀✞② Nν (x) ❚ ➇ ➁❳➈✖➃⑩ ♥❋ Jν(x) ✟ ò ❭ Û✫ d dx [x νNν (x)] = x νNν−1(x),
d EIN(a) 满足递推关系 C(x)=x"C-1(x) d“Cn()]=--C+(x) 的函数{Cn(x)}统称为柱函数.可以证明:柱函数一定是 Bessel方程的解 Bessel函数是第一类柱函数, Neuman函数是第二类柱函数 Bessel函数递推关系的应用之一,是计算含Bese函数的积分.主要用于被积函数为幂函数 与 Bessel函数的乘积的情形 例22计算积分/(-2)J)d,其中J(-0 解利用递推关系 dr lr Jv(z)]=r Jv-1(r) 分部积分,有 (1-x2)Jm)xdx=/(1-2)1dm)d x2) raj J2() 再令递推关系 J-1(x)++()=3 中 Jo(x)+J2(x)==J1(x) 并’虑到J(m)=0,就有 J2(4)=二J1() 代入即得 (1-x2)J(x)xdx=2J1()
Wu Chong-shi ➠➡➢➡➤ ➥ r s (➦) ✉ 5 ✈ d dx x −νNν(x) = −x −νNν+1(x). ✠✡➇ ➁❳➈ d dx [x νCν(x)] = x νCν−1(x), d dx x −νCν (x) = −x −νCν+1(x) ❚❻❘ {Cν(x)} ☛☞❞✌❻❘✫❜➀✃ ❐❊✌❻❘❴❤ ❍ Bessel ❃❄❚❨✫ Bessel ❻❘❍❫❴➑✌❻❘✖ Neumann ❻❘❍❫❛➑✌❻❘✫ Bessel ❻❘➇ ➁❳➈❚➋➌✍❴✖❍➎➏✎ Bessel ❻❘❚➓➔✫✏➼➌ñ →➣↔↕➙✑↔↕ ➜ Bessel ↔↕➝➞➣ ❚✒ ⑩✫ ➧ 22.2 ➎➏➓➔ Z 1 0 1−x 2 J0(µx) x dx ✖➃ ♦ J0(µ)= 0 ✫ ➨ ✓➌➇ ➁❳➈ d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x). ➔✔➓➔✖❅ Z 1 0 1 − x 2 J0(µx) x dx = Z 1 0 1 − x 2 1 µ d dx [xJ1(µx)] dx = 1 − x 2 1 µ [xJ1(µx)] 1 0 + 2 µ Z 1 0 x 2 J1(µx)dx = 2 µ2 x 2 J2(µx) 1 0 = 2 µ2 J2(µ). ✕ ✄ ➇ ➁❳➈ Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2ν x Jν(x) ♦ ν = 1 ✖ J0(x) + J2(x) = 2 x J1(x), ❡✖✗ü J0(µ) = 0 ✖➹❅ J2(µ) = 2 µ J1(µ). ➩➫✘ û Z 1 0 1 − x 2 J0(µx) x dx = 4 µ3 J1(µ).
§223 Bessel函数的渐近展开 第6页 8223 Bessel函数的渐近展开 Bessel函数的渐近展开有两种基本类型.一种适用于x→0, J(x)= 这可以直接由 Bessel函数的级数表达式得到.另一种渐近展开适用于x→∞ Jv(a) VT 7 2-4 这个公式的推导通常要用到任意阶 Bessel函数的积分表示,还要用到一种特殊的技巧(鞍点法,或 称最陡下降法)·严格的推导可见参考书目3]的第7章.在参考书目门中也给出了整数阶 Bessel 函数渐近晨开的证明 x→0,Re>0时,N,(x)的渐近行为由J-(x)决定 T(v) 而对于N0(x),可由 冷Jn(a)ln2 k=0 2k+n k!(k+n)! Gn+k+1+(k+1](2 直接得到 (x) 所以,不论v是否为整数,Nn(x)在x=0点都是发散的 还可以证明,当x→∞时, Neumann函数的渐近表达式是 argr|<丌
Wu Chong-shi §22.3 Bessel rsá✙✚✛✜ ✉ 6 ✈ §22.3 Bessel ❀❁æ✢✣✤✥ Bessel ❻❘❚✦✧★✩❅❆➲ ❼❽➑➒✫❴ ➲✪➌ñ x→0 ✖ Jν(x) = 1 Γ (ν + 1) x 2 ν + O x ν+2 . ❪ ❜➀íî ❾ Bessel ❻❘❚❺ ❘❧♠♥ûü✫✫❴ ➲ ✦✧★✩✪➌ñ x → ∞ ✖ Jν(x) ∼ r 2 πx cos x − νπ 2 − π 4 , |arg x| 0 ❙✖ Nν (x) ❚✦✧✼❞ ❾ J−ν(x) ✽ ❤ ✖ Nν (x) ∼ − Γ (ν) π x 2 −ν . ➷✾ñ N0(x) ✖❜ ❾ Nn(x) = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! x 2 2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (k + n)! ψ(n + k + 1)+ψ(k + 1) x 2 2k+n , íîûü N0(x) ∼ 2 π ln x 2 . ô➀✖✿❀ ν ❍❁❞◗❘✖ Nν (x) ▲ x = 0 ❉❂❍ð❃❚✫ ➍❜➀✃ ❐✖ P x → ∞ ❙✖ Neumann ❻❘❚✦✧❧♠♥❍ Nν (x) ∼ r 2 πx sin x − νπ 2 − π 4 , |arg x| < π.
第二十三讲柱数( 第7页 22.4整数有 Bessel函数的两个函数和积点表示 Bessel方程 y(x)=0 中的v2≡μ,通常是由本征是问题 更+pφ=0 中(0)=更(2),更(0)=更(27) 决定的,μ=m2,m=0,1,2,…,因此,本节特别介绍整数阶 Bessel函数特有的性质 1.Jn(x)的在成函数展开当(见第7整例74) exp (-)-∑1 Jn(x)t2,0<|<∞ 数时 2.Jn(x)的积分 Jn(a)=/ cos(ar sin e-me)de 证在 Bessel函数的的成函数展开式中令t=e,就得 这就是函数esn°的傅里叶展开式(复数形式).于是,由傅里叶展开的系数公式,就能证得 Jn(r), 在右端积分的被积函数中,、部是奇函数,积分为0,所以就证得Jn(x)的积分表示.口 Jn(x)的积分表示,也可以用来计算含Besd函数的积分,例如对于例21中的积分,有 Jo(br) ibr sin e de dr 用弟数定理计算这个积分 z|=1 就本题而言,这种做法要一代入 Bessel函数的级数表达式更容易些,因为现在的计算可骤明 不像级数求和更具有技巧性这种做法的.一个好处是不需、解析延拓
Wu Chong-shi ➠➡➢➡➤ ➥ r s (➦) ✉ 7 ✈ §22.4 ❄❁❅ Bessel ❀❁æ❆❇❀❁❂❈❉❊❋ Bessel ❃❄ 1 x d dx x dy(x) dx + 1 − ν 2 x 2 y(x) = 0 ♦❚ ν 2 ≡ µ ✖✭✮❍ ❾❽●❍■➴ Φ 00 + µΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π) ✽ ❤ ❚✖ µ = m2 , m = 0, 1, 2, · · · ✫Ö ❿✖❽➊✁✂❏❑◗❘ÿ Bessel ❻❘✁ ❅❚❱➅✫ 1. Jn(x) ➝▲▼↔↕◆❖P(❹ ❫ 7 ◗➆ 7.4) exp x 2 t − 1 t = X∞ n=−∞ Jn(x)t n , 0 < |t| < ∞. 2. Jn(x) ➝➣➟❘❙ Jn(x) = 1 π Z π 0 cos(x sin θ − nθ)dθ. ë ▲ Bessel ❻❘❚❚❯❻❘★✩♥ ♦✄ t = eiθ ✖➹ûü e ix sin θ = X∞ n=−∞ Jn(x)einθ . ❪ ➹❍❻❘ e ix sin θ ❚❱❲❳★✩♥ (❨❘ ⑩ ♥) ✫ñ❍✖❾❱❲❳★✩❚➈❘✬♥✖➹☎ ✃ û Jn(x), = 1 2π Z π −π e ix sin θ e inθ∗ dθ = 1 2π Z π −π [cos(x sin θ − nθ) + i sin(x sin θ − nθ)] dθ. ▲❩❬➓➔❚❭➓❻❘ ♦✖❪✔❍❈❻❘✖➓➔❞ 0 ✖ô➀➹✃ û Jn(x) ❚➓➔❧➭✫ Jn(x) ❚➓➔❧➭✖Ú ❜➀➌❮ ➎➏✎ Bessel ❻❘❚➓➔✫➆ ❩ ✾ñ➆ 22.1 ♦❚➓➔✖❅ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx = Z ∞ 0 e −ax 1 2π Z π −π e ibx sin θdθ dx = 1 2π Z π −π dθ Z ∞ 0 e −(a−ib sin θ)xdx = 1 2π Z π −π dθ a − ib sin θ . ➌ ❫❘ ❤à ➎➏❪ ❇➓➔✖ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx = 1 2π i I |z|=1 2dz −bz2 + 2az + b = 1 −bz + a z=(a− √ a2+b 2)/b = 1 √ a 2 + b 2 . ➹❽➴➷➬✖❪➲➳➵➼ ❴ ➩➫ Bessel ❻❘❚❺ ❘❧♠♥❵ ➮➱➂✖Ö ❞❛ ▲ ❚➎➏❜❝ ❐❞ ✖ ✿❡❺ ❘➺❋❵❢❅✰✱❱✫❪➲➳➵❚✫❴❇❣▼❍✿✐❤❨ØÞß✫
§224整数阶Beel函数的生成函数和积分表示 第8页 如果在 Bessel函数的生成函数展开式 Jn(x)t,0iJn(z)cos ne 特别是,如果再令x=kr,于是就有 J0(kr)+2∑iJn(k) 把上式中的r和θ理解为柱坐标系中的坐标变量,并且把k理解为波数,同时取相位的时间因子 为et,则上式两端都分别对应于波动过程相位因子的空间部分:左端是沿正x轴方向传播① 的平面波,因为它的等相位面是 θ-t=常数; 而右端各项中的Jo(kr)和Jn(kr)描述的是柱面波.因此,这个展开式的意义就是平面波按柱面波 展开 现在来解释为什么J(kr)描述的是柱面波.由 Bessel函数的渐近展开 J(x)~ argx<丌 可以看出,当r足够大时,J(kr)所描述的波动过程的相位就是 (x-2-)-={-(-+--)+p-(-2-+)小 等相位面是柱面 常数 分别描述的是等相位面随着时间不断扩大或收缩的发散或会聚的柱面波.而且,由于()式中还 含有与√F成反比的振幅因子,波动过程的能流密度就与r成反比,可是由于圆柱的侧面积与r成 正比,所以单位时间内通过每个圆柱面流过的总能量不变.这就是说,()式描述的还是一个不 衰减的柱面波 同样,N(x)也可以用来描写柱面波,也是发散的柱面波和会聚的柱面波的叠加 ①传播方向与相位的时间因子的规定有关.如果取时间因子为eut,这个平面波就是向负x轴方向传播的
Wu Chong-shi §22.4 ✐s❥ Bessel rsá❦❧rst♠♥♦♣ ✉ 8 ✈ ❩❬▲ Bessel ❻❘❚❚❯❻❘★✩♥ exp x 2 t − 1 t = X∞ n=−∞ Jn(x)t n , 0 < |t| < ∞. ♦✄ t = ieiθ ✖➍❜➀ûü e ix cos θ = X∞ n=−∞ Jn(x)in e inθ = J0(x) + 2X∞ n=1 i n Jn(x) cos nθ. ✁✂❍✖❩❬✕ ✄ x = kr ✖ñ❍➹❅ e ikr cos θ = J0(kr) + 2X∞ n=1 i n Jn(kr) cos nθ. q➪ ♥ ♦❚ r ❋ θ à ❨❞✌r❖➈ ♦❚r❖ ⑤⑥✖ ❡❢q k à ❨❞s❘✖Û ❙❝❭t❚❙✉ Ö✈ ❞ e −iωt ✖❏➪ ♥❆❬ ❂➔ ✂ ✾➋ñs✇①❄❭t Ö✈ ❚②✉✔➔❊③ ❬ ❍④■ x ⑤❃ ⑥⑦⑧ ⑨ ❚ ó➶s✖ Ö ❞⑩❚❶❭t ➶ ❍ kr cos θ − ωt = ✮❘; ➷ ❩❬❷♣ ♦❚ J0(kr) ❋ Jn(kr) ❸❹❚❍✌ ➶ s✫Ö ❿✖❪ ❇★✩♥❚Ï✆ ➹❍ó➶s❺✌➶ s ★✩✫ ❛ ▲❮❨❻❞❼❽ Jν(kr) ❸❹❚❍✌ ➶ s✫❾ Bessel ❻❘❚✦✧★✩ Jν(x) ∼ r 2 πx cos x − νπ 2 − π 4 , |arg x| < π. (z) ❜➀þ②✖P r ✡❾❿❙✖ Jν(kr) ô❸❹❚s✇①❄❚❭t➹❍ cos kr− νπ 2 − π 4 e −iωt = 1 2 exp h i kr− νπ 2 − π 4 −ωti+exp h −i kr− νπ 2 − π 4 +ωti , ❶❭t ➶ ❍✌ ➶ kr − νπ 2 − π 4 ∓ ωt = ✮❘, ➔ ✂ ❸❹❚❍❶❭t ➶➀➁❙✉✿➂➃❿ ùÔ➄❚ð❃ù➅➆❚✌ ➶ s✫➷ ❢ ✖❾ñ (z) ♥ ♦➍ ✎❅➇ √ r ❯➈ ❴❚➉➊Ö✈ ✖s✇①❄❚☎➋➌➍➹➇ r ❯➈ ❴✖❜❍ ❾ñ ➎✌❚➏ ➶ ➓➇ r ❯ ■ ❴✖ô➀➐t❙✉ ×✭①➑❇ ➎✌➶ ➋①❚☎⑥ ✿ ⑤✫❪ ➹❍➒✖ (z) ♥❸❹❚➍❍❴❇✿ ➓➔❚✌ ➶ s✫ Û÷✖ Nν(x) Ú ❜➀➌❮ ❸→✌➶ s✖ Ú ❍ð❃❚✌ ➶ s❋➅➆❚✌ ➶ s❚➣↔✫ ⑨ ↕➙➛➜➝➞➟➠➡➢➤➥➠➦➧➨➩➫➭➯➲➡➢➤➥➳ e iωt ➵➸➺➻➼➽➾➚➜➪ x ➶➛➜↕➙➠➫
