第二十七讲积分变换 介绍求解偏微分方程定解问题的另一种做法,即将积分变换应用于在求解偏微分方 程定解问题. 常用的积分变换有 Laplace变换和 Fourier变换两种 §27.1应用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题 Laplace变换可用于求解含时间的偏微分方程定解问题.变换后,自变量的个数比原来减少 个.例如,原来是x和t两个自变量的偏微分方程定解问题,变换后就只需求解常微分方程(自 变量为x)的定解问题.一般说来,后者总比较容易求解.这样求得的是原始的定解问题的解的象 函数,还必须反演,才能得到原始问题的解 例27.1求无界杆的热传导问题 at ar2 f(r, t), <T< 的解 解在这种无界区间的定解问題中,往往并不明确列出边界条件.实际上,无界区间,只是 个物理上的抽象,它只是表明在所考察的限度(时间,精度,…)内,两端的影响可以忽略.因 此,如果要完整地列出定解问题的话,则还应当有边界条件 0 作 变换.令 (a, t ):U(r, p) 利用初始条件,有 把变换后的象函数只看成是x的函数,p是参数,所以 微商运算就是一元函数的微商.再进一步令 f(a, t)= F(a, p) 这样,在经过 Laplace变换后,定解问题就变成 pU(, p d2U(a, p) dr 在U→0的条件下可以得到 U(a, p) 2 F(a,P)
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟ ✠✡☛☞✌✍✎✏✑✒☞✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣✎✤✥✦✧★✩☛☞✌✍✎✏ ✑✒☞✓✔✪ ✫✧✕✣✎✤✥✬ Laplace ✤✥✭ Fourier ✤✥✮✘✪ §27.1 ✯✰ Laplace ✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✴✻✼ Laplace ✤✥✽✧★☛☞✾✿❀✕✌✍✎✏✑✒☞✓✔✪✤✥❁✛ ❂✤❃✕❄❅ ❆❇❈❉❊ ✗❄✪❋●✛❇❈❍ x ✭ t ✮❄ ❂✤❃✕✌✍✎✏✑✒☞✓✔✛✤✥❁■❏❑☛☞✫✍✎✏✑ ( ❂ ✤❃▲ x) ✕✒☞✓✔✪✗▼◆❈✛❁❖P ❆◗❘❙☛☞✪❚❯☛❱✕❍❇❲✕✒☞✓✔✕☞✕❳ ❨❅✛❩❬❭❪❫✛❴❵❱❛❇❲✓✔✕☞✪ ❜ 27.1 ☛❝❞❡✕❢❣❤✓✔ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ 0; u t=0 = 0, − ∞ < x < ∞ ✕☞✪ ✐ ❥❦❧♠♥ ♦♣qrs t✉ ✈✛✇✇①② ③④⑤ ⑥⑦♥⑧⑨✪⑩❶❷✛♠♥ ♦♣✛❸❹ ❺❻❼❽❷q❾❿✛➀ ❸❹➁ ③❥➂➃➄q➅➆ (➇ ♣✛➈➆✛ · · ·) ➉ ✛➊➋q➌➍➎ ➏➐➑✪➒ ➓✛➔→➣ ↔↕➙⑤ ⑥rs t✉q➛✛➜➝➞ ➟➠⑦♥⑧⑨ u x→±∞ → 0. ➡ Laplace ✤✥✪➢ u(x, t) ; U(x, p) = Z ∞ 0 u(x, t)e−ptdt, ➤✧➥❲➦➧✛✬ ∂u ∂t ; pU(x, p). ➨✤✥❁✕❳❨❅❏➩➫❍ x ✕❨❅✛ p ❍➭❅✛➯➲ ∂ 2u ∂x2 ; d 2U(x, p) dx 2 , ✍➳➵➸■❍✗➺❨❅✕✍➳✪➻➼✗➽➢ f(x, t) ; F(x, p), ❚❯✛✩➾➚ Laplace ✤✥❁✛✒☞✓✔■✤➫ pU(x, p) − κ d 2U(x, p) dx 2 = F(x, p). ✩ U x→±∞ → 0 ✕➦➧➪✽➲❱❛ U(x, p) = 1 2 1 √κp Z ∞ −∞ F(x 0 , p) exp − r p κ |x − x 0 | dx 0
§27.1应用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题 再根据 Laplace变换的反演公式 以及卷积定理,就能够最后得到 u(a, t) dT 用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题,除了可以减少自变量的数目以外,某些已 知函数的象函数(例如方程的非齐次项,它的形式可能很复杂)甚至都不必具体求出 在求反演时只需应用卷积定理即可 例272用 Laplace变换求解无界弦的波动问题 0 ∞<x< 解设在 Laplace变换之下 u(a, t)=U(, p), 于是,原来的定解问题就化为 P-U(, P) 2d-U(a, p) po(a)+v(a) 可以求得此方程的解(实际上还考虑了U(x,p)在x→±∞的行为) U(a, p) N[)+e哪2g小 o(x)+ v(a) exp -Px-rndr' 因为 6(t-a), 所以 u0=2厂)(-n)a+2 v(z)(t-Lz p(a)d(at-lr I')da+2d/ v()mat-kx-2')dr 注意到 x-x≠ lI-I'l 就可以求出 u(x)=2/。0(-2-1 v(a )dr
Wu Chong-shi §27.1 ➶➹ Laplace ➘➴➷➬➮➱✃❐❒❮➬❰Ï Ð 2 Ñ ➻ÒÓ Laplace ✤✥✕❪❫ÔÕ 1 √ p e −α √p : 1 √ πt exp − α 2 4t ➲Ö×✣✒Ø✛■❵ÙÚ❁❱❛ u(x, t) = 1 2 √ κπ Z ∞ −∞ dx 0 Z t 0 exp − (x − x 0 ) 2 4κ(t − τ) f(x 0 , τ) √ t − τ dτ. ✧ Laplace ✤✥☛☞✌✍✎✏✑✒☞✓✔✛ÛÜ✽➲❉❊ ❂✤❃✕❅ Ý➲Þ✛ßà á â❨❅✕❳❨❅ (❋●✏✑✕ãäåæ✛ç✕èÕ✽❵éêë) ìíîï❬ðñ☛ò✛ ✩☛❪❫✿❏❑✦✧×✣✒Ø✜✽✪ ❜ 27.2 ✧ Laplace ✤✥☛☞❝❞ó✕ôõ✓✔ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ 0; u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), − ∞ at, 1, |x − x 0 | < at, ■✽➲☛ò u(x, t) = 1 2 Z ∞ −∞ φ(x 0 )δ t − |x − x 0 | a dx 0 + 1 2a Z x+at x−at ψ(x 0 )dx 0
七讲积分变换 第3页 2o(x-a)+叫x+a)+ v()d 用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题还有一个优点,这就是不必将非齐次的边 界条件齐次化,因为这时原有的偏微分方程定解问题的非齐次边界条件将转化为常微 分方程的非齐次边界条件,这并不会带来原则的困难
Wu Chong-shi ✄☎✆✝✞ ✟ ✃➘➴ Ð 3 Ñ = 1 2 h φ(x − at) + φ(x + at) i + 1 2a Z x+at x−at ψ(x 0 )dx 0 . ✧ Laplace ✤✥☛☞✌✍✎✏✑✒☞✓✔❩✬✗❄✠✡✛❚■❍ï ❬✢ãäå✕☛ ❞➦➧äåø✛▲❚✿❇✬✕✌✍✎✏✑✒☞✓✔✕ãäå☛❞➦➧✢☞ø▲✫✍ ✎✏✑✕ãäå☛❞➦➧✛❚✌ ï✍✎❈❇✏✕✑✒✪
§27.2 Fourier变换 4 8272 Fourier变换 Fourier变换可对空间变量进行.根据空间变量的变化区间,可以选用 · Fourier变换对于无界区间(-∞,∞)上的函数f(x),如果在任意有限区间上只有有限个极 大极小和有限个第一类间断点,且 积分/f(x)dx绝对收敛,则它的 Fourier变换存在, F(k)=f(x)≡ -ikeda 而逆变换(反演)是 f(x)=F(k)≡ F(k)edk 这里的 Fourier变换和逆变换的形式可能和读者熟悉的形式略有不同.形式更加对 称,更多地为物理学家所采用 ·正弦变换和余弦变换如果f(x)是定义在半无界区间,∞)上,则可根据x=0端边界条件 的不同类型,选用正弦变换 F(k)=V f(a)sin krdz, f(x)=V元 F(k)sin kzk 或余弦变换 F(A)=V元/x) cos krdz, 应2 f(r) T F()cos kzd/ ·有限正弦、余弦变换如果f(x)是定义在有界区间上,则应采用有限正弦或余弦变换 本节介绍无界空间上的 Fourier变换 用 Fourier变换来求解上一节的例27.1和例27.2
Wu Chong-shi §27.2 Fourier ➘➴ Ð 4 Ñ §27.2 Fourier ✱✲ Fourier ✤✥✽✓✔❀✤❃➼ÿ✪ÒÓ✔❀✤❃✕✤ø✕❀✛✽➲✖✧ • Fourier ✤✥ ✓★ ✗✘✙✚(−∞, ∞) ü ✕❨❅ f(x) ✛●✛✩✜✂✬✢✕❀ ü ❏✬✬✢❄✣ ✤✣✥✭✬✢❄✦✗✧❀★✡✛✩ ✣✎ Z ∞ −∞ f(x)dx ✪ ✓✫✬✛✏ç✕ Fourier ✤✥✭✩✛ F(k) = ✮ [f(x)] ≡ 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx, ✯✰✤✥ (❪❫) ❍ f(x) = ✮ −1 [F(k)] ≡ 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k)eikxdk. ❚✱✕ Fourier ✤✥✭✰✤✥✕èÕ✽❵✭✲❖✳✴✕èÕ✵✬ ï✶ ✪èÕ✷✸✓ ✹✛✷✺✻▲✼Ø✽✾➯✿✧✪ • ❀ ó✤✥✭❁ó✤✥ ●✛ f(x) ❍✒❂✩ ❃✗✘✙✚[0, ∞) ü ✛✏✽ÒÓ x = 0 ❄ ☛❞➦➧ ✕ ï✶ ✧❅✛✖✧ ❀ ó✤✥ F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) sin kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) sin kxdk, ❆❁ó✤✥ F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) cos kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) cos kxdk.. • ✬✢ ❀ ó❇❁ó✤✥ ●✛ f(x) ❍✒❂✩✬❞✕❀ ü ✛✏✦✿✧✬✢ ❀ ó❆❁ó✤✥✪ ❈❉✠✡❝❞✔❀ ü ✕ Fourier ✤✥✪ ✧ Fourier ✤✥❈☛☞ü ✗❉✕❋ 27.1 ✭❋ 27.2 ✪
★对于例271,即无界杆的热传导问题 ax2=f(a, t) x0: 假设u(x,t)的 Fourier变换存在 /u(,+e-kdr,并设F(k1) V2//J(a, t)e-k- dx 这样,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 dU(k, t) dt+kk-U(k, t)=F(k, t) U(h, 0. 用常数变易法求解这个一阶常微分方程的初值问题,就得到 U(k, t) F(h, T)e d 再求反演 u(x,t)=1 U(k, t)el F(k, T)e-kk(t-T)eiko dk dr 利用 art dt 可以算出 (t-7) 再利用 f(r, t) 2丌 F(h, t)elk dk, 根据 Fourier变换的卷积公式 1(x)f2(x)= f1()2(x-)ds 就能最后得到 -厂 2(-e/~(x-2 f(,T) 4(」s} (x-5) (t-T) 和上一节中得到的解式完全一样 从解法上看, Fourier变换的反演问题似乎要比 Laplace变换简单一些,往往不需要 用留数定理来计算反演中出现的定积分.就本例而言,两种方法都要用到卷积公式
Wu Chong-shi ✄☎✆✝✞ ✟ ✃➘➴ Ð 5 Ñ F ✓★❋ 27.1 ✛✜❝❞❡✕❢❣❤✓✔ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ 0; u t=0 = 0, − ∞ < x < ∞. ❊ö u(x, t) ✕ Fourier ✤✥✭✩✛ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ✌ö F(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x, t)e−ikxdx, ❚❯✛✩➡ Fourier ✤✥❁✛✒☞✓✔■✤▲ dU(k, t) dt + κk2U(k, t) = F(k, t), U(k, t) t=0 = 0, ✧✫❅✤❙✚☛☞❚❄✗❋✫✍✎✏✑✕➥●✓✔✛■❱❛ U(k, t) = e−κk2 t Z t 0 F(k, τ)eκk2 τ dτ. ➻☛❪❫✛ u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ U(k, t)eikxdk = Z t 0 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, τ)e−κk2 (t−τ) e ikxdk dτ. ➤✧ Z ∞ 0 e −t 2 cos 2xt dt = 1 2 √ πe −x 2 , ✽➲➸ò 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) cos kxdk = 1 p 2κ(t − τ) exp − x 2 4κ(t − τ) , ➻➤✧ f(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, t)eikxdk, ÒÓ Fourier ✤✥✕×✣ÔÕ✛ ✮ [f1(x)] ✮ [f2(x)] = ✮ 1 √ 2π Z ∞ −∞ f1(ξ)f2(x − ξ)dξ , ■❵Ú❁❱❛ u(x, t) = Z t 0 ( 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(ξ, τ) p 2κ(t − τ) exp − (x − ξ) 2 4κ(t − τ) dξ ) dτ = 1 2 √ κπ Z t 0 Z ∞ −∞ f(ξ, τ) exp − (x − ξ) 2 4κ(t − τ) dξ dτ √ t − τ . ✭ ü ✗❉ ❍❱❛✕☞Õ■❏✗❯✪ ❑☞✚ü ➩✛ Fourier ✤✥✕❪❫✓✔▲▼◆ ❆ Laplace ✤✥❖P✗à✛◗◗ï ❑◆ ✧ ❘❅✒Ø❈❙➸❪❫ ❍ò❚✕✒✣✎✪■❈❋✯❯✛✮✘✏✚î ◆✧❛×✣ÔÕ✪
§27.2 Fourier变换 第6页 ★再来解例27.2,无界弦上的自由振动问题, ∞<x<0 仍设u(x,t)的 Fourier变换存在 U(,t)=√2元 u(a, t e-ikTdr 并设 √2π ikr dr 于是,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 d2U(,t+k2a2U(k,t)=0, U(k,t)=0=(k),U(k,t=0=v(k) 这是一个二阶常微分方程的初值问题,解之即得 U(k, t)=(k) cos kat +y(k) kat 根据 Fourier变换的反演公式,就可以求出 +业(k) 注意 G2/。叫(6+m)+eka-ad [o(r +at)+o(z-at) 类似地,还有 y √2π y(k) 以(x+ar)+v(x-ar)dr 代入上面的结果,最后就得到 这当然和用 Laplace变换得到的形式完全一样
Wu Chong-shi §27.2 Fourier ➘➴ Ð 6 Ñ F ➻❈☞❋ 27.2 ✛❝❞óü ✕ ❂❱❲õ✓✔✛ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ 0; u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), − ∞ < x < ∞. ❳ö u(x, t) ✕ Fourier ✤✥✭✩✛ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ✌ö Φ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ φ(x)e−ikxdx, Ψ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ ψ(x)e−ikxdx, ★❍✛✩➡ Fourier ✤✥❁✛✒☞✓✔■✤▲ d 2U(k, t) dt 2 + k 2 a 2U(k, t) = 0, U(k, t) t=0 = Φ(k), U(k, t) t=0 = Ψ(k). ❚❍✗❄❨❋✫✍✎✏✑✕➥●✓✔✛☞÷✜❱ U(k, t) = Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka . ÒÓ Fourier ✤✥✕❪❫ÔÕ✛■✽➲☛ò u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka e ikxdk. ✁✂ 1 √ 2π Z ∞ −∞ Φ(k) cos kat e ikxdk = 1 √ 2π 1 2 Z ∞ −∞ Φ(k) h e ik(x+at) + eik(x−at) i dk = 1 2 φ(x + at) + φ(x − at) , ✧▲✻✛❩✬ 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) sin kat ka e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) Z t 0 cos kaτ dτ e ikxdk = Z t 0 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) cos kaτ e ikxdk dτ = 1 2 Z t 0 h ψ(x + aτ) + ψ(x − aτ) i dτ = 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ, ❩❬ü❭ ✕❪✛✛Ú❁■❱❛ u(x, t) = 1 2 h φ(x + at) + φ(x − at) i + 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ. ❚❫❴✭✧ Laplace ✤✥❱❛✕èÕ■❏✗❯✪
七讲积分变换 第7页 例273求解三维无界空间波动方程的定解问题 2 V-u=f(r, t), t>0. L-o=o(r 解首先作 Fourier变换,令 U(k,t)=72x37 u(r, t)expl-ik.r)dr, (k)=(2m) a7//o(r)exp(-ik.r)dr, F(k,t) f(T,-ik·r}dr,(k)=2示 v(r)exp{-ik·r}dr, 则定解问题化为常微分方程初值问题 d-U +k2C2U(k.,)=F(k,1 do dt t=0 再作 Laplace变换 U(k,t)=1(k,p),F(k,t)=6(k,p) 于是,定解问题进一步变成代数方程 p2(k,p)-p(k)-重(k)+k2e2(k.p)=3(k,p) 解之即得 (kp=严+k6(kp+A+0( 求反演.先作 Laplace变换的反演,有 U(k, t)=y(k)sin kct o(k)cos kct kcr F(k, t-r)dT. 再作 Fourier变换的反演 u(r, t) (2x)3/2 U(k, t)explik r) dk //w体)+国//)c如 ∥人业 利用 Fourier变换的折积公式,就可以求出上述各项的反演,从而就最终求出定解问题的解 采用k空间的球坐标,可以算出: ★第一项 sin kct expik rid r)3/2 sin kct ikr cos e k2 sin 0 dk de do k sin kct dk sin e de
Wu Chong-shi ✄☎✆✝✞ ✟ ✃➘➴ Ð 7 Ñ ❜ 27.3 ☛☞❵❛❝❞✔❀ôõ✏✑✕✒☞✓✔✛ ∂ 2u ∂t2 − c 2∇2u = f(r, t), t > 0, u t=0 = φ(r), ∂u ∂t t=0 = ψ(r). ✐ ❜❝➡ Fourier ✤✥✪➢ U(k, t) = 1 (2π) 3/2 ZZ Z u(r, t) exp{−ik · r} dr, Φ(k) = 1 (2π) 3/2 Z ZZ φ(r) exp{−ik · r} dr, F(k, t) = 1 (2π) 3/2 Z ZZ f(r, t) exp{−ik · r} dr, Ψ(k) = 1 (2π) 3/2 ZZ Z ψ(r) exp{−ik · r} dr, ✏✒☞✓✔ø▲✫✍✎✏✑➥●✓✔ d 2U dt 2 + k 2 c 2U(k, t) = F(k, t), U t=0 = Φ(k), dU dt t=0 = Ψ(k). ➻➡ Laplace ✤✥ U(k, t) ; U(k, p), F(k, t) ; F(k, p). ★❍✛✒☞✓✔➼✗➽✤➫❩❅✏✑ p 2U(k, p) − pΦ(k) − Ψ(k) + k 2 c 2U(k, p) = F(k, p). ☞÷✜❱ U(k, p) = 1 p 2 + k 2c 2 F(k, p) + pΦ(k) + Ψ(k) . ☛❪❫✪❝➡ Laplace ✤✥✕❪❫✛✬ U(k, t) = 1 kcΨ(k) sin kct + Φ(k) cos kct + 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ)dτ. ➻➡ Fourier ✤✥✕❪❫✛ u(r, t) = 1 (2π) 3/2 Z ZZ U(k, t) exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 Z ZZ Ψ(k) sin kct kc exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 Z ZZ Φ(k) cos kct exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 ZZ Z 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ) dτ exp{ik · r} dk. ➤✧ Fourier ✤✥✕❞✣ÔÕ✛■✽➲☛òü❡❢æ✕❪❫✛❑✯■Ú❣☛ò✒☞✓✔✕☞✪ ✿✧ k ✔❀✕❤✐❥✛✽➲➸ò❦ F ✦✗æ 1 (2π) 3/2 ZZZ sin kct kc exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 Z ZZ sin kct kc e ikr cos θ k 2 sin θ dk dθ dφ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 k sin kct dk Z π 0 e ikr cos θ sin θ dθ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 sin kct 1 −ir e ikr cos θ π 0 dk
§27.2 Fourier变换 第8页 sin kct sin kr dk= V2c 所以,根据 Fourier变换的折积公式,就有 sin kct (k) 8(r-rl-ct)(r)dr / 其中∑是以r为球心、ct为半径的球面|r-r=ct d(k) cos kct explik r) dk 10 少( g, sin kct (2x)3/2at {ik·r}dk 第三项 kcT F(k, t-T kct F(k, t-T)lexp(ik. r) dk(dr {=∥/ )f(r,t-T ∥/=[C=-=m 显然, 8(lr-rl-cr)f(r,t-rdr f(r t-r-r/c, r-r<ct 所以 cT F(k, t-r)dr exp(ik.r)dk 把上面的结果集中起来,就最后求得 Ac
Wu Chong-shi §27.2 Fourier ➘➴ Ð 8 Ñ = 1 √ 2πc 2 r Z ∞ 0 sin kct sin kr dk = r π 2 1 cr δ(r − ct). ➯➲✛ÒÓ Fourier ✤✥✕❞✣ÔÕ✛■✬ 1 (2π) 3/2 ZZZ Ψ(k) sin kct kc exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 r π 2 1 c Z ZZ 1 |r − r 0 | δ(|r − r 0 | − ct) ψ(r 0 ) dr 0 = 1 4πc ZZ Σ0 1 |r − r 0 | ψ(r 0 ) dΣ0 , ❧ ❍ Σ 0 ❍➲ r ▲❤♠❇ ct ▲♥♦✕❤ ❭ |r − r 0 | = ct ✪ F ✦❨æ 1 (2π) 3/2 ZZ Z Φ(k) cos kct exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 ∂ ∂t ZZ Z Φ(k) sin kct kc exp{ik · r} dk = 1 4πc ∂ ∂t ZZ Σ0 1 |r − r 0 | φ(r 0 ) dΣ0 . F ✦❵æ 1 (2π) 3/2 ZZZ 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ) dτ exp{ik · r} dk = Z t 0 1 (2π) 3/2 ZZZ sin kcτ kc F(k, t − τ) exp{ik · r} dk dτ = Z t 0 1 4πc ZZZ 1 |r − r 0 | δ(|r − r 0 | − cτ) f(r 0 , t − τ) dr 0 dτ = 1 4πc Z ZZ 1 |r − r 0 | Z t 0 δ(|r − r 0 | − cτ) f(r 0 , t − τ) dτ dr 0 , ♣❴✛ Z t 0 δ(|r − r 0 | − cτ) f(r 0 , t − τ) dτ = 1 c f(r 0 , t − |r − r 0 |/c), |r − r 0 | ct. ➯➲✛ 1 (2π) 3/2 ZZZ 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ) dτ exp{ik · r} dk = 1 4πc2 ZZZ |r−r0 |<ct 1 |r − r 0 | f(r 0 , t − |r − r 0 |/c) dr 0 . ➨ ü❭ ✕❪✛q ❍r❈✛■Ú❁☛❱ u(r, t) = 1 4πc Z Z Σ0 1 |r − r 0 | ψ(r 0 ) dΣ0 + ∂ ∂t ZZ Σ0 1 |r − r 0 | φ(r 0 ) dΣ0 + 1 4πc2 ZZ Z |r−r0 |<ct 1 |r − r 0 | f(r 0 , t − |r − r 0 |/c) dr 0