第二十九讲 Green函数(二 329.1稳定问题 Green函数的一般性质 建立了稳定问题的 Green函数概念之后,就需要讨论它的一般性质: Green函数在点源附近 的行为以及 Green函数的对称性 1. Green函数在点源附近的行为 不妨仍然用静电场的语言来描述 Poisson方程第一边值问题的 Green函数.从上一节的分析可 以看到,在空间V中的点电荷,必然要在边界面上产生一定的感生(面)电荷分布,从而使边界面 成为等位面.当边界接地时,又会得有一部分电荷流失或流入,使得边界面的电势与地相等(取为 0).因此,决定Gren函数的定解问题又可以等价(在V内等价)地写成无界空间中的 Poisson方 1 6(-r)+(E 其中()是边界面∑上的感生面电荷密度,相应地,(定义在V内的 Green函数G(r;r)就应该 是这两部分电荷电势的叠加:单位点电荷6(r-r)的电势G0(r;r)和边界面上的感生电荷o 的电势g(r;r) G(r; r)=Go(r: rgr;r) V-Go(r;r) V2g(r;r)=--() 和因为感生电荷o()只分布在曲面E上,所 Go(r;r)= aTco r-r 以,g(r;r)及其一阶偏导数在曲面∑之外 所以,G0(r;r")在r=r点是不连续的 (特别是,在V内)是处处连续的 把这两部分综合起来,就有 T:T 4x0m-r+9 对于第三类边界条件,也有同样的结果.只不过9(r;r)的具体表达式会得有所不同 对于其他类型的稳定问题,例如 Helmholtz方程的 Green函数 v2G(r;r)+k2G(r;r)=--6(r-r),r,r’∈V 0. 也可证明它们的 Green函数具有和 Poisson方程的 Green函数同样的连续性质.除了 T=r点外,G(r:;r)在V内是处处连续的.令 9(r;r)=G(r;r)-G(r;r), G(r:;r)是相应 Poisson方程的Gren函数.由G(r;r)和G(r;r)所满足的定解问题
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ Green ✆✝ (✁ ) §29.1 ✞✟✠✡ Green ☛☞✌✍✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙ Green ✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✙✬✭✮✯✰ Green ✚✛✱✲✳✴✵ ✙✶✷✸✹ Green ✚✛✙✺✻✮✼ 1. Green ✽✾✿❀❁❂❃❄❅❆ ❇❈❉❊❋● ❍■✙❏❑▲▼◆ Poisson❖P◗✬❘❙✗✘✙ Green ✚✛✼❚❯✬❱✙❲❳❨ ✸❩❬✥✱❭❪ V ❫ ✙ ✲ ❍❴✥ ❵❊ ★✱❘❛❜❯❝❞✬✖✙❡❞ (❜ ) ❍❴❲❢✥ ❚❣❤❘❛❜ ✐✷❥❦❜✼❧❘❛♠♥♦✥ ♣qrs✬t❲ ❍❴✉✈✇✉①✥ ❤r❘❛❜✙ ❍②③♥④❥ (⑤ ✷ 0) ✼⑥⑦✥⑧✖ Green ✚✛✙✖⑨✗✘♣❨✸❥⑩ (✱ V ❶ ❥⑩) ♥❷✐❸❛❭❪ ❫✙ Poisson ❖ P ∇ 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ) + σ(Σ) , ❹ ❫ σ(Σ) ❺ ❘❛❜ Σ ❯✙❡❞❜ ❍❴❻❼✼④❽♥✥ (✖❾✱ V ❶ ✙ )Green ✚✛ G(r; r 0 ) ✦ ❽❿ ❺➀➁t❲ ❍❴ ❍②✙➂➃✰➄❦✲ ❍❴ δ(r − r 0 ) ✙ ❍② G0(r; r 0 ) ➅ ❘❛❜❯✙❡❞ ❍❴ σ(Σ) ✙ ❍② g(r; r 0 ) ✥ G(r; r 0 ) = G0(r; r 0 )g(r; r 0 ). ∇ 2G0(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), G0(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r 0 | ➆✸ ✥ G0(r; r 0 ) ✱ r = r 0 ✲❺❇➇➈✙✼ ➅ ∇2 g(r; r 0 ) = − 1 ε0 σ(Σ). ⑥✷❡❞ ❍❴ σ(Σ) ➉ ❲❢✱ ➊❜ Σ ❯ ✥ ➆ ✸ ✥g(r; r 0 ) ✹❹✬➋➌➍✛✱ ➊❜ Σ ✣➎ (➏➐❺✥✱ V ❶) ❺➑➑➇➈✙✼ ➒ ➀➁t❲➓➔→▲✥✦s G(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r 0 | + g(r; r 0 ). ✺➣◗↔↕❘❛➙➛✥➜s➝➞✙➟➠✼➉ ❇➡ g(r; r 0 ) ✙➢➤➥➦➧qrs➆❇➝✼ ✺➣❹➨↕➩✙✕✖✗✘✥➫➭ Helmholtz ❖P✙ Green ✚✛✥ ∇ 2Gˆ(r; r 0 ) + k 2Gˆ(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V, Gˆ(r; r 0 ) Σ = 0. ➜ ❨➯ ➲ ✫➳✙ Green ✚✛➢s ➅ Poisson ❖P✙ Green ✚✛➝➞✙➇➈✮✯✼➵✔ r = r 0 ✲➎✥ Gˆ(r; r 0 ) ✱ V ❶❺➑➑➇➈✙✼➸ gˆ(r; r 0 ) = Gˆ(r; r 0 ) − G(r; r 0 ), G(r; r 0 ) ❺ ④❽ Poisson ❖P✙ Green ✚✛✼➺ Gˆ(r; r 0 ) ➅ G(r; r 0 ) ➆➻➼✙✖⑨✗✘✥
稳定问题 Green函数的一般性 可以导出 9(r; r+h g(r; r)=kG(r; r, 9(r;r) 由于这个方程右端的G(r;)在r=r点是以1/T-71的形式发散的,所以,xr 在该点一定连续(否则ⅴ2(r;r)会出现δ函数),这就说明G(r;r)和G(r;r)一样 在r=r′点都是以1/r-r的形式发散的.事实上,从下一节的讨论可知,在r=r′ 点附近,一定有 1 cos(kr-r'l ·三维空间中Gren函数在点源处的行为,和一维空间中 Green函数不同 一维空间中的 Green函数是处处连续的,而它的一阶导数不连续 ·这是容易理解的,因为“点源”的性质并不相同,一维空间中的点源实际上是三维空间中的 面源 ·不难预料,二维空间中的Gren函数也应该表现出不同的行为 对于二维空间中的 Poisson方程第一边值问题,它的 Green函数G(x,v;x,),是定解问题 6(x-x')6(y-y),(x,y),(x',y)∈S 的解,其中C是平面区域S的边界.容易求得 其中第一项是单位点电荷在无界空间中的电势(还可以加上一个常数,取决于电势零点的选取) 在“点源”(实际上是三维空间中的线源)6(x-x)6(y-y)处是对数发散的;第二项g(x,y;x,y)是 边界上的感生电荷产生的电势,在S内处处连续
Wu Chong-shi §29.1 ➽➾➚➪ Green ➶➹➘➴➷➬➮ ➱ 2 ✃ ❨✸➍❐ ∇ 2 gˆ(r; r 0 ) + k 2 gˆ(r; r 0 ) = k 2G(r; r 0 ), r, r 0 ∈ V, gˆ(r; r 0 ) Σ = 0. ➺➣➀❒❖P❮❰✙ G(r; r 0 ) ✱ r = r 0 ✲❺✸ 1/|r − r 0 | ✙Ï➧ÐÑ✙✥ ➆✸ ✥ gˆ(r; r 0 ) ✱ ❿ ✲ ✬✖➇➈ (ÒÓ ∇2 gˆ(r; r 0 ) q❐Ô δ ✚✛) ✥➀✦Õ ➲ Gˆ(r; r 0 ) ➅ G(r; r 0 ) ✬➞ ✥ ✱ r = r 0 ✲Ö❺✸ 1/|r − r 0 | ✙Ï➧ÐÑ✙✼×Ø❯✥ ❚Ù✬❱✙✩✪❨Ú✥✱ r = r 0 ✲✴✵✥✬✖s Gˆ(r; r 0 ) ∼ 1 4πε0 cos(k|r − r 0 |) |r − r 0 | . • ↔Û❭❪ ❫ Green ✚✛✱✲✳➑✙✶✷✥➅ ✬ Û❭❪ ❫ Green ✚✛❇➝✼ • ✬ Û❭❪ ❫✙ Green ✚✛❺➑➑➇➈✙ ✥ ❣ ✫ ✙✬➋➍✛ ❇➇➈✼ • ➀❺ÜÝÞ⑨✙✥ ⑥✷ ß ✲✳à✙✮✯á❇④➝ ✥ ✬ Û❭❪ ❫ ✙ ✲✳Øâ❯❺↔Û❭❪ ❫✙ ❜ ✳ ✼ • ❇ãäå✥æÛ❭❪ ❫✙ Green ✚✛➜❽❿➥Ô❐❇➝✙✶✷✼ ✺➣æÛ❭❪ ❫✙ Poisson ❖P◗✬❘❙✗✘✥✫✙ Green ✚✛ G(x, y; x 0 , y0 ) ✥❺✖⑨✗✘ h ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 i G(x, y; x 0 , y0 ) = − 1 ε0 δ(x − x 0 )δ(y − y 0 ), (x, y),(x 0 , y0 ) ∈ S, G(x, y; x 0 , y0 ) C = 0 ✙⑨✥ ❹ ❫ C ❺ç❜èé S ✙❘❛✼ÜÝêr ✥ G(x, y; x 0 , y0 ) = − 1 2πε0 lnp (x − x 0) 2 + (y − y 0) 2 + g(x, y; x 0 , y0 ), ❹ ❫◗✬ë❺ ➄❦✲ ❍❴✱ ❸❛❭❪ ❫✙ ❍② (ì ❨✸➃❯✬❒í✛✥⑤⑧➣ ❍②î✲ ✙ï⑤) ✥ ✱ ß ✲✳à (Øâ❯❺↔Û❭❪ ❫✙ð✳) δ(x− x 0 )δ(y − y 0 ) ➑❺✺ ✛ ÐÑ✙ñ◗æë g(x, y; x 0 , y0 ) ❺ ❘❛❯✙❡❞ ❍❴❝❞✙ ❍②✥✱ S ❶➑➑➇➈✼
数 2. Green函数的对称性 先考察一下前面得到的解式 (r)=/G(r; r)p(rydr'-Eo//f(2)VG(:r)ls,d 这个结果在物理意义上有费解之处:在右端的体积分中,G(r;r)代表r处的单位 点电荷在r′处的电势,它乘上在观测点r处的电荷p(r)dr’,并对观测点积分,却给 出r处的电势 对这个问题的回答要涉及到 Green函数的对称性.因为,如果像无界空间的 Green 数那样,关系式 成立的话,那么,上式就能改写成 u(r) G(r; r"p(rdr'-Eo/f(2")VG(r r)ly,d>y, 体积分的物理意义就一清二楚了.第二项的面积分当然就是来自边界面上的感生面 电荷的贡献 证明(#)式.和第十一章中的做法一样,再引进G(r;r"),它满足的定解问题当然就是 ∈V, (r;r”) 将两个方程分别乘以G(r;r")和G(r;r),相减,然后在区域V内积分,就得到 G(r;r")V-G(r; r)-G(r; r)V-G(r;r) G(r;r")6(r 根据 Green公式,将上式左端的体积分化为面积分,就有 (r; r": r-G( 代入边界条件,立即得出右端的面积分为0.这样就证明了 G(r;r")=G(r";r) 将r"改写为r,这就是(#)式 如果是第三类边界条件,上面的结论仍然正确 对于其他类型的稳定问题,它们的 Green函数是否仍然有对称关系(#),需要具体讨论
Wu Chong-shi òóôõö Green ➶➹ (ó ) ➱ 3 ✃ 2. Green ✽✾❄÷øù úûü✬Ùý❜r❬✙⑨➧ u(r) = ZZ Z V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇0G(r 0 ; r) Σ0 · dΣ0 . ➀❒➟➠✱þÞÿ❾❯s⑨ ✣➑✰ ✱❮❰✙➤✁❲ ❫✥ G(r 0 ; r) ✂ ➥ r ➑ ✙➄❦ ✲ ❍❴✱ r 0 ➑ ✙ ❍②✥✫✄ ❯ ✱☎✆✲ r 0 ➑ ✙ ❍❴ ρ(r 0 )dr 0 ✥ á✺☎✆✲ ✁❲ ✥✝✞ ❐ r ➑ ✙ ❍② ✟ ✺ ➀❒✗✘✙ ✠✡★☛ ✹❬ Green ✚✛✙✺✻✮✼⑥✷✥➭➠☞❸❛❭❪✙ Green ✚✛✌ ➞ ✥✍✎➧ G(r 0 ; r) = G(r; r 0 ) (#) ✐✓✙✏ ✥✌✑✥ ❯➧✦✒✓❷✐ u(r) = ZZ Z V 0 G(r; r 0 )ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇0G(r; r 0 ) Σ0 · dΣ0 , ➤✁❲✙þÞÿ❾ ✦ ✬✔ æ✕ ✔✼◗æë✙❜✁❲❧❊ ✦❺▲ ✖❘❛❜❯✙❡❞❜ ❍❴✙✗✘✼ ✙✚ (#) ✛ ✼ ➅◗✜ ✬✢ ❫ ✙✣✤✬➞ ✥✥✦✧ G(r; r 00) ✥✫➻➼✙✖⑨✗✘❧❊ ✦❺ ∇2G(r; r 00) = − 1 ε0 δ(r − r 00), r, r 00 ∈ V, G(r; r 00) Σ = 0. ★ ➁❒❖P❲ ➐✄ ✸ G(r; r 00) ➅ G(r; r 0 ) ✥ ④✩ ✥ ❊ ✤✱èé V ❶ ✁❲ ✥✦r❬ Z ZZ V G(r; r 00)∇2G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇2G(r; r 00) dr = − 1 ε0 Z ZZ V G(r; r 00)δ(r − r 0 ) − G(r; r 0 )δ(r − r 00) dr = − 1 ε0 G(r 0 ; r 00) − G(r 00; r 0 ) . ✪✫ Green ✬ ➧ ✥ ★❯➧✭ ❰ ✙➤✁❲✮✷❜✁❲ ✥✦s G(r 0 ; r 00) − G(r 00; r 0 ) = −ε0 ZZ Σ G(r; r 00)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇G(r; r 00) · dΣ. ✂ ①❘❛➙➛✥ ✓✯r❐ ❮❰✙❜✁❲✷ 0 ✼ ➀ ➞ ✦ ➯ ➲✔ G(r 0 ; r 00) = G(r 00; r 0 ), ★ r 00 ✓ ❷✷ r ✥➀✦❺ (#) ➧✼ ➭ ➠ ❺◗↔↕❘❛➙➛✥ ❯❜✙➟✪ ❉❊✰✱✼ ✺➣❹➨↕➩✙✕✖✗✘✥✫➳✙ Green ✚✛❺Ò❉❊s✺✻✍✎ (#) ✥✧★➢➤✩✪✼
§29.2三维无界空间 Helmholtz方程的 829.2三维无界空间 Helmholtz方程的 Green函数 求三维无界空间中 Helmholtz方程的 Green函数,即在三维无界空间中求解方程 V-G(r r)+kG(r;r=--8(r-m), r,r'EV 关于无穷远处的边界条件,后面再讨论 这个方程是一个非齐次方程,因此,可以按照求解非齐次方程的标准做法 ·先求出方程的一个特解,而将方程齐次化 ·将G(r;r)按相应齐次问题的本征函数展开 这两种做法,特别是第二种做法,原则上没有什么困难,这里不作具体的介绍 ·这又是一个特殊的非齐次方程:只在r=r点,非齐次项才不为0 ·而且,由于这是在无界空间,可以适当地安置坐标架,以充分发挥 Laplace算符的不变性, 使问题得到充分的简化 首先作坐标平移 n=y 即将点电荷所在点取为新坐标系的原点.令G(r;r^=9(5,,(),于是,9(5,n,)满足方程 V2nc0(n.0)+k2n.=-1600(0 其中 020202 是以直角坐标ξ,7,为自变量的 Laplace算符,容易看出,变换后的方程是旋转不变的,g(,n,) 只是R=√F2+m2+(2的函数,9(5,n,()=f(),因此,如果将直角坐标系(,n,()转换为球坐标 系,则方程将变为R≠0点处的齐次方程 Ra[a」+kf(P)=0 (原因是在在R=0点只存在单侧导数以及R=0点处的边界条件(在R=0点处有一单位点电 荷).此方程是零阶球Beel方程,它的通解是 f(R)=A(k)-+B(h) 根据R=0和无穷远处的边界条件定出常数A(k)和B(k) 无穷远条件定B(k)考虑到 Helmholtz方程的实际背景,比如说,它是由波动方程经过分离 变量(分离去时间部分)得到的.作为一个例子,假设要求得到的解在无穷远处为发散波.取时间 因子为e,则解式中的第一项为发散波,第二项为会聚波.所以,应该有B(k)=0
Wu Chong-shi §29.2 ✲✳✴✵✶✷ Helmholtz ✸✹➘ Green ➶➹ ➱ 4 ✃ §29.2 ✺✻✼✽✾✿ Helmholtz ❀❁✌ Green ☛☞ ê↔Û❸❛❭❪ ❫ Helmholtz ❖P✙ Green ✚✛✥✯ ✱↔Û❸❛❭❪ ❫ê⑨ ❖P ∇2G(r; r 0 ) + k 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. ✍ ➣❸❂❃➑ ✙❘❛➙➛✥✤❜ ✥✩✪✼ ➀❒❖P❺✬ ❒❄❅❆❖P✥⑥⑦✥ ❨✸❇❈ê ⑨ ❄❅❆❖P✙❉❊✣✤✥ • ú ê ❐ ❖P✙✬❒➏⑨ ✥ ❣★ ❖P❅❆✮ñ • ★ G(r; r 0 ) ❇④❽❅❆✗✘✙❋●✚✛❍■✼ ➀➁❏ ✣✤✥➏➐❺◗æ❏ ✣✤✥❑Ó ❯▲s▼ ✑◆ã ✥➀❖ ❇P➢➤✙◗❘✼ • ➀ ♣ ❺ ✬ ❒➏❙ ✙ ❄❅❆❖P✰ ➉✱ r = r 0 ✲✥❄❅❆ë❚❇✷ 0 ✼ • ❣❯ ✥ ➺➣➀❺✱❸❛❭❪✥❨✸❱❧♥❲❳❨❉❩✥ ✸❬❲Ð❭ Laplace ❪❫✙❇❴✮ ✥ ❤✗✘r❬❬❲✙❵✮✼ ❛úP❨❉ç❜✥ ξ = x − x 0 , η = y − y 0 , ζ = z − z 0 , ✯★✲ ❍❴➆✱✲⑤✷❝❨❉✎ ✙ ❑✲ ✼➸ G(r; r 0 ) = g(ξ, η, ζ) ✥ ➣ ❺✥ g(ξ, η, ζ) ➻➼❖P ∇2 ξ,η,ζ g(ξ, η, ζ) + k 2 g(ξ, η, ζ) = − 1 ε0 δ(ξ)δ(η)δ(ζ), ❹ ❫ ∇ 2 ξ,η,ζ ≡ ∂ 2 ∂ξ2 + ∂ 2 ∂η2 + ∂ 2 ∂ζ2 ❺ ✸❞❡❨❉ ξ, η, ζ ✷ ✖❴❢✙ Laplace ❪❫✼ ÜÝ❩❐✥ ❴❣✤ ✙ ❖P❺❤✐❇❴✙ ✥ g(ξ, η, ζ) ➉❺ R = p ξ 2 + η 2 + ζ 2 ✙ ✚✛✥ g(ξ, η, ζ) = f(R). ⑥⑦✥➭ ➠★❞❡❨❉✎ (ξ, η, ζ) ✐ ❣✷❥❨❉ ✎✥Ó❖P★❴✷ R 6= 0 ✲➑✙ ❅❆❖P 1 R2 d dR h R 2 df(R) dR i + k 2 f(R) = 0 (❑ ⑥ ❺✱✱ R = 0 ✲➉❦✱ ➄❧➍ ✛) ✸✹ R = 0 ✲➑✙❘❛➙➛ (✱ R = 0 ✲➑s✬➄❦✲ ❍ ❴ ) ✼⑦❖P❺î➋❥ Bessel ❖P✥✫✙♠⑨ ❺ f(R) = A(k) e ikR R + B(k) e −ikR R . ✪✫ R = 0 ➅ ❸❂❃➑ ✙❘❛➙➛✖❐í✛ A(k) ➅ B(k) ✼ ♥♦♣qrs B(k) ût❬ Helmholtz ❖P✙Øâ✉✈✥✇➭Õ✥✫❺ ➺①②❖P③ ➡❲④ ❴❢ (❲④⑤♦ ❪ t❲) r❬✙✼P✷✬❒➫⑥✥⑦⑧★êr❬✙⑨✱ ❸❂❃➑ ✷ÐÑ①✼ ⑤ ♦ ❪ ⑥ ⑥ ✷ e −iωt ✥Ó⑨➧ ❫ ✙ ◗ ✬ë✷ÐÑ① ✥◗æë✷q⑨①✼➆✸ ✥ ❽❿s B(k) = 0 ✼
数(二) 剩下的常数A(k)就应该由R=0处的边界条件决定,即由R=0处点源的强度决定 R=0处的边界条件定4(k)这时并不能直接将解式代入R=0处的边界条件,原因是f(R) 或9(5,n,()在R=0处的导数并不存在.另一方面,我们已经约定,凡是涉及6函数的等式都应 该从积分意义下去理解.于是,很自然地,应当将方程在R=0附近的小体积内积分, VEn.<f()dEdnds +k2 f(r)dednds 左端第一项的体积分应当化为面积分 I VEnc/(R)d(=//[/(R) 因为这样就可以回避掉在R=0点的求导问题.取这个小体积为以R=0点为球心,P为半径的 球体,则 Ven.df(r)dedndc VE,nf(R)…d∑ /如n 第二项的体积分可以直接算出 f(r)dednds = 47A(k) RdR 4πA()「。ip 将这些结果代回到(式,就有 4A(k) 所以,A(k)=1/4π0,与k无关.这样,最后就求出了三维无界空间 Helmholtz方程的Gren函数 g(5,7,()=f(R) G(r;r ∈o|r-r 当k=0时,这个结果就回到 Poisson方程的Gren函数 最后,需要说明,这个结果是在无穷远处为发散波,并且取时间因子为e-t的条件下得到 的.可以设想,如果要求无穷远处为会聚波,并且仍取时间因子为e-t,则Gren函数应该是 G(r; r 如果是其他形式的无穷远条件,当然还会得到其他形式的解
Wu Chong-shi òóôõö Green ➶➹ (ó ) ➱ 5 ✃ ⑩Ù✙í✛ A(k) ✦ ❽❿ ➺ R = 0 ➑ ✙❘❛➙➛⑧ ✖ ✥ ✯ ➺ R = 0 ➑✲✳✙❶❼ ⑧ ✖✼ R = 0 ❷❄❸❹qrs A(k) ➀ ♦á❇ ✒ ❞♠★⑨➧✂ ① R = 0 ➑ ✙❘❛➙➛✥❑ ⑥ ❺ f(R) ✇ g(ξ, η, ζ) ✱ R = 0 ➑ ✙➍✛ á❇ ❦✱ ✼❺✬ ❖ ❜ ✥❻➳ ❼③❽✖ ✥❾❺☛ ✹ δ ✚✛✙❥➧Ö ❽ ❿❚✁❲ ÿ ❾Ù⑤ Þ ⑨✼➣❺✥❿ ✖❊♥ ✥ ❽❧★ ❖P✱ R = 0 ✴✵✙➀➤✁ ❶ ✁❲ Z ZZ ✥ ∇ 2 ξ,η,ζ f(R)dξdηdζ + k 2 ZZZ f(R)dξdηdζ = − 1 ε0 . (z) ✭ ❰◗✬ë✙➤✁❲❽❧✮✷❜✁❲ Z ZZ ∇2 ξ,η,ζ f(R)dξdηdζ = ZZ h ∇ξ,η,ζ f(R) i · dΣ, ⑥✷➀ ➞ ✦ ❨✸ ✠➁➂✱ R = 0 ✲ ✙ ê ➍✗✘✼⑤➀❒➀➤✁✷✸ R = 0 ✲ ✷❥➃✥ ρ ✷➄➅✙ ❥➤ ✥Ó ZZ Z ∇ 2 ξ,η,ζ f(R)dξdηdζ = Z Z h ∇ξ,η,ζ f(R) i · dΣ = Z Z df(R) dR R 2 sin θdθdφ R=ρ = −4πA(k)(1 − ikρ)eikρ . ◗æë✙➤✁❲❨✸❞♠ ❪ ❐ ✥ Z ZZ f(R)dξdηdζ = 4πA(k) Z ρ 0 e ikRRdR = 4πA(k) k 2 h (eikρ − 1) − ikρe ikρi . ★ ➀➆ ➟➠✂ ✠❬ (z) ➧ ✥✦s −4πA(k) = − 1 ε0 , ➆✸ ✥ A(k) = 1/4πε0, ③ k ❸ ✍ ✼ ➀ ➞ ✥ ➇ ✤✦ê❐✔↔Û❸❛❭❪ Helmholtz ❖P✙ Green ✚✛ g(ξ, η, ζ) = f(R) = 1 4πε0 e ikR R , ✇ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e ik|r−r 0 | |r − r 0 | . ❧ k = 0 ♦ ✥➀❒➟➠✦ ✠❬ Poisson ❖P✙ Green ✚✛✼ ➇ ✤✥✧★Õ ➲ ✥➀❒➟➠❺✱❸❂❃➑ ✷ÐÑ① ✥ á❯ ⑤ ♦ ❪ ⑥ ⑥ ✷ e −iωt ✙➙➛Ùr❬ ✙✼❨✸⑧➈✥➭➠ ★ê❸❂❃➑ ✷q⑨① ✥ á❯❉ ⑤ ♦ ❪ ⑥ ⑥ ✷ e −iωt ✥Ó Green ✚✛❽❿❺ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e −ik|r−r 0 | |r − r 0 | . ➭ ➠ ❺ ❹➨Ï➧✙❸❂❃➙➛✥ ❧❊ ì qr❬❹➨Ï➧✙⑨✼
园内 Poisson方程第一边值问题的 Green函 第6页 §29.3圆内 Poisson方程第一边值问题的 Green函数 本节的目的是通过对于圆内 Poisson方程第一边值问题 Green函数的讨论,再介绍 些求Gren函数的常用方法 圆内 Poisson方程第一边值问题 Green函数的定义是 V2G(r;r)=--6(7-r),r[Rmi(r)cos mo+Rm2(r)sin mp 同样,将6函数也按该组本征函数展开, 6(r-r)=6(x-x)6(y-y)=6(r-r)6(-) 6(r-r) ∑[ cos mo cos m+ sin mo sin mo 现在的问题就是如何求解R0(r),Rm()和Rn2(r) ·决定R0()的常微分方程定解问题是 l d dro(r) R0(0)有界,Ro(a)=0 当r≠r时,方程是齐次的,在考虑到边界条件后,有解 Bo ln r 再根据Ra(r)在r=r点的连续性,即R()在r=r点连续,而(r)不连续(它可以由方 程在r=r′点两侧积分得到) r+0
Wu Chong-shi §29.3 ➉ ➊ Poisson ✸✹ò ➴➋➌➚➪➘ Green ➶➹ ➱ 6 ✃ §29.3 ➍ ➎ Poisson ❀❁➏✍➐➑✠✡✌ Green ☛☞ ❋❱✙ ➒✙ ❺ ♠➡✺➣ ➓ ❶ Poisson ❖P◗✬❘❙✗✘ Green ✚✛✙ ✩✪✥✥ ◗❘✬ ➆ê Green ✚✛✙ í ❋ ❖ ✤✼ ➓ ❶ Poisson ❖P◗✬❘❙✗✘ Green ✚✛✙✖❾❺ ∇2 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), |r| r0 . ✥ ✪✫ R0(r) ✱ r = r 0 ✲ ✙➇➈✮ ✥ ✯ R0(r) ✱ r = r 0 ✲ ➇➈✥ ❣ R0 0 (r) ❇➇➈ (✫ ❨✸ ➺❖ P✱ r = r 0 ✲➁❧✁❲r❬ ) ✥ dR0(r) dr r 0+0 r 0−0 = − 1 2πε0 1 r 0 ,
数 就可以定出A0和Bo A ·决定Rm1()的常微分方程定解问题是 Fd( ad)-m]Rml r)=- mtor 2 cosmo Rm1(0)有界,Rml(a)=0. 当r≠r时,方程是齐次的,在考虑到边界条件后,有解 Rmi(r) 根据Rn1()在r=r点的连续性,即Rm1()在r=r′点连续,而F"n1(r)不连续 drml(r) r+0 CoS n 定出Amn1和Bmn1 A B 1-m1一m 于是 ·决定Rm2()的常徵分方程定解问题是 d-x」Bn2()=-5( 1 d/ d Rn2(0)有界,Rn2(a)=0 它和Rm(r)满足的常微分方程定解问题的形式几乎完全相同,只是把非齐次项中的cosmφ 换成了 sin mo',所以 1 sino, r<r r、m/r
Wu Chong-shi òóôõö Green ➶➹ (ó ) ➱ 7 ✃ ✦ ❨✸✖❐ A0 ➅ B0 ✥ A0 = − 1 2πε0 ln r 0 a , B0 = − 1 2πε0 . ➣ ❺ R0(r) = − 1 2πε0 ln r 0 a , r r0 . • ⑧ ✖ Rm1(r) ✙ í➙ ❲ ❖P✖⑨✗✘❺ h 1 r d dr r d dr − m2 r 2 i Rm1(r) = − δ(r − r 0 ) πε0r 0 cos mφ0 , Rm1(0)s❛ , Rm1(a) = 0. ❧ r 6= r 0 ♦ ✥❖P❺❅❆✙ ✥✱ût❬❘❛➙➛✤✥s⑨ Rm1(r) = Am1 r a m , r r0 . ✪✫ Rm1(r) ✱ r = r 0 ✲ ✙➇➈✮ ✥ ✯ Rm1(r) ✱ r = r 0 ✲ ➇➈✥ ❣ R0 m1 (r) ❇➇➈✥ dRm1(r) dr r 0+0 r 0−0 = − 1 πε0 1 r 0 cos mφ0 , ✖❐ Am1 ➅ Bm1 ✥ Am1 = − 1 2πε0 1 m r 0 a m − a r 0 m cos mφ0 , Bm1 = − 1 2πε0 1 m r 0 a m cos mφ0 . ➣ ❺ Rm1(r) = − 1 2πε0 1 m hrr0 a 2 m − r r 0 mi cos mφ0 , r r0 . • ⑧ ✖ Rm2(r) ✙ í➙ ❲ ❖P✖⑨✗✘❺ h 1 r d dr r d dr − m2 r 2 i Rm2(r) = − δ(r − r 0 ) πε0r 0 sin mφ0 , Rm2(0)s❛ , Rm2(a) = 0. ✫➅ Rm1(r) ➻➼✙ í➙ ❲ ❖P✖⑨✗✘✙Ï➧➛➜➝➞④➝ ✥➉❺➒ ❄❅❆ë ❫ ✙ cos mφ0 ❣✐✔ sin mφ0 ✥ ➆✸ ✥ Rm2(r) = − 1 2πε0 1 m hrr0 a 2 m − r r 0 mi sin mφ0 , r r0
园内 Poisson方程第一边值问题的 Green函 第8页 这样,就求得了圆内 Poisson方程第一边值问题的Gren函数,当rr时 r)--{1二+()”-(]-m 上面这种方法,将 Green函数按相应齐次问题的本征函数展开,一般说来,得到的 解式会是无穷级数.当然,不排除在某些特殊情形下可以将级数求和.例如,现在得到 的解式就是如此.不过,这需要比较熟悉级数求和的技巧 下面再介绍一种方法,它将直接给出解的有限形式 大家知道,一旦在接地圆中放上点电荷后,在圆周上必然出现感生电荷.圆内任意一点的电 势,就是点电荷的电势和感生电荷的电势的叠加.前者在点电荷所在点是对数发散的,而后者在 圆内是处处连续的.如果我们能够方便地求出感生电荷在圆内所产生的电势,当然也就求出了整 个圆内 Poisson方程第一边值问题的 Green函数 现在要介绍的这种方法(称为电像法),其基本思想是 ·将边界上的感生电荷用一个等价的点电荷代替 ·换句话说,就把接地圆内的点电荷的问题等价地转化为 无界空间中的两个点电荷(一个是真实的点电荷,另 个是等价的“虚”电荷)的问题 ·这个“虚”电荷的等价性,就表现在它和圆内的真实的 点电荷一起,在圆内能给出和原来问题同样的解 图29.1电像法 ·只要圆内的电荷分布不变,只要这两个点电荷也能产生出圆周r=a接地(电势为0)的效 果,边值问题解的存在唯一性,就能保证这样得到的解和原来问题的解在圆内一定一致 ·可以明确地预见到,这个等价电荷如果存在的话,它一定位于圆外,否则圆内的电荷分布就 和原来的问题不同,就不能保证等价性.或者换一种说法,由于感生电荷的电势在圆内是处 处连续的,在圆内的任何等价(点电荷都不可能产生同样的效果 ·应用电像法成败的关键,就在于能否求出这个等价电荷的电量和它的空间位置.这是这个等 价电荷是否存在的集中体现 ·根据对称性的考虑,还可以进一步断定,如果这个等价电荷存在的话,它还一定位于真实电 荷所处的半径的延长线上
Wu Chong-shi §29.3 ➉ ➊ Poisson ✸✹ò ➴➋➌➚➪➘ Green ➶➹ ➱ 8 ✃ ➀ ➞ ✥✦êr✔ ➓ ❶ Poisson ❖P◗✬❘❙✗✘✙ Green ✚✛✥❧ r r0 ♦ ✥ G(r; r 0 ) = − 1 2πε0 ln r a + X∞ m=1 1 m hrr0 a 2 m − r 0 r mi cos m(φ − φ 0 ) , ❯❜➀❏❖ ✤ ✥ ★ Green ✚✛❇④❽❅❆✗✘✙❋●✚✛❍■✥ ✬✭Õ ▲ ✥ r❬✙ ⑨➧q ❺ ❸❂➟✛ ✼❧❊ ✥ ❇➠➵ ✱➡➆➏❙➢ÏÙ❨✸★➟✛ê➅✼ ➫➭✥Ô ✱ r❬ ✙⑨➧✦❺➭⑦✼❇➡✥➀✧★ ✇➤➥➦➟ ✛ê➅✙➧➨✼ Ù❜✥ ◗❘✬ ❏❖ ✤ ✥✫★❞♠ ✞ ❐⑨✙s➩Ï➧✼ ➫➭Ú➯ ✥ ✬➲ ✱ ♠♥ ➓ ❫➣ ❯ ✲ ❍❴✤✥✱ ➓➳❯❵❊❐Ô❡❞ ❍❴✼➓ ❶➵ÿ ✬ ✲ ✙ ❍ ② ✥✦❺✲ ❍❴✙ ❍②➅ ❡❞ ❍❴✙ ❍②✙➂➃✼ý➸ ✱✲ ❍❴➆✱✲❺✺ ✛ ÐÑ✙✥ ❣ ✤ ➸ ✱ ➓ ❶❺➑➑➇➈✙✼➭ ➠ ❻➳✒➺❖➻ ♥ ê ❐❡❞ ❍❴✱ ➓ ❶ ➆❝❞✙ ❍②✥ ❧❊ ➜✦ê❐✔➼ ❒ ➓ ❶ Poisson ❖P◗✬❘❙✗✘✙ Green ✚✛✼ Ô ✱★◗❘✙ ➀❏❖ ✤ (✻✷ ❍☞✤) ✥ ❹➽❋➾➈❺ • ➚❸❹➪❄➶➹➘➴➷➬➮➱✃❄❀➘➴❐❒ ✼ • ❣❮✏ Õ✥✦ ❰ÏÐÑÒ❄❀➘➴❄ÓÔ➱✃ÐÕÖ❆ ♥ ❹×ØÙ❄Ú➮❀➘➴ (➬➮ÛÜÝ❄❀➘➴✥Þ➬ ➮Û➱✃❄ ßß à➘➴) ❄ÓÔ ✼ • ➀❒ ßà à ❍❴✙❥⑩✮✥✦➥Ô✱✫➅ ➓ ❶ ✙áØ✙ ✲ ❍❴✬→✥✱ ÑÒ ✒✞❐ ➅❑ ▲✗✘➝➞✙⑨✼ â 29.1 ãäå • ➉★ ➓ ❶ ✙ ❍❴❲❢❇❴ ✥➉★➀➁❒✲ ❍❴➜✒ ❝❞❐ Ñæ r = a ÏÐ (➘ç❆ 0) ✙è ➠ ✥ ❘❙✗✘ é ❄ê✿ë➬ù ✥✦✒ì➯ ➀ ➞r❬✙⑨➅❑ ▲✗✘✙⑨✱ ➓ ❶ ✬✖✬í✼ • ❨✸ ➲✱♥äî❬ ✥➀❒❥⑩ ❍❴➭ ➠ ❦✱ ✙✏ ✥✫ ✬✖❦➣ Ñï ✥ÒÓ ➓ ❶ ✙ ❍❴❲❢✦ ➅❑ ▲✙✗✘❇➝ ✥✦ ❇ ✒ì➯❥⑩✮✼✇➸❣✬ ❏Õ ✤ ✥ ➺➣❡❞ ❍❴✙ ❍②✱ ➓ ❶❺➑ ➑ ➇➈✙ ✥✱ ➓ ❶ ✙ ➵↕❥⑩ (✲) ❍❴Ö ❇❨ ✒ ❝❞➝➞✙è➠✼ • ❽❋ ❍☞✤✐ð✙ ✍ñ✥✦✱➣ ✒Òê❐ ➀❒❥⑩ ❍❴✙ ❍❢ ➅✫✙ ❭❪❦❳✼ ➀❺➀❒❥ ⑩ ❍❴❺Ò❦✱ ✙ò ❫ ➤Ô✼ • ✪✫✺✻✮✙ût ✥ì ❨✸✧ ✬óô✖ ✥➭ ➠ ➀❒❥⑩ ❍❴❦✱ ✙✏ ✥✫ì✬✖❦➣áØ ❍ ❴➆➑ ✙➄➅✙õöð❯✼
数 设这个等价电荷的位置为r1=(x1,y),电量为e,它和真实点电荷一起,在圆内的电势就是 G(r:r) Inr-r+eInr-rll+C 其中常数C与电势零点的选择有关.现在的问题就是要从要求圆周r=a上的电势为0, r-r+elnr-ril+C 求出r1,e和C.注意这个方程应该对圆周上的一切点均成立.如果采用平面极坐标,即令 则方程化为 a2+r2 na2+n-2m19(-)+2=0 它应该对一切φ均成立.利用展开式 n[1+ 可=ln[1-t]+ln[1 φ,|<1 就可以进一步化为 21a++()2-20+2lmn+1+()-2m(-)+2x m(φ-)+2C=0 于是,就得到 Ina+enri+C=0 1,2,3, 或 1,2,3 所以 1和 这样,我们的确求出了这个等价电荷,它位于真实电荷所在半径的延长线上,并且满足 凡是满足这个关系的两个点,均称为关于圆r=a的反演点对.上述结果说明,等 价电荷和真实电荷构成对于圆r=a的反演点对,它们的电量相等,极性相反 将e和r1的结果代入(#)式,又可以求得 C=-Ina+InT1= In a
Wu Chong-shi òóôõö Green ➶➹ (ó ) ➱ 9 ✃ ⑧➀❒❥⑩ ❍❴✙❦❳✷ r1 = (x1, y1) ✥ ❍❢✷ e ✥✫➅áØ ✲ ❍❴✬→✥✱ ➓ ❶ ✙ ❍②✦❺ G(r; r 0 ) = − 1 2πε0 h ln |r − r 0 | + e ln |r − r1| + C i , (z) ❹ ❫í✛ C ③ ❍②î✲ ✙ï÷s ✍ ✼Ô✱ ✙✗✘✦❺★❚ ★ê ➓➳ r = a ❯✙ ❍②✷ 0 ✥ − 1 2πε0 h ln |r − r 0 | + e ln |r − r1| + C i r=a = 0, ê ❐ r1, e ➅ C ✼ø ÿ➀❒❖P❽❿✺ ➓➳❯✙✬ù ✲ú ✐✓✼➭ ➠➔❋ ç ❜→❨❉✥ ✯➸ x = r cos φ, x0 = r 0 cos φ 0 , x1 = r1 cos φ 0 , y = r sin φ, y0 = r 0 sin φ 0 , y1 = r1 sin φ 0 , Ó❖P✮✷ ln a 2 + r 02 − 2ar0 cos(φ − φ 0 ) + e ln h a 2 + r 2 1 − 2ar1 cos(φ − φ 0 ) i + 2C = 0, ✫ ❽❿✺✬ù φ ú ✐✓✼û❋ ❍■➧ ln 1 + t 2 − 2t cosφ = ln 1 − te iφ + ln 1 − te −iφ = −2 X∞ m=1 1 m t m cos mφ, |t| < 1, ✦ ❨✸✧ ✬ó✮✷ 2 ln a + ln h 1 + r 0 a 2 − 2 r 0 a cos(φ − φ 0 ) i + 2e ln r1 + e ln h 1 + a r1 2 − 2 a r1 cos(φ − φ 0 ) i + 2C = 2 ln a + 2e ln r1 − 2 X∞ m=1 1 m hr 0 a m + e a r1 mi cos m(φ − φ 0 ) + 2C = 0, ➣ ❺✥✦r❬ ln a + e ln r1 + C = 0 (#) ➅ r 0 a m + e a r1 m = 0, m = 1, 2, 3, · · · , ✯ e = − r1r 0 a 2 m ✇ e = − r1r 0 a 2 1 = − r1r 0 a 2 2 = − r1r 0 a 2 3 = · · · , m = 1, 2, 3, · · · , ➆✸ ✥ e = −1 ➅ r1 = a 2 r 0 ✇ r1 = a r 0 2 r 0 . ➀ ➞ ✥❻➳ ✙✱ ê ❐✔➀❒❥⑩ ❍❴✥✫❦➣áØ ❍❴➆✱ ➄➅✙õöð❯✥ á❯➻➼ r 0 r1 = a 2 . ❾❺ ➻➼➀❒✍✎✙ ➁❒✲✥ú ✻✷✍ ➣ ➓ r = a ✙ üýþÿ ✁✂✄☎✆ ✝✞✟ ✠ ✡☛☞✌✍ ✡☛✎✏✑✒ ✓ r = a ✔✕✖✗✑✞✘✙✔ ✡✚✛✟✞✜✢✛✕ ✣ e ☞ r1 ✔ ✄☎✤✥ (#) ✦ ✞✧★✩✪✫ C = − ln a + ln r1 = ln a r 0 .
做en和C的结果法(划式,界坐 园内 Poisson 无界空 Green间 维 无 根据圆 Poisson程非齐次,的 Green 标准 Gr; r +In 展开种原 本征极 的困式 G(r;r) In r2+r/-2rrcos(o-o)-In r (=)2-2=-6+2n 殊 准标准一作介将以绍,才且适安非程据架的结果
Wu Chong-shi §29.3 ✬ ✭ Poisson ✮✯✰✱✲✳✴✵✶ Green ✷✸ ✹ 10 ✺ ✻✣ e, r1 ☞ C ✔ ✄☎✤ ✼ (z) ✦ ✞✽✾✿✪✫ ✓❀ Poisson ❁❂❃❄❅❆❇❈✔ Green ❉❊ G(r; r 0 ) = − 1 2πε0 h ln |r − r 0 | − ln r − a r 0 2 r 0 + ln a r 0 i , ❋●❍✜■❏❑ ▲✔▼◆✦✞ G(r; r 0 ) = − 1 4πε0 ( ln h r 2 + r 02 − 2rr0 cos(φ − φ 0 ) i − ln h r 2 + a 2 r 0 2 − 2r a 2 r 0 cos(φ − φ 0 ) i + 2 ln a r 0 ) . ✣✑❊❉❊❖P◗✞✿★✩❘❙✞❚❯❱❲❄❳❁❨✫❩✔ ✄☎