第十五讲分离变量法(二) §15.1两端固定弦的自由振动(续) 定解问题考虑长为l、两端固定的弦的自由振动,方程及定解条件为 2 202 0, 工=0 du v(a) <ar<l 一步:分离变量 目标分离变量形式的非零解u(x,t)=X(x)m(t) 结果函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T(t)满足的常微分方程 ★条件偏微分方程和边界条件都是齐次的 现在出现的函数K(x)的常微分方程定解问题,特点是:微分方程中含有待定常数λ 定解条件是一对齐次边界条件,这样的定解冋题不同于常微分方程的初值问题 并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零解 只有当λ取某些特定值时,才有既满足齐次常嶶分方程、又满足齐次边界条件的非零 λ的这些特定值称为本征值 相应的非零解称为本征函数 函数K(x)的常微分方程定解问题,称为本征值问题 第二步:求解本征值问题 本征值 本征函数xn(x) 这样求得的本征值有无穷多个,它们可以用正整数n标记,因此,在上面的结果中,把本征值和 相应的本征函数都记为An和Xn(x)
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) §15.1 ✡☛☞✌✍✎ ✏✑✒✓ (✔) ✕✖✗✘ ✙✚✛✜ l ✢✣✤ ✥✦✧★✧ ✩✪✫✬✭✮✯✰✦✱✲✳✜ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. ✴✵✶✷ ✸✹✺✻ F ✼✽ ✾✿❀❁❂❃✧❄❅✱ u(x, t) = X(x)T (t) F ❆❇ ❈❉ X(x) ❊❋✧●❍✾✮✯■❏❑✲✳▲✰ T (t) ❊❋✧●❍✾✮✯ F ▼◆ ❖❍✾✮✯■❏❑✲✳P◗❘❙✧ ❚❯ ❱❚❲❳❨ X(x) ❲❩❬❭❪❫❴❵ ❛❜✭ ❝❞❡✷❬❭❪❫ ❢❣❤✐❴❩❨ λ ✭ ❴❵❥❦❡❧♠♥♦♣q❥❦rst❲❴❵ ❛❜✉ ✈✇❩❬❭❪❫❲①② ❛❜r ③ ④♠✇⑤⑥ λ ② ✭⑦❤⑧⑨⑩♥♦❩❬❭❪❫✢❶⑨⑩♥♦♣q❥❦❲ ④❷❵r ❸❤ ❹ λ ❺ ❻❼❝❴②❽✭❾❤⑧⑨⑩♥♦❩❬❭❪❫✢❶⑨⑩♥♦♣q❥❦❲ ④❷ ❵ X(x) r λ ❲s❼ ❝❴②❿➀ ➁➂➃ ✭ ➄➅❲ ④❷❵❿➀ ➁➂➆➇ r ❳❨ X(x) ❲❩❬❭❪❫❴❵ ❛❜✭❿➀ ➁➂➃✗✘ r ✴➈✶✷ ➉✖➁➂➃✗✘ ➊➋➌ λn = nπ l 2 , n = 1, 2, 3, · · · ➊➋❈❉ Xn(x) = sin nπ l x. ➍➎➏➐✧ ➊➋➌➑➒➓➔→✭➣↔↕▲➙➛➜❉ n ➝➞✭➟➠✭➡➢➤✧➥➦ ➧✭➨➊➋➌■ ➩➫✧ ➊➋❈❉P➞✜ λn ■ Xn(x) r
15.1两端固定弦的自由 第三步:求特解,并叠加出一般解 在求解了本征值问题后,对于每一个本征值λn,由方程 T"(t)+Ma2T(t)=0 可以求出相应的Tn(t) Tn(t)=Cn sin at +Dn cos 因此,也就得到了满足偏徵分方程和边界条件的特解 (r, t)=(Cn sin Tat+ Dn cos Tat sin (n=1,2,3,…) ★这样的特解有无穷多个 每一个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 ★一般说来,单独任何一个特解不可能也恰好满足定解问题中的初始条件,即一般无法找到常 数Cn和Dn,满足 Dn sin c=o(a), Cn-sinr=v(z) ★偏微分方程和边界条件都是齐次的,把它们的(任意有限个)特解叠加起来,仍然是满足齐次 方程和齐次边界条件的解.是否可能满足初始条件? ★把全部无穷多个特解叠加起来 u(z, t)=>(Cn sin at+Ncos 只要级数具有足够好的收敛性(例如,可以逐项求二阶偏微商),那么,这样得到的u(x,t)也仍然 是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解 这种形式的解称为一般解,它不同于偏微分方程的通解,因为 一般解不只是满足偏微分方程,而且满足齐次边界条件 如何选择一般解中的叠加糸数Cn和Dn? Do sin o(x), no Cn-sinT=v(a) 「第四步,利用本征函数的正交性定叠加系数 理论依据本征函数的正交性 Xn(x)Xm(x)dx=0.n≠m
Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 2 ➪ ✴➶✶✷ ➉➹✖ ✭➘ ➴➷➬➮➱✖ ➡ ➏ ✱✃➊➋➌❐❒❮✭❰ÏÐ✵→➊➋➌ λn ✭✪✮✯ T 00(t) + λa2T (t) = 0 ↕▲➏Ñ➩➫✧ Tn(t) ✭ Tn(t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at. ➟➠✭ÒÓ➐Ô✃ ❊❋❖❍✾✮✯■❏❑✲✳✧Õ✱ un(x, t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x (n = 1, 2, 3, · · ·). F ➍➎✧Õ✱➑➒➓➔→ F Ð ✵→Õ✱P❊❋❘❙❖❍✾✮✯■❘❙❏❑✲✳ F ✵Ö×Ø✭ ÙÚÛÜ✵→Õ✱Ý↕ÞÒßà❊❋✦✱❐❒ ➧✧áâ✲✳✭ã✵Ö➒äåÔ● ❉ Cn ■ Dn ✭❊❋ Dn sin nπ l x = φ(x), Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x). F ❖❍✾✮✯■❏❑✲✳P◗❘❙✧✭➨➣↔✧ (æçèéê) Õ✱ëìíØ ✭ îï◗❊❋❘❙ ✮✯■❘❙❏❑✲✳✧✱r ◗ð↕Þ❊❋áâ✲✳ ñ F ➨òó➒➓➔→Õ✱ëìíØ u(x, t) = X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x, ôõö❉÷➑ ❋øà✧ùúû (üý✭↕▲þÿ➏➈ ❖❍✁) ✭✂✄✭ ➍➎➐Ô✧ u(x, t) Ò îï ◗❘❙❖❍✾✮✯➡❘❙❏❑✲✳☎✧✱r ➍✆ ❂❃✧✱✝ ✜ ➮➱✖ r ➣Ý✞Ï❖❍✾✮✯✧✟✱✭➟✜ ✵Ö✱Ýô ◗❊❋❖❍✾✮✯✭✠✡❊❋❘❙❏❑✲✳ ☛⑥☞✌❧✍❵ ❢❲ ✎✏ ✑❨ Cn ✒ Dn ñ X∞ n=1 Dn sin nπ l x = φ(x), (z) X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x) (>) ✴✓✶✷ ✔✕➁➂➆➇✖✗✘✙✕ ➴➷✚➇ ✛✜✢✣ ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m
第3页 mTt 在()式两端同乘以 一x,逐项积分,就得到 -rsin -dr=d I 所以 同样,由(米)式,可以得到 v(a)sin zdz 这样就求得了整个定解问题的解 本征函数正交性的证明 设Xn(x)=sin"x和Xm(x)=sin"x是分别对应于本征值An和Am的两个本征函数 (即n≠m),它们分别满足 Xm(r)+AnXn(r)=0, xn(0)=0,Xn()=0, 和 xn(0)=0,Xm()=0. 用Xm(x)乘以Xn(x)的方程,用Xn(x)乘以Xm(x)的方程,相减 (Xm(r)Xn(r)-Xn(a)Xm(r))+(An-Am)Xm(r)Xn(a)=0 在区间[0.上积分,即得 (An-Am)/xn(x)Xn(x)d=/[x(x)Xm(x)-xmn(x)X()dr Ixn()Xm(x)-Xm(a)Xn(z)IL=0 上面用到了Xn(x)和Xm(x)满足的边界条件,考虑到A≠Mm,就证得本征函数的正交性 Xn(x)Xm(x)dx=0,n≠m.口 △在上面的证明中只用到了 本征函数满足的微分方程2.本征函数满足的边界条件 没有用到本征函数的具体函数形式 △因此,只要本征函数满足的微分方程为 "(x)+入X(x) 则结果 (An-Am) x a(e) X,(a-)dr=[X, (z) m(2)-Xm(a) x, (G)I 仍然成立
Wu Chong-shi ✤✥✦✧ ★✩✪✫✬ (✭) ➚ 3 ➪ ➡ (z) ❃✣✤✞✮▲ sin mπ l x ✭þÿ✯✾✭Ó➐Ô Z l 0 φ(x) sin mπ l xdx = Z l 0 X∞ n=1 Dn sin nπ l x sin mπ l xdx = X∞ n=1 Dn Z l 0 sin nπ l x sin mπ l xdx = Dm · l 2 . ✰ ▲ Dn = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx. ✞ ➎ ✭✪ (>) ❃✭↕▲➐Ô Cn = 2 nπa Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. ➍➎Ó ➏➐✃➜→ ✦✱❐❒✧✱r F ➁➂➆➇✗✘✙✖✱✲ ✳ Xn(x) = sin nπ l x ■ Xm(x) = sin mπ l x ◗✾✴❰ ➫ Ï ➊➋➌ λn ■ λm ✧✣→➊➋❈❉✭ λn 6= λm(ã n 6= m) r ➣↔✾✴❊❋ X00 n (x) + λnXn(x) = 0, Xn(0) = 0, Xn(l) = 0, ■ X00 m(x) + λmXm(x) = 0, Xm(0) = 0, Xm(l) = 0. ➙ Xm(x) ✮▲ Xn(x) ✧✮✯✭➙ Xn(x) ✮▲ Xm(x) ✧✮✯✭➩✵ ✭ (Xm(x)X00 n (x) − Xn(x)X00 m(x)) + (λn − λm) Xm(x)Xn(x) = 0, ➡✶✷ [0, l] ➢✯✾✭ã➐ (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = Z l 0 [Xn(x)X 00 m(x) − Xm(x)X 00 n(x)] dx = [Xn(x)X0 m(x) − Xm(x)X0 n(x)] l 0 = 0. ➢➤➙Ô ✃ Xn(x) ■ Xm(x) ❊❋✧❏❑✲✳r✙✚Ô λn 6= λm ✭Ó✸ ➐ ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m. 4 ➡➢➤✧✸ ✹➧ ô ➙ Ô ✃ ✷ 1. ➊➋❈❉❊❋✧❍✾✮✯ 2. ➊➋❈❉❊❋✧❏❑✲✳ ✺➑ ➙ Ô➊➋❈❉✧÷✻❈❉❂❃ 4 ➟➠✭ ✼✽➁➂➆➇✾✿✖❀✸❁❂❃ X 00(x) + λX(x) = 0, ❄ ➥➦ (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = [Xn(x)X 0 m(x) − Xm(x)X 0 n(x)] l 0 îï❅❆r
§15.1两端固定弦的自由振动 △如果将本征函数满足的边界条件改为 a1X(0)+B1X(0)=0 2X()+2X()=0 其中a1和1、a2和B2均不同时为0,则有 a1Xm(0)+1Xm(0)=0和a2xn()+B2Xn()=0, a1Xn(0)+A1Xn(0)=0, a2Xm()+A2Xm()=0. 因为a1和61不同时为0,所以 Xn(O) Xn(o) Xm(o)Xm(o) 又因为a2和2不同时为0,所以又有 Xn(l Em()xm(ol= ★结论:对于本征值问题 x"(x)+AX(x)=0 a1X(0)+1X(0)= a2X()+2X()=0 本征函数的正交性 (ar)Xm(a)d: 仍然成立 △上面的边界条件涵盖了 三类三种类型的边界条件 ★本征函数模方① Xn2≡/x2(x)dr ①‖Xn‖的倒数常称为本征函数的归一因子,这是因为 IXn l2 Xa(a)dr=1 即本征函数Xn(x)/xn‖的模为1,另外,还可以合并写成 Xn(r)Xm(r)dr=conm 称为本征函数的正交归
Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 4 ➪ 4 ý➦❇ ➊➋❈❉❊❋✧❏❑✲✳❈ ✜ α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X0 (l) = 0, ❉ ➧ α1 ■ β1 ✢ α2 ■ β2 ❊Ý✞❋✜ 0 ✭ ❄➑ α1Xn(0) + β1X0 n (0) = 0, α1Xm(0) + β1X0 m(0) = 0 ■ α2Xn(l) + β2X0 n (l) = 0, α2Xm(l) + β2X0 m(l) = 0. ➟ ✜ α1 ■ β1 Ý✞❋✜ 0 ✭ ✰ ▲ Xn(0) X0 n (0) Xm(0) X0 m(0) = 0. ● ➟ ✜ α2 ■ β2 Ý✞❋✜ 0 ✭ ✰ ▲ ●➑ Xn(l) X0 n(l) Xm(l) X0 m(l) = 0. F ➥❍ ✷ ■❏➁➂➃✗✘ X00(x) + λX(x) = 0, α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X0 (l) = 0 ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m ❑▲▼◆r 4 ➢➤✧❏❑✲✳❖P✃ ✵ ✢ ➈ ✢ ➶◗➶✆◗❘✧❏❑✲✳r F ➁➂➆➇❙❁❚ kXnk 2 ≡ Z l 0 X2 n (x)dx = l 2 . ❚ kXnk ❯❱❲❳❨❩ ❬❭❪❫❴❵❛❜❝ ❞❡❢❣❩ 1 kXnk 2 Z l 0 X2 n(x) dx = 1 ❤✐❥❦❲ Xn(x)/kXnk ❯❧❩ 1 ❞♠♥♦♣qrst✉✈ Z l 0 Xn(x)Xm(x) dx = l 2 δnm. ❨❩ ❬❭❪❫❴✇①❵❛② ❞
第5页 ★波动在两端固定弦上的传播过程 为了简单起见,仍以单纯由初位移引起的波动为例 当t>0时,初位移也像在无界弦上分别向左右传播,不同之处是到达端点x=0或x=l 时,必须反射回来,并伴有额外的相位损失丌(即在端点x=0和x=7必须作奇延拓,这是由两端 固定这样的边界条件决定的),就弦上任意一点在任意一个时刻的位移而言,它就是初位移在两个 端点间多次反复反射而叠加出的结果.对于初速度激发的波动,当然也可以类似地讨论 ★弦的总能量 在任一时刻t,弦的动能和位能分别是 (m)和号/() 总能量为 E(t)=2 dr t 将解式代入,利用本征函数的正交归一性,就容易求得 E(t) 等式右端显然是常数,与t无关,即弦的总能量守恒 ★解的唯一性 如果此定解问题有两个解,u1(x,t)和u2(x,t),那么,以(x,t)≡u1(x,t)-a2(x,t)就一定满足 定解问题 00, x=0 0,0≤x≤l t=0 只要能够证明v(x,t)=0即可.从物理上可以判断,这肯定是正确的,从能量守恒的要求来看,当 t=0时弦的总能量为0,因此以后的任一时刻t,E(t)均为0.这意味着一定有 U 即v(x,)为常数,由初始条件或边界条件,都能定出此常数为 ①更严格的办法是仿照13.6节的 推出dE/dt=0,而不依赖于具体的求解方法(例如,分离变量法)
Wu Chong-shi ✤✥✦✧ ★✩✪✫✬ (✭) ➚ 5 ➪ F ③④⑤⑥⑦⑧✕⑨⑩✖❶❷❸❂ ✜ ✃❹ Ù í❺✭ î ▲ Ù❻ ✪á❼❽❾í✧❿✬ ✜ ür ➀ t > 0 ❋✭á❼❽Ò➁➡ ➒ ❑★➢✾✴ ➂➃➄➅➆✭Ý✞➇➈◗ Ô➉ ✤➊ x = 0 ➋ x = l ❋✭ ➌➍➎➏ ➐Ø ✭➘➑ ➑➒➓✧ ➩ ❼➔→ π(ã ➡✤➊ x = 0 ■ x = l ➌➍➣↔↕➙✭ ➍ ◗ ✪✣✤ ✥✦➍➎✧❏❑✲✳➛✦✧) r Ó★➢Û➜✵ ➊➡ Û➜✵→❋➝✧❼❽✠➞✭➣Ó◗á❼❽➡✣→ ✤➊✷➔ ❙ ➎➟➎➏✠ëìÑ ✧➥➦r ❰Ïá➠➡➢➤✧❿✬✭➀ï Ò↕▲◗➥➦➧❍r F ⑨✖➨➩✻ ➡ Û✵❋➝ t ✭★✧✬Þ■❼Þ✾✴◗ 1 2 Z l 0 ρ ∂u ∂t 2 dx ■ 1 2 Z l 0 T ∂u ∂x2 dx, ➫ Þ❁✜ E(t) = 1 2 Z l 0 ρ ∂u ∂t 2 dx + 1 2 Z l 0 T ∂u ∂x2 dx. ❇✱❃➭➯✭➲➙ ➊➋❈❉✧➛➳➵✵ û✭Ó➸➺➏➐ E(t) = mπ 2a 2 4l 2 X∞ n=1 n 2 |Cn| 2 + |Dn| 2 . ➻ ❃➄✤➼ ï ◗●❉✭➽ t ➒➾ ✭ ã ★✧➫ Þ❁➚➪ ❚ r F ✖✖➶➮✙ ý➦➠✦✱❐❒➑✣ → ✱✭ u1(x, t) ■ u2(x, t) ✭✂✄✭ v(x, t) ≡ u1(x, t) − u2(x, t) Ó ✵ ✦❊❋ ✦✱❐❒ ∂ 2 v ∂t2 − a 2 ∂ 2 v ∂x2 = 0, 0 0, v x=0 = 0, v x=l = 0, t ≥ 0, v t=0 = 0, ∂v ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ôõÞø✸ ✹ v(x, t) = 0 ã ↕r➹➘➴➢↕▲➷➬✭ ➍➮ ✦◗➛➱✧r➹ Þ❁➚➪✧ õ➏Ø✃ ✭ ➀ t = 0 ❋★✧➫ Þ❁✜ 0 ✭➟➠▲❮ ✧ Û✵❋➝ t ✭ E(t) ❊ ✜ 0 r➍➜❐❒✵ ✦ ➑ ∂v ∂x = 0, ∂v ∂t = 0, ã v(x, t) ✜ ●❉r ✪áâ✲✳➋❏❑✲✳✭PÞ✦Ñ ➠●❉✜ 0 r ❚ ❮❰Ï❯ÐÑ❢ÒÓ 13.6 Ô❯ÕÑ♦Ö×ØÙ dE/dt = 0 ♦ÚÛÜÝÞßà❯áâãÑ (äå♦æçèéÑ) ❞
§15.1两端固定弦的自由振动 第6页 利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤 1.第一步,分离变量 这一步之所以能够实现,先决条件是偏微分方程和边界条件都是齐次的.而分离变量 的结果,是得到了(一个或多个)含有待定常数的齐次常微分方程和齐次边界条件,即 (一个或多个)本征值问题 2.第二步,求解本征值问题 3.第三步,求出全部的特解,并进一步叠加出一般解 显然事先没有任何理由弃去其中的任何一个特解 4.第四步,利用本征函数的正交性定叠加系数 严格说来,上面得到的还只是形式解.对于具体问题,还必须验证 1.这样得到的u(x,t)是否满足偏嶶分方程,换勺话说,级数解是否可以逐顼求二阶偏嶶商; 2.这样得到的u(x,t)是否满足边界条件,换句话说,级数解的和函数是否连续; 3.在定叠加糸数时,逐项积分是否合法 关于这三个问题,都涉及到级数解的收敛性.由于系数Cn和Dn是由o(x)和v(x)决定的 因而o(x)和v(x)的性质就决定了对这三个问题的回答 从理论上说,分离变量法的成功,要取决于下列几个条件 1.本征值问题有解 2.定解问题的解一定可以按照本征函数展开,换句话说,本征函数的全体是完备的; 3.本征函数一定具有正交性 以后将在适当时候回答这几个问题
Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 6 ➪ F ✔✕✸✹✺✻ê➉✖ë❀✸❁❂✕✖✗✘✖ì➁íî 1. ✴✵✶✭✾✿❀❁r s❧ ïðñ òóô õ❚ ✭ö÷❥❦❡ø❬❭❪❫✒ ♣q❥❦⑦ ❡♥♦❲rù❭ úûü ❲ýþ✭ ❡ÿ ✁ (❧✂✄ ☎✂) ❣❤✐❴❩❨❲♥♦❩❬❭❪❫✒ ♥♦♣q❥❦✭✆ (❧✂✄ ☎✂) ✝✞② ❛❜r 2. ✴➈✶✭ ➏ ✱ ➊➋➌❐❒r 3. ✴➶✶✭ ➏Ñòó✧Õ✱✭➘✟ ✵✶ëìÑ✵Ö✱r ✠✡☛ö☞❤⑤⑥✌ ✍✎✏✑ ❢❲⑤⑥❧✂❝❵r 4. ✴✓✶ ✭➲➙ ➊➋❈❉✧➛➳û✦ëì✒❉r ✓✔×Ø✭➢➤➐Ô✧✕ ô ◗❂❃✱r ❰Ï÷✻ ❐❒✭✕ ➌➍✖ ✸ ✷ 1. stÿ❲ u(x, t) ❡✗⑨⑩ø❬❭❪❫✭ ✘ ✙✚✛✭✜❨❵❡✗✢ ò✣✤✥✦✧ø❬★✩ 2. stÿ❲ u(x, t) ❡✗⑨⑩♣q❥❦✭ ✘ ✙✚✛✭✜❨❵❲✒ ❳❨❡✗✪✫✩ 3. ❯❴ ✎✏ ✑❨❽✭ ✣✤✬❭❡✗✭✮✯ ➾✰✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁✯❂✰❃✼ Cn ❄ Dn ❅ ❂ φ(x) ❄ ψ(x) ❆❇✾✶ ❈❉ φ(x) ❄ ψ(x) ✾❁❊❋❆❇●❍✱✲✳✴✵✾ ■❏✯ ❑▲▼◆❖✶P◗❘❙❚✾❯❱✶❲❳❆ ✰❨❩❬✳❭❪❫ 1. ❴❵❛ ❜❝❞❡❢ 2. ❣❡ ❜❝❤❡✐❣❥ ❦❧♠❴❵♥♦♣q✶r st✉✶❴❵♥♦❤✈✇① ②③❤❢ 3. ❴❵♥♦✐❣④❞⑤⑥⑦✯ ⑧⑨⑩❶❷❸❹❺ ■❏✱❬✳✴✵✯
变量法( 第7页 解的物理意必 须看特解 uIn(a An sin(wnt+8n)sin knz 其中 An cos on= Cn. An sin on= Dn tn(x,t)代表一个驻波 A sin kr表示弦上各点的振幅分布 ★sin(ant+6n)表示相位因子 利交 ★n是驻波的圆频率,称为两端固定弦的固有频率或频率,与初始条件无关 ★kn称为波数,是单位、度上波的周期数 ★6n是初相位,程初始条件决定 ★在knx=m,即x=m丌/kn=(m/m)l,m=0.1,2,3.……,n的各点上,振动的振幅恒为0,称 为波节 包括弦的两个端点在内,波节点共有n+1个 ★在knx=(m+1/2),即x=(2m+1)x/2kn=(2m+1y/2n,m=0,1,2,3,…,n-1的各点上 振动振幅的绝对值恒为最大,称为波峰.波峰点共有n个 ★整个问题的解则是这些驻波的叠加 正是因为这个原因,这种解法也称为驻波法 就两端固定的弦来说,固有频率中有一个最小值,即 称为基频,其他固有频率n都是基频∞1的整数倍 称为倍频 ★弦的基频就决定了所发的基步在弦画。中,当弦的质之一定(即p一定)时,所以能 变弦的够实度(即能变。偏的大小,就而以我节基频的大小 ★解变中基频和倍频的叠加系数{Cn}和{Dn}的相对大小决定了生的频量分布,即决定了 的基结
Wu Chong-shi ❻❼❽❾ ❿➀➁➂➃ (➄) ➅ 7 ➆ ➇➈➉➊➋➌ ➍➎➏✽ un(x, t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x = An sin (ωnt + δn) sin knx, ➐ ➑ ωn = nπ l a, kn = nπ l , An cos δn = Cn, An sin δn = Dn. F un(x, t) ➒➓➔✳→➣ F An sin knx ➓↔↕◆➙➛✾➜➝P➞ F sin ωnt + δn ➓↔➟➠❈➡ F ωn ❅ →➣✾ ➢➤➥✶➦➧➨➩ ➫❇↕✾ ➫➭➤➥➯➲➳➤➥✶➵➸➺❭❪➻➼ F kn ➦➧➣✼✶❅➽➠➾➚◆➣✾➪➶✼ F δn ❅ ➸ ➟➠✶❂➸➺❭❪❆❇ F ❶ knx = mπ ✶➹ x = mπ/kn = (m/n)l, m = 0, 1, 2, 3, · · ·, n ✾➙➛◆✶➜➘✾➜➝➴➧ 0 ✶➦ ➧➣➷✯ ➬➮↕ ✾➨✳➩➛❶ ➱✶➣➷➛✃➭ n + 1 ✳✯ F ❶ knx = (m + 1/2)π ✶➹ x = (2m + 1)π/2kn = (2m + 1)l/2n, m = 0, 1, 2, 3, · · ·, n − 1 ✾➙➛◆✶ ➜➘➜➝✾❐❍❒➴➧❮❰✶➦➧➣Ï✯➣Ï➛✃➭ n ✳✯ F Ð ✳✴✵✾✽Ñ❅ ✱Ò→➣✾ÓÔ✯ ⑤① ÕÖ×ØÙ Õ✶ ×Ú❡✮ÛÜÖ ÝÞß ✯ ❋➨➩ ➫❇ ✾ ↕à❖✶➫➭➤➥ ➑➭➔ ✳❮á❒ ✶➹ ω1 = π l a, ➦➧ âã ✶➐ä ➫➭➤➥ ωn ✷ ❅å➤ ω1 ✾ Ð ✼æ✶ ωn = nω1, n = 2, 3, · · · , ➦➧ çã ✯ F ↕ ✾ å ➤❋❆❇●èéêë✾ ìí ✯❶ ↕îï ➑✶❸ ↕ ✾❊ð➔❇ (➹ ρ ➔❇) ❹✶ñòó ❘ ↕ ✾ôõö➚ (➹ó❘÷ø T ✾❰á) ✶❋ù⑧ú➷ å ➤ ω1 ✾❰á✯ F ✽û ➑å ➤ ❄ æ➤✾ÓÔ❃✼ {Cn} ❄ {Dn} ✾ ➟❍❰á❆❇●êë✾➤üP➞✶➹ ❆❇●ê ë ✾ ìý ✯
§15.1两端固定弦的自由振动 第8页 ★和数 ∑n2[Cn2+1Dn2 与弦的总能量成正比,所以就决定了声音的强度 ★分离变量法的解和行波解的联系 将初始条件(x)和(x)作奇延拓 l<x<0 更(x)= p(a) 0≤≤l 1≤x≤0 然后再延拓为周期为2的周期函数(仍记为)和(2).这样延拓的结果保证了在端点x=1 也是奇延拓。将(x)和业(x)展开为 Fourier级数 中(x)= a,y(a) 其中 列)sinT ()油 地号学 与前面定出的Cn和Dn相比较,就可以看出 所以 u(z, t)= ∑(cns"at+ Dn cos -ai)sn Dn nt(r-at)+ sl1 Cn COS ∑-(-)+h(a+叫+∑ wi nna / Cos (r-at)-cos (a+at =5(x-at)+到(x+at y(a)dr 和行波解的形式完全一致,只不过这里的(x)和(x)是由初始条件(x)和v(x)按照前面的法则 延拓而得的 这样得到的解式u(x,,当然只适用于区间0≤x≤1中
Wu Chong-shi §15.1 þÿ✁✂✄ ☎✆✝✞ (✟) ➅ 8 ➆ F ❄ ✼ X∞ n=1 n 2 |Cn| 2 + |Dn| 2 ➵ ↕ ✾✠✡❙❯☛ ☞✶ è ⑧❋ ❆❇●êë✾ ✌✍ ✯ F ✎✏✑✒ß ➈➇✓✔Þ ➇➈✕✖ ⑩➸➺❭❪ φ(x) ❄ ψ(x) ✗✘✙✚ Φ(x) = −φ(−x), −l ≤ x ≤ 0, φ(x), 0 ≤ x ≤ l, Ψ(x) = −ψ(−x), −l ≤ x ≤ 0, ψ(x), 0 ≤ x ≤ l, ✛⑨✜ ✙✚➧➪➶➧ 2l ✾➪➶✢✼ (✣✤➧ Φ(x) ❄ Ψ(x)) ✯✱✥ ✙✚✾✦✧★✩● ❶➩➛ x = l ✪ ❅✘✙✚✯⑩ Φ(x) ❄ Ψ(x) ✫✬➧ Fourier ✻✼ Φ(x) = X∞ n=1 αn sin nπ l x, Ψ(x) = X∞ n=1 βn sin nπ l x, ➐ ➑ αn = 1 l Z l −l Φ(x) sin nπ l xdx = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx, βn = 1 l Z l −l Ψ(x) sin nπ l xdx = 2 l Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. ➵✭✮❇✯ ✾ Cn ❄ Dn ➟ ☞✰✶❋ù⑧➎ ✯ αn = Dn, βn = nπa l Cn. è ⑧ u(x, t) = X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x = 1 2 X∞ n=1 Dn h sin nπ l (x − at) + sin nπ l (x + at) i + 1 2 X∞ n=1 Cn h cos nπ l (x − at) − cos nπ l (x + at) i = 1 2 X∞ n=1 αn h sin nπ l (x − at) + sin nπ l (x + at) i + 1 2 X∞ n=1 βn nπa h cos nπ l (x − at) − cos nπ l (x + at) i = 1 2 [Φ(x − at) + Φ(x + at)] + 1 2a Z x+at x−at Ψ(x)dx. ❄✱ ➣✽✾✲û✳✴➔✵ ✶✶✷ò✱✸✾ Φ(x) ❄ Ψ(x) ❅ ❂➸➺❭❪ φ(x) ❄ ψ(x) ✹✺✭✮✾❚Ñ ✙✚❉✻✾✯ ✱✥✻✺✾✽û u(x, t) ✶❸✛✶❷✼✰✽✾ 0 ≤ x ≤ l ➑✯
§15.2矩形区域内的稳定问题 分离变量法也适用于热传导方程和稳定问題(例如, Laplace方程)的定解问题 设有定解问题 a+=0 0<x<a,0<y<b 0≤y≤b, ≤x≤a 仍用分离变量法求解.令 y)=X()Y(y) ★代入方程,分离变量,即得 x"(x)Y()=-X(x)y"(y 于是就得到 x"(x) X() 在这个等式中 左端只是x的函数(与y无关)右端只是y的函数(与x无关) 因此 x"(x)Y"(y) X (a)+AX(a) 和Y"(y)-AY(y)=0 ★代入关于x的一对齐次边界条件 (0)Y(y)=0, (a)Y(y)=0 也可以分离变量得 (0)=0,∥x(a) 这样,又得到了一个本征值问题 x"(x)+λX(x) x(0)=0,X(a)=0. 求解本征值问题 若λ=0,常微分方程的通解是 X(r) 代入(齐次)边界条件,得A6=0,B0=0.因此微分方程只有零解. 0不是本征值
Wu Chong-shi ❻❼❽❾ ❿➀➁➂➃ (➄) ➅ 9 ➆ §15.2 ✿❀❁❂ ❃❄❅❆❇❈ ❉ ❊❋●❍Û■❏❑ ▲▼◆❖P◗❘❣ ❜❝ (❙❚✶ Laplace ❖P) ❤❣❡ ❜❝✯ ❯➭ ❇ ✽✴✵ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, u x=0 = 0, ∂u ∂x x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, u y=0 = f(x), ∂u ∂y y=b = 0, 0 ≤ x ≤ a. ✣ ✼P◗❘❙❚❱✽✯❲ u(x, y) = X(x)Y (y), F ➒❳❨ö✶P◗❘❙✶➹✻ X00(x)Y (y) = −X(x)Y 00(y). ✰ ❅ ❋✻✺ X00(x) X(x) = − Y 00(y) Y (y) . ❶✱✳❩û ➑✶ ❬❭ ❪① x ❤♥♦ (❫ y ❴ ❵) ❛ ❭ ❪① y ❤♥♦ (❫ x ❴ ❵) ❈❜✶ X00(x) X(x) = − Y 00(y) Y (y) = −λ =⇒ X00(x) + λX(x) = 0 ❄ Y 00(y) − λY (y) = 0. F ➒❳ ➼❝ x ✾ ➔❍❞❡❢❣❭❪ X(0)Y (y) = 0, X0 (a)Y (y) = 0, ✪ù⑧P◗❘❙✻ X(0) = 0, X0 (a) = 0. ✱✥✶❤✻✺ ●➔✳➲➳❒ ✴✵ X00(x) + λX(x) = 0, X(0) = 0, X0 (a) = 0. F ✐ ➇❥❦❧♠♥ ♦ λ = 0 ✶♣qP ❨ ö✾ñ✽❅ X(x) = A0x + B0. ➒❳ (❞❡) ❢❣❭❪✶✻ A0 = 0, B0 = 0 r ❈❜qP ❨ ö✶➭s✽ r =⇒ λ = 0 ✷ ❅ ➲➳❒r
§152矩形区域内的稳定问题 第10页 若λ≠0,常微分方程的通解就是 X(x)=Asin√x+Bcos√Ax 代入(齐次)边界条件,得B=0,A≠0,cos√a=0.于是,就求出了 n+1 本征值 n=0,1,2,3, 本征函数Xn(x)=sin 2n+1 7LL 相应地 于是,就得到了既满足 Laplace方程、又满足齐次边界条件的特解 2n+1 n(a, y)=Cn sinh 2a 7y+Dn cosh 2n+1 2n+1 将这无穷多个特解叠加起来,就得到一般解 代入关于y的一对(非齐次)边界条件, n==∑Dnin-2n=f(a n( Cn cosh rb+ Dn sinh地+1 2n+1 0. 再次根据本征函数的正交归一性 ina r sin -+1 2 就可以求得 a ∫(x)sin 和 2n+1 2n+1 2a -Tb+Dn sin 7b=0 由此得 这样,就最后求出了矩形区域内 Laplace方程边值问题的级数解,如果知道了f(x)的具体形式, 就可以进一步求出叠加系数Cn和Dn的具体形式 这个问题是稳定问题,与时间t无关,因此不出现初始条件 ★用分离变量法求解时,采用齐次边界条件构成本征值问题,而用非齐次边界条件定叠加系数
Wu Chong-shi §15.2 t✉✈✇ ①✄②✁③④ ➅ 10 ➆ ♦ λ 6= 0 ✶♣qP ❨ ö✾ñ✽❋❅ X(x) = A sin √ λx + B cos √ λx. ➒❳ (❞❡) ❢❣❭❪✶✻ B = 0, A 6= 0, cos √ λa = 0 r ❝ ❅ ✶❋❱ ✯● ➲➳❒ λn = 2n + 1 2a π 2 , n = 0, 1, 2, 3, · · · ➲➳✢✼ Xn(x) = sin 2n + 1 2a πx. ➟⑤⑥✶ Yn(y) = Cn sinh 2n + 1 2a πy + Dn cosh 2n + 1 2a πy. ❝ ❅ ✶❋✻✺ ●⑦⑧⑨ Laplace ❨ ö⑩❤⑧⑨❞❡❢❣❭❪✾➏✽ un(x, y) = Cn sinh 2n + 1 2a πy + Dn cosh 2n + 1 2a πy sin 2n + 1 2a πx. ⑩✱➻❶❷✳➏✽ÓÔ❸ à ✶❋✻✺ ➔❹ ✽ u(x, y) = X∞ n=0 Cn sinh 2n + 1 2a πy + Dn cosh 2n + 1 2a πy sin 2n + 1 2a πx. ➒❳ ➼❝ y ✾ ➔❍ (❺❞❡) ❢❣❭❪✶ u y=0 = X∞ n=0 Dn sin 2n + 1 2a πx = f(x), ∂u ∂y y=b = X∞ n=0 2n + 1 2a π Cn cosh 2n + 1 2a πb + Dn sinh 2n + 1 2a πb sin 2n + 1 2a πx = 0, ✜ ❡❻❼➲➳✢✼✾☛❽❾➔ ❁✶ Z a 0 sin 2n + 1 2a πx sin 2m + 1 2a πxdx = a 2 δnm, ❋ù⑧❱✻ Dn = 2 a Z a 0 f(x) sin 2n + 1 2a πxdx ❄ Cn cosh 2n + 1 2a πb + Dn sinh 2n + 1 2a πb = 0, ❂❜✻ Cn = −Dn tanh 2n + 1 2a πb. ✱✥✶❋❮⑨❱ ✯●❿ ✲✽➀ ➱ Laplace ❨ ö ❢❒ ✴✵✾✻✼✽r➁✧➂➃● f(x) ✾➄➅✲û✶ ❋ù⑧➆ ➔➇ ❱ ✯ ÓÔ❃✼ Cn ❄ Dn ✾➄➅✲û r F ✱✳✴✵❅➈❇ ✴✵✶➵❹✾ t ➻➼✶❈❜✷ ✯➉➸➺❭❪r F ✼P◗❘❙❚❱✽❹✶➊✼ ❞❡❢❣❭❪➋❯➲➳❒ ✴✵✶❉✼ ❺❞❡❢❣❭❪❇ ÓÔ❃✼r
