北京大学：《数学物理方法》精品课程电子教案（A类）第二部分 数学物理方程_第7讲 球函数（二）

第七讲 球函数(二) 北京大学物理学院 2007年春

Outline 1 Ô ù ¥ ¼ ê () ®ŒÆÔnÆ 2007cS C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()

讲授要点 ◎ Legendre多项式的性质(续) Legendre多项式的生成函数 Legendre多项式的递推关系 ③ Legendre多项式的应用 均匀电场中的导体球 均匀带电圆环的静电势

Outline ùLJ: 1 Legendreõ‘ª5Ÿ(Y) Legendreõ‘ª)¤¼ê Legendreõ‘ª4í'X 2 Legendreõ‘ªA^ þ!>|¥N¥ þ!‘>‚·>³ C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()

讲授要点 ◎ Legendre多项式的性质(续) Legendre多项式的生成函数 Legendre多项式的递推关系 Legendre多项式的应用 均匀电场中的导体球 均匀带电圆环的静电势

Outline ùLJ: 1 Legendreõ‘ª5Ÿ(Y) Legendreõ‘ª)¤¼ê Legendreõ‘ª4í'X 2 Legendreõ‘ªA^ þ!>|¥N¥ þ!‘>‚·>³ C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()

References 吴崇试,《数学物理方法》,§16.5,16.6,16.7 梁昆淼,《数学物理方法》,§10.1 胡嗣柱、倪光炯,《数学物理方法》,§12.3

Properties of Legendre Polynomials (cont.) Applications of Legendre Polynomials References ÇÂÁ§5êÆÔn{6§§16.5, 16.6, 16.7 ù&œ§5êÆÔn{6§§10.1 nÎ!X1Á§5êÆÔn{6§§12.3 C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()

讲授要点 ◎ Legendre多项式的性质(续) Legendre多项式的生成函数 Legendre多项式的递推关系 O Legendre多项式的应用 均匀电场中的导体球 。均匀带电圆环的静电势

Properties of Legendre Polynomials (cont.) Applications of Legendre Polynomials Generating Function Recurrence Formulas for Legendre Polynomials ùLJ: 1 Legendreõ‘ª5Ÿ(Y) Legendreõ‘ª)¤¼ê Legendreõ‘ª4í'X 2 Legendreõ‘ªA^ þ!>|¥N¥ þ!‘>‚·>³ C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()

背景 设在距原点处放有一个单位点电荷,取点电荷 所在点的方向为轴方向,这时点电荷 在(r,6,以)点的电势(显然与φ无关)即为 r√1-2ct+t √r2+r2-2 rros6)1 r√1-2xt+t2 其中x=cosθ,并规定 1 √1-2rt+t2|=0

Properties of Legendre Polynomials (cont.) Applications of Legendre Polynomials Generating Function Recurrence Formulas for Legendre Polynomials µ 3å:r?k‡ü :>Ö§:>Ö ¤3:•z¶•§ ùž:>Ö 3(r 0 , θ, φ):>³(w,†φÃ')= 1 √ r 2+r 02−2rr0 cos θ =    1 r 1 √ 1−2xt+t 2 t= r 0 r 1 r 0 1 √ 1−2xt+t 2 t= r r 0 Ù¥x = cos θ§¿5½ 1 √ 1 − 2xt + t 2     t=0 = 1 C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()

Legendre多项式的生成函数 在此规定下,函数1/√1-2t+2在t=0点 及其邻域内是解析的,因而可以作 Taylor展开 √1-2xt+t2 ∑et<v2-i 可以证明展开系数就是 Legendre多项式P(x)

Properties of Legendre Polynomials (cont.) Applications of Legendre Polynomials Generating Function Recurrence Formulas for Legendre Polynomials Legendreõ‘ª)¤¼ê 3d5½e§¼ê1/ √ 1 − 2xt + t 23t = 0: 9ٍS´)Û§Ï Œ±ŠTaylorÐm 1 √ 1−2xt+t 2 = X ∞ l=0 clt l |t| <    x± p x 2−1    Œ±y²ÐmXêclÒ´Legendreõ‘ªPl(x) 1 √ 1−2xt+t 2 = X ∞ l=0 Pl(x)t l |t| <    x± p x 2−1    ¼ê1/ √ 1−2xt+t 2=¡Legendreõ‘ª )¤¼ê C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()

Legendre多项式的生成函数 在此规定下,函数1/1-2t+2在t=0点 及其邻域内是解析的,因而可以作 Taylor展开 √1-2xt+t2 ±v2=1 可以证明展开系数就是 Legendre多项式P(x) √1-2xt+t2 ∑P()<2-1 函数1/√1一2+即称为多项式的(类 生成函数

Properties of Legendre Polynomials (cont.) Applications of Legendre Polynomials Generating Function Recurrence Formulas for Legendre Polynomials Legendreõ‘ª)¤¼ê 3d5½e§¼ê1/ √ 1 − 2xt + t 23t = 0: 9ٍS´)Û§Ï Œ±ŠTaylorÐm 1 √ 1−2xt+t 2 = X ∞ l=0 clt l |t| <    x± p x 2−1    Œ±y²ÐmXêclÒ´Legendreõ‘ªPl(x) 1 √ 1−2xt+t 2 = X ∞ l=0 Pl(x)t l |t| <    x± p x 2−1    ¼ê1/ √ 1−2xt+t 2=¡Legendreõ‘ª )¤¼ê C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()

Legendre多项式的生成函数 在此规定下,函数1/1-2t+2在t=0点 及其邻域内是解析的,因而可以作 Taylor展开 2x+=∑<pV2 可以证明展开系数q就是 Legendre多项式P(x) 1 <x土 √1-2rt+t2 l=0 。函数1/√1-2+即称为 Legendre多项式的自 生成函数

Properties of Legendre Polynomials (cont.) Applications of Legendre Polynomials Generating Function Recurrence Formulas for Legendre Polynomials Legendreõ‘ª)¤¼ê 3d5½e§¼ê1/ √ 1 − 2xt + t 23t = 0: 9ٍS´)Û§Ï Œ±ŠTaylorÐm 1 √ 1−2xt+t 2 = X ∞ l=0 clt l |t| <    x± p x 2−1    Œ±y²ÐmXêclÒ´Legendreõ‘ªPl(x) 1 √ 1−2xt+t 2 = X ∞ l=0 Pl(x)t l |t| <    x± p x 2−1    ¼ê1/ √ 1−2xt+t 2=¡Legendreõ‘ª )¤¼ê C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()

Legendre多项式的生成函数 √1-2+=P 士√x2-1 直接将函数1/1-2t++在t=0点作 aylor展开 √1-2t+2√1-2t+t2-2(x-1)t

Properties of Legendre Polynomials (cont.) Applications of Legendre Polynomials Generating Function Recurrence Formulas for Legendre Polynomials Legendreõ‘ª)¤¼ê 1 √ 1−2xt+t 2 = X∞ l=0 Pl(x)t l |t| <    x± √ x 2−1    Proof †ò¼ê1/ √ 1 − 2xt + t 23t = 0:ŠTaylorÐm 1 √ 1 − 2xt + t 2 = 1 p 1 − 2t + t 2 − 2(x − 1)t C. S. Wu 1Ôù ¥¼ê()