第二十五讲 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 §25.1自伴算符的本征值问题 定义251设L和M为定义在一定函数空间内的(微分)算符,若对于该函数空间内的任 意两个函数u和t,恒有 (u, Lu)=(Mu, u)Ep / u'Ludx=/(Mu)"udx, 则称M是L的伴算符 例 若L、d ,于是 u*dr=u*u 所以,当u和v都满足边界条件 y(a=y(b) 时,z的伴算符是、 定义25.1中的算符M和L是互为伴算符,因为如果M是L的伴算符,则对于任 意函数u和v,也有 u*Mudr =/(Mu)udr u’Ludx (Lu"udr 所以,L也是M的伴算符. 例252设L ,容易证明 'n'-(u)u+ udr 所以,当函数u和υ都满足一、二、三类边界条件 ay(a)+B1y/(a)=0,a2(b)+B2y(b)=0 (其中a2+112≠0,|a22+1B22≠0)或周期条件 y(a)=y(b), y(a)=y(b) 时 的伴算符就是它自身
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ Sturm-Liouville ✆✝✞✟✠✡☛☞✌ §25.1 ✍✎✏✑✒✓✔✕✖✗ ✘✙ 25.1 ✚ L ✛ M ✜✢✣✤✥✢✦✧★✩ ✪✫ (✬✭) ✮✯✰✱✲✳✴✦✧★✩ ✪✫✵ ✶✷✸✦✧ u ✛ v ✰✹✺ (v, Lu) = (Mv, u) ✻ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Mv) ∗udx, ✼✽ M ✾ L ✫ ✿❀❁ ❂ ❃ 25.1 ✱ L = d dx ✰✳✾ Z b a v ∗ du dx dx = v ∗u b a − Z b a dv ∗ dx udx. ❄❅✰❆ u ✛ v ❇❈❉❊❋●❍ y(a) = y(b) ■ ✰ d dx ✫❏✮✯✾ − d dx ❂ ✢✣ 25.1 ❑✫✮✯ M ✛ L ✾▲✜❏✮✯✰▼✜◆❖ M ✾ L ✫❏✮✯✰✼ ✲✳✵ ✶ ✦✧ u ✛ v ✰P✺ Z b a v ∗Mudx = "Z b a (Mu) ∗ vdx #∗ = "Z b a u ∗Lvdx #∗ = Z b a (Lv) ∗udx, ❄❅✰ L P✾ M ✫❏✮✯❂ ❃ 25.2 ✚ L = d 2 dx 2 ✰◗❘❙ ❚ Z b a v ∗ d 2u dx 2 dx = h v ∗u 0 − (v ∗ ) 0u ib a + Z b a d 2v dx 2 ∗ udx. ❄❅✰❆✦✧ u ✛ v ❇❈❉✥❯❱❯❲❳❊❋●❍ α1y(a) + β1y 0 (a) = 0, α2y(b) + β2y 0 (b) = 0 (❨ ❑|α1| 2 + |β1| 2 6= 0, |α2| 2 + |β2| 2 6= 0) ❩❬❭●❍ y(a) = y(b), y0 (a) = y 0 (b) ■ ✰ d 2 dx 2 ✫❏✮✯❪✾❫ ❴ ❵ ❂
§25.1自伴算符的本征值问题 定义25.2若算符L的伴算符就是它自身,即对于该函数空间内的任意两个函数u和 恒有 (,DLu)=(L,u)即o°Ldx=/(Ln)adx 则称L是自伴算符 例253在和例4完全相同的条件下,算符i就是自伴算符 (=)u=-==(=)吨 算符的自伴性,总是和一定的函数空间联系在一起的.通常,我们总是要求 函数定义在给定的区间上 ·函数具有足够的连续性(例如,对于二阶微分算符,就要求函数的二阶导数连续,至 少分段连续;如果是无界区间,则要求函数平方可积) 因此,实际上总是限于 Hilbert空间.并且,还要求 函数满足一定的边界条件,即总是局限在 Hilbert空间中的一定子空间内 绝不能脱离边界条件的约東来讨论算符的自伴性 一个算符,相对于某一类函数是自伴的,但对于另一类函数,就可能不是自伴的 例254设L 而将边界条件取成更一般的形式 y(b)=ay(a),a为(复)常数 于是 drude i(aa*-1u(a)u(a)+ u dr 所以只有边界条件中的a满足aa*=1时,算符i才是自伴的 定义25.3设L为自伴算符,则方程 Ly(a)=Ay( 称为自伴算符的本征值问题 这里没有明确写出齐次边界条件,是因为它已经隐含在自伴算符L的定义中了
Wu Chong-shi §25.1 ❛ ❜❝❞❡❢❣❤✐❥ ❦ 2 ❧ ✘✙ 25.2 ✱✮✯ L ✫❏✮✯❪✾❫ ❴ ❵ ✰✻✲✳✴✦✧★✩ ✪✫✵✶✷✸✦✧ u ✛ v ✰ ✹✺ (v, Lu) = (Lv, u) ✻ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Lv) ∗udx, ✼✽ L ✾ ♠✿❀❁ ❂ ❃ 25.3 ✤✛♥ 4 ♦♣qr✫●❍s✰✮✯ i d dx ❪✾ ❴❏✮✯❂ Z b a v ∗ i du dx dx = −i Z b a dv ∗ dx udx = Z b a i dv dx ∗ udx. ✮✯✫ ❴❏t✰✉✾✛✥✢✫✦✧★✩✈✇✤✥①✫❂②③✰④⑤✉✾⑥⑦ • ✦✧✢✣✤⑧✢✫⑨✩⑩✰ • ✦✧❶✺❉❷✫❸❹t (♥◆✰✲✳❱❺✬✭✮✯✰❪⑥⑦✦✧✫❱❺❻✧❸❹✰❼ ❽ ✭❾❸❹❿◆❖✾➀❋⑨✩✰✼ ⑥⑦✦✧➁➂➃➄) ✰ ▼➅✰➆➇⑩✉✾➈✳ Hilbert ★✩❂➉➊✰➋⑥⑦ • ✦✧❈❉✥✢✫❊❋●❍✰✻✉✾➌➈✤ Hilbert ★✩ ❑✫✥✢➍★✩ ✪❂ ➎➏➐➑➒❊❋●❍✫➓➔→➣↔✮✯✫ ❴❏t❂ ✥ ✸ ✮✯✰q✲✳↕✥❳✦✧✾ ❴❏✫✰➙✲✳➛✥❳✦✧✰❪➃➐➏✾ ❴❏✫❂ ❃ 25.4 ✚ L = i d dx ✰➜➝❊❋●❍➞➟➠✥➡✫➢➤ y(b) = αy(a), α✜ (➥) ③✧. ✳✾ Z b a v ∗ i du dx dx = iv ∗u b a − i Z b a dv ∗ dx u dx = i(αα∗ − 1)u(a)v ∗ (a) + Z b a i dv dx ∗ u dx. ❄❅➦✺❊❋●❍ ❑✫ α ❈❉ αα∗ = 1 ■ ✰✮✯ i d dx ➧✾ ❴❏✫❂ ✘✙ 25.3 ✚ L ✜ ❴❏✮✯✰✼ ➂➨ Ly(x) = λy(x) ✽ ✜ ❴❏✮✯✫➩➫➭➯➲❂ ➳➵➸✺ ❚➺➻➼➽➾❊❋●❍✰✾▼✜❫ ➚➪➶➹✤ ❴❏✮✯ L ✫✢✣ ❑➘❂
五讲 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 第3页 自伴算符的本征值问题具有下列几个重要的基本性质 ·性质1自伴算符的本征值必然存在.(不证) ·性质2自伴算符的本征值必为实数 证因为 Ly=入 取复共轭 (Ly) 由于L是自伴算符,所以 ly'Ly-(Ly)y]dr=(A-x)/yy'dr=0 又因为/wydx≠0,所以 即证得本征值入为实数.口 ·性质3自伴算符的本征函数具有正交性,即对应不同本征值的本征函数一定正交 证设A和入是不相等的两个本征值,对应的本征函数为v和v =Ai,L=与 注意到本征值A,为实数,于是 Ly Lyj-(Lyi)vi]dz=(Aj-Ai)/yiyjdr 因为A≠与,所以 y (a)yi(=)dx=0 这样就证明了本征函数的正交性口 由于本征函数是齐次微分方程在齐次边界条件下的解,所以将本征函数乘以一个非零常数因 子仍然是本征函数.我们就可以适当选择这个常数因子,使得对于任意一个本征值λ,都有 yi(r)yi (r)dr=1 这样得到的就是一个正交归一的函数组 y(a)yi(a)dr= dij
Wu Chong-shi ➴➷➬➮➱ Sturm-Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥ ❦ 3 ❧ ❴❏✮✯✫➩➫➭➯➲❶✺s❮❰✸Ï⑥✫Ð➩tÑÒ • ÓÔ 1 ❴❏✮✯✫➩➫➭ÕÖ×✤❂(➏ ❙) • ÓÔ 2 ❴❏✮✯✫➩➫➭Õ✜➆✧❂ Ø ▼✜ Ly = λy, ➞➥ÙÚ (Ly) ∗ = λ ∗ y ∗ . Û ✳ L ✾ ❴❏✮✯✰❄❅ Z b a [y ∗Ly − (Ly) ∗ y] dx = (λ − λ ∗ ) Z b a yy∗dx = 0. Ü ▼✜ Z b a yy∗ dx 6= 0 ✰ ❄❅ λ = λ ∗ , ✻❙Ý➩➫➭ λ ✜➆✧❂ • ÓÔ 3 ❴❏✮✯✫➩➫✦✧❶✺Þßt✰✻✲à➏ r➩➫➭✫➩➫✦✧✥✢Þß❂ Ø ✚ λi ✛ λj ✾ ➏ qá✫✷✸➩➫➭✰✲à✫➩➫✦✧✜ yi ✛ yj ✰ Lyi = λiyi , Lyj = λjyj. â✶ã➩➫➭ λi , λj ✜➆✧✰✳✾ Z b a [y ∗ i Lyj − (Lyi) ∗ yj ] dx = (λj − λi) Z b a y ∗ i yjdx. ▼✜ λi 6= λj ✰ ❄❅ Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = 0. ➳ä❪❙ ❚➘➩➫✦✧✫Þßt❂ Û ✳➩➫✦✧✾➽➾✬✭➂➨✤➽➾❊❋●❍s✫å✰❄❅➝➩➫✦✧æ❅ ✥ ✸çè③✧▼ ➍éÖ✾➩➫✦✧❂④⑤❪➃❅ê❆ëì➳✸③✧▼➍✰íÝ✲✳✵✶ ✥ ✸ ➩➫➭ λi ✰❇✺ Z b a y ∗ i (x)yi(x)dx = 1. ➳äÝ ã ✫❪✾✥✸ îïðñòóôõ ❂ Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = δij .
§25.1自伴算符的本征值问题 ·性质4自伴算符的本征函数(的全体)构成一个完备函数组,即任意一个在区间[,列中有 连续二阶导数、且满足和自伴算符L相同的边界条件的函数f(x),均可按本征函数{yn(x)} 展开为绝对而且一致收敛的级数 f(r) Cnn(r) 其中 f(a)*(a)dr yn (a)ym(r)dx 特别是,如果本征函数组是归一化的,则上式中的分母为1,展开的形式更加简单.(不证) 同样,正交归一的本征函数组的完备性也还可以表示成 Un(a)ym(a)=d(a-r) ·由上面的性质3和4可以看到,只要将本征函数适当归一化,则本征函数的全体就构成了 个完备的正交归一函数集.因此,上一节中有关完备的正交归一函数集的讨论均可适 ·这里暂时忽略掉一种可能性,即对应于一个本征值可能有不止一个(线性无关的)本征函数 因而可能并不彼此正交.这种情形将在25.3节讨论·但即使如此,总还可以采用 Schmidt的 正交化步骤(见书18.1节使之正交化,因而仍然可以得到一个完备的正交归一函数集 ·事实上,上面的展开条件还可以放宽为:对于任意在[a,b中平方可积的函数,(#)式在平均 收敛 的意义下仍然成立 严格说来,上面关于自伴算符本征值的存在性和本征函数的完备性的讨论,本来还 应当区分奇异的(区间无界或半无界;或是在有界区间上微分方程有奇点)和非奇异的 (区间有界,且微分方程在区间上无奇点本征值问题这两种情形.但由于并没有给出有 关的证明,所以也就未曾区分这两类本征值问题.而且,为了叙述的方便,在有关的表 述中都采用了有界区间的形式
Wu Chong-shi §25.1 ❛ ❜❝❞❡❢❣❤✐❥ ❦ 4 ❧ • ÓÔ 4 ❴❏✮✯✫➩➫✦✧ (✫♣ö) ÷➟✥✸ ♦ø✦✧ù✰✻✵✶ ✥ ✸ ✤⑨✩ [a, b] ❑✺ ❸❹❱❺❻✧❯➊❈❉✛ ❴❏✮✯ L qr✫❊❋●❍✫✦✧ f(x) ✰ ú ➃û➩➫✦✧ {yn(x)} üý✜ ➎ ✲➜➊✥þÿ✫✁✧ f(x) = X∞ n=1 cnyn(x), (#) ❨ ❑ cn = Z b a f(x)y ∗ n(x)dx Z b a yn(x)y ∗ n(x)dx . ✂✄✾✰◆❖➩➫✦✧ù✾☎✥✆✫✰✼ ⑩➤ ❑✫✭✝✜ 1 ✰ üý✫➢➤➠✞✟✠❂(➏ ❙) r ä ✰Þß☎✥✫➩➫✦✧ù✫♦øtP➋➃❅✡☛➟ X∞ n=1 yn(x)y ∗ n(x 0 ) = δ(x − x 0 ). • Û ⑩☞✫tÑ 3 ✛ 4 ➃ ❅✌ã ✰ ➦ ⑥➝➩➫✦✧ê ❆☎✥✆✰ ✼ ➩➫✦✧✫♣ö❪÷➟➘✥ ✸ ♦ø✫Þß☎✥✦✧✍❂▼➅✰⑩✥✎ ❑✺✏♦ø✫Þß☎✥✦✧✍✫➣↔ú ➃ ê✑ ❂ • ➳➵✒■✓✔✕✥✖➃ ➐ t✰✻✲à✳✥✸ ➩➫➭➃➐ ✺ ➏✗ ✥ ✸ (✘t➀✏✫) ➩➫✦✧✰ ▼➜➃➐ ➉ ➏✙ ➅Þß❂➳ ✖✚➢➝✤ 25.3 ✎➣↔❂➙✻í◆➅✰✉➋➃❅✛✑ Schmidt ✫ Þß✆✜✢ (✣✤ 18.1 ✎) í✥Þß✆✰▼➜éÖ➃❅ Ý ã ✥ ✸ ♦ø✫Þß☎✥✦✧✍❂ • ✦➆⑩✰⑩☞✫ üý●❍➋➃❅✧★✜Ò✲✳✵✶ ✤ [a, b] ❑➁➂➃➄✫✦✧✰ (#) ➤✤➁ú ÿ lim N→∞ Z b a f(x) − X N n=1 cnyn(x) 2 dx = 0 ✫ ✶ ✣séÖ➟✩❂ ✪✫✬→✰⑩☞✏✳ ❴❏✮✯➩➫➭✫×✤t✛➩➫✦✧✫♦øt✫➣↔✰➩→➋ à❆⑨✭✭✮✫ (⑨✩➀❋❩✯➀❋❿❩✾✤✺❋⑨✩⑩✬✭➂➨✺✭✰) ✛ ç ✭✮✫ (⑨✩✺❋✰➊✬✭➂➨✤⑨✩⑩➀✭✰) ➩➫➭➯➲➳✷✖✚➢❂➙ Û ✳➉➸ ✺⑧➼✺ ✏✫❙ ❚✰❄❅P❪✱ ✲⑨✭➳✷❳➩➫➭➯➲❂➜➊✰✜➘✳✴✫➂✵✰✤✺✏✫ ✡ ✴ ❑❇✛✑➘✺❋⑨✩✫➢➤❂
Sturm- Liouville型方程的本征值问题 第5页 825.2 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 在前面几章中,我们讨论过几个常微分方程的本征值问题.涉及的微分方程有 X+AX=0 0; 1 d 它们可以归纳为下面的一般形式 dx p(z)s+[Ap(a)-q(=)ly=0 这种类型的方程称为 Sturm- Liouville型(简称S-L型)方程 ·不妨把SL型方程中的函数p(x),q(x)和p(x)限制为都是实函数,而且都满足必要的连续性 要求 ·p(x),称为权重函数 ·当权重函数p(x)=常数时,可以取为1 ·不恒为常数的权重函数,可以来源于正交曲面坐标系的使用(这时可以从 Laplace算符的具体 表达式中追寻到权重函数的踪迹;从根本上说,它反映了坐标长度单位是该变量的函数.可 以称之为来源于空间的几何描述的不均匀性),也可能来源于问题所涉及的物理性质的不均 匀性(例如,密度分布的不均匀).因此,就我们所关心的物理问题而言,不妨假设p(x)≥0, 而且,应当不恒为0 为了书写的紧凑,还可以引进算符 ≡ q(a) 的记号.这样,S-L型方程就可以改写成 Ly(r)= Ap(ar)y(a) S-L型方程附加上适当的边界条件,就构成S-L型方程的本征值问题.A称为本征值.对于 某一个本征值λ,满足SL方程及相应的边界条件的非零解就是本征函数 从微分方程来看,由于p(x)的出现,SL型方程(#)或(##)明显不同于方程 Lu(a)= Au(r)
Wu Chong-shi ➴➷➬➮➱ Sturm-Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥ ❦ 5 ❧ §25.2 Sturm–Liouville ✶✷✸✒✓✔✕✖✗ ✤✹☞❰✺ ❑✰④⑤➣↔✻❰ ✸ ③✬✭➂➨✫➩➫➭➯➲❂✼✽✫✬✭➂➨✺ X00 + λX = 0; d dx 1 − x 2 dy dx + h λ − m2 1 − x 2 i y = 0; 1 r d dr r dR dr + h λ − m2 r 2 i R = 0. ❫⑤➃❅ ☎✾✜s☞✫✥➡➢➤ d dx p(x) dy dx + [λρ(x) − q(x)] y = 0. (#) ➳ ✖❳✿✫➂➨✽ ✜ Sturm–Liouville ✿ (✟ ✽ S–L ✿) ➂➨ ❂ • ➏❀❁ S–L ✿➂➨ ❑✫✦✧ p(x), q(x) ✛ ρ(x) ➈❂✜❇✾➆✦✧✰➜➊❇❈❉Õ⑥✫❸❹t ⑥⑦❂ • ρ(x) ✰ ✽ ✜❃ Ï ✦✧❂ • ❆❃ Ï ✦✧ ρ(x) = ③✧ ■ ✰➃❅ ➞✜ 1 ❂ • ➏ ✹✜③✧✫❃ Ï ✦✧✰➃ ❅ →❄✳Þß ❅☞❆❇✇✫í✑ (➳■➃ ❅❈ Laplace ✮✯✫❶ö ✡❉➤ ❑❊❋ã ❃ Ï ✦✧✫●❍❿ ❈■➩⑩✬ ✰❫❏❑➘❆❇▲▼✠◆✾✴❖P✫✦✧❂➃ ❅✽ ✥✜→❄✳★✩✫❰◗❘✴✫ ➏ú❙ t) ✰P➃➐ →❄✳➯➲❄ ✼✽✫❚❯tÑ✫➏ú ❙ t (♥◆✰❱ ▼✭❲✫ ➏ú❙ ) ❂▼➅✰❪④⑤❄ ✏❳✫❚❯➯➲➜❨✰ ➏❀❩✚ ρ(x) ≥ 0 ✰ ➜➊✰à❆➏ ✹✜ 0 ❂ ✜➘✤➻✫❬❭✰➋➃❅❪❫✮✯ L ≡ − d dx p(x) d dx + q(x) (>) ✫❴❵❂ ➳ä✰ S–L ✿➂➨❪➃❅❛ ➻➟ Ly(x) = λρ(x)y(x). (##) S–L ✿➂➨❜✞⑩ ê ❆✫❊❋●❍✰❪÷➟ S–L ✿➂➨✫➩➫➭➯➲❂ λ ✽ ✜➩➫➭❂✲✳ ↕✥✸ ➩➫➭ λ ✰❈❉ S–L ➂➨✽qà✫❊❋●❍✫çèå❪✾➩➫✦✧❂ ❈ ✬✭➂➨→✌ ✰ Û ✳ ρ(x) ✫➼❝✰ S–L ✿➂➨ (#) ❩ (##) ❚❞ ➏ r✳➂➨ L 0 u(x) = λu(x). (z)
§25.2 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 第6页 但是,通过变量变换 u(x)=√p(x)y(x) 就可以将方程(#)化为(),其中 ds ocldz/+v(a) ()=Pa) v(x)= 1 d / p(a)dx Ldr vp(r)Ip(a) 方程()当然也还是SL型方程,只不过是一种特殊的SL型方程,权重函数为 的S-L型方程 定理251对于任意函数u1(x)和u2(x),恒有 uiLu2-(Lu1)"u2 d 其中 d (x) 推广到算符L La-d p(r) 因为在变换u(x)=Vp(x)y(x,2(x)=√(x)y(x)之下,有 uiL'u2-(Lu1)u2=y'Ly2-(Ly1)"y2 所以,对于任意函数y1(x)和y2(x) yiLy2-(Ly,)"y2 d yi 定理252在边界条件 o()u, duy 0 之下,算符L′是自伴的 将定理1的推论和定理2结合起来,立即得到:在边界条件 p(a)( 之下,算符L也是自伴的
Wu Chong-shi §25.2 Sturm–Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥ ❦ 6 ❧ ➙✾✰②✻❖P❖❡ u(x) = p ρ(x)y(x), ❪➃❅ ➝➂➨ (#) ✆✜ (z) ✰❨ ❑ L 0 = − d dx φ(x) d dx + ψ(x), φ(x) = p(x) ρ(x) , ψ(x) = − 1 p ρ(x) d dx h p(x) d dx 1 p ρ(x) i + q(x) ρ(x) . ➂➨ (z) ❆ÖP➋✾ S–L ✿➂➨✰➦➏ ✻✾✥✖ ✂❢✫ S–L ✿➂➨✰❃ Ï ✦✧✜ 1 ✫ S–L ✿➂➨❂ ✘❣ 25.1 ✲✳✵✶ ✦✧ u1(x) ✛ u2(x) ✰✹✺ u ∗ 1L 0 u2 − L 0 u1 ∗ u2 = − d dx h φ(x) u ∗ 1 du2 dx − u2 du ∗ 1 dx i, ❨ ❑ L 0 = d dx φ(x) d dx − ψ(x). ❤✐❥❀❁ L ❂ L ≡ − d dx p(x) d dx + q(x) ▼✜✤❖❡ u1(x) = p ρ(x)y1(x), u2(x) = p ρ(x)y2(x) ✥s✰✺ u ∗ 1L 0 u2 − L 0 u1 ∗ u2 = y ∗ 1Ly2 − (Ly1) ∗ y2. ❄❅✰✲✳✵✶ ✦✧ y1(x) ✛ y2(x) ✰ y ∗ 1Ly2 − (Ly1) ∗ y2 = − d dx h p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx i. ✘❣ 25.2 ✤❊❋●❍ φ(x) u ∗ 1 du2 dx − u2 du ∗ 1 dx b a = 0 ✥s✰✮✯ L 0 ✾ ❴❏✫❂ ➝✢❯ 1 ✫❦↔✛✢❯ 2 ❧♠①→✰✩✻Ýã Ò✤❊❋●❍ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx b a = 0 (~) ✥s✰✮✯ L P✾ ❴❏✫❂
orville型方程的本征值问题 第7页 在什么情况下,边界条件()能够成立? ·第一种情况是在端点x=a和x=b,均有 如果犰和y在两端点均满足第一、二、三类边界条件,则(△)式成立 例如,在x=a ayi(a)-Bv(a)=0,i=1,2,a和β均为(正)实数 取复共轭,还可以得出 )-6v(a)=0, 1 由于a和B不可能同时为0,故有 yi(a) yi(a) yi(a)2(a)-y2(ad(a)=0 y2(a) y(a) 2.如果p(x)在端点(例如,x=a)处为0,这时x=a点是方程的奇点.假定p(x),q(x)和 p(x)满足一定的要求,使得r=a点是方程的正则奇点,而且第一解有界,第二解无界 在附加上有界条件去掉无界解后,就有 (- 例如 p(a)=0,p(a)≠0,p(x)和(x-a)q(x)均在x=a点解析 p(a)=0,p(a)=0,p(a)≠0,p(x)和q(x)均在x=a点解析 这在我们讨论过的实际问题中是能够满足的 ·另一种情况是 p(r)yi dx 但不为0,这时(△)式也成立.如果 p(a)=p(b), q(a)=q(b), p(a)=p(b) 并且 v(a)=v(b),v(a)=v(b),i=1,2, 显然就可以满足这个要求.这正是讨论过的周期条件的情形
Wu Chong-shi ➴➷➬➮➱ Sturm-Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥ ❦ 7 ❧ ✤♥♦✚♣s✰❊❋●❍ (~) ➐ ❷➟✩ q • r✥✖✚♣✾✤s✰ x = a ✛ x = b ✰ ú ✺ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx = 0. (M) 1. ◆❖ y1 ✛ y2 ✤ ✷ s✰ú ❈❉r✥❯❱❯❲❳❊❋●❍✰✼ (M) ➤➟✩❂ ♥◆✰✤ x = a ✰✰ αyi(a) − βy0 i (a) = 0, i = 1, 2, α ✛ β ú ✜ (Þ) ➆✧✰ ➞➥ÙÚ✰➋➃❅ Ý➼ αy∗ i (a) − βy∗ i 0 (a) = 0, i = 1, 2. Û ✳ α ✛ β ➏ ➃ ➐ r ■ ✜ 0 ✰t✺ y ∗ 1 (a) y ∗0 1 (a) y2(a) y 0 2 (a) = y ∗ 1 (a)y 0 2 (a) − y2(a)y ∗0 1 (a) = 0. 2. ◆❖ p(x) ✤s✰ (♥◆✰ x = a) ✉✜ 0, ➳■ x = a ✰✾➂➨✫✭✰❂ ❩ ✢ p(x), q(x) ✛ ρ(x) ❈❉✥✢✫⑥⑦✰íÝ x = a ✰✾➂➨✫Þ✼ ✭✰✰➜➊r✥å✺❋✰r❱å➀❋❂ ✤❜✞⑩✺❋●❍✈ ✕ ➀❋å✇✰❪✺ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=a = 0. ♥◆ p(a) = 0, p0 (a) 6= 0, ρ(x) ✛ (x − a)q(x) ú ✤ x = a ✰å① ❩ p(a) = 0, p0 (a) = 0, p00(a) 6= 0, ρ(x) ✛ q(x) ú ✤ x = a ✰å①, ➳ ✤④⑤➣↔✻✫➆➇➯➲ ❑✾➐ ❷❈❉✫❂ • ➛✥✖✚♣✾ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=a = p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=b , ➙ ➏ ✜ 0 ✰ ➳■ (M) ➤P➟✩❂◆❖ p(a) = p(b), q(a) = q(b), ρ(a) = ρ(b), ➉➊ yi(a) = yi(b), y0 i (a) = y 0 i (b), i = 1, 2, ❞Ö❪➃❅ ❈❉➳✸⑥⑦❂➳ Þ✾➣↔✻✫❬❭●❍✫✚➢❂
§25.3 Sturm- Liouville型方程本征值问题的简并现象 第8页 §25.3 Stur- Liouville型方程本征值问题的简并现象 对应一个本征值有不只一个(线性无关的)本征函数的现象,称为简并或退化 由于S-L型方程是二阶线性常微分方程,所以,对应一个本征值最多只能有两个(线 性无关的)本征函数 在什么条件下,S-L型方程的本征值问题是简并的?在什么条件下是非简并的? 定理25.3如果SL型方程本征值问题的一个本征函数是复的,且其实部和虚部线性无关, 则此本征值问题是二重简并的 证根据定理所设,本征函数y(x)是复的,其实部和虚部分别为f(x)和g(x), y(a)= f()+ig(r) 则SL型方程可以写成 L(f +ig)= Ap(f +ig) 由于算符L是实算符,权重函数p(x)是实函数,且本征值A为实数,故将上式分别比较实部和虚 部,就得到 这说明f(x)和g(x)都是对应于同一个本征值A的本征函数,它们的线性无关性在定理的已知条 件中已经作了明确的限定 还必须证明f(x)和g(x)也满足原本征值问题的边界条件,这时只要注意到边界条件也是线 性齐次的,并且可能出现的系数也是实数,于是在边界条件中也分别比较实部和虚部即可.口 定理25.4设(x)和v(x)都是SL型方程本征值问题 的两个实的线性无关的本征函数,并且在x=a和x=b点都单独满足边界条件 p(( p()(yi 则1(x)和y2(x)不可能对应于同一个本征值 证用反证法.设n(x)和v2(x)对应于同一个本征值A, Ly2= Apy2 因此 91 Ly2-y2Ly1=0 注意v(x)和()都是实函数,(x)=1(x),(x)=m(x),所以根据上节定理1的推论,就有 d// 于是 p(r)(y =常数C
Wu Chong-shi §25.3 Sturm–Liouville ✃❐❒❢❣❤✐❥❡②③④⑤ ❦ 8 ❧ §25.3 Sturm–Liouville ✶✷✸✓✔✕✖✗✒⑥⑦⑧⑨ ✲à✥✸ ➩➫➭✺➏➦ ✥ ✸ (✘t➀✏✫) ➩➫✦✧✫❝⑩✰ ✽ ✜✟➉❩❶✆❂ Û ✳ S–L ✿➂➨✾❱❺✘t③✬✭➂➨✰❄❅✰✲à✥✸ ➩➫➭❷❸➦➐ ✺ ✷✸ (✘ t➀✏✫) ➩➫✦✧❂ ✤♥♦●❍s✰ S–L ✿➂➨✫➩➫➭➯➲✾✟➉✫ q✤♥♦●❍s✾ç ✟➉✫ q ✘❣ 25.3 ◆❖ S–L ✿➂➨➩➫➭➯➲✫✥✸ ➩➫✦✧✾➥✫✰➊❨➆❹✛❺❹✘t➀✏✰ ✼ ➅➩➫➭➯➲✾❱Ï ✟➉✫❂ Ø ■❻✢❯ ❄ ✚✰➩➫✦✧ y(x) ✾➥✫✰❨➆❹✛❺❹✭ ✄ ✜ f(x) ✛ g(x) ✰ y(x) = f(x) + ig(x). ✼ S–L ✿➂➨➃❅ ➻➟ L(f + ig) = λρ(f + ig). Û ✳✮✯ L ✾➆✮✯✰❃ Ï ✦✧ ρ(x) ✾➆✦✧✰➊➩➫➭ λ ✜➆✧✰t➝⑩➤✭✄ ❼❽➆❹✛❺ ❹✰❪Ýã Lf = λρf, Lg = λρg. ➳✬ ❚ f(x) ✛ g(x) ❇✾✲à✳r✥✸ ➩➫➭ λ ✫➩➫✦✧✰❫⑤✫✘t➀✏t✤✢❯✫ ➚❾● ❍ ❑➚➪❿➘ ❚➺✫➈✢❂ ➋Õ➀❙ ❚ f(x) ✛ g(x) P❈❉➁➩➫➭➯➲✫❊❋●❍❂➳■➦ ⑥ â✶ã❊❋●❍P✾✘ t➽➾✫✰➉➊➃➐ ➼❝✫✇✧P✾➆✧✰✳✾✤❊❋●❍ ❑P✭✄ ❼❽➆❹✛❺❹✻➃❂ ✘❣ 25.4 ✚ y1(x) ✛ y2(x) ❇✾ S–L ✿➂➨➩➫➭➯➲ Ly(x) = λρ(x)y(x). ✫ ✷✸➆✫✘t➀✏✫➩➫✦✧✰➉➊✤ x = a ✛ x = b ✰❇✠➂❈❉❊❋●❍ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=a = p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=b = 0, (#) ✼ y1(x) ✛ y2(x) ➏ ➃ ➐ ✲à✳r✥✸ ➩➫➭ λ ❂ Ø ✑ ❏❙➃❂✚ y1(x) ✛ y2(x) ✲à✳r✥✸ ➩➫➭ λ ✰ Ly1 = λρy1, Ly2 = λρy2, ▼➅ y1Ly2 − y2Ly1 = 0, â✶ y1(x) ✛ y2(x) ❇✾➆✦✧✰y ∗ 1 (x) = y1(x) ✰y ∗ 2 (x) = y2(x) ✰ ❄❅■❻⑩✎✢❯ 1 ✫❦↔✰❪✺ d dx p(x) y1 dy2 dx − y2 dy1 dx = 0. ✳✾ p(x) y1 dy2 dx − y2 dy1 dx = ③✧ C.
五讲 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 第9页 而根据定理给出的已知条件(#),就应有 p(a), dya 但因为p(x)≠0,故有 n(,m()=p() ≡0. i(a) y5() 这说明(x)和v(x)线性相关,与已知条件矛盾.所以m(x)和v2(x)不可能对应于同一个本征 值.口 这个定理就告诉我们,在一、二、三类(齐次)边条件或(和)有界条件下,S-L型方程 本征值问题不可能是简并的.就本书所讨论过的几种类型的边界条件而言,只有在周期 条件之下,本征函数在区间的每一个端点并不单独满足(#),才有可能发生简并现象
Wu Chong-shi ➴➷➬➮➱ Sturm-Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥ ❦ 9 ❧ ➜ ■❻✢❯⑧➼✫ ➚❾●❍ (#) ✰❪à✺ p(x) y1 dy2 dx − y2 dy1 dx ≡ 0. ➙▼✜ p(x) 6≡ 0 ✰t✺ y1 dy2 dx − y2 dy1 dx ≡ 0, ✻ W y1(x), y2(x) ≡ y1(x) y2(x) y ∗ 1 (x) y ∗ 2 (x) ≡ 0. ➳✬ ❚ y1(x) ✛ y2(x) ✘tq✏✰➄ ➚❾●❍➅➆❂ ❄❅ y1(x) ✛ y2(x) ➏ ➃ ➐ ✲à✳r✥✸ ➩➫ ➭❂ ➳✸✢❯❪➇➈④⑤✰✤✥❯❱❯❲❳ (➽➾) ❊●❍❩ (✛) ✺❋●❍s✰S–L ✿➂➨ ➩➫➭➯➲➏ ➃ ➐ ✾✟➉✫❂❪➩✤ ❄ ➣↔✻✫❰✖❳✿✫❊❋●❍➜❨✰ ➦ ✺✤❬❭ ●❍✥s✰➩➫✦✧✤⑨✩✫➉✥ ✸ s✰➉ ➏ ✠➂❈❉ (#) ✰ ➧✺➃➐➊➋✟➉❝⑩❂
525.4从 Sturm- Liouville型方程的本征值问题看分离变量 第10页 §25.4从 Sturm- Liouville型方程的本征值问题看分离变量法 仍以弦的横振动问题为例 对于两端固定弦的自由振动,定解问题是 0 00; u=o=0.a==0 >0 u==6a)m|=()0<x< 根据25.1节和25.2节的讨论可知,如果存在一个S-L方程的本征值问题 X x(0)=0,X()=0 那么,由于它的边界条件和定解问题的边界条件形式完全相同,因此,可以将定解问题的解a(x, 按照本征函数的全体{Xn(x),n=1,2,3,…}(为方便起见,假设本征函数均已归一化)展开, n(x,1)=∑Ta()xa() 这里,本征函数组的完备性起了决定性的作用为了保证∑Tn()xn(x)能够收敛 至少是平均收敛)到解u(x,t),这里的求和必须遍及全部本征函数.绝不可以无理由 地摈弃若干个本征函数 否则,尽管在形式上似乎仍能求到一个级数“解”,但它绝不可能收敛到真正的解u(x,t) 将解式代入方程,有 0. 用xt(x)乘上式两端,然后在区间0.4上积分,就得到 Tn(t)-a(Xn, Xm)Tm(t)=0, m=1, 2, 3 再将初始条件也按这一组本征函数展开,得到 Tn(0)=(Xn,),Tn(0)=(Xn,v) 如果能够求出Tn(t),代回到解式中,当然就求出了定解问题的解u(x,t) 这里要求解的是关于未知函数{Tn(t),n=1,2,3,…}的常微分方程组.一般说来,这 还是比较困难的 弄清楚了齐次边界条件在分离变量法中的决定性作用后,非齐次方程的情形就迎刃而解了
Wu Chong-shi §25.4 ➌ Sturm–Liouville ✃❐❒❡❢❣❤✐❥➍➎➏➐➑➒ ❦ 10 ❧ §25.4 ➓ Sturm–Liouville ✶✷✸✒✓✔✕✖✗➔→➣↔↕➙ é ❅➛ ✫➜➝➞➯➲✜♥❂ ✲✳✷ s ➟✢ ➛ ✫ ❴ Û ➝➞✰✢å➯➲✾ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0; u x=0 = 0, u x=l = 0, t > 0; u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), 0 < x < l. ■❻ 25.1 ✎✛ 25.2 ✎✫➣↔➃❾✰◆❖×✤✥✸ S–L ➂➨✫➩➫➭➯➲ LX = λρX, X(0) = 0, X(l) = 0, ➠ ♦✰ Û ✳❫✫❊❋●❍✛✢å➯➲✫❊❋●❍➢➤♦♣qr✰▼➅✰➃ ❅ ➝✢å➯➲✫å u(x, t) û➡➩➫✦✧✫♣ö {Xn(x), n = 1, 2, 3, · · ·} (✜➂✵①✣✰ ❩ ✚➩➫✦✧ú ➚☎✥✆) üý✰ u(x, t) = X∞ n=1 Tn(t)Xn(x). ➳➵✰➩➫✦✧ù✫♦øt①➘➢✢t✫❿ ✑ ❂✜➘➤❙ P∞ n=1 Tn(t)Xn(x) ➐ ❷ÿ (❼❽✾➁ú ÿ) ã å u(x, t) ✰ ➳➵✫⑦✛Õ➀➥✽ ➦➧ ➩➫✦✧❂➎➏➃ ❅ ➀❯ Û ➨➩➫✱➭ ✸ ➩➫✦✧❂ ➯✼ ✰ ➲➳✤➢➤⑩➵➸é ➐ ⑦ ã ✥ ✸ ✁✧ ➺å➻✰➙❫➎➏➃ ➐ ÿ ã➼ Þ✫å u(x, t) ❂ ➝å➤➽➾➂➨✰✺ X∞ m=1 T 00 m(t)Xm(x) − a 2 X∞ m=1 Tm(t)X 00 m(x) = 0. ✑ X∗ n (x) æ⑩➤✷ s✰Ö✇✤⑨✩ [0, l] ⑩➄✭✰❪Ýã T 00 n (t) − a 2 X∞ m=1 (Xn, X00 m)Tm(t) = 0, m = 1, 2, 3, · · · . ➚ ➝➪➶●❍Pû➳ ✥ù➩➫✦✧üý✰Ýã Tn(0) = (Xn, φ), T 0 n (0) = (Xn, ψ). ◆❖➐ ❷⑦➼ Tn(t) ✰➽ ➹ã å➤ ❑✰❆Ö❪⑦➼➘✢å➯➲✫å u(x, t) ❂ ➳➵⑥⑦å✫✾✏✳✱❾✦✧ {Tn(t), n = 1, 2, 3, · · ·} ✫③✬✭➂➨ù❂✥➡✬ →✰➳ ➋✾ ❼❽➘➴✫❂ ➷➬➮➘➽➾❊❋●❍✤✭➒ ❖P➃ ❑✫➢✢t❿ ✑ ✇✰ ç ➽➾➂➨✫✚➢❪➱✃➜å➘❂