第五讲无穷级数(续) 35.1幂级数 幂级数通常是指通项为幂函数的函数项级数 ∑n(z-a)2=m+(z-a)+c(2-a)2+…+cn(z-a)2+ 这是一种特殊形式的函数项级数,也是最基本、最常用的一种函数项级数. 定理51Abel(第一)定理如果级数∑cn(x-a)在某点x0收敛,则在以a点为圆心 20-a|为半径的圆内绝对收敛,而在|z-a|≤r(r121-a)内收敛,与原设矛盾.故级数∑cn(z-a)2 在圆|z-a|=|21-a外处处发散.口
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 1 ✠ ✡☛☞ ✌ ✍ ✎ ✏ (✑) §5.1 ✒ ✓ ✔ ✕✖✗✘✙✚✛✘✜✢✕✣✗✤✣✗✜✖✗✥ X∞ n=0 cn(z − a) n = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) 2 + · · · + cn(z − a) n + · · · . ✦✚✧★✩✪✫✬✤✣✗✜✖✗✥✭✚✮✯✰✱✮✙✲✤✧★✣✗✜✖✗✳ ✴✵ 5.1 Abel(✶✷) ✴✵ ✸✹✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺✻✼ z0 ✽✾✥✿✺❀ a ✼✢ ❁❂✥ |z0 − a| ✢❃❄✤ ❁❅❆❇✽✾✥❈✺ |z − a| ≤ r(r |z1 − a|) ❅ ✽✾✥❡❢❣❤✐✳❍✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ❁ |z − a| = |z1 − a| ❪❫❫❬❭✳
收敛圆与收敛半径由于一个级数在z平面上的任意一点,总是要么收敛,要么发散.因此 对于幂级数来说,就出现了这样的情况:在z平面上一部分点幂级数收敛,在另外一部分点幂级 数发散.这些收敛点与发散点之间存在一个分界线 ★根据Abel定理,这个分界线一定是圆.这个圆,就称为幂级数的收敛圆 ★收敛圆的圆心:2=a点 ★收敛圆的半径称为收敛半径 收敛半径可以是0.这时,收敛圆退化为一个点.除z=a点外,幂级数在全平面处处发散 收敛半径也可以是∞.这时收敛圆就是全平面.幂级数在全平面收敛,但∞点肯定是奇点 求幂级数的收敛半径的办法,常用的有两个 1.根据 Cauchy判别法,当 lim Icn(z-a) " I/ 1 Ep Iz-al 时级数发散.因此,幂级数∑cn(z-a)n的收敛半径是 R Cn//n 2.根据 d' Alembert判别法,如果 in/sn+1(2-a)x+1 l2-a| lim n+1 存在,则当 n+1 02-y|im 时级数发散.因此,幂级数∑cn(z-a)的收敛半径是 这两个求收敛半径的公式各有优缺点, Cauchy公式是普遍成立的,而 d'Alembert公式 则是有条件的(要求极限 lim e/cn艹l存在)·但当后者能适用时,往往计算更简单些
Wu Chong-shi §5.1 ❥ ✆ ✝ ✟ 2 ✠ ❦❧♠♥❦❧♦♣ qr✧s✖✗✺ z t✉✈✤✇①✧✼✥②✚▼③✽✾✥▼③❬❭✳●P✥ ❇r✕✖✗④⑤✥⑥⑦⑧⑨✦⑩✤❶❷❸✺ z t✉✈✧❹❺✼✕✖✗✽✾✥✺❻❪ ✧❹❺✼✕✖ ✗ ❬❭✳✦❼✽✾✼❡ ❬❭✼❽❾◗✺✧s❺❿➀✳ F ➁➂ Abel ■❝✥✦s❺❿➀✧■✚ ❁✳✦s ❁✥⑥➃✢✕✖✗✤ ❦❧♠ ✳ F ✽✾ ❁✤ ❁❂❸ z = a ✼✳ F ✽✾ ❁✤❃❄➃✢ ❦❧♦♣ ✳ ✽✾❃❄➄❀✚ 0 ✳✦ ❱ ✥ ✽✾ ❁➅➆✢✧s✼✳➇ z = a ✼❪ ✥✕✖✗✺➈t✉❫❫❬❭✳ ✽✾❃❄✭➄❀✚ ∞ ✳✦ ❱✽✾ ❁⑥✚➈t✉✳✕✖✗✺➈t✉✽✾✥➉ ∞ ✼➊■✚➋✼✳ ➌✕✖✗✤✽✾❃❄✤➍❛✥✙✲✤➎➏s❸ 1. ➁➂ Cauchy ➐➑❛✥❲ limn→∞ |cn(z − a) n | 1/n 1 ❯ |z − a| > 1 limn→∞ |cn| 1/n ❱ ✖✗❬❭✳●P✥✕✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✤ ✽✾❃❄✚ R = 1 limn→∞ |cn| 1/n = lim n→∞ 1 cn 1/n . 2. ➁➂ d’Alembert ➐➑❛✥✸✹ limn→∞ cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n = |z − a| limn→∞ cn+1 cn ◗✺✥✿❲ limn→∞ cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n 1 ❯ |z − a| > limn→∞ cn cn+1 ❱ ✖✗❬❭✳●P✥✕✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✤ ✽✾❃❄✚ R = limn→∞ cn cn+1 . ➓➔→➣↔↕➙➛➜➝➞➟➠➡➢➤✳ Cauchy ➝➞➥➦➧➨➩➜✥➫ d’Alembert ➝➞ ➭➥➠➯➲➜ (➳ ➣➵➸ limn→∞ |cn/cn+1| ➺➻) ✳➼ ➽➾➚➪➶➹➘✥➴➴➷➬➮ ➱✃❐✳
由于幂级数∑cn(z-a)的每一项都是z的解析函数,Abel定理告诉我们,幂级数在其收 敛圆内任一闭区域中一致收敛,因此,根据4.2节,在收敛圆内,幂级数代表了一个解析函数(或 者说,幂级数的和函数在收敛圆内解析),可以对幂级数逐项积分或逐项求导数, (2-a)"dz ∑[(z-a)+1-(2 d dz ∑cn+1(n+1)(2-a) 幂级数在收敛圆上的收敛性? 可以处处收敛 可以处处发散, 也可以在一部分点收敛,在另一部分点发散 1+z+2+…+zn+ 在|2|=1上处处发散; 在|=1上除z=1外均收敛,而在z=1点发散; 1.22.33.4 +…在|2|=1上处处收敛 不论哪种情况,幂级数的收敛圆上总肯定有奇点. 但即使在奇点,幂级数仍然可能是收敛的(即有确定的函数值) 设幂级数∑cn(2-a)在收敛圆内收敛到f(x),如果级 数在收敛圆周上某点20也收敛,和为S(∞0),则阿贝耳第二 定理(不证)告诉我们,当z由收敛圆内趋于20时,只要保持 在以20为顶点、张角为2<丌的范围内(见图5.1),f(z)就 定趋于S(20) 图5.1阿贝耳第二定理
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 3 ✠ qr✕✖✗ P∞ n=0 cn(z − a) n ✤❒✧✜❮✚ z ✤❰Ï✣✗✥ Abel ■❝ÐÑÒÓ✥✕✖✗✺Ô✽ ✾ ❁❅✇✧ÕÖ× ❉ ✧❊✽✾✥●P✥ ➁➂ 4.2 Ø ✥✺ ✽✾ ❁❅✥✕✖✗ÙÚ⑨✧s❰Ï✣✗ (Û Ü⑤✥✕✖✗✤Ý✣✗✺ ✽✾ ❁❅❰Ï) ✥➄❀❇✕✖✗Þ✜ß❺Û Þ✜➌à✗✥ Z z z0 X∞ n=0 cn(z − a) n dz = X∞ n=0 cn Z z z0 (z − a) n dz = X∞ n=0 cn n + 1 (z − a) n+1 − (z0 − a) n+1 , d dz X∞ n=0 cn(z − a) n = X∞ n=0 cn d(z − a) n dz = X∞ n=0 cn+1(n + 1)(z − a) n . F ✕✖✗✺ ✽✾ ❁ ✈ ✤ ✽✾á â • ➄❀❫❫✽✾✥ • ➄❀❫❫❬❭✥ • ✭➄❀✺✧❹❺✼ ✽✾✥✺❻✧❹❺✼ ❬❭✳ 1 + z + z 2 + · · · + z n + · · · ✺ |z| = 1 ✈❫❫❬❭➒ z 1 + z 2 2 + z 3 3 + · · · + z n n + · · · ✺ |z| = 1 ✈ ➇ z = 1 ❪ã✽✾✥❈✺ z = 1 ✼ ❬❭➒ z 2 1 · 2 + z 3 2 · 3 + z 4 3 · 4 + · · · + z n n(n − 1) + · · · ✺ |z| = 1 ✈❫❫✽✾✳ äåæ★❶❷✥✕✖✗✤✽✾ ❁ ✈ ②➊■➎➋✼✳ ➉ ❯ ❙✺➋✼✥✕✖✗ç❞➄è✚✽✾✤ (❯ ➎é■✤✣✗ê) ✳ ❣✕✖✗ X∞ n=0 cn(z − a) n ✺ ✽✾ ❁❅✽✾ë f(z) ✥✸✹✖ ✗✺ ✽✾ ❁ì✈✻✼ z0 ✭ ✽✾✥Ý✢ S(z0) ✥✿ íîï✶ð ✴✵ (ä❵ ) ÐÑÒÓ✥❲ z q ✽✾ ❁❅ñr z0 ❱ ✥ò▼óô ✺❀ z0 ✢õ✼✱ö÷✢ 2φ < π ✤ø ù❅ (úû 5.1) ✥ f(z) ⑥ ✧■ñr S(z0) ✳ ü 5.1 ýþÿ✟✁✂
52含参量的反常积分的解 §5.2含参量的反常积分的解析性 §53中有关函数级数解析性的结论,也可以用来讨论含参量的反常积分的解析性 定理 1.∫(t,z)是t和z的连续函数,t>a 2.对于任何t≥a,∫(t,2)是G上的单值解析函数, 3.积分/f(t,2)t在百上一致收敛,即v>0,彐(),当12>71>T()时,有 f(t,2) 则F()=/()d在G内是解析的,且 F(a) 证任取一个无界序列{an} a0=a<a1<a2<a3<……<an<an+1< lim an =oo. 令u()=”(3),则根据37节关于含参量的定积分的解析性的定理,可知()是G内 的单值解析函数.又因为 在石上一致收敛,故根据 Weierstrass定理,知 F(2)=∑un(2) f(t, a)dt 在G内解析,且 F(2)=∑v(2) af (t, 2) 对于含参量的瑕积分也可以类似地处理 在应用这个定理时,需要判断无穷积分(或瑕积分)是否一致收敛.常用的判别法是:如果存 在函数(),使得(2)<(,2∈7,而且厂收敛,则厂(2在可上绝对而且 致收敛 作为含参量的无穷积分的一个例子,下面讨论积分 F(2) 这个积分中的被积函数显然满足定理的前两个条件,而且因为对于复数z=x+iy,有 Icos 2xt|=vcosh22yt-cos22-t s cosh 2 lytl s e2lytl
Wu Chong-shi §5.2 ✄☎✆✝✞✟✠✡✝☛☞✌ ✟ 4 ✠ §5.2 ✍✎✏✑✒✓✔✕✑✖✗✘ §5.3 ❉ ➎✙✣✗✖✗❰Ïá ✤✚å✥✭➄❀✲④✛å✜✢✣✤❴✙ß❺✤❰Ïá ✳ ✴✵ 5.2 ❣ 1. f(t, z) ➥ t ✤ z ➜✥✦✧★✥ t > a ✥ z ∈ G ✥ 2. ✩✪✫✬ t ≥ a ✥ f(t, z) ➥ G ✭ ➜✃✮✯✰✧★✥ 3. ✱✲ Z ∞ a f(t, z)dt ➻ G ✭✳✴↔↕✥✵ ∀ε > 0 ✥ ∃T (ε) ✥➽ T2 > T1 > T (ε) ➘✥➠ Z T2 T1 f(t, z)dt < ε, ✿ F(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ✺ G ❅✚❰Ï✤✥✶ F 0 (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ❋ ✇✷✧s ✸✹ ✺✻ {an} a0 = a < a1 < a2 < a3 < · · · < an < an+1 < · · · , limn→∞ an = ∞. ✼ un(z) = Z an+1 an f(t, z)dt ✥✿ ➁➂ 3.7 Ø ✙r✜✢✣✤■ß❺✤❰Ïá ✤■❝✥➄✽ un(z) ✚ G ❅ ✤✾ê❰Ï✣✗✳✿●✢ F(z) = X∞ n=0 un(z) ✺ G ✈ ✧❊✽✾✥❍➁➂ Weierstrass ■❝✥✽ F(z) = X∞ n=0 un(z) = Z ∞ a f(t, z)dt ✺ G ❅❰Ï✥✶ F 0 (z) = X∞ n=0 u 0 n (z) = Z ∞ a ∂f(t, z) ∂z dt. ❇r✜✢✣✤❀ß❺✭➄❀❁❂❃❫ ❝✳ ✺❄✲✦s■❝ ❱ ✥❅▼ ➐❆❇❈ß❺ (Û ❀ß❺) ✚❉✧❊✽✾✳✙✲✤➐➑❛✚❸ ❊❋➺ ➻ ✧★ φ(t) ✥●❍ |f(t, z)| < φ(t) ✥ z ∈ G ✥➫■ Z ∞ a φ(t)dt ↔↕✥➭ Z ∞ a f(t, z)dt ➻ G ✭❏✩➫■ ✳✴↔↕✳ ❑✢✜✢✣✤ ❇❈ß❺✤✧s▲▼✥◆ ✉ ✛åß❺ F(z) = Z ∞ 0 e −t 2 cos 2zt dt. (5.1) ✦sß❺ ❉ ✤❖ß✣✗P❞❏❑■❝✤◗➏s◆❖✥❈✶●✢❇r❘✗ z = x + iy ✥➎ |cos 2zt| = q cosh2 2yt − cos22xt ≤ cosh 2 |yt| ≤ e 2|yt| .
所以,对于z平面上的任意一个闭区域上,|Imx<v,于是, 而积分/e-+2odt收敛,所以含参量的无穷积分(1)一致收敛,因此,这个积分作为z的函 数,在z平面上的任意一个区域内解析.更进一步,就有 F(2) e 2t sin 22t dt e- sin 2zt-2z/e-t cos 2t dt=-22F() 解这个微分方程,就可以得到F(x)=Ce-2,其中常数C是 这样,最后就得到 e-t cos 22t dt==VTe
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 5 ✠ ❚❀✥❇r z t✉✈✤✇①✧sÕÖ×✈ ✥ |Im z| < y0 ✥r✚✥ e −t 2 cos 2zt < e −t 2+2y0t , ❈ß❺ Z ∞ 0 e −t 2+2y0tdt ✽✾✥❚❀✜✢✣✤ ❇❈ß❺ (5.1) ✧❊✽✾✥●P✥✦sß❺❑✢ z ✤✣ ✗✥✺ z t✉✈✤✇①✧sÖ× ❅❰Ï✳❙❚✧❯✥⑥➎ F 0 (z) = − Z ∞ 0 e −t 2 2t sin 2zt dt = e−t 2 sin 2zt ∞ 0 − 2z Z ∞ 0 e −t 2 cos 2zt dt = −2zF(z). ❰✦s❱❺❲❳✥⑥➄❀❨ ë F(z) = Ce −z 2 ✥Ô ❉ ✙✗ C ✚ C = F(0) = Z ∞ 0 e −t 2 dt = 1 2 √ π, ✦⑩✥✮❩⑥❨ ë Z ∞ 0 e −t 2 cos 2zt dt = 1 2 √ π e −z 2
5.3解析函数的 Taylor展开 第6页 5.3解析函数的 Taylor展开 个幂函数在它的收敛圊內代表一个解析函数 如何把一个解析函数表示成幂级数? 定理5.1( Taylor)设函数f(x)在以a为圆心的圆C内及C上解析,则对于圆内的任何 点,f(2)可用幂级数展开为(或者说,f(2)可在a点展开为幂级数) f(a) n=0 其中 f() 2ni。(-a)m C取逆时针方向① 证根据 Cauchy积分公式,对于圆C内任意一点z,有 f()= f() 2πiJ 但是 此级数在≤r<1的区域中一致收敛,因此可以逐项积分 ()=如 h=o(-a)n+//()ds (-a) riSc(c ayn+ids=/m(a) f() 说明 1.定理的条件可以放宽,只要f(2)在C内解析即可 这时对于給定的z,总可以以a为圆心作一圆C',把z包围在圆内.∫(2)在C"内及 C"上是解析的 ①以后的围道积分,除特别说明的以外,均为逆时针方向
Wu Chong-shi §5.3 ☛☞❬✝ ✝ Taylor ❭❪ ✟ 6 ✠ §5.3 ✖✗❫✔✑ Taylor ❴❵ ✳ →❛✧★➻❜ ➜↔↕ ❝❞❡❢✳ →✯✰✧★✳ ❊ ✬❣✳→✯✰✧★❢❤➨❛✐★ â ✴✵ 5.1 (Taylor) ❣✣✗ f(z) ✺❀ a ✢ ❁❂✤ ❁ C ❅❥ C ✈ ❰Ï✥✿❇r ❁❅✤✇❦ z ✼✥ f(z) ➄✲✕✖✗❧♠✢ (Û Ü⑤✥ f(z) ➄✺ a ✼❧♠✢✕✖✗) f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , Ô ❉ an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! , C ✷♥❱♦ ❲ ♣ q ✳ ❋ ➁➂ Cauchy ß❺r✬✥❇r ❁ C ❅✇①✧✼ z ✥➎ f(z) = 1 2π i I C f(ζ) ζ − z dζ. ➉✚✥ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a X∞ n=0 z − a ζ − a n . P✖✗✺ z − a ζ − a ≤ r < 1 ✤Ö× ❉ ✧❊✽✾✥●P➄❀Þ✜ß❺✥ f(z) = 1 2π i I C "X∞ n=0 (z − a) n (ζ − a) n+1 # f(ζ)dζ = X∞ n=0 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ (z − a) n = X∞ n=0 an(z − a) n , an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! . ⑤ s❸ 1. ■❝✤◆❖➄❀t✉✥ò▼ f(z) ✺ C ❅❰Ï❯ ➄✳ ➓➘ ✩✪✈✇➜ z ✥①② ③③ a ④ ❝⑤⑥✳ ❝ C 0 ✥ ❣ z ⑦⑧➻ ❝❞✳ f(z) ➻ C 0 ❞⑨ C 0 ✭ ➥✯✰➜✳ q ⑩❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿➀➁❷⑩➂❼➃➄➅➆➇➈➉➊
2.这里 Taylor展开的形式和实变函数中的 Taylor公式相同,但是条件不同 ★在实变函数中,f(x)的任何阶导数存在,还不足以保证 Taylor公式存在(或 Taylor公式收 ★在复变函数中,解析的要求(一阶导数存在)就足以保证 Taylor级数收敛 3.收敛范围函数f(2)的奇点完全决定了 Taylor级数的收敛半径.设b是f(z)的离a点最 近的奇点,则一般说来,收敛半径R=|-叫 ∫(z)在圆|z-叫<-a内处处解析,f(z)可以在圆内展开为 Taylor级数(或者说 Taylor级数在圆|z-a<-a內收敛),这就是说,∫(z)的 Taylor级数收敛半径不小 于|-a 收敛半径一般也不能大于|-叫.否则,b点就包含在收敛圆内,因而幂级数在收敛 圆内处处解析,与b点为奇点的假设矛盾(除非b点是可去奇点,见55节) 1+=∑(-,<1 函数的奇点z=±就决定了 Taylor级数的收敛半径R=1±i=1 而在实数范围内, Taylor级数的收敛半径与函数性质之间的联系就难以讨论 ∑(-)"x2 <1, 就难以理解收敛半径为何是1,因为函数1/(1+x2)在整个实轴上都是连续可导、并且任何阶导数 都是存在的 4. Taylor展开的唯一性给定一个在圆C内解析的函数,则它的 Taylor展开是唯一的,即 展开系数an是完全确定的 证假定有两个 Taylor级数在圆C内都收敛到同一个解析函数f(z) f(z)=ao+a1(z-a)+a2(2-a)2+…+an(z-a)y+ 取极限z→a,则由于级数在C内的任一闭区域中一致收敛,故有 逐项微商,再取极限z→a,又得 如此继续,即可证得 Taylor展开的唯一性告诉我们
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ 7 ✠ 2. ✦➋ Taylor ❧♠✤✫✬Ý➌➍✣✗ ❉ ✤ Taylor r✬➎➏✥➉✚◆❖ä➏✳ F ✺➌➍✣✗ ❉ ✥ f(x) ✤✇❦➐à✗◗✺✥➑ä❑❀ó❵ Taylor r✬◗✺ (Û Taylor r✬ ✽ ✾) ✳ F ✺❘➍✣✗ ❉ ✥❰Ï✤▼➌ (✧➐à✗◗✺) ⑥❑❀ó❵ Taylor ✖✗✽✾✳ 3. ❦❧➒➓ ✣✗ f(z) ✤➋✼➔➈→■⑨ Taylor ✖✗✤✽✾❃❄✳❣ b ✚ f(z) ✤➣ a ✼✮ ↔✤➋✼✥✿✧↕⑤④✥✽✾❃❄ R = |b − a| ✳ f(z) ➻ ❝ |z − a| < |b − a| ❞➙➙✯✰✥ f(z) ② ③ ➻ ❝❞➛➜④ Taylor ✐★ (➝➚➞✥ Taylor ✐★➻ ❝ |z − a| < |b − a| ❞↔↕) ✳➓➟➥➞✥ f(z) ➜ Taylor ✐★↔↕➙➛➠➡ ✪ |b − a| ✳ ↔↕➙➛✳➢➤➠➪➥ ✪ |b − a| ✳➦➭✥ b ➤➟ ⑦➧➻ ↔↕ ❝❞✥➨➫❛✐★➻ ↔↕ ❝❞➙➙✯✰✥➩ b ➤ ④➫➤➜➭➯ ➲➳ (➵ ➸ b ➤➥②➺➫ ➤✥➻ 5.5 ➼) ✳ 1 1 + z 2 = X∞ n=0 (−) n z 2n , |z| < 1. ✣✗✤➋✼ z = ±i ⑥→■⑨ Taylor ✖✗✤✽✾❃❄ R = | ± i| = 1 ✳ ❈✺➌✗ø ù❅✥ Taylor ✖✗✤✽✾❃❄❡✣✗á➽❽❾✤➾➚⑥➪❀✛å✳ 1 1 + x 2 = X∞ n=0 (−) nx 2n , −1 < x < 1, ⑥➪❀❝❰ ✽✾❃❄✢❦✚ 1 ✥●✢✣✗ 1/(1 + x 2 ) ✺➶s➌➹✈ ❮✚➘➴➄à✱➷✶✇❦➐à✗ ❮✚◗✺✤ ➬ 4. Taylor ➮➱✃❐✷❒ ❮ ■✧s✺ ❁ C ❅❰Ï✤✣✗✥✿❰✤ Taylor ❧♠✚Ï✧✤✥❯ ❧♠➚✗ an ✚➔➈é■✤✳ ❋ Ð■➎➏s Taylor ✖✗✺ ❁ C ❅❮✽✾ë➏✧s❰Ï✣✗ f(z) ✥ f(z) = a0 + a1(z − a) + a2(z − a) 2 + · · · + an(z − a) n + · · · = a 0 0 + a 0 1 (z − a) + a 0 2 (z − a) 2 + · · · + a 0 n (z − a) n + · · · . ✷ÑÒ z→a ✥✿ qr✖✗✺ C ❅✤✇✧ÕÖ× ❉ ✧❊✽✾✥❍➎ a0 = a 0 0 . Þ✜❱Ó✥Ô✷ÑÒ z → a ✥✿❨ a1 = a 0 1 . ✸PÕ➴✥ ❯ ➄❵❨ an = a 0 n, n = 0, 1, 2, · · · . Taylor ❧♠✤Ï✧ á ÐÑÒÓ❸
解析函数的 Taylor展开 第8页 不论用什么方法,得到的f(x)在同一个圆内的 Taylor展开是唯一的.因此,不一定要用求 导数的办法定展开系数 如果在同一点展开的两个 Taylor级数相等,则可以逐项比较系数 必须是在同一点展开的两个 Taylor级数相等,才可以逐项比较系数. ·同一个函数在不同点展开得到的两个 Taylor级数,即使有公共的收敛区域,也不能直 接比较展开系数
Wu Chong-shi §5.3 ☛☞❬✝ ✝ Taylor ❭❪ ✟ 8 ✠ F äå✲Ö③❲❛✥❨ ë ✤ f(z) ✺➏✧s ❁❅✤ Taylor ❧♠✚Ï✧✤✳●P✥ä✧■▼✲➌ à✗✤➍❛■❧♠➚✗✳ F ✸✹ ✺➏✧✼❧♠ ✤➏s Taylor ✖✗➎×✥✿➄❀Þ✜ ØÙ➚✗✳ • ▲Ú✚✺➏✧✼❧♠✤➏s Taylor ✖✗➎×✥Û➄❀Þ✜ ØÙ➚✗✳ • ➏✧s✣✗✺ä➏✼❧♠❨ ë ✤➏s Taylor ✖✗✥❯ ❙➎rÜ✤ ✽✾Ö×✥✭äèÝ Þ ØÙ❧♠➚✗✳
