第一章集合与映射 习题1.1集合 1.证明由n个元素组成的集合7={a1,a2,…,an}有2"个子集。 解由k个元素组成的子集的个数为C 2.证明 (1)任意无限集必包含一个可列子集 (2)设A与B都是可列集,证明AUB也是可列集 证(1)设T是一个无限集,先取a1∈T由于T是无限集,必存在a2∈T, a2≠a1。再由T是无限集,必存在a3∈T,a3≠a1,a3≠a2。这样的过 程可以无限进行下去,于是得到可列集S={a,a2…an2…},ScT (2)设A={a1a2…an},B={,b2…bn,…},则AUB可表示为 儿∪B={a,b,a2,b2…,anbn 3.指出下列表述中的错误: (1){0}=②; (2)ac{a,b,c}; (3){a,b}∈{a,b,c}; (4){a,b,{a,b}={a,b} 解(1){0}是由元素0构成的集合,不是空集 (2)a是集合{a,b,c}的元素,应表述为v∈{a,b,c}
第一章 集合与映射 习 题 1.1 集合 ⒈ 证明由n个元素组成的集合T a = a an { 1 2 ， ，"， }有2n个子集。 解 由k 个元素组成的子集的个数为Cn k ， ∑ 。 = = + = n k k n n Cn 0 (1 1) 2 ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设 A与 B都是可列集，证明 A∪ B也是可列集。 证（1）设T 是一个无限集，先取a1 ∈T 。由于T 是无限集，必存在 ， 。再由T 是无限集，必存在 a2 ∈T 2 1 a ≠ a a3 ∈T ，a3 ≠ a1，a3 ≠ a2。这样的过 程可以无限进行下去，于是得到可列集S = {a1, a2 ,", an ,"}，S ⊂ T 。 （2）设 A = { } a1, a2 ,", an ," ，B = {b1,b2 ,",bn ,"}，则 A∪ B可表示为 A B ∪ = { } a1,b1,a2 ,b2 ,",an ,bn ," 。 ⒊ 指出下列表述中的错误： (1) { }0 = ∅； (2) a ⊂ { , a b, c }； (3) { , a b } ∈{ , a b, c }； (4) { , a b,{a b, } } = { , a b }。 解 （1）{0}是由元素0构成的集合，不是空集。 （2） a 是集合{ , a b, c }的元素，应表述为 a∈ { , a b, c }。 1
(3){ab}是集合{ab,c}的子集,应表述为{ab}c{a,b,c} 4){a,b,a,b}是由a,b和{a,b}为元素构成的集合,所以 {a,b,{a,l}{a,b},但{a,b,{a,b}≠{a,b} 4.用集合符号表示下列数集 (1)满足二≤0的实数全体 x 2)平面上第一象限的点的全体 (3)大于0并且小于1的有理数全体; (4)方程 sinx cot x=0的实数解全体 解(1){x|-20且y>0} (3)10<x<1且x∈Q)} (4){x|x=kz+,k∈Z}。 5.证明下列集合等式: (1)A∩(BUD)=(A∩B)U(A∩D) (2)(AUB)=A∩BC。 证(1)设x∈A∩(B∪D),则x∈A,并且或者x∈B,或者x∈D。于是 或者x∈A∩B,或者x∈A∩D,即x∈(A∩B)儿(A∩D),因此 A∩(BUD)c(A∩B)U∪(A∩D); 设x∈(A∩B)儿U(A∩D),则或者x∈A∩B,或者x∈A∩D。于是x∈A, 并且或者x∈B,或者x∈D,即x∈A∩(B∪D),因此 A∩(B∪D)=(A∩B)U(A∩D)
（3） {a,b}是集合{ , a b, c }的子集，应表述为{a,b}⊂ { , a b, c }。 （ 4 ） 是 由 和 为元素构成的集合，所以 ，但 {a,b,{a,b}} a,b { , a b } {a,b,{a,b}} ⊃ { , a b } {a,b,{a,b}} ≠ { , a b }。 ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足 x x − + ≤ 3 2 0的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体； (4) 方程sin x cot x = 0的实数解全体。 解（1）{ } x | −2 0且 y > 0 。 （3）{ } x | 0 < x <1且x∈Q 。 （4） ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ x x = k + ,k ∈ Z 2 | π π 。 ⒌ 证明下列集合等式： (1) A B ∩ ∪ ( ) D = ( A∩ B)∪( A∩ D) ； C (2) ( ) A B ∪ ∩ C C = A B 。 证（1）设 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，则 x ∈ A，并且或者 x ∈ B，或者 。于是 或者 ，或者 ，即 x ∈ D x ∈ A∩ B x ∈ A∩ D x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)，因此 A ∩ (B ∪ D) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)； 设 x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)，则或者 x ∈ A∩ B ，或者 x ∈ A∩ D 。于是 ， 并且或者 ，或者 ，即 x ∈ A x ∈ B x ∈ D x ∈ A ∩ (B ∪ D)，因此 A ∩ (B ∪ D) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)。 2
(2)设x∈(扎UB),则x∈AUB,即x∈4且x∈B,于是x∈AC∩BC,因 此 AUB)cA∩BC 设x∈AC∩BC,则xeA且xeB,即x∈AUB,于是x∈(A∪B)°,因此 (AUB)=AC∩B 6.举例说明集合运算不满足消去律: (1)儿∪B=AUC≠>B=C; (2)A∩B=A∩C≠B=C。 其中符号“ 表示左边的命题不能推出右边的命题。 解(1)设A={a,b,c},B={,c,d},C={d},则AUB=AUC,但B≠C。 (2)设A={ab,c},B={c,d,e},C={c,d},则A∩B=A∩C,但B≠C 7.下述命题是否正确?不正确的话,请改正 (1)xA∩Bx∈A并且xB (2) xEAUB x∈A或者x∈B。 解(1)不正确。x∈A∩Bx∈A或者x∈B (2)不正确。x∈AU∪B→x∈A并且x∈B
（2）设 x ∈ (A∪ B) C ，则 x∈A∪ B ，即 x∈A且 x∈B ，于是 ，因 此 C C x ∈ A ∩ B C C C (A ∪ B) ⊂ A ∩ B ； 设 x ∈ AC ∩ BC ，则 x∈A且 x∈B ，即 x∈A∪ B，于是 x ∈ (A ∪ B) C，因此 (A ∪ B) C ⊃ AC ∩ BC 。 ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) A B ∪ = A∪C ≠> B = C； (2) A B ∩ = A∩C ≠> B = C。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 解 （1）设 A = {a,b,c}，B = {b,c,d}，C = {c,d}，则 A B ∪ = A∪C，但B ≠ C 。 （2）设 A = { } a,b,c ，B = { } c,d,e ，C = {c,d}，则 A B ∩ = A∩C，但B ≠ C 。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B； (2) x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B。 解（1）不正确。 x ∈ A∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B。 （2）不正确。 x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B。 3
习题1.2映射与函数 1.设S={a,B,},T={a,b,c},问有多少种可能的映射∫:S→T?其中 哪些是双射? 解有3=27种可能的映射,其中有3=6种是双射,它们是 C→a ab a a→b f:Bb,f:Bc,f:1Bc,∫:{B→a,f:{B→a,f:{B→b lHc lr Ha yHc yH b 2.(1)建立区间[a,b]与[0,1之间的一一对应; (2)建立区间(0,1)与(-0,+∞)之间的一一对应 解(1)f:[a,b→[0 xHy= b (2)f:(0,1)→(-∞,+∞) xH→tan(x-)丌=-cot(xx) 3.将下列函数∫和g构成复合函数,并指出定义域与值域: (1) y=f(u)=log u, u=g(x)=x-3; )y=f(u=arcsin, u=g(x)=e (3)y=f()= g(x) (4)y=f()=Vl,u=g(x) 解(1)y=lgn(x2-3,定义域:(∞、3儿3+o),值域:(-∞,+∞) (2)y=acsi3,定义域:(m,值域:0z (3)y=|anx,定义域:ukx-,kx+),值域:p)
习 题 1.2 映射与函数 1. 设S = {α, β,γ }, T ，问有多少种可能的映射 ? 其中 哪些是双射? = { , abc, } f ：S → T 解 有33 = 27种可能的映射，其中有3!= 6种是双射，它们是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ c b a f 6 6 6 γ β α : ， ， ， ， ， 。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ b c a f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ a c b f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ c a b f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ b a c f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ a b c f 6 6 6 γ β α : 2. (1) 建立区间[ , a b ]与[ , 0 1 ]之间的一一对应； (2) 建立区间( , 0 1 )与( , −∞ +∞)之间的一一对应。 解（1） f :[a,b] →[0,1] b a x a x y − − 6 = ； （2） f :(0,1) → (−∞,+∞) ) cot( ) 2 1 x 6 tan(x − π = − π x 。 3. 将下列函数 f 和 g 构成复合函数，并指出定义域与值域： (1) y f = ( ) u = loga u , u = g( ) x = x 2 − 3; (2) y f = ( ) u = arcsin u , u = g( ) x = e x ； (3) y f = ( ) u = u 2 − 1 , u = g( ) x = sec x ； (4) y f = ( ) u = u , u = g( ) x = x x − + 1 1 。 解（1） y = loga (x 2 −3)，定义域：(− ∞,− 3)∪ ( 3,+∞)，值域：(−∞,+∞) ； （2） y = arcsin 3x，定义域：(− ∞,0]，值域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 2 0, π ； （3） y = tan x ，定义域： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∈ 2 , 2 π π π kπ k k Z ∪ ，值域：[0,+∞)； 4
定义域:(-∞-1儿U[+∞),值域:[U +o)。 Vx+1 4.指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的 y=arcsin RF(1) y=arcsinu,u=F, v=x+1; (2)y=n3,u=logn",v=x2-1。 5.求下列函数的自然定义域与值域 (1)y=log sinx (a>1) 解(1)定义域:U(2k,(2k+1)z),值域:(-∞0] (2)定义域:U2kx-22x+,值域:] k∈Z (3)定义域:[4,值域:051 (4)定义域:(∞0U(0+4),值域、距。 6.问下列函数∫和g是否等同? (1)f(x)=log(x2),g(x)=2l (2)f(x)=sec x-tan'x, g(x)=1; (3)f(x)=sinx+cos'x, g(x)=1 解(1)函数f和g不等同;
（4） 1 1 + − = x x y ，定义域：(− ∞,−1)∪[1,+∞)，值域：[0,1) ( ∪ 1,+∞)。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x = + arcsin 1 1 2 ; (2) 1 3 2 log ( 1) 3 a y x = − 。 解（1） y = arcsin u ， v u 1 = ，v = x 2 +1； （2） 3 3 1 y = u ，u = loga v ，v = x 2 −1。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) y = loga sin x （a > 1）； (2) y x = cos ； (3) y = − 4 3x − 2 x ； (4) y x x = +2 4 1 。 解（1）定义域： ( ) 2 π ,(2 +1)π ∈ k k k Z ∪ ，值域：(− ∞,0]； （2）定义域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ∈ 2 ,2 2 2 π π π kπ k k Z ∪ ，值域：[0,1]； （3）定义域：[− 4,1]，值域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 5 0, ； （4）定义域：( ) − ∞,0 ∪ (0,+∞)，值域： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ ,+∞ 2 3 2 3 。 6. 问下列函数 f 和 g 是否等同？ (1) f x( ) = 2 log ( ) a x ， g( ) x = 2loga x ； (2) f x( ) = 2 2 sec x − tan x , g( ) x = 1； (3) f x( ) = sin cos 2 2 x + x , g( ) x = 1。 解 （1）函数 f 和 g 不等同； 5
(2)函数f和g不等同; (3)函数f和g等同。 7.(1)设f(x+3) 1,求 (x)3求 解(1)令x+3=1,则x=1-3,代入等式,得到 f()=2(1-3)3-3(-3)2+5(-3)-1=213-2l2+ 所以f(x)=2x3-21x2+77x-97 (2)令 代入等式,得到 x 所以 8.设∫(x)=,1-,求∫。∫,f。。f,。。∫。的函数表达式。 解(1)f。f(x) +1 ∫o∫ofo∫(x) 9.证明:定义于(-0,+∞)上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一 个奇函数之和 证显然(x)+(-)是偶函数,(x)-/(=)是奇函数,而 f(x) f(x)+∫(-x),f(x)-f(-x) 10.写出折线ABCD所表示的函数关系y=f(x)的分段表示,其中 (0,3) (32),D=(4,0)
（2）函数 f 和 g 不等同； （3）函数 f 和 g 等同。 7. (1) 设 f x( ) + = 3 2x 3 2 − 3x + 5x − 1,求 f x( ) ； (2) 设 3 1 3 1 1 + − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x x x x f ,求 f x( ) 。 解（1）令 x + 3 = t ，则 x = t − 3，代入等式，得到 ( ) 2( 3) 3( 3) 5( 3) 1 3 2 f t = t − − t − + t − − 2 21 77 97 3 2 = t − t + t − ， 所以 f (x) = 2x3 − 21x 2 + 77x − 97； （2）令 t x x = −1 ，则 −1 = t t x ，代入等式，得到 ( ) 1 1 3 1 1 3 + − − − = t t t t f t 4 1 2 1 − + = t t ，所以 4 1 2 1 ( ) − + = x x f x 。 8. 设 f x( ) = + 1 1 x ,求 f D f ， f f D D f , f f D D f D f 的函数表达式。 解（1） 2 1 ( ) + + = x x f D f x ； 2 3 2 ( ) + + = x x f D f D f x ； 3 5 2 3 ( ) + + = x x f D f D f D f x 。 9. 证明：定义于 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一 个奇函数之和。 ( , −∞ +∞) 证 显然 2 f (x) + f (−x) 是偶函数， 2 f (x) − f (−x) 是奇函数，而 2 ( ) ( ) ( ) f x f x f x + − = 2 f (x) − f (−x) + 。 10. 写出折线 ABCD 所表示的函数关系 y f = (x) 的分段表示，其中 A = ( , 0 3)， B = ( , 1 −1)，C = ( , 3 2) ， D = ( , 4 0)。 6
4x+3x∈[01] 解 3] ∈(34 (1,1) 图128 图1.29 11.设∫(x)表示图1.28中阴影部分面积,写出函数y=f(x),x∈[0,2] 的表达式 [0, 解 12.一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体,比重分别为136,1,0.8 克/厘米(图12.9),上层煤油液体高度为5厘米,中层水液体高度 为4厘米,下层汞液体高度为2厘米,试求压强P与液体深度x之间 的函数关系 解P(x)={98x-98 659 1338x-112112x∈(9,1] 13.试求定义在[0,1上的函数,它是[0,1]与[0,1之间的一一对应
解 [ ] ( ] ⎪ ( ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + ∈ − ∈ − + ∈ = 2 8 3,4 1,3 2 5 2 3 4 3 0,1 x x x x x x y 。 y ( , 1 1 ) O x 2 x 图 1.2.8 图 1.2.9 11. 设 f x( ) 表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数 y f = (x) , x ∈[ , 0 2 ] 的表达式。 解 [ ] ( ] 2 2 1 0,1 2 1 2 1 1,2 2 x x y x x x ⎧ ∈ ⎪⎪ = ⎨ ⎪− + − ∈ ⎪⎩ 。 12. 一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8 克／厘米３ (图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度 为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强 P与液体深度 x之间 的函数关系。 解 [ ] ( ] ( ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ∈ − ∈ ∈ = 1332.8 11211.2 9,11 98 98 5,9 78.4 0,5 ( ) x x x x x x P x 。 13. 试求定义在[ , 0 1 ]上的函数，它是[ , 0 1 ]与[ , 0 1 ]之间的一一对应， 7
但在[0,1]的任一子区间上都不是单调函数。 解0)=xx为有理数 xx为无理数
但在[ , 0 1 ]的任一子区间上都不是单调函数。 解 。 ⎩ ⎨ ⎧ − = 为无理数 为有理数 x x x x f x 1 ( ) 8