习题2.3无穷大量 1.按定义证明下述数列为无穷大量 2n+1 ga 3)in-arc tan n); √n+1√n+2 证(1)vG>0,取N=[3o],当n>N时,成立m+>">G。 2n+13 (2)yG>0,取N=a?],当n>N时,成立lg11=10gn>G。 (3)vG>0,取N=G+],当n>N时,成立-acmn>G (4)VG>0,取N=[2G2],当n>N时,成立 2.(1)设iman=+(或-∞),按定义证明 a1+a2+…+a +∞(或-∞) (2)设an>0, lim a=0,利用(1)证明: lim(a1a2…an)=0 证(1)设 lim a=+0,则vG>0,3N1>0,Ⅶn>N1:an>3G。对固定的M, 彐N>2N1,Vn>N +吗+a<9,于是 a1+a2+…+an、alN+1+aN1+2+…+ 1+a2+…+a 3G G 同理可证当 lim a=-∞时,成立 lim -12++an=
习 题 2.3 无穷大量 1. 按定义证明下述数列为无穷大量： (1) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 2 1 1 2 n n ； (2) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n a 1 log (a > 1)； (3) { n − arc tan n }； (4) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + n + n 2n 1 2 1 1 1 " 。 证（1）∀G > 0，取 N = [3G]，当n > N 时，成立 G n n n > > + + 2 1 3 1 2 。 （2）∀G > 0，取 N = [aG ]，当n > N 时，成立 n G n a ⎟ = a > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ log 1 log 。 （3）∀G > 0，取 ] 2 [ π N = G + ，当n > N 时，成立 n − arctan n > G。 （4）∀G > 0，取 N = [2G2 ]，当n > N 时，成立 G n n n n n + + > > + + + 2 2 1 2 1 1 1 " 。 2. (1) 设lim n→∞ an = +∞ (或− ∞ )，按定义证明： lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = +∞ (或− ∞ ); (2) 设a ＞0， = 0 ，利用（1）证明： n lim n→∞ an lim n→∞ (a a an n 1 2 1 " ) = 0。 证（1）设 = +∞，则 →∞ n n lim a ∀G > 0,∃N1 > 0,∀n > N1 : an > 3G 。对固定的 N1， 2 , : ∃N > N1 ∀n > N 2 1 1 2 G n a a aN − = + + + − 2 2 1 2 " 1 3 。 同理可证当lim 时，成立 n→∞ an = −∞ lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = −∞ 。 20
I Ina, +lna (2)ln(a1a2…an) +1nan,由 lim I.==,可知 lim In(a1a2…an) 从而 lim(a1a2…an)=0。 3.证明 (1)设{xn}是无穷大量,|yn|≥8>0,则{xnyn}是无穷大量; (2)设{x}是无穷大量,im,=b≠0,则{xnx}与二}都是无穷大 量 证(1)因为{xn}是无穷大量,所以vG>0,N,n>N,成立n|> 于是vn>N,成立xnyn>G,所以{xnyn}也是无穷大量 (2)由im,y2=b≠0,可知N,Wm>N,成立,==2。因为{x} 是无穷大量,所以vG>0,N",m>N",成立>m012 取N=ma,N,v>N,成立x>G与图>G,所以{x,y,}与 都是无穷大量。 4(1)利用 Stolz定理,证明: 12+32+52+…+(2n+1)24 (2)求极限加m+3+5++(2+2-4 解(1)m12+32+52+…+(2n+D=m(2n+D2L
（2） n a a an 1 1 2 ln( " ) n a a an ln 1 + ln 2 + + ln = " ，由 = −∞ →∞ n n lim ln a ，可知 = −∞ →∞ n n n a a a 1 1 2 lim ln( " ) ，从而 lim n→∞ (a a an n 1 2 1 " ) n n = 0。 3. 证明： (1) 设{ x }是无穷大量，｜ y ｜≥ > δ 0，则{ xn yn }是无穷大量； (2) 设{ xn }是无穷大量，lim n→∞ yn = b≠0，则{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大 量。 证 （1）因为{ xn }是无穷大量，所以∀G > 0，∃N ，∀n > N ，成立 δ G xn > 。 于是∀n > N ，成立 xn yn > G ，所以{ xn yn }也是无穷大量。 （2）由lim ≠0，可知 ' n→∞ yn = b ∃N ，∀n > N'，成立 y b b n 2 2 ≤ ≤ 。因为{ } 是无穷大量，所以 ， xn ∀G > 0 ∃N"，∀n > N"，成立 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > b G b G xn ,2 2 max 。 取 N = max{ } N',N" ，∀n > N ，成立 xn yn > G 与 G y x n n > ，所以{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量。 4. (1) 利用 Stolz 定理，证明： lim n→∞ 1 3 5 2 1 4 3 2 2 2 2 3 + + + + + = " ( ) n n ； (2) 求极限lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " 。 解（1）lim n→∞ = + + + + + 3 2 2 2 2 1 3 5 (2 1) n " n lim n→∞ 3 4 ( 1) (2 1) 3 3 2 = − − + n n n 。 21
(2)lim 12+32+52+…+(2n+1)2 3[1+3-2+…+(2n+1)2]-4 3n2 imn232n+12-4n2+4-) lim 24n-1 4 3n2-3(n-1 5.利用 Stolz定理,证明: (1)lim 10gan=0(a>1); (2)lim-=0(a>1,k是正整数) 证(1)1im1ogn =0。 (2)lim PkI(n) a"-(a-1) 其中P-1(n)为关于n的k-1次多项式;重复上述过程k次即得到 P lin Pk_(n)=lim lim- Po(n) 0。 6.(1)在Solz定理中,若im3-xm1=∞,能否得出im3=∞的结 yn-y 论? (2)在Stoz定理中,若m如x不存在,能否得出lm3不存 在的结论? 解(1)不能。考虑例子xn=(-)"n,yn=n,im--m n→Vn-yn =m(-1)2n-1)=∞,但Imx=lm(-1y极限不存在。 n→① (2)不能。考虑例子x,=1-2+3-4++(-1)n,yn=n2,1imx-x
（2）lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " →∞ = n lim 2 2 2 2 3 3 3[1 3 (2 1) ] 4 n + +"+ n + − n →∞ = n lim 2 2 2 3 3 3 3( 1) 3(2 1) 4 4( 1) − − + − + − n n n n n →∞ = n lim 4 6 3 24 1 = − − n n 。 5. 利用 Stolz 定理，证明： (1) lim n→∞ loga n n = 0 ( a > 1)； (2) lim n→∞ n a k n = 0 ( a > 1，k 是正整数)。 证 （1）lim n→∞ loga n n = lim n→∞ 0 1 log = n − n a 。 （2）lim n→∞ n a k n =lim n→∞ = − − − −1 ( 1) n n k k a a n n lim n→∞ ( 1) ( ) 1 1 − − − a a P n n k ， 其中Pk−1 (n)为关于n的k −1次多项式；重复上述过程k 次即得到 lim n→∞ n a k n =lim n→∞ = − − − ( 1) ( ) 1 1 a a P n n k lim n→∞ = − − − 2 2 2 ( 1) ( ) a a P n n k →∞ = n " lim 0 ( 1) ( ) 0 = − n−k k a a P n 。 6. (1) 在 Stolz 定理中，若lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 = ∞，能否得出lim n→∞ x y n n = ∞的结 论? (2) 在 Stolz 定理中，若lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 不存在，能否得出lim n→∞ x y n n 不存 在的结论? 解 （1）不能。考虑例子 x n , n n = −( )1 y n n = ，lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 →∞ = n lim = ∞ − − 1 ( 1) (2n 1) n ， 但 lim n→∞ x y n n n n = lim(−1) →∞ 极限不存在。 （2）不能。考虑例子 x n n = −1 2 + 3 − 4+"+( ) −1 n−1 , yn = n 2 ，lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 22
=lim (-1)n 极限不存在,但lim=0 2n-1 7.设0<λ<1, lim a=a,证明 x2an2+…+2a0) 证记k=x-,则an+lan1+…+"ao= k"an+k"an1+…+a ,利用 Stolz 定理 n(an+Man-1+2an2+…+2a)=limk"an+1+…+ao li n→k"(k-1)1-2 8.设An=∑a,当n→∞时有极限。{Pn}为单调递增的正数数列,且 pn→+∞0(n→∞)。证明 P1a1+P2a2+…+Pna Pn 证设lmA1n=A,作代换a=A4-Ak-1,得到 P1a1+P2a2+…+pnan=Aa A(P2-P)+A(P3-P2)+…+An1(PnPn=), P P 对上式求极限,在求后一分式的极限时应用Solz定理, lim P yt P22+fInan P lim A.-lim A(p2-P1)+A2(P3-P2)+.+An-1(Pn-Pn-l n→)0 pn 4-lim A,(Pn -Pn-12=4-4=0 Pn- p
2 1 ( 1) lim 1 − − = − →∞ n n n n 极限不存在，但lim n→∞ x y n n = 0。 7. 设 0＜λ ＜1，lim ，证明 n→∞ an = a lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " = − a 1 λ 。 证 记k = λ −1 ，则 n n n n n n n n k k a k a a a a a 1 0 1 1 0 + + + + + + = − − − " λ " λ ，利用 Stolz 定理， lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " n n n n n n k k a k a a 1 0 1 lim + + + = − − →∞ " ( 1) lim 1 − = − →∞ k k k a n n n n − λ = 1 a 。 8. 设 ,当 时有极限。{ }为单调递增的正数数列，且 ( n ）。证明： A a n k k n = = ∑ 1 n → ∞ pn pn → +∞ → ∞ lim n→∞ p a p a p a p n n n 1 1 2 2 0 + + + = " 。 证 设 An A，作代换 n = →∞ lim ak = Ak − Ak−1，得到 = + + + n n n p p a p a " p a 1 1 2 2 n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) 1 2 − 1 + 2 3 − 2 + + −1 − −1 − " ， 对上式求极限，在求后一分式的极限时应用 Stolz 定理， lim n→∞ n n n p p1a1 + p2a2 +"+ p a n n n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) lim lim 1 2 1 2 3 2 −1 −1 →∞ →∞ − + − + + − = − " = A − lim n→∞ 1 1 ( ) − − − − n n n n n p p A p p = A − A = 0。 23
习题2.4收敛准则 利用lm1+-=求下列数列的极限 (1) lim 1 (2)lim|1+ n→∞ n→① n+1 (3)lim 1 (4) lim 1 (5 lim 1+ 解(1)lm(1-1 (2)lim1+ lim 1+ n+1 (3)lim1+ lim‖1 H→0 (4) lim 1+I=lim 1 →① (5)当n≥2时,有 1+ 由im1+ n+2=e与lim1+ 即得 2.利用单调有界数列必定收敛的性质,证明下述数列收敛,并求出 极限: (1)x1=√2,xn1=√2+xn,n=12,3…;
习 题 2.4 收敛准则 1． 利用lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 ; ⑵ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 ; ⑶ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; ⑷ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (5) lim n→∞ n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 解（1）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + −( −1) −1 1 1 1 1 1 1 n n n e 1 。 （2）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +1 −1 1 1 1 1 1 1 n n n e。 （3）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 2 2 1 1 n n e 。 （4）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n n 1 2 2 1 1 1。 （5）当n ≥ 2时，有 n n n n n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ < + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ≤ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 1 1 2 1 1 2 。 由lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 1 1 与lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 ，即得lim n→∞ e n n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 2. 利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出 极限： (1) x1= 2 , xn+1= 2 + xn , n = 1 2, ,3,"； 24
1,2,3, 1,2,3 (5)0≤x10,可知n,xn1-xn>0, 所以{xn}是单调增加有上界的数列,因此收敛。设 " limx=a,对等式 xn=√2+x两端求极限,得到方程a=√2+a,解此方程,得到a=2, 因此 lim (2)首先有00 可知{xn}是单调增加有上界的数列,因此收敛。设 lim x=a,对等式 xn=√2xn两端求极限,得到方程a=√2a,解此方程,得到a=2(另 解a=0舍去),因此 lim x =2 (3)首先有x1=√2>-1,设x>-1,则x1 2+x->-1,由数学
(2) x1= 2 , xn+1= 2xn , n = 1 2, ,3,"； (3) x1= 2 , xn+1= − + 1 2 xn , n = 1 2, ,3,"； (4) x1=1, xn+1= 4 3 + xn , n = 1 2, ,3,"； (5) 0＜ x1＜1, xn+1=1 n − 1− x , n = 1 2, ,3,"； (6) 0＜ x1＜1, xn+1= xn (2 − xn ), n = 1 2, ,3,"。 解 （1）首先有0 ，可知∀n， ， 所以 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = xn+1 − xn > 0 { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 2 + xn 两端求极限，得到方程a = 2 + a ，解此方程，得到 ， 因此 a = 2 lim = 2 →∞ n n x 。 （2）首先有0 0， 可知 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 n 2x 两端求极限，得到方程a = 2a ，解此方程，得到 （另 一解 舍去），因此 a = 2 a = 0 lim = 2 →∞ n n x 。 （3）首先有 x1 = 2 > −1，设 xk > −1，则 = k+1 x 1 2 1 > − + − k x ，由数学 25
归纳法可知ⅵ,xn>-1由xm-xn (xn+1)0, 可知{xn}是单调增加有上界的数列,因此收敛。设 lim x=a,对等式 xn=√4+3x两端求极限,得到方程a=√4+3,解此方程,得到a=4, 因此 lim x=4。 (5)首先有00,可 知{xn}是单调增加有上界的数列,因此收敛。设imxn=a,对等式 xn1=xn(2-xn)两端求极限,得到方程a=a(2-a),解此方程,得到a=1 (另一解a=0舍去),因此
归纳法可知∀n，xn > −1。由 xn+1 − xn = − = + − n n x 2 x 1 0 2 ( 1) 2 0， 可知 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 4 3 + xn 两端求极限，得到方程a = 4 + 3a ，解此方程，得到 ， 因此 a = 4 lim = 4 →∞ n n x 。 （5）首先有0 0，可 知 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = (2 )两端求极限，得到方程 { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 xn n − x a = a(2 − a)，解此方程，得到 （另一解 舍去），因此 a = 1 a = 0 26
limx=1 3.利用递推公式与单调有界数列的性质,证明: 234 n+1 0 (2)lim 3)lim=0。 证(1)设x,=2.3.4…m+1,则x,>0,=n+20,且当n>a时,xa0,五={1+1)>1,所以是单调减少有 下界的数列,因此收效,设一0,对等式x=(m两求极 限,得到a=ea,于是a=0,因此 lim 4.设x2(x+2|,n=123…,分x1=1与 x1=-2两种情况求
lim = 1 →∞ n n x 。 3. 利用递推公式与单调有界数列的性质，证明： (1) lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n ； (2) lim n→∞ a n n ! = 0 ( a＞1)； (3) n→∞ lim 0 ! = n n n 。 证 （1）设 2 1 1 7 4 5 3 3 2 + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n n xn " ，则 xn > 0， 1 2 3 1 2 0，且当n > a 时， 1 1 1 0， 1 1 1 1 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + n n n x n x ，所以 是单调减少有 下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 1 1 1 ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n n n x n x 两端求极 限，得到a = ea，于是a = 0，因此 lim n→∞ a n n ! = 0。 4. 设 xn+1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 , n = 1 2, ,3," ，分 x1 = 1 与 2 x1 = − 两种情况求 27
lim 解对x=1,易知Ⅶ,xn>0,且当n≥2时,xn≥√2。由 xn-xn=x+1≤0,可知数列{xn}单调减少有下界,所以收敛。设 lim x=a,对等式x 两端求极限,得到a=(a 解得 √2舍去),因此 lim 易知 ≤-√2。由x ≥0,可知数 列n}单调增加有上界,所以收敛。设lmx,=b,对等式sm2(x+ H→① 两端求极限,得到b=1(b+2),解得b=-(b=2舍去),因此 lim x 5.设 b (n=12,3…),求lim 解首先利用递推公式xm-xn,=-1(xn-xn),得到数列{n1-x)的通 项公式 (b-a)。于是由 xn=x1+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xn-xn=1)=a+( 得到 +2b lir 6.给定0<a<b,令x1=a,y1=b。 (1)若xn=√xnyn,y x +yn(n=123 2 证明{xn},{yn}收敛,且 lim x= lim y。这个公共极限称
lim n→∞ xn 。 解 对 x1 =1，易知∀n， xn > 0，且当n ≥ 2时， xn ≥ 2 。由 0 1 2 +1 − = − + ≤ n n n n x x x x ，可知数列{xn }单调减少有下界，所以收敛。设 xn a，对等式 = n = →∞ lim xn+1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 两端求极限，得到 ) 2 ( 2 1 a a = a + ，解得 a = 2 （a = − 2 舍去），因此 lim n→∞ xn = 2 。 对 x1 = −2 ，易知∀n， xn ≤ − 2 。由 0 1 2 +1 − = − + ≥ n n n n x x x x ，可知数 列{xn }单调增加有上界，所以收敛。设 x b n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 两端求极限，得到 ) 2 ( 2 1 b b = b + ，解得b = − 2 （b = 2 舍去），因此 lim n→∞ xn = − 2 。 5. 设 x = a , = b , 1 x2 x x x n n n + + = + 2 1 2 （n = 1 2, ,3,"），求lim 。 n→∞ xn 解 首先利用递推公式 ( ) 2 1 n+1 − n = − n − n−1 x x x x ，得到数列{ }的通 项公式 n n x − x +1 ( ) 2 1 1 1 x x b a n n n ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − + 。于是由 ( ) ( ) ( ) n = 1 + 2 − 1 + 3 − 2 + + n − n−1 x x x x x x " x x ∑ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − − 1 0 2 1 ( ) n k k a b a ， 得到 lim n→∞ xn 3 a + 2b = 。 6. 给定 0＜a ＜b，令 x1 = a , y1 = b。 (1) 若 x = n+1 x yn n ， yn+1 = x y n + n 2 （n = 1 2, ,3,"）， 证明｛ xn ｝，｛ yn｝收敛，且lim = 。这个公共极限称 n→∞ xn lim n→∞ yn 28
为a与b的算术几何平均; (])若x=x+y,期、yn(n=123…),证明{xn},{yn} t y 收敛,且 lim x= lim y。这个公共极限称为a与b的算术调和 平均 证(1)首先易知,有xn≤yn由xm-xn=xn(√yn-√xn)20,ym-yn 2(xn-yn)s0,得到asx√2-1时,有 由于 得到 > 1,0<x2n<√2-1。于是由 2(x 0 5+ 2+ 2(x2n-√2+1)(x2n+√2+1)
为a与b 的算术几何平均； (2) 若 x = n+1 x y n n + 2 , y = n+1 2x y x y n n n n + （n = 1 2, ,3,"），证明｛ ｝,{ } 收敛，且 = 。这个公共极限称为 与 的算术调和 平均。 xn yn lim n→∞ xn lim n→∞ yn a b 证（1）首先易知∀n，有 xn ≤ yn 。由 xn+1 − xn = xn ( yn − xn ) ≥ 0，n n y − y +1 ( ) 0 2 1 = xn − yn ≤ ，得到a ≤ xn 2 −1；当 xn > 2 −1时，有 0 2 −1，得到∀n， x2n+1 > 2 −1，0 + − − + + + n n n x x x ， 29