习题4.5高阶导数和高阶微分 1.求下列函数的高阶导数 求 y=x3+2x2-x+1,求y (2 求y 求 (4)y=x2 求 y=sinx 求 OSVxX 求 求 (8) 求 y=xcos∠x, 求 00y=(2x2+)hx,求 解(1)y=3x2+4x-1,y"=6x+4,y=6 (2)y=4xInx+x', y"=12x2Inx+4x2+3x=12x2Inx+7x2 √+ (3) 21+x4x+3 +x 2(1+x) (4+6x)1+x)2-(4x+3x2)1+x)2 x2+8x+8 2(1+x)3 4(+x)2 1-2ln x·X y”=-2xx3-3(1-2lx)x=6lnx- (5)y=coSx(3x2)=3x cosx', y=6xcosx'+3x(sin x)(3x)=6xcosx'-9xsinx y=6cos x'-6xsin x (3x )-36xsin cos x' (3x) 54x3sinx3-(27x°-6) CoS x o (6)y=3x2 cOsy+x(-sin√x)-)=3x2 coSa、1 x- sin vx, 2√x 83
习 题 4.5 高阶导数和高阶微分 ⒈ 求下列函数的高阶导数： ⑴ y x = + x − x + 3 2 2 1, 求 y′′′； ⑵ y x = x 4 ln ，求 y′′； ⑶ y x x = + 2 1 ，求 y′′； ⑷ y x x = ln 2 ，求 y′′； ⑸ y = sin 3 x ，求 y′′、 y′′′ ； ⑹ y x = x 3 cos ，求 y′′、 y′′′； ⑺ y x x = 2 3 e ，求 y′′′； ⑻ y x x = − e arcsin 2 ，求 y′′； ⑼ y x = x 3 cos 2 ，求 y(80)； ⑽ y x = (2 1 + )s x 2 h ，求 y . (99) 解 （1） ' 3 4 1, '' 6 4, 2 y = x + x − y = x + y'''= 6 。 （2） y'= 4x 3 ln x + x 3 ， y"= 12x 2 ln x + 4x 2 + 3x 2 = 12x 2 ln x + 7x 2 。 （3） 2 2 3 2 1 2 1 2 1 4 3 ' 1 2(1 ) x x x x x x y x x + − + + = = + + ， 3 1 2 2 2 2 3 5 2 3 (4 6 )(1 ) (4 3 )(1 ) 3 8 2 " 2(1 ) 4(1 ) x x x x x x x y x x + + − + + + +8 = = + + 。 （4） 3 1 2 3 1 2ln ' 2ln x x y x x x x − = ⋅ − ⋅ = − − − ， 4 1 3 4 6ln 5 " 2 3(1 2ln ) x x y x x x x − = − − − = − − − 。 （5） y'= cos x 3 ⋅(3x 2 ) = 3x 2 cos x 3 ， 3 2 3 2 3 4 3 y"= 6x cos x + 3x (−sin x )(3x ) = 6x cos x − 9x sin x ， 3 3 2 3 3 4 3 y x ''' = − 6cos 6x sin x ⋅(3x ) − 36x sin x − 9x cos x ⋅(3 ) 2 x 3 3 6 3 = −54x sin x x − (27 − 6) cos x 。 （6） x x x x x y x x x x sin 2 1 ) 3 cos 2 1 ' 3 cos ( sin )( 2 5 2 3 2 = + − = − ， 83
3 6xcos√x+3x2( 2 11 y"=(6-3)cos√x+(6x--)( COSVx 2 57 x)cos√x+(-x 8 8 (7)y=2xe3+x2e(3x)=(2x+3x2)e3x, (2+6x)ex+(2x+3x2)e2(3xy=(9x2+12x+2)e y"=(18x+12)ex+(9x2+12x+2)e3(3x)=(27x2+54x+18)e (8)y=(-x2)e-arcsinx+e-x(arcsinx)=(-2xarcsinx+ e y=(x)(-2xarcsinx+ De-+(-2x arcsinx+ (2x)(-2xarcsinr+./ Der+|-2 arcsinx- (-2x) 1 2(2x-1)arcsinx+ x(4x2-3)-x2 (1-x2)2 (9)y(80)=x cos(80)2x+C803x2cos(79)2x+C:0 6xcos78)2x+C:0 cos 77)2x 28x3cos2x+80.2.3x2sin2x-3160.28.6xcos2x-82160.27.6sin2x =29[x(x2-47402+120x2-6205m2x (10)y(99)=(2x+1)sh x+C99 4xsh)x+C 4shx (2x+1)ch x+99.4xshx+4851 chx =(2x2+19405)chx+396xshx 2.求下列函数的n阶导数y:
3 5 2 2 2 1 5 1 1 " 6 cos 3 ( sin ) sin (cos ) 2 2 4 2 y x x x x x x x x x x = + − − − 3 2 2 1 11 (6 ) cos sin 4 4 = −x x x − x x ， 2 1 3 2 2 1 33 11 1 ''' (6 ) cos (6 )( sin ) sin cos 2 4 2 2 8 4 x x y x x x x x x x x x = − + − − − − 3 1 2 2 15 1 57 (6 ) cos ( )sin 8 8 8 = − x x x + − x x 。 （7） y'= 2xe3x + x 2 e3x (3x)'= (2x + 3x 2 )e3x ， x x x y x e x x e x x x e 3 2 3 2 3 ''= (2 + 6 ) + (2 + 3 ) (3 )'= (9 +12 + 2) ， x x x y x e x x e x x x e 3 2 3 2 3 '''= (18 +12) + (9 +12 + 2) (3 )'= (27 + 54 +18) 。 （8） 2 2 2 ) 1 1 ' ( )' arcsin (arcsin )' ( 2 arcsin 2 2 x x x e x y x e x e x x x − − − − = − + = − + ， ; (1 ) (4 3) 2(2 1) arcsin (1 ) ( 2 ) ) 2 1 ( 1 2 ) 2arcsin 1 1 ( 2 )( 2 arcsin )' 1 1 ) ( 2 arcsin 1 1 " ( )'( 2 arcsin 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x e x x x x x e x x x x e x x x x x e x e x x x y x x x − − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − − = − − + − + − + − = − − + （9） (80) 3 (80) 1 2 (79) 2 (78) 3 (77) 80 80 80 y = + x cos 2x C 3x cos 2x +C 6x cos 2x C+ 6cos 2x 80 3 79 2 78 77 = + 2 x cos 2x x 80⋅ 2 ⋅3 sin 2x − 3160⋅ 2 ⋅6x cos 2x −82160⋅ 2 ⋅6sin 2x 80 2 2 = − 2 ⎡ ⎤ x(x x 4740) cos 2 + (120x − 61620)sin 2 ⎣ ⎦ x x 。 （10） (99) 2 (99) 1 (98) 2 (97) 99 99 y x = + (2 1)sh x +C 4x sh x + C 4sh 2 = + (2x 1)ch 99 x x + ⋅ 4 sh x + 4851⋅4ch x 2 = + (2x 19405)chx + 396xshx 。 ⒉ 求下列函数的n阶导数 y(n) ： 84
y=sin- ox j (2)y=2lnx; y (6) 解(1)y)=(1-cos2ax))=-2"o"cos(2ax+1z) 2O"sin(2@x+ (2)y-∑c(2)(0my=1m22lnx+2c2h21) 21l2hx+scm-2)(- (3)yo=∑Cb(e2) (4)由于y 2 ∑(x-2)(x-3) (-1)n =(-1)"n! (5)y=∑ctea)y)lom)=e"∑ca"cos(Bx+) (6)y=(sin2x+cos x)2-2sin2xcos2 x 3 cos 4x =1-sin2x=1-(1-cos4x)=+ 所以 x+ 3.研究函数 x≥0 x<
⑴ y x = sin2 ω ； ⑵ y x x = 2 ln ； ⑶ y x x = e ； ⑷ y x x = − + 1 5 6 2 ； ⑸ y e x x = α cosβ ； ⑹ y x = sin + cos x 4 4 . 解 （1） ) 2 (1 cos 2 ) 2 cos(2 2 ( ) 1 ( ) 1 = − ω = − ω ω + π − n y x x n n n n 1 1 2 sin(2 2 n n n ω ω π x ) − − = + 。 （2） ( ) ( ) ( ) 0 (2 ) (ln ) n n k x n k k x n k y C − = = ∑ ( 1) 1 1 ln 2 2 ln 2 ln 2 k n n x k x n k n k x C x − − = ⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 1 1 ( 1) ( 1)! 2 ln 2 ln ln 2 n k x n k n k n k k k x C x − − = ⎡ ⎤ − − = ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ 。 （3） ∑ ∑= + = − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n k k k k x n n k k k x n k n n x k C e x y C e 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ! ( ) 1 0 ( 1) ! + = − = ∑ k n k k k n x x k e C 。 （4）由于 2 1 3 1 − − − = x x y ， ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 n n n y x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝ ⎠ 1 1 1 1 ( 1) ! ( 3) ( 2) n n n n x x + + ⎡ ⎤ = − − ⎢ ⎥ ⎣ − − ⎦ 0 1 1 1 0 ( 2) ( 3) 1 ( 1) ! ( 1) ! ( 3) ( 2) ( 2) ( 3) n k n k n n k n n n n k k x x n n x x x x − = + + − + = − − = − = − − − − − ∑ ∑ k+1 。 （5） [ ]( ) 0 ( ) ( ) ( ) cos( ) k n k k x n k n n y C e βx α ∑= − = 0 cos( ) 2 n x k n k k n k k e C x α π α β β − = = + ∑ 。 （6） y x x x x 2 2 2 2 2 = (sin + cos ) − 2sin cos 1 2 1 sin 2 2 = − x 1 3 1 (1 cos 4 ) 4 4 cos 4 4 x = − − x = + ， 所以 ( ) 1 4 cos(4 ) 2 n n n y x − π = + 。 ⒊ 研究函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < ≥ = , 0 , 0, ( ) 2 2 x x x x f x 85
的各阶导数 解当x>0时,f(x)=2x;当x0 由此得到f"x)= 2时,fo(x) 不存在 4.设f(x)任意次可微,求 f(x2)] (3)[/(nx)y; f(x)"; f(e-r) 解(1)Uf(x2)=f(x2)x2)=2xf(x2) f(x2)=2xf(x2)(x2y+(2x)f(x2)=4x2f"(x2)+2f(x2), [f(x2)"=4x2f"(x2)(x2)+(4x2)f"(x2)+2f"x2)x2)'=8x3f"(x2)+12xf"(x2) (2) x八x 2
的各阶导数。 解 当 x > 0时， f '(x) = 2x；当 x ⎪ = − ⎨ 2时， ( ) 0, 0, ( ) 0 n x f x x ⎧ ≠ = ⎨ ⎩不存在， = 。 4．设 f x( )任意次可微，求 ⑴ [ ( f x )] 2 ′′′； ⑵ 1 f x ′′′ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ； ⑶ [ ( f ln x)]′′； ⑷ [ln f x( )]′′； ⑸ [ ( f e )] − x ′′′； ⑹ [ f (arc tan x)]′′ . 解 （1）[ f (x 2 )]'= f '(x 2 )(x 2 )'= 2xf '(x 2 )， [ ( )]'' 2 ''( )( )' (2 )' '( ) 4 ''( ) 2 '( ) 2 2 2 2 2 2 2 f x = xf x x + x f x = x f x + f x ， 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 [ ( )]''' 4 '''( )( )' (4 )' ''( ) 2 ''( )( )' 8 '''( ) 12 ''( ) 2 f x = + x f x x x f x + f x x = x f x + xf x 。 （2） ' 2 1 1 1 1 f f ' ' f 1 x x x x x ′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， ' ' 2 2 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 f f '' f ' f '' ' 1 f x x x x x x x x x ′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x ， 6 5 5 4 1 1 1 4 1 2 1 6 1 f f f f f x x x x x x x x ′′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ −−− ′′ ′′ ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 86
(3)[(nx)l'=f(InxkInx)= [(n x)=/"(nxkIn x) */'( xXx)-/(nx)-/'(n x) (4)[nf(x)=/(x) l/xy′=P(/(x)-(/(x)。 f2(x) (5)[f(e)=f(e)(ey=-ef(e-) lf(e ]"=ef"(ee)'(e)'f(e=ef"(e)+e'e) [fe)"=e-f"e)e-)+(e2)f"e)+ef"e)e)+(e-)'f(e) 3f"(e)-3e2f"(e)-ef(e)。 (6) [(arctan x)]'=f(arctan x) ( arctan r)'s f(arctan x) 1+x [f(arctan r)"(1+x)f"(arctan x(arctan x)-(1+x2)'f(arctan x) (1+x2)2 f"(arctan x)-2xf'(arctan x) )2 5.利用 Leibniz公式计算y0) (1)y=arc tan; v= arc o 解(1)由y= 2x,令x=0,可得y0)=y"0 在 +x 等式y(1+x2)=1两边对x求n阶导数(n>1),得到 ☆y(mk)(1+x2)(k)=0, 注意到(1+x2)y"=0,上式简化为
2 6 1 1 1 1 f x6 6 f x f x x x ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ + ′′ + ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 。 （3） ( ) ( ) x f x f x f x x ' ln [ (ln )]'= ' ln (ln )'= , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 '' ln (ln )' ' ln ( )' '' ln ' ln [ (ln )]'' x f x f x x f x x x f x x f x − = ⋅ − = 。 （4） ( ) '( ) [ln ( )]' f x f x f x = , ( ) ( ) ''( ) ( ) '( ) [ln ( )]'' 2 2 f x f x f x f x f x − = 。 （5）[ ( )]' '( )( )' '( ) x x x x x f e f e e e f e − − − − − = = − 2 [ ( )]'' ''( )( )' ( )' '( ) ''( ) '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e f e − − − − − − − − − = − − = + − x , 2 2 [ ( )]''' '''( )( )' ( )' ''( ) ''( )( )' ( )' '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e e f e − − − − − − − − − − = + + + − 3 2 x '''( ) 3 ''( ) '( ) x x x x x e f e e f e e f e − − − − − − = − − − 。 （6） 2 '(arctan ) [ (arctan )]' '(arctan )(arctan )' 1 f x f x f x x x = = + , 2 2 2 2 (1 ) ''(arctan )(arctan )' (1 )' '(arctan ) [ (arctan )]'' (1 ) x f x x x f f x x + − + = + x 2 2 ''(arctan ) 2 '(arctan ) (1 ) f x xf x x − = + 。 5．利用 Leibniz 公式计算 y( ) n (0) ： ⑴ y = arc tan x； ⑵ y x = arc sin 。 解（1）由 2 2 2 (1 ) 2 , '' 1 1 ' x x y x y + = − + = ，令 x = 0，可得 y'(0) = 1, y''(0) = 0 。在 等式 y'(1+ x 2 ) = 1两边对 x求n阶导数（n >1），得到 ∑= − + + = n k k n k k n C y x 0 ( 1) 2 ( ) (1 ) 0， 注意到(1+ x 2 )'''= 0 ，上式简化为 87
n(n-1) 2=0 以x=0代入,得到递推公式 (0)=-n(n-1)y(n=1(0) 从而得到 y0)=(-1)2(m-),n为奇数 0, n为偶数 (2)由y=(1-x2) 令x=0 可得y(0)=1,y(0)=0,且xy=(1-x2)y”。在等式xy=(1-x2)y"两边对x 求n阶导数(n≥1),得到 ∑C yn-k2(1-x2) 即 n(n-1) (1-x2)-2xmy 以x=0代入,得到递推公式 2(0)=n2ym(0), 从而得到 y(0)=(n-2),n为奇数 n为偶数 6.对下列隐函数求 x2y=0 (2)tan(x+y)-xy=0 (3)2ysinx+xIn y=0 (4) Baxy=0 解(1)在等式两边对x求导,有 88
( 1) 2 ( ) ( 1) ( 1) (1 ) 2 2 0 2 n n n n n y x ny x y + − − + + ⋅ + ⋅ = ， 以 x = 0 代入，得到递推公式 (0) ( 1) (0) ( +1) ( −1) = − − n n y n n y ， 从而得到 1 2 ( ) ( 1) ( 1)!, ; (0) 0, n n n n y n − ⎧ ⎪ − − = ⎨ ⎪⎩ 为奇数 为偶数。 （2）由 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ' ' (1 ) , '' ( )(1 ) (1 )' (1 ) 2 1 xy y x y x x x x x − − − = − = − − − = − = − ，令 x = 0， 可得 ，且 。 在等式 两边对 求 阶导数（ ），得到 y'(0) = 1, y''(0) = 0 ' (1 ) '' 2 xy = − x y ' (1 ) '' 2 xy = − x y x n n ≥1 ∑ ∑= − + = − + = − n k k n k k n n k k n k k n C y x C y x 0 ( 2) 2 ( ) 0 ( 1) ( ) ( ) (1 ) ， 即 ( 1) ( ) ( 2) 2 ( ) ( 1) ( ) (1 ) 2 ( 1) n n n k n n xy + ny = y − x − xny − n n − y + + + ( 1) ( ) ( 2) 2 ( 1) ( ) (1 ) 2 ( 1) n n n n n xy ny y x xny n n y + + + + = − − − − ， 以 x = 0代入，得到递推公式 (0) (0) (n 2) 2 (n) y = n y + ， 从而得到 2 ( ) [( 2)!!] (0) 0 n n n y n ⎧ − = ⎨ ⎩ ， 为奇数； ， 为偶数。 6． 对下列隐函数求 2 2 d y dx ： ⑴ e x y x y 2 2 0 + − = ; ⑵ tan(x + y) − xy = 0 ; ⑶ 2 0 y x sin + = x ln y ; ⑷ 3 3 x y + − = 3 0 axy . 解 （1）在等式两边对 x求导，有 88
(x2+y)-(x2y) y=0 再对x求导,得到 (x2+y)(2x+y)+e"(2x+y)2-(2x ) +y( x) 从而解出 [2+4x2+4xy+(y)2] 其中 2x( (2)在等式两边对x求导,有 sec (x+y(x+ y)-(ry)=sec (x+ y(+y)-y-xy'=0 再对x求导,得到 2sec(x+y)tan(x+y(x+y)(1+y)+sec (x+y(+y)'-y'-xy) 2 sec(x+y)tan(x+y (1+y)+sec(x+y)y-2y'-xy"=0 从而解出 2sec(x+ytan(x +y(1+y)--2y' 其中y= (x+y) (3)在等式两边对x求导,有 In y+=y=0 再对x求导,得到 2ysin x 4y'cos x-2ysin x+2 (y3)2+-·y"=0, 89
( )' ( )' (2 ') 2 ' 0 2 2 2 2 2 + − = + − − = + + e x y x y e x y xy x y x y x y ， 再对 x求导，得到 )' = 2 2 2 2 ( )'(2 ') (2 ')' (2 ' x y x y e x y x y e x y xy x y + + + + + + − + 2 2 2 2 (2 ') (2 '') 2 4 ' '' 0 x y x y e x y e y y xy x y + + = + + + − − − ， 从而解出 2 2 2 2 2 4 ' 2 [2 4 4 ' ( ') ] '' e x xy y e x xy y y x y x y − + − + + + = + + ， 其中 2 2 2 2 ( ) ' e x x y e y x y x y − − = + + 。 （2）在等式两边对 x求导，有 x sec ( )( )' ( )' sec ( )(1 ') ' 0 2 2 x + y x + y − xy = x + y + y − y − xy = ， 再对 求导，得到 2 2 2sec (x + + y x )tan( y)(x + y)'(1+ y ') + sec (x + y)(1+ y ')'− y '− (xy ')' 2 2 2 = + 2sec ( ) x y tan(x y + )(1+ y ') + sec ( ) x + y y ''− 2y '− xy '' = 0 ， 从而解出 sec ( ) 2sec( )tan( )(1 ') 2 ' '' 2 2 x x y x y x y y y y − + + + + − = ， 其中 sec ( ) sec ( ) ' 2 2 x x y x y y y − + + − = 。 （3）在等式两边对 x求导，有 2 'sin + 2 cos + ln + ⋅ y'= 0 y x y x y x y ， 再对 x求导，得到 ( ') '' 0 ' 2 ''sin 4 'cos 2 sin 2 2 2 + − + − ⋅ + ⋅ y = y x y y x y y y x y x y x ， 89
从而解出 2y'sinx-4y-ycos x-2vy+x(y) sInx 其中 2y- cOS x+yIn x+ 2ysin x (4)在等式两边对x求导,有 3x+3y y'-3ay-3axy=0 再对x求导,得到 6x+6y(y)2+3y2y-6ay-3axy"=0, 从而解出 2x+2y(y)2-2ay 其中 7.对下列参数形式的函数求dy (2) x=ae (4) y=I cOSt, (6) y=cos bt A(1 dy_(bty(at)-(bt')(ar)_(6b1 )(2at)-(3br)(2a)_36 [(ar2)y] (2) dy(atsina)"(at cost)-(at sint) at cost) 90
从而解出 xy y x y x y y x yy x y y 2 sin 2 sin 4 'cos 2 ' ( ') '' 2 3 2 2 + − − + = ， 其中 x y x y x y y y 2 sin 2 cos ln ' 2 + + = − 。 （4）在等式两边对 x求导，有 x 3 3 ' 3 3 ' 0 2 2 x + y y − ay − axy = ， 再对 求导，得到 6 6 ( ') 3 '' 6 ' 3 '' 0 2 2 x + y y + y y − ay − axy = ， 从而解出 2 2 2 2 ( ') 2 ' '' ax y x y y ay y − + − = ， 其中 y ax ay x y − − = 2 2 ' 。 7． 对下列参数形式的函数求 d y dx 2 2 ： ⑴ x at y bt = = ⎧ ⎨ ⎩ 2 3 , , ⑵ x at t y at t = = ⎧ ⎨ ⎩ cos , sin , ⑶ x t t y t t = − = ⎧ ⎨ ⎩ ( sin ) cos , 1 , ⑷ x a y b t t = = ⎧ ⎨ ⎩ − e , e , ⑸ x t y t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ 1 1 , , ⑹ ⎩ ⎨ ⎧ = = cos . sin , y bt x at 解 （1） a t b at bt at bt a at bt at bt at dx d y 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 4 3 (2 ) (6 )(2 ) (3 )(2 ) [( )'] ( )''( )' ( )'( )'' = − = − = 。 （2） 2 2 3 ( sin )''( cos )' ( sin )'( cos )'' [( cos )'] d y at t at t at t at t dx at t − = 90
(2acost-atsint(acost-atsinn)+(asin at cost)(2asint+ at cost) 2)(sin t+cos 1) t2+2 a(cos t-tsint) a(cost-tsint) (3dy=(cos)"((1-sint)y-(cos)l(1-sn) (-sin)° (2sint-t cos((l-sint-tcost)-(cost-tsinD)(2 cost +tsint) t cost) [+2-2sin t-t cos t (-sint-t cost) (4)d"y(be)"(ae )-(be)(")_-be'e--be'e-l 2b 3n [" )I (5) dy(h-)"h+1)-(h-1)(1+1) )=-2(1-1) (6) dy_(cos bt)"(sin at)-( cos bt)(sin at) sIna b(-asin at sin bt- b cos at cos br) b(asin at sin bt b cos at cos br) 8.利用反函数的求导公式=1,证明 dy y dx 3(y)2-y'y (y)3 (y”) 证(1) d2xdk、d 1 dy dx 2 dy (y dx dy (22 y' (y) dd的d(y)(y+3、y”d (2)x=(xy
3 3 2 2 2 2 3 3 (2 cos sin )( cos sin ) ( sin cos )(2 sin cos (cos sin ) ( 2)(sin cos ) 2 (cos sin ) (cos sin ) a t at t a t at t a t at t a t at t a t t t t t t t a t t t a t t t − − + + + ) = − + + + = = − − 。 （3） 2 2 3 ( cos )''[( (1 sin )]' ( cos )'[ (1 sin )]'' [ (1 sin )]' d y t t t t t t t t dx t t − − − = − 3 2 3 ( 2sin cos )(1 sin cos ) (cos sin )( 2cos sin ) (1 sin cos ) 2 2sin cos (1 sin cos ) t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t − − − − − − − + = − − + − − = − − 。 （4） 2 2 3 ( )''( )' ( )'( )'' [( )'] t t t t t d y be ae be ae dx ae − − − − = 3 2 3 2 2 t t t t t t be e be e b e a e a − − − − − = = − 。 （5） 2 2 3 ( 1 )''( 1 )' ( 1 )'( 1 )'' [( 1 )'] d y t t t t dx t − + − − + = + 3 3 2 3 3 1 1 (2 1 ) 2(1 ) 4( 1 ) (2 1 ) 2( 1 )[4( 1 ) ] t t t t t t ⎡ ⎤ − − = − ⎢ ⎥ + = ⎣ ⎦ − + − + − − 。 （6） 2 2 '3 (cos )''(sin )' (cos )'(sin )'' (sin ) d y bt at bt at dx at − = 2 3 ( sin sin cos cos ) cos b a at bt b at bt a at − − = 2 3 ( sin sin cos cos ) cos b a at bt b at bt a at + = − 。 8． 利用反函数的求导公式 dx dy y = ′ 1 ，证明 ⑴ 2 3 2 ( ') '' y y dy d x = − ; ⑵ d x dy y y y y 3 3 2 5 3 = ′′ − ′ ′′′ ′ ( ) ( ) . 证 （1） 2 2 1 ( ) ( ) ' d x d dx d dy dy dy dy y = = 2 2 2 1 ' 1 ' '' 1 '' ( ') ( ') ( ') ' ( ') dy dy dx y y y dy y dx dy y y y = − = − = − ⋅ = − 3 。 （2） ( ) 3 2 3 2 3 '' ( ) [ ] ' d x d d x d y dy dy dy dy y = = − 3 4 1 '' '' 3 ( ') ( ') dy y dy y dy y dy = − + ' 2 2 3 4 3 4 1 '' '' ' ''' 1 3( '') 1 3( '') ' ''' 3 ( ') ( ') ( ') ' ( ') ' ( ') dy dx y dy dx y y y y y y dx dy y dx dy y y y y y − = − + = − ⋅ + ⋅ = 5 。 91
9.求下列函数的高阶微分: 1)y=Vx-tanx,求d2 求 求 求ay; 求 (6 求 求dy 求 2 解(1)小=(x-tanx)5(1 Ddx (x-ta =[-=(x-tanx)3(1 )--(x-tan x)3(2 tan ]dx 2 tan"x+sec tan x(x-tan x) (2)dy=∑Ic(x)e)+dx2=∑C =(x4-16x3+72x2-96x+24)eax (2x) 2 2 3x2+2 (1+x2)2 (4)dy- tan x secx_I sec x(2x). sec x(x-1)tan x-x d s secx tan x[(x-1)tan x-x]+sec x[2x tan x+(x2-1)sec x-ll [(x-D)tan x-x] (2x)
9． 求下列函数的高阶微分： ⑴ tan , 3 y = x − x 求d 2 y ； ⑵ y x x = 4 − e ，求d 4 y； ⑶ y x x = 1+ 2 ，求d 2 y ； ⑷ y x x = − sec 2 1 ，求d 2 y ； ⑸ y x = sin 3x ，求d 3 y ； ⑹ y x x = ，求d 2 y ； ⑺ y x x = ln ，求d n y； ⑻ y x x n = cos 2 ，求d y . n 解 （1） 2 1 3 2 ( tan ) (1 sec ) 3 dy x x x dx − = − − 2 1 3 2 ( tan ) tan 3 x x x − = − − dx， 5 2 2 2 2 1 3 3 2 [ ( tan ) (1 sec ) ( tan ) (2 tan sec )] 9 3 d y x x x x x x x dx − − = − − − − − 2 2 4 2 2 5 3 2 tan 6sec tan ( tan ) 9(tan ) x x x x x dx x x + − = − 。 （2） 4 4 4 ( ) (4 ) 4 4 0 [ ( ) ( ) ] k k x k k d y C x e dx − − = = ∑ 4 4 4 4 0 4! ( 1) (4 )! k k k k C x e k − − − = = − − ∑ x 4 dx 4 3 2 4 (x 16x 72x 96x 24)e dx −x = − + − + 。 （3） dx x x dx x x x x x dy 2 2 2 2 2 1 1 (2 ) 1 1 2 1 1 + = − ⋅ ⋅ − + ⋅ + = ， 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 [ ] 1 2 (1 ) (1 ) x x d y dx dx x x x x x x + = + = + + + 2。 （4） 2 1 3 3 2 2 2 2 2 2 tan sec 1 sec (2 ) sec [( 1)tan ] [ ] 2 ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x dy dx dx x x x ⋅ − = − ⋅ = − − − − ， 2 2 2 3 2 2 sec tan [( 1)tan ] sec [2 tan ( 1)sec 1] ( 1) x x x x x x x x x x d y x ⎧ ⎪ − − + + − − = ⎨ ⎪ ⎩ − 2 2 2 5 2 2 3 sec [( 1)tan ] (2 ) 2 ( 1) x x x x x dx x ⎫ − − ⋅ ⎪ − ⋅ ⎬ ⎪ − ⎭ 92